A LA FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIOUES DE L'UNIVERSITE DE ROUEN

A LA FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIOUES DE L'UNIVERSITE DE ROUEN

Pour l'obtention du

DOCTORAT DE L'UNIVERSITE DE ROUEN

Discipline

:

Spéciatité

:

PAR

Abdelkader DOUDOU

ETUDE DES TECHNIQUES POUR L'ANALYSE

DES AUTOCORRELATIONS, DES ECHELLES ET DES SPECTRES EN TURBULENCE

A PARTIR DES DONNEES DE LA VELOCTMETRTE LASER

-

Soutenue,

le I

Membres du

jury

M.

M.

M. M. LEDOUX

M.

M,

M.

Professeur

à

de

Chargé de rechercfie _CNRS au CRCCHT ORLEANS

Professeur

à

de

Chargé de recherche _CNRS

au

Directeur de recherche CNRS au CORTA ROUEN

//

(: ,/'

A Mes parents, Mes frères et sæurs, Ma grande mère.

Ce mémoire de thèse est l'aboutissement d'une étude de recherche réalisée au laboratoire de thermodynamique de IJRA CNBS Ne 230 de la faculté des Sciences et Techniques

de ROUEN, saus la Direction de Monsieur

le

Ce travail s'est effectué sous la direction de Monsieur M. Trinité que

je

Je tiens également à remercier Monsieur P. Paranthoën pour ces conseils et t'aide qu'il m'a apportée.

Je tiens

à

Monsieur R.

BORGHI

Monsieur l.

GOKALP

LEDOUX

Monsieur J-M.

MOST

TRINITE

J'adresse mes sincères remerciements :

- A Mansieur Jean Mouard et Madame Sylvie Vottier pour la partie informatique.

- A Mansieur Alain Picard pour son aide apportée lors de mon installation sur le Sun.

'A Mademoiselle Michèle levé pour le soin apporté et ta qualité de son travail dans la mise en forme de ce mémoire.

- A Mademoiselle Turquet lsabelle pour la dactylographie de ce mémoire.

- A Madame Nadine Couillard pour le soin apporté à la reprographie.

- A tous ceux, professeurs, chercheurs, thèsards ou autres, qui m'ont facitité I'intégration dans le laboratoire et que je _ne peux tous citer ^.

SOMMAIRE

NOMENCLATURE

NON4ENGLM]TUME

INTRODUCTION GENERALE

I N1IBOBUG1TI

ON

PREMIERE PARTIE

THEORIE DES SPECTRES ET

L'ECHANTILLONNAGE ALEATOIRE

INTRODUCTION

GHMP[]IME

[

TUMBULENGE ETI LM THE@M[E DES §PEGTMES I.1 INTRODUCTION

I-2 FONCTION DE DISTRIBUTION DE L'ENERGIE DE TURBULENCE

I-3 ECHELLES EULERIENNES

I-3.1 ECHELLE INTEGRALE

I-3-2 MICROECHELLE DE DISSIPATION

I-4 TAUX DE DISSIPATION

I-5 ^NOMBRE DE REYNOLDS DE LA TURBULENCE

I-6 ^INFLUENCE DE LA COMBUSTION

I.7 CONCLUSION

pages

t2

12

t2

t]

tl

77

t9 t9

20 21

2

5

11

! MMEGUL ! EMEN4ENT EGHENIII LL@NNEES

DE

UELOGIN4E]IMIE DOPPLEM LM§EB 22

II.1 INTRODUCTION

II-2 THEORIE DU SIGNAL

II.3 METHODE DES INTERPOLATIONS

II-4 METHODE DES PRODUITS A INTERVALLES

II-5 METHODE SPECTRALE DIRECTE

II-6 METHODE DES PRODUITS A INTERVALLES

II-6-1 AUTOCORRELATION

a) Biais dû au temps d'incrémentation

b) Histogrammes H(k) c) Choix des paramètres

d) Variance de I'autocorrélation

II.6.2 SPECTRE DE PUISSANCE

a) Calcul du spectre

b) Biais dû aux basses fréquences

c) Variance de I'estimation spectrale

d) Stationnarité et sous-blocs

II-6-3 ETUDE PARAMETRIQUE DE LA MPID a) Effet de Ia fréquence maximale

b) Effet du taux d'échantillonnage

c) Effet du nombre d'échantillons d) Effet du retard de temps maximal e) Effet de I'intervalle de temps TT.7 CONCLUSION

