RECHERCHES DES MEILLEURS COMPROMIS. RÉSOLUTION. SIGNAL/BRUIT DANS LES PROBLÈMES DE SUPER RÉSOLUTION PAR CONVOLUTION

(1)

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RECHERCHES DES MEILLEURS COMPROMIS.

RÉSOLUTION. SIGNAL/BRUIT DANS LES

PROBLÈMES DE SUPER RÉSOLUTION PAR

CONVOLUTION

O. Robaux, B. Roizen-Dossier

To cite this version:

(2)

JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C 2, supplément au no 3-4, Tome 28, mars-avril 1967, page C 2

-

330

RECHERCHES DES MEILLEURS COMPROMIS. RÉSOLUTION.

SIGNALIBRUIT DANS

LES PROBLÈMES DE SUPER

RÉSOLUTION PAR CONVOLUTION

O. ROBAUX et B. ROIZEN-DOSSIER

C . N. R. S. 92-Bellevue, France

Résumé.

-

On montre qu'il est possible d'augmenter le rapport signal/bruit d'un spectromètre

a résolution donnée par une correction a posteriori des enregistrements (correction par convolu- tion). Cette correction permet d'augmenter la luminosité par une ouverture plus large des fentes, les altérations provoquées par cette ouverture étant compensées par la correction, et de diminuer le bruit en éliminant dans la répartition spectrale d'énergie du bruit les fréquences supérieures à

celles que laisse passer l'appareil optique. Nous étudions en détail les deux cas suivants :

a) Les fentes du spectromètre sont fines et I'on travaille au voisinage du pouvoir de résolution théorique RO (R

>

RO et R G Ro). Une comparaison est faite avec les écrans absorbants super- résolvants, qui se révèlent moins efficaces.

b) On emploie des fentes larges et I'on travaille au-dessous de Ro.

Abstract.

-

The signal to noise ratio of a conventional spectrogram can be enhanced (without affecting resolution) by means of an a posteriori correction (convolution). The correction has two distinct effects :

a) Larger dits can be employed, thus the luminosity of the system is increased.

b) The noise is lowered, especially because we cut off, in the energy spectral distribution of the noise, those high Srequencies which lie outside the domain of the transfer function of the optical apparatus. We study with some detail the two following cases :

a) Very fine slits, and R

=

RO (R 2 RO and R

<

Ro).

A comparison is made with high resolution absorbing filters ; it shows that the convolution correction is far more advantageous.

6 ) Very large slits, and R @ Ro.

1. Introduction.

-

Nous nous proposons de rechercher s'il est possible d'augmenter, à résolution donnée, le rapport signal/bruit d'un spectromètre par une ouverture plus large des fentes d'entrée et de sortie, les altérations provoquées par cette ouverture étant compensées par une correction a posteriori du spectre enregistré.

La méthode se montrera efficace soit lorqu'on désire u n pouvoir de résolution voisin du pouvoir de résolution théorique

R,, soit au contraire, lorsque

désirant une plus grande luminosité on travaille à R 4 R, (l). Pour faciliter l'exposé, nous considérons la transformée de Fourier (T. F.) G(pl) de la fonction d'appareil F(o) ou plus exactement, puisque nous raisonnerons sur la représentation spatiale du spectre, nous considérons la fonction d'appareil F(t) où

t

est

(1) On pourrait naturellement envisager i'extension de la

méthode aux cas intermédiaires.

proportionnel au nombre d'onde o et sa T. F. G(p) (Fonction de transfert des fréquences spatiales).

II. R ciR,.

-

A. Envisageons tout d'abord le cas R

voisin de

R,.

Les fentes sont fines et la bande passante des fréquences spatiales est large. Elle n'est limitée que par les dimensions finies du disperseur ; désignons par - 1,

+

1 les limites, en unités p réduites, du domaine G(p) ; G(p) est dans un spectromètre à fentes classique la T. F. de Ho = sin c2

5,

c'est-à-dire la fonction Go@) = T r p, de largeur 2 (2). Par contre

(2) NOUS adopterons les symboles suivants :

sin n t x

sinc t x = ---- (cf. Woodward (1))

7l tx

Tr x / t = rect xlt

*

rect x l t

.

(3)

dans certains spectromètres nouveaux, tels le

S. 1. S . A. M., G(p) est la T. F. de sinc 2

<

et s'exprime par rect p/2, de largeur 2 également.

Or si l'on compare les fonctions sinc2

5

et sinc 25 (Fig. 1) on voit qu'elles présentent des largeurs très

F ( j ) = sinc 2 f

1 = 0,337

FIG. 1. - Comparaison des fonctions sinc 5, sincz

c,

sinc 25 :

la --- fonction sinc 5 ; largeur à 0,405 : 1,348,

- - - - . - fonction sincz 5 ; largeur à 0,405 : 1,

1b - fonction sinc 2

<

; largeur à 0,405 : 0,674.

différentes. A la base sinc2

5

est 2 fois plus large que sin 25. A mi-hauteur la différence est moins grande

mais les pouvoirs de résolution sont encore dans le rapport 1,5. Ce gain est important surtout qu'il ne s'accompagne pas d'un fort relèvement des pieds (on sait qu'en super-résolution c'est là la principale diffi- culté). Cherchons pourquoi sinc2

5

est, en ce qui nous concerne, une mauvaise fonction. Les zéros de sinc2

5

sont ceux de sinct, fonction dont la T. F. rect p s'étend sur un domaine deux fois plus petit que celui de rect p/2 ou Tr p : sinc2

t

est donc une mauvaise fonction parce qu'elle est un carré ou encore parce que sa T. F., Tr p, est la fonction d'autocorrelation d'une fonction deux fois plus étroite : Tr 11 = rect p a rect p D'une façon générale l'intervalle moyen des zéros de

fonctions d'intensité I(() = A2(5) est le même que pour A(5) : c'est-à-dire qu'il est commandé par une fonction A ( t ) dont la T. F. g(p) a un domaine 2 fois trop étroit. Pour utiliser au mieux la bande des fré- quences transmises par I'appareil, il faut substituer à I(5) une fonction d'amplitude du type H(<) = A(2Q. Cela ne peut être fait par l'appareil lui-même qui fournira toujours la fonction d'intensité A2(t), où A(() est la T. F. de la fonction d'amplitude pupillaire ; par contre, cela peut être fait par une correction a posteriori du spectre enregistré ; cette correction consistera à convoluer le spectre par une fonction bien choisie C((). Ceci revient à substituer à la fonction cappareil sinc2

5

une autre fonction, sinc2

5

a C(5) ou encore à multiplier la fonction de transfert

par la fonction correctrice y(@), T. F. de C(t). Cette correction ne permet pas d'obtenir n'importe quelle fonction d'amplitude et en particulier pas sinc 25 mais la classe des fonctions accessibles (qui a été définie antérieurement par M m e Roizen et M. Jacquinot [2]) est large et fournit, nous le verrons, des solutions au problème actuel.

B. CHOIX DE LA FONCTION CORRECTRICE. L'égalité H2(<) = sinc2

<

*

C(5) (3) devient dans le domaine des

T. F. : G2(p) = Go(p) x y(@) = Tr p x y(p). Choisir C(<) revient à choisir sa transformée y(p) ou encore G2(li). Cette fonction, comme Go, est une fonction à bords noirs (G2(+ 1) = O) dont la T. F. H,(() doit être plus fine que sinc2 5, sans posséder des pieds d'un niveau trop élevé. La finesse de H2(5) est assurée dès lors qu'elle n'est plus une fonction d'intensité mais une fonction d'amplitude appartenant à la classe la plus générale A(2

5)

des transformées de Fourier de G2(p). Nous avons donc cherché seulement à satisfaire la deuxième condition, qui est une condition d'apodisation, et nous avons utilisé pour cela un critère analogue au critère bien connu du maximum « d'énergie encadrée » qui consiste à rechercher Ia fonction H qui rend maximum le rapport :

(4)

C 2

-

332 O. ROBAUX ET B. ROIZEN-DOSSIER

du centre puisque la frange centrale de (3) Hz([) est

approxinlativement deux Fois plus étroite que celle de sinc2

<

( 3 b ) .

Nous avons exprimé G2(p) sous la forme d'une combinaison linéaire à n termes des fonctions de base f,(p) = ~ i n c ~ p ( ~ ) , soit : avec : + 1 sinc p p cos 2 ~ p 5 dp

.

- 1 1

-

l

~

l

Le problème revient à déterminer les paramètres a, tels que le facteur

(I)

d'énergie encadrée prenne sa valeur maximum : il est classique (cf. par exemple réf [3]).