EXACTS DISCRETS

22 22 z4 262l

28 28 29 29 32 32 32 32 34 34 35

3l

38 38 38 38 40 40

GHMPITME

NII

LE BMU!T E]I LE§

LM UDL

III-I, INTRODUCTION

III-2 BRUITS DES SIGNAUX DE LA VDL

III-3 ELIMINATION DU BRUIT

III-4 CONCLUSION

46 46 48 49

GHMPITME

ilU

LE

DU BIM[§

IV.2 TECHNIQUE DE PONDERATION

IY.z.I PONDERATION PAR LE TEMPS DE SEJOUR

TY.2.2 PONDERATION PAR L'INTERVALLE DE TEMPS ENTRE DEUX MESURES CONSECUTIVES

IV-3 ECHANTILLONNAGE DECORRELE DE LA VITESSE

IV.3.1 ECHANTILLONNAGE FIXE OU CONTROLE

IY.3.2 MOYENNE EN DEUX ETAPES

IV-4 CONCLUSION

DEUXIEME ^PARTIE

LES CHAINES D'ACQUISITION VDL ET

LES DISPOSITIFS EXPERIMENTAUX

INTRODUCTION

GHMPITME

U

UEL@GIh4ETMIE BOPPLEM LM§EM V.1 INTRODUCTION

Y-2 PRINCIPE DE LA VDL V-2-1 SIGNAL DE LA VDL Y-2-2 DIFFUSION DE MIE

v-3 CHATNES D'ACQUrSrrrON

v-3-1 COMPOSITION D'UNE CHATNE D'ACQUTSITTON

v-3-2 DEROULEMENT DES ACQUTSTTTON Y -4 SYSTEMES D'ENSEMENCEMENT

V-5 CONCLUSION

50

50 52 52 53 53 54 54 58

63

64

64 64 61 68 68 71

l1

16 77

VI-1 INTRODUCTION

VI.2 DISPOSITIF DES JETS ^COAXIAUX

VI-3 DISPOSITIF DU BRULEUR ''INDUSTRIEL''

YI-4 DISPOSITIF DE LA TORCHE A PLASMA

VI-5 DISPOSITIF DE LA FLAMME EN ^IIV'I

VI-6 DISPOSITIF DE LA CHAMBRE DE COMBUSTION

VI.7 CONCLUSION

TROISIEME ^PARTIE

LES TESTS

DES METHODES SPECTRALES SUR

LES DIFFERENTS DISPOSITIFS

INTRODUCTION

GHMPITME

U[[

LE BilMIS

BE§

BE LM

VII-1 INTRODUCTION

VII.z DIFFERENTES PROCEDURES DE MOYENNE

VII-2.1 COMPARAISON DES PROCEDURES DE MOYENNE

VII-3 CONCLUSION

GHMPITME

U[!!

LE

*[NDU§TMIEL-

VIII-1 INTRODUCTION

VIII-2 BRULEUR SANS COMBUSTION

VIII.2-1 REGIME PULSE

YIII.2-L REGIME TURBULENT

VIII-3 BRULEUR AVEC COMBUSTION

VIII-4 ^CONCLUSION

78 78 80 82 84 87 89

93

95

95 96 91 100

105

103 103 103 704

rc4 t12

GHMPIITBE

[ffi

LM

EN

rx-2 C0MPARATSON DES TECHNTQUES

rx-2-t TECHNTQUE DES TNTERPOLATTONS

rx-2-2 TECHNTQUE DE LA MPrD

IX-2-3 BRUIT Le filtre ^passe-bas

La correction de I'autocorrélation

IX-3 CONCLUSION

GHMP[]IME

H

LM TOBGHE M PLM§N4M X-1 INTRODUCTION

X.2 REGIME TURBULENT DE LA TORCHE

X-3 METHODE DES PRODUITS A INTERVALLES DISCRETS

X.4 METHODE DES INTERPOLATIONS

X-5 METHODE SPECTRALE DIRECTE

X-6 CONCLUSION CONCLUSION

QUATRIEME ^PARTIE

APPLICATION A

L'INTERACTION TURBULENCE- COMBUSTION EN

STATIONNAIRE

ET

INTRODUCTION

GHMPITME

ffi[

FLMN4NdE

EN '[''

EGOULEN4ENT _{STMTI ONNM I ME}

a) b)

I t5

t73

tt4

7t7

118

t19

119 1.22

126

127

t27 128 130

r33 136 139

t40

745

146

a) Axe longitudinal

b) Axe transversal

XI-4 ECHELLES EULERIENNES

a) ^Axe Iongitudinal

b) Axe transversal

XI-s CONCLUSION

GHMPITME

ffi[[

LM GHMN4BBE

DE

EGOULEN4ENT I N§TM]T! ONNM I ME XII-1 INTRODUCTION

XII-2 EVALUATION DE LA VITESSE XTT.2.1 SANS COMBUSTION XTI-2-2 AVEC COMBUSTION

XII-3 DEFINITION DE LA TURBULENCE

XII-3.1 DEFINITION I

XII.3.2 DEFINITION II

XII-4 CARATERISTIQUE DE LA TURBULENCE SANS COMBUSTION

XII-4.1 ENERGIE DE TURBULENCE

)(II-4.2 ECHELLES DE LA TURBULENCE

xrr-4-3 LA DTSPERSION CYCLTQUE

XII-s CARATERISTIQUES DE LA TURBULENCE AVEC COMBUSTION

XII.5-1 LE NIVEAU DE TURBULENCE

XII-5-2 LES ECHELLES DE TURBULENCE

XII.6 COMPARAISON DES RESULTATS AVEC ET SANS COMBUSTION

XII.7 CONCLUSION CONCLUSION

CONCLUSION GENERALE

t52

155 161

t67 r61 172

176

716 177

fi7

180 180 183 183 185 185 185 190 190 190 190 199 201 208

GONGLU§ !

ON

212

NOMENCLATURE

U

1)' , ÿ' , w' G.Ouv

oJnes_u

T,.,

' ^1,

Imes_u

t

a

R, (T) , ^{R, (r)}

P, (r) , Pv (T) n

Eu (n) , ^{E, (n)}

Fu (n) , ^{F, (n)}

k

kkk _{ÿ' w}

E (k)

Er(kr)r Er(kr)

K

€

T,T_{u' v} a,1u' ^v Lr' Lt

ÀÀ_{u' v}

B

Retr, r ^Ra",

t)

t._I

^r.¹

U.₁

f

Vitesse moyenne

Fluctuation de viLesse Ecarts-types

Ecart-type bruité

rntensité de turbulence

Intensité de turbulence bruitée

Temps

Retard de temps

Autocorré1at ions temporelles

Coefficients d' autocorrélation temporelle Fréquence

Spectre monodimensionnel en fonction de n

Densit.és spectrales monodimensionnel-l-es

en fonction de ⁿ

Nombre d'ondes

Nombre d' ondes monodimensionnel

Spectre tridimensionnef en fonction de k

Spectres monodimensionnels en foncion de ^ku Energie cinétique

Energie de dissipation

Echelles intégrales temporelles MicroéchelIes temporelles

Echelles intégrales spatiales Microéchelles spatial-es

Energie intégra1e

Reynolds de la turbulence Viscosité

Instant de 1a mesure

Intervalle de temps entre deux mesures Mesure de la vitesse

Portion de bruit aléatoire

T N N_s Nr

&r

T*. *

ï

Tls 1',lr

^r^max

AT_moy

Âr_man

H (k) suM (k)

D (r) T, Àf f_t)

f BT

f._I f._d i-_i

À K -+

k

E1E1 rE2rEorEd

d_

d

Re RC

T_e

,o

Tn

-l-- rp' -fp SI

At

^r-^I

3

Contribution du bruit à la turbul-ence Durée d' enregistrement

Nombre d'échantillons

Nombre d'échantillons

Nombre de rééchantillons

Résolution de 1'autocorrélation

Retard de temps maximal- de 1'auLocorrélation Eréquence d' échantillonnage

Fréquence de Nyquist

Fréquence de rééchantillonnage Intervalle de temps maximal

Tntervalle de temps moyen

Intervalle de temps minimum Histogramme des produit.s croisés

Somme des produits croisés Fenêt.re de lissage

Fenêtre de corncidence Battement de fréquence Fréquence Doppler Fréquence de Bragg

Fréquence du faisceau incident

Fréquence du faj-sceau diffusé Interfrange

Longueur d'onde

Demi angle entre deux faisceaux Vecteur d/ onde

Energie électromagnétique Di-amètre des particules

Diamètre Reynolds

Reynolds critique Fluide de créneau Période de contrôIe

Période de rééchant.illonnage Précision spectrale

Nombre de Strouhal Fenêtre d' int.éqration

Fenêt.re du filtre ^passe-bas

]INIIIROD[JCTTONI GET{ERÊ[-E

La vélocimétrie Doppler Laser (vDL), introduite dans 1es années

soixante, a entrainé un net ^progrès dans la mét.rologie des écoulements

à environnement hostile et particulièrement en combustion. C'eet une

technique non intrusive (dans 1a mesure où 1, accès optique est possible) et absolue, ell-e ne nécessite pas d'étalonnage, crest sa

qualité primordiale. ElIe reste la seule méthode utilisable en combust.ion.