On trouvera au tableau 1 les coefficients normalisés

al, = a p / E

up des fonctions correctrices C(5)

à 5 termes obtenus pour les valeurs suivantes de

5,

: 0,325 ; 0,4 ; 0,45. Dans la sixième colonne figure le pouvoir de résolution, inversement proportionnel à la largeur de la fonction d'appareil, cette largeur étant évaluée entre les points d'ordonnée 0,405 ; le pouvoir de résolution théorique Ro est pris comme référence : il correspond à la fonction sinc2 5, de largeur unité. Dans la septième

(3) Les fonctions que nous considérons sont affectées des indices suivants :

Indice zéro : pour les fonctions obtenues sans aucune espèce de correction.

Indice un : pour les fonctions que l'on obtient avec des objec- tifs corrigés à l'aide d'écrans de transparence non uniforme convenable (correction a priori ou pupillaire).

Indice deux : pour les fonctions correspondant à un appareil non corrigé, mais dont o n convolue le spectre avec une fonction C(c) appropriée (correction par convolution ou a posteriori). Indice n : pour une fonction normalisée (à valeur un au centre), ex. : Gn(p) = G(p)/G(O).

(3b) Le critkre d'énergie encadrée est un peu différent de celui- ci : il est applicable seulement avec une fonction Hz(<) partout positive (représentant une intensité lumineuse) et met en jeu le rapport

(4) Les bases sincpp (p

>

1) nous permettent une représenta-

tion commode d'une fonction G(p) à bords noirs.

colonne on a noté le niveau du premier pied de H2(t)lH2(0), (symbole N. P.) ( 5 ) .

Dans ce tableau on trouvera aussi, les caractéristi- ques d'une fonction d'appareil Hl(<) obtenue à l'aide d'un écran pupillaire super-résolvant proposé par Barakat (6) ; la résolution théorique RJR0 que procure cet écran absorbant est la même que celle que nous avons obtenue avec la correction C(<) (correction C'

du tableau 1).

Nous nous proposons de comparer les niveaux des pieds des fonctions d'appareil H2(Q = sinc2

5 *

C(5) et H,(5) de Barakat et d'étudier l'influence de ces deux modes de correction sur le rapport signal sur bruit.

C. COMPARAISON DES FONCTIONS D'APPAREIL. a)

Comparaison des fonctions d'appareil théoriques. Les fonctions H,(C) et H2(5) que nous considérons ici sont des fonctions d'appareil théoriques puisqu'elles suppo- seraient un spectromètre avec des fentes d'entrée et de sortie infiniment fines.

L'une, H,(5), est une fonction d'intensité diffractée, elle est partout positive. L'autre, Hz((), est une fonction

( 5 ) Le problème n'aurait guère été plus compliqué si, pour

affiner davantage la frange centrale, on s'était fixé a priori la largeur à 0,405 de la fonction d'appareil, en prenant par exemple

I = 0,67 (c. a. d. R/Ro = 1,5), comm-; pour sinc 2

c.

La foncti on

C à n termes n'aurait plus dépendu que de n-1 paramètres, que la condition d'apodisation aurait ensuite déterminés. Nos calculs fournissent seulement un exemple de ce qu'il est possible de réaliser à l'aide des fonctions d'amplitude H(5).

( 6 ) Barakat [4] obtient l'affinement de la frange centrale en se donnant a priori l'abscisse

cl

du premier zéro de la fonction d'intensité diffractée Hl(5). Il évite un relèvement excessif des pieds en cherchant à rendre maximum le rapport

où T(x) représente la transparence de la pupille vis-à-vis des amplitudes des vibrations lumineuses ( ~ ( x )

<

1). Cette deuxihme condition diffère peu du critère d'apodisation dit maximum d'énergie encadrée )). En effet lorsqu'on applique le critère du

maximum d'énergie encadrée, on cherche à rendre maximum le rapport

où désigne la valeur moyenne de H(5) sur l'intervalle- T m ,

+

cm.