En écoulement turbulent, cette t.echnique, gui est liée à Ia ^présence de particules diffusantes, reste délicate. En effet, contrairement au

fil chaud qui fournit un signal analogique continu représentatif de Ia vitesse, la VDL donne accès à l-a vitesse échantil]onnée aléatoirement au ^ryt.hme de l-'arrivée des particules. Celà peut poser problème si cette arrivée aIéatoire des particules est corrélée à un autre paramètre aléatoire de 1'écoulement (vitesse, LempéraLure,

concentration. . . ) . C'est Ie ^problème de biais qui a été longuement

étudié depuis Buchhave tll.

Les grands progrès réalisés ces dernières années dans l-e domaine de

l-'informatique et 1'accroissement des capacités mémoires permettent maintenant de réaliser 1'acquisition de données de façon routinière en

incluant. 1es instants d'arrivée des part.icules validées traversant Ie volume focal. Ainsi pour les statistj-ques classiques, i1 est maintenant admis 12, 9l que 1a prise en compte de ces temps permet 1a suppression des biais ^même dans les cas difficiles comme les mil-ieux en combust.ion

et ceci sans hypothèse particulière si la cadence des mesures est suffisante.

Pour 1a modélisation des écoulements réact.ifs turbulents, la connaissance des moyennes et écart-types se révèle souvent insuffisante et ir y a lieu de prendre en compte la répart.ition spectrale de

l'énergie de turbulence ou/ pour l-e moins Ia valeur des échelles (intégra]es, micro-échelles) dont f importance est considérab1e pour ce

qui concerne les réactions chimiques _"l-es moins rapides . ^Ct est ^un paramètre essentiel pour pouvoir prédire par _exemple la formation des

oxydes d/azote, polluants qui posent un problème actuellement compte

tenu nouvellement adoptées. Or, il faut pour ce1à résoudre

dans 1e temps 1'évolution des fluctuations de vitesse en réalisant des mesures à cadence de mesure élevée.

Cette cadence étant de toute façon limitée pour diverses raisons (comme Ia modification thermique des partj-cules ou 1'effet d'expansion des ^gaz brtlés), 1'analyse spectrale rencontre d'énormes problèmes en

vélocimétrie Laser. En plus des difficultés habituelles (Oppenheim et Schafer t10l , fe cal-cu1 des spectres est pénalisé par l,arrivée aIéatoire des particules qui ne permet pas l'utilisation des

algorithmes classiques de la transformée de Fourier rapide. De nombreux

auteurs ont abordé ce sujet., en particulier Gaster et Roberts [11, ^13], Mayo lL4, 151, ^Buchhave et Lumley l2l, Norsÿÿorthy [16], BelI [17], Boyer et Searby [18], Srikantaiah et ^Col-eman [19], ^Tropea 120), -..

Deux approches restent possibles en analyse spectrale ^:

1- Appliquer Ia méthode des interpolations (linéaire ou trapèze) de

façon à rééchantilfonner régulièrement 1e signal de vitesse. Pour

résoudre l-es hautes fréquerrces, des cadences de mesure moyennes très supérieures à l-a fréquence maximum de l-'écoulement sont nécessaires, ce

qui n'est pas facile à obtenir en combustion.

2- Concevoir des algorithmes nouveaux spécialement adaptés ^à 1'échantillonnage aféatoire. telle que la méthode des produits ^à interva.l-Ies discrets (MPTD) qui consj-ste à rétablir 1a fonction d'autocorrél-ation exacte. CeLte méthode introduite par Jones l21-l puis reprise par Mayo et al [14] divise le ^temps de 1'autocorrélation en ^M intervalles de largeur conatante Ar et fes produits des fluctuations sonL réalisés pour tous les intervalles ^quand les mesures existent et cumulés dans les classes appropriées. Le temps d'acquisition T doit être suffisamment long pour que dans chaque classe existe au moins un

produit. croisé. Cette ^méthode peut donner de bons résultats dans l-es

cas de cadence relativement faible (combustion) car l-'information ^peut exister par ^paquets isolés où la densité de mesure est élevée. De plus, la mesure correspondant.e validée par 1e compteur est t.oujours entachée

d'une incertitude al-éatoire. Ce bruit d'origines diverses opt.ique et électronique, augmente si on cherche une cadence él-evée. T1 est encombrant pour les faibles niveaux de turbulence. Le bruit ^peut être mai-trisé et éliminé dans la MPrD par I'interméd.iaire du coefficient, d'autocorréIaLion ^pu (t), en corrigeant 1/écart-type.

Ce bruit, en effet fort micro-échel1e de Taylor d'autocorrélation fiable et.

moyen pour une bonne analyse

gênant pour 1a déLermination précise de l-a

et Ia détermination d'un coefficient physiquement conLrôlabfe est un étonnant spectrale.

LE CÀDRE DE L'ETI'DE

En Vélocimétrie Doppler Laser chaque expérience est spécifique et il n'existe pas de situation universel-le où toutes l-es techniques d'analyse spectrale pourraient être étudiées et comparées. Le but de ce

travail- est de profiter des diverses expériences existant au ^CORTA pour

tester et mettre au point une technique capable de donner satisfaction dans 1a plupart des cas, ou tout au moins de connaitre les limites des

mét.hodes dans chaque situation. Cette étude reste particulièrement orientée vers 1a combustion, préoccupation essentielle d.u l-aboratoire.

l,e difficile problème de 1a modification de Ia turbulence par la combustion n'est pas à ce jour éclairci et nous tenterons, grâce à Ia méthode mise au point d'aborder cette ^question.

Ce travail sera présent.é en quatre parties ^:

Dans la premj-ère part.ie nous définissons Ies ^grandeurs essentielles en turbul-ence (Chapitre I), puis nous passons en revue les difficultés t.echniques d' analyse spectrale spécifiques aux données échantillonnées al-éatoirement ^(Chapitre II). Le problème de biais est abordé au

Chapitre TIT et celui du bruit au Chapitre IV.

La seconde partie esL consacrée à 1'aspect expérimental avec la description des chaines de Vélocimétrie Doppler Laser qui ont été utilisées (Chapit.re V) et avec la présent.ation rapide des expériences qui ont servi de support pour les études specLrales (Chapitre VI) ^.

Les différentes techniques d' analyse

troisième partie à partir des résultats qui couvrenL une large gamrne de

(Chapitres VIl, VIfT, IX, x).

ont. été comparées dans ^l-a sur les diverses expériences condit.ions de turbulence

Enfin, la dernière partie est consacrée à 1, applicat.i_on de ]a méthode des produit.s à intervalles discret.s ^(MpTD) a deux cas

spécifiques : ]a combustion de prémé1ange stationnaire ^(flamme en "V") et instationnaire ^(chambre à ^volume constanL avec turbulence initiale dite "chambre de I/ARC" en raison du programme _cNRS qui a initié cette recherche.

Dans ces deux cas on s/attachera à dégager lrinfluence de 1a

combustion sur 1es échelles et les spectres.

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tsl

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THEORIE DES SPECTRES ET

L'ECHANTILLONNAGE ALEATOIRE

11

ÏNTRODUCTION

La densité spectrale de puissance (DSP) calculée à parti_r des

signaux des fluctuations de vitesse esL un outil très important pour 1'anal-yse et la compréhension de la turbulence dans les écoulements. ^Le spectre des fluctuatj-ons d.e vit.esse peut être un point de départ pour

la création des modè1es pouvant prédire 1révol-utj-on des écoul-ements.En ef fet , l'estimation du spectre permet de calcui-er .l-es échelles spatiales et temporelles qui caractérisent. la turbul-ence. La

connaissance de ces échelles qui g'ouvernent. l-es mécanismes de Lransport.

est essentielle ^pour 1es écoufements réactifs not.amment en combustj-on.

Souvent, 1e calcul spectral est obtenu par 1es routines de la transformée de Fourier rapide (r'f1). Bien que ces algorithmes soient rapides et exacts, i1s ne s'appliquent ^qu,aux données échantil_l-onnées

régulièrement. Dan§ l-es expériences où les mesures de vitesse sont

obtenues par la VDL (Vélocimét.rie Doppler Laser), des difficultés supplémentaires proviennent du fait que les données disponibles sont espacées aléatoirement. Pour cal-culer l-es specLres d.es données de la

VDL de nouvelles approches sont proposées :

fa ^méthode des interpolations.

la méthode des produits à intervalles exacts.

la mét.hode spectrale directe.

Ia méthode des produiLs à inLervaLles discrets

Toutes ces méthodes supposent que les processus aléatoires sont Gaussiens eL gue les inLervalfes de temps aléatoires séparant les données suivent une distribution de Poisson, et fe processus

échantil-lonnê et 1'échanLillonnage sont indépendants. Nous allons aborder chacune de ces ^méLhodes et déterminer cel-l-e qui nous parait la plus adaptée.Ensuile, nous verrons conunent le bruit se dissimule dans

l-es données de Ia VDL et nous envisag:erons l-es moyens de 1e filtrer pour éviter des esti-malions biaisées dans l-e calcul des

autocorrélations et des speÇtres.