Le critère de Barakat revient donc simplement à remplacer dans le critère du maximum d'énergie encadrée Hi(r) par Hi@). Barakat montre que la détermination analytique du meilleur écran satisfaisant au double critère ci-dessus (affinement et apodisation) est possible ; la transmission T(x) de cet écran s'écrit :

T e l , x ) = a(E1)

+

b(Td

.

cos 2 ntl x avec

(5)

d'amplitude à arches positives et négatives avec des zéros deux fois plus serrés en moyenne que ceux de Hl. Les niveaux des premiers pieds sont très différents (Fig. 2) : ceux de H,(t) sont environ 3 fois plus bas.

FIG. 2. - Comparaison des fonctions d'appareil théoriques

2a -- fonction corrigée par convolution,

- . - - - - sinc2

<,

2b --- fonction corrigée à l'aide de I'écran absorbant super-résolvant de Barakat T(0,7, x).

Le niveau des pieds obtenus par la correction a priori est beaucoup trop important pour que la fonction soit utilisable.

Cet avantage sera plus marqué encore lorsqu'on envi- sagera ci-après le cas réel des fentes ayant une largeur finie, car les arches positives et négatives de H2(5) se compenseront alors partiellement.

En conclusion, le niveau très élevé des pieds que l'on obtient avec des écrans absorbants super-résolvants ies rend inutilisables aux fortes résolutions. Nous avons vérifié que pour que le niveau des pieds soit inférieur à 2 x IO-', il fallait ne pas dépasser avec les écrans de Barakat une résolution théorique de

1,16

R,

(5, = 0,8). Par contre, les corrections par convolution entraînent un relèvement beaucoup moin- dre des pieds et sont donc préférables lorsqu'on envi- sage de travailler au voisinage de

R,.

En fait d'ailleurs il importe de tenir compte des largeurs t (7) des fentes d'entrée et de sortie du spectro-

mètre pour évaluer les gains en résolution réellement accessibles.

b) Comparaison des fonctions d'appareil réelles. La fonction d'appareil a, dans ce cas, pour expression

F(5) = rect t / t

*

H ( 0

*

rect 5 / t

= Tr l / t

*

H(t)

et la fonction de transfert Ç(p) = t 2 . sinc2 pt

.

G(p). Les pouvoirs de résolution réels dépendent non seule- ment de H mais de t et un pouvoir de résolution donné peut être obtenu à l'aide de plusieurs combinaisons correspondant à des fonctions d'appareil théoriques différentes que l'on associe à des largeurs de fentes appropriées. A titre d'exemple, nous avons considéré

deux combinaisons permettant d'obtenir le pouvoir de résolution théorique

R,.

Cela est possible avec un écran de Barakat. Si l'on veut éviter dans ce cas un niveau de pied excessif, il ne faut pas trop affiner Hl(5) et prendre par exemple

t,

= 0,8. Dans ces conditions on trouve que les fentes doivent avoir une largeur t = 0,5.

Cela est possible aussi par une correction aposteriori du spectre. Nous avons envisagé la correction C'

(Ire ligne du tableau 1), associée à une largeur de fentes t = 0,7. On remarque que notre choix s'est porté sur une fonction d'appareil H2(t) à pic fin ce qui nous permet d'élargir les fentes. Nous gagnons ainsi sur la luminosité (et sur le rapport signaIlbruit) : mais le choix d'une fonction H2([) très fine ne nous est permis que parce que la correction a posteriori ne produit pas un relèvement excessif des pieds. Les fonctions d'appareil Fl(5) et F2(5) sont représentées figure 3.

D. ETUDE DU RAPPORT SIGNAL SUR BRUIT. Avant d'entreprendre cette étude il nous faut distinguer deux cas :

-

L'étude d'un spectre dans le visible : on sait que le bruit prépondérant est alors le bruit de photons. Le bruit dépend donc du spectre enregistré et une étude particulière est nécessaire pour chaque cas.

-

L'étude d'un spectre dans l'infra-rouge : le bruit ne dépend plus que du récepteur utilisé et une étude générale est possible : c'est le cas que nous envisagerons ici.

(7) On considère ici les « largeurs réduites )> des fentes :

rapport de h largeur réelle de la fente à l'unité optique, c'est-à- dire à la largeur de sincz

<

entre les points d'ordonnée 0,405

(6)

C 2 - 334 O. ROBAUX ET B. ROIZEN-DOSSIER

FIG. 3.