Enfin, nous discuLerons

estimations de la moyenne et vitesse réal-isées par Ia VDL.

biais st.atistique intervenant dansPer

1'écart-type pour les mesures de du

c1e

CHIHPIIT"RE

[-tH

LÊ

ET

T'hIEORIE

^ISFEÛTRES

I-1 TNTRODUCTION

La turbulence est le résultat ^des superpositions des ^mouvements a].éatoires des masses indivicluelles de ffuides. Ceux-ci ont ^des dimensions très variéesr couvrant une large ^gamme d'échelles spatiales qui correspondent à des grands et pet.its tourbillons ,' ^1es petits coexistenl à l-'intérieur et à côté des grands tourbillons.La ^turbulence est marquée par 1'action conjuquée des grands et des petits Lourbillons.

1-2 ^FÔNCTION DE DISTRIBUTION DE I,,ENERGIE DE TURBUI,ENEE

L'énerqie cinétique de la turbulence est distribuée en fonction des

fréquences associées aux tourbillons. Les énergies des différentes fréquences s'ajoutent, i1 n'existe pas d'énergie d'interaction ^entre tes fréquences distinctes (hypothèse d'équilibre universel) . ^Une certaine énergie E(n)An est atLribuée à chaque bande de fréquence An,

comprise entre les fréquences n et n ⁺ Àn.

La décomposition du spectre de turbulence peut se faire arbitrairemenL en deux parties principales eL distinctes. La première partie correspond aux grands tourbilfons (basses fréguences) 7 porteurs de beaucoup d'énergie (fraction macroscafaire) et fa ^seconde relative aux petits tourbillons (hautes fréquences), contenant peu d'énergie

(fraction microscalaire) ^.

13

Les grands tourbiJ-Ions soustraient de ^1, énergie

moyen. Les forces d'inerties créent. des tourbillons plus petits au

détriment. des plus grands. L'énergie cinétique turbulente est transférée aux échelles les plus petites et moins énergétiques. Au

niveau des petites éche1les, 1a dissipation de 1rénergie cj_nétique

devient prépondérante. Elte se dissipe sous forme de chaleur au niveau mol-éculaire.

TayJ-or a montré que les fluctuations de vitesse en un point donné de

1'écoulement peuvent être prises en valeur quadratique moyenne comme 1e

résultat des contributions d'une infinité de fluctuations de fréquences

différentes. L'hypothèse de 1a turbulence stat.ionnaire, qui implique 1'homogenéité statistique dans Le temps, lui a permis de définir ^1a fonction de distribut.ion unidimensionnelfe de 1'énergie turbulente par :

e, (n)dn. étant la conlribution de la bande

dn à 1'énergie 1)'2 En int.roduisant fluctuations Fu (n) = ^{E, (n)} / u'2 , I'équation

P* oo

1 : _.,| o ^Fu (n)dn

à L'écoulement

(r-L)

de fréquence enbre n et n ⁺ la densité spect.rale des

(T-1) devient ^:

(r-2)

--r2 Jü*uu (n) dn

Taylor donne ^l-a coefficient Eulérien

Et en considérant U, ¹ direction Ox, plus impo

I - t -1"'\

vitesse I u ^{vrLçooç >>}

( " -/

\u' ) )

*: üt

rel-ation entre la fonct ion spect rale (n) _et. ]e d'autocorréIat-ion [O,,r,

(

u' ^(t ) u' ^(t *r)

u'2

(r-3)

moyenne de l-'écoulement suivant les fluctuations turbu.l-entes de

E,

l

" ^P*o,

Eu (n) : 4 u" ,lo ^pu (T)cos(2rmr)dT

1a ad : \ri l'âccô

rt ant.e que

, Taylor ^{pose :}

( r-4)

L'équation (I-3) devient

4 ",,

L u t 11,

U

Et comme E _u ⁽ⁿ⁾ (théorème !üiener

lztm*\

(r)cos I---=--la"

\u

I*o.

et ^pu (r) sont les transformées de Fourier réciproques Khinchine). on a de ^{même :}

Eu (ku,t) _{_esL 1a} fonction spectrale unidimensionnelle et k,, défi-ni ^par ku : 2tm/ü / est 1e ^nombre d'onde unidimensionnel. En réalité la fonction spectrale est tridimensionnelle, on 1a note E(krt) et ^k (k,,k,,kuÿ) le nombre d/onde tridimensj-onne1. La figure I-1 montre 1e

spectre théorique tridimensionnel ^{E (k,} t) , cependant le ^specLre monodimensionnel E, (n) normarisé par ^u ''rrr/ ü tr,u : échelle intégrale spatiale, u'2 : ^1/énergie cinétique monodimensionnelfe et ü : vitesse moyenne) est présent.é sur la figure I-2 en fonction de nr,u/ ü.