-

Comparaison des fonctions d'appareil réelles lorsqu'on cherche R = Ro

3a

-

fonction obtenue en utilisant des fentes de largeur

t = 0,7 et la correction C'. - - - sincl

<,

3b --- fonction obtenue en utilisant des fentes de largeur

t = 0,5 et l'écran absorbant super-résolvant de Barakat:T(0,8, x )

Etude du rapport s/b dans I'I.

R;

a) R 2 R,.

Pour comparer les méthodes de correction

a

priori et

a

posteriori nous supposerons que nous employons toujours la même source et le même récepteur. Dans ces conditions les signaux obtenus sont proportionnels à la valeur maximale de la fonction d'appareil :

p

= kF(0)

.

La valeur de k peut être reliée à un signal de réfé- rence fictif, celui qu'on obtiendrait avec des fentes de largeur 1 en l'absence de phénomènes de diffraction. On a alors

P r e f = k

.

On appelle luminosité de l'appareil le rapport PlPret = P(0) = L

-

Comme le bruit ne provient dans 1'1. R. que du récepteur on peut aussi écrire :

La luminosité ainsi définie est proportionnelle à la valeur du rapport signal sur bruit obtenu avec le dispositif envisagé. Cette définition va nous permettre d'introduire, dans le cas où l'on effectue une correction a posteriori du spectre un facteur équivalent à une luminosité.

Le bruit n'est plus égal à o car l'opération de convolution n'altère pas seulement le signal mais le bruit. Nous poserons donc :

Le facteur luminosité caractérise donc l'appareil (et notamment son taux d'absorption), il dépend aussi des corrections apportées aux enregistrements.

Nous allons donner son expression dans le cas d'une correction apriori (luminosité LI), les fentes ayant une largeur t' et dans le cas d'une correction

a

posteriori (luminosité L,), les fentes ayant une largeur tl'.

répartition des ampli- G,(P) = Tl

*

Tl ; Tl(x) : tudes sur la pupiile de

avec sortie avec

-

max

[T,

(x)] = 1.

\, G1(0) = T: d'où

-

LI =

T S . ~

G,,(p) t t 2 sinc2 t' p

.

Considérons maintenant le cas d'une correction

a posteriori on a :

II faut aussi évaluer le rapport o / 0 2 .

Soit B(p) la répartition spectrale de l'énergie du bruit ; dans l'enregistrement étudié, o, valeur de l'écart quadratique moyen des fluctuations du bruit, est lié à B(P) Par

(7)

Dans l'enregistrement corrigé par la convolution C(5) l'énergie du bruit a une répartition spectrale B2(p) et I'on sait (S), (6a) que

Il s'en suit que B2(p), à la différence en général de B(p), ne comporte pas de fréquences supérieures à celles que laisse passer l'appareil optique : y2(p) a joué le rôle d'un filtre éliminant les hautes fréquences présentes dans le bruit du récepteur. Cette circonstance est très importante et peut augmenter beaucoup, comme nous le verrons, le rapport signal sur bruit ou la luminosité équivalente telle que nous l'avons définie. En général on choisit le récepteur de telle sorte que B(p) soit constant sur le domaine des fréquences

-

1,

+

1 que l'appareil optique laisse passer. On peut donc écrire :

et

-

1 d'où

Comme G2(0) = y(0) on peut remplacer ci-dessus G2(p) et Par

ainsi

Parce que la correction

a

posteriori supprime les hautes fréquences dans la répartion spectrale du bruit, il apparaît dans L2 un facteur

qui dépend de la répartition spectrale du bruit, et par conséquent du récepteur lui-même. Si par exemple on utilise un filtre RC, de constante de temps z (') on a :

(8) 7 en unités réduites représente ici le quotient de la cons- tante de temps du récepteur par le temps Tnécessaire pour enre- gistrer i'unité optique A< = 1, c'est-à-dire la largeur à I'ordon- née 0,405 de la fonction d'appareil sinc2 5.

B,(p) sera constant à mieux que 1/10 près sur l'inter- valle

-

1,

+

1 pour T

<

116 71. Dans ces conditions le facteur Q est 2 2,17.