Pour une turbuJence homogène et isoLrope, il n'existe pas de direction privilégiée, Ie champ des ffuctuations reste invariant dans les trois directions. Donc nous avons ^:

o ^(r) 1 ,11

,J'2

n'2= ÿ'2* *r2

et

(r*6)

(r-7)

(k,t")dk (r-8)

de 1'énergie cinét.ique de la turbulence

(€ f oncL ion de dissipation) ^(r-9)

K : - uf ":?-a

L'equatr-on

dans le temps

ôr ôr

,r)dk

u' u

de 1a variation se réduit à ^r

:.[*u

3 lt* oo

-lE(k2 do u'

Ceci montre que pour la turbulence est décroissanLe, ôn considère qu'il

(pas de production de turbuletce).

homogène isotrope, fa turbulence n'y a pas de gradient de vitesse

l_5

E

(k.t)

Figure l-1 Spectre tridimensionnel (Hinze,1975)

pour différentes zones de nombres d'ondes

Figure l-2

10

U Er(n) u'' Lu

0. ol

0,001

0,01

Distribution spectrale de l'énergie (Hinze,'1975)

la vitesse longitudinale

nLu U turbulente de

eur k-srr

Puisque Ia turbulence est plus exact d'introduire l-a

manière à prend.re en compte la Et 1'éguati-on dynamique qui

homogène localement est ^:

un phénomène trid.imensionnel, i1 serait.

fonction spectrale trid.imensionnelle, de

totalité de 1,énergie de la turbulence.

régrit 1'énergie pour une turbulence

ôK(k,t)

= T(k,L) - 2tsk2E(k,t)

Transfert Dissipation

Maj-s, J-e spectre tridimensionnel ne peut _{pas êt}

comme on peut mesurer _Ie spectre unidimensionnel.

d'Eu (ku/L)^a

( r-10 )

re mesuré directement,

(r-1r- ₎ c/k'_u

(r-t2)

(r-13)

turbulence unidimensionnell-e sont reliées par 1a relat.ion ôt

E(krt) : - 1

î

Avec ]-im ^E

k+oo_u

â8, ^(ku rt)

[-.

-K-)

âx 1l

l1L E(k,t) Eu(ku,r):

k:ll '' '

-

tJo

flt, ^{E (k, t)} -,lo

- ^{dk + 3}

*ol

(

[.'-*J"-

o (k,,rL) : ^C)

E, ^(ku r t): " 1u" t].

k

Les deux expressi-ons de 1, énergie cle Eu (ku ) et ^Eu (n) (n est la fréquence)

suivante ^:

I

On verra par la suite et par Ia suite déduire absolument bien estimer .la

(r-14)

que pour obtenir une bonne fonction spectrale des échelles Eulériennes correctes , iI faut fonction d/ autocorrélation.

Eu (n) 2it

-E uu(k )

U

l'7

I-3 ECHELTES EULERIENNES

Deux de ces échel-les nous intéressent particulièrement : 1réchel1e intégrale et. l-a microéchelle de dissipation appelée microéchel-le de

Taylor.

T-3.1 ECHELLE INTEGRALË

El-le caractérise la dimension

présents _dans le champ turbulent.

moyenne des plus gros tourbill-ons

a-u Jo ^{P+ ooP,} (r)d'r-

a-u (T-16)

L'hypothèse

d'établ-ir une

spatiales.

, _ll-

!-u.j.

uu (r-17)

I-3.2 MICROECHELLE DE DIS§IPÀTION

Elfe caractérise la dimension moyenne des tourbillons à partir de

laquelle la dissipation visqueuse devient prédominante. Cel-l-e-ci se

perpétue jusgu'à ta d.issipation en chaleur de r, énergie de ces

tourbill-ons. on peut la calculer à patir du coefficient de

1'autocorrélation ou du spectre de dissipation n2E(n) :

(r-l_8)

1-0

E..(n) E _uu ⁽⁰⁾ lim -5- r ---1--

-rA11 - u 4Ur2 4U,2

(r-r_5)

, nous ^permet temporelles et

de Taylor (x : _U r ou E/âx : _aZüatl relation simple entre les échel_1es

rul 12

a2_u

a-Pu(r):1-f

[*] ,,-*f

-1+ +l il

équation de la parabole oscul-atrice (r-19)

d'où

t2_u a_u

[*] ",

2

: lim T+0

'f

Donc r _u s'obtient d'autocorrélation et de 1a

par, f intersection de

parabole oscul-aLrice (figure

(r-20)

la fonction

r-?\

puG I

o

Figure l-3

au TU

Coefficient d'autocorrélatlon ^temporelle et la parabole osculatrlce

même. T,, s'obtient à partir du spect.re de dissipation n2E(n)

T

de la vitesse longitudinale

(a-2a) B- De

par :

a2_u

2# /r+ oo _^

-

| n,E(n)dn -

rl' ² d0

Et par hypothèse 't _u est donnée par

de Taylor Ia formul-e

("

_ 1/)

>> (u'2 ) )'l, la microéchel1e spatiale

19

À:Ur_u1l

Pour une turbulence homogène isotrope, les et transversales se déduisent Ies unes des

suivantes ^:

(r"-22)

éche1les longit.udinales autres par 1es relations

(r-23)

r-4 TAUX DE DT§§TPÀTION

La relation enLre la fonction de dissipation et Ia valeur moyenne du gradient instantané des fluctuations et leurs corrélat.ions pour une turbufence homogène isotrope est donnée par ^:

I

,2 Lu

Z

,2

u

ôo,.

c--ùu, .ôÊj

avec ^oc (crr:u' ,er:r' ,ft, =r' ⁾ et B (Bt :x, ₍₃₂ : La rel-ation entre € et la microéchelle de 1'équation (I-24) s'écrit ^:

(r-25)

1-5 NOMBRE DE ^R§YNOLDS DE LA TURBU],ENCE

Pour fes deux composantes de vitesse U ^(ou V), 1es nombres de

Reynolds s'écrivent en fonct ion des éche1les dynamiques de ^1a turbulence:

€:15 u \)'2

-^^,2u

lr.-24)

Y rSr-z)

de dissipation À,, (ou À,) déduite

[., ^{,o ,} H

R.À

u

r:I

{.,' ²

v ^1l (r-26)

,, {u'2_v

Une bonne analyse du

conibustion permettfq- une

turbulente.

(r-27 t

comportement spectral de fa turbufence en

meilleure compréhension de la combustion

est la viscosité)

et € sont deux grandeurs essent.ielles pour la modélisation

I-6 INE'TUENCE DE LA COMBUSTION (u

Re

En combustion turbulente, la forme du spectre change. Le spect.re des

fluctuations de vitesse devient de plus en plus inertiel- et la ^pente de

Kolmogorov s/installe en (-5/3). En réa1ité, les réactions chimiques

ont tendance à projeter la partie énergétique du spectre vers les ^plus grands nombres d/ondes eL à augmenter sa fraction microscalaire, c'est pourquoi 1e spectre esL moins dissipatif comme cel-a est rapporté par Eschenroeder t1l.

En combustion turbulenLe, on assiste à l'effet drensemble dû aux

deux phénomènes aux rôles antagonistes : d'un côté, 1,él-évation de Ia température ^môyenne augmente la dimension des grosses sLructures et détruit les petites structures par expansion volumi-que des gaz chauds

et de J-'autre côté. 1es réactions chimiques intenses diminuent fa taille des grosses structures pour augmenter 1,énergie des petites

Gokâ1p te?f ^.

L'influence globale de la combust.ion est le résultat de plusieurs facteurs "microscopiques"(noorrp i27i)1,io,-,t on dénombre :

1 - l,a réduction du temps de dissipation vitesse moyenne dans 1a flamme.

par 1'élevation de fa

2 - La création des ^gradienLs de

des volumes de gaz inhomoqènes

vitesse l-ocaux par Ia combustion

3 - ^Lt accentuation de la dissipation visqueuse du coefficient. de viscosité.

par 1'augmentation

4 - ^L' accentuation de 1a diffusion molécu]_aire

5 - Le rôle des gradients de température à proximité de .l-a zone d.e

réaction.

27

6 - l,e rôle de ^1â 1'écoulement par

modificat.ion de 1a composition chimique 1a production des gaz brtlés.

de

1 - ^L' augmenLation de 1'éche1le intégrale de Ia turbulence

I-7 CONCI,USION

Àprès une introduction rapide des qrandeurs caractérisant ^1a turbulence et concernant 1'analyse opect.rale, i1 apparait que toutes l-es grandeurs essent.ielles peuvent être déduites du coefficient d'autocorrélation. 11 y a donc lieu de calculer celui-ci de la façon ^1a plus exacte possible. Dans ce qui suit nous passerons en revue l-es

problèmes spécifiques à la véfocimébrie Doppler Laser ^(VDL), ainsi ^que les solutions proposées pour y remédier.