Même s'il n'est pas utile de modifier la forme de la fonction d'appareil on peut gagner le facteur Q sur le rapport signal sur bruit. Il suffit de convoluer les spec- tres enregistrés avec la fonction sinc 2

5

à laquelle correspond y,(p) = 1 et G,(p) = Go&). On obtient alors :

Nous retrouvons ici une propriété parallèle à celle que l'on utilise en spectroscopie par T. F. lorsqu'on convolue E'interférogramme avec une fonction sinc

5

appropriée (6b) : cette convolution a pour but de limiter les fréquences spectrales de l'énergie du bruit au domaine du spectre étudié. Intéressons-nous maintenant aux termes, qui dans L ne dépendent que de l'appareil lui-même et des corrections soit :

et comparons

Il a déjà été démontré [7] que les corrections de la fonction d'appareil obtenues au moyen d'écrans pupil- laires absorbants pouvaient aussi s'obtenir au moyen d'une correction par convolution. Nous allons mon- trer

-

toujours dans le cas de 1'1. R. - que la correction par convolution permet d'obtenir un rapport signal sur bruit plus élevé et qu'elle devrait donc être préférée.

(8)

C 2

-

336 O. ROBAUX ET B. ROIZEN-DOSSIER

Or G,(,u) = Tl + Tl, Tl(x) désignant la fonction de transmission de l'écran pupillaire absorbant consi- déré.

Et 1

-

1

,u

1

=

T,

s T,, T,

=

1 représentant la transmission de la pupille uniforme.

En tout point d'abcisse p on a

1

Tl

1 <

T,, il en résulte

(

Gl(fdL) I l

-

IL11

e t par conséquent :

b)

R

<

R,.

Plaçons-nous maintenant dans le cas où R est encore proche de R, mais inférieur à lui. Il y a trois façons d'obtenir de tels pouvoirs de résolution :

-

Le procédé le plus simple consiste à utiliser des fentes d'entrée et de sortie suffisamment fines.

-

Mais on peut aussi envisager d'affiner la fonction d'appareil théorique à l'aide d'un écran super-résolvant ou d'une correction a posteriori des enregistrements. Le même pouvoir de résolution que ci-dessus peut alors s'obtenir avec des fentes plus larges. La question se pose de déterminer le procédé le meilleur du point de vue de la luminosité. Nous savons déjà (§ II. D.a) que la correction a posteriori doit être préférée à la correction par écrans absorbants ; mais nous allons rechercher maintenant si une correction s'impose. Nous avons pour cela tracé les courbes L = f (RIR,) obtenues (Fig. 4) :

FIG. 4.

-

Courbes L = f (RIRo) obtenues pour des largeurs de fentes t, t', t u variées (cas où les fentes sont fines).

(O) Courbe Lo obtenue avec la pupille uniforme et des fentes de largcur t.

(1) Courbe L I obtenue lorsqu'on utilise l'écran absorbant de Barakat T(0,8, x ) , avec des fentes de largeur t'.

(2) ,Courbe Lapp obtenue lorsqu'on corrige a posteriori les enregistrements, Ies fentes utilisées ayant une largeur t".

R > 0,85 Ro : seule la correction a posteriori est satisfaisante. R < 0,85 Ro : il n'est pas souhaitable de modifier la forme de la fonction d'appareil.

(O) avec des fentes de largeur t variables et sans correction ;

(2) avec une correction par convolution C(t) (correction Ci du tableau 1) qui affine la fonction

Ecran de Barakat T(0,7, r)

. . .

.

. . .

.

. .

.

. .

. . . .

.

. . .

.

. .

.

. . .

.

. . .

,

.

1,30

1

Fonction correctrice C(5)

+'

sinc p p

(9)

d'appareil théorique, les fentes choisies ayant pour chaque valeur de RIR, des largeurs t" > t. Dans ce cas nous avons représenté L,,,,. Il est bien entendu que les luminosités L, accessibles sont plus grandes d'un facteur Q = 112 J; qui dépend de la constante de temps du récepteur.

Ce graphique montre que :

a) Pour R

>

0,85 Ro on a intérêt à ouvrir les fentes et à corriger la fonction d'appareil a posteriori. On a en effet L,,,,

>

L,.

p)

Pour R < 0,85 R, il n'est pas souhaitable de modifier la forme de la fonction d'appareil : on a intérêt à utiliser des fentes aussi fines que possible mais on se souviendra que l'on peut alors augmenter la luminosité L, du facteur Q en convoluant le spectre enregistré par la fonction sinc 2 5.

D'autre part nous avons tracé sur ce même graphique la courbe LI = f

(RIR,),

obtenue lorsqu'on utilise l'écran super-résolvant absorbant de Barakat

On voit qu'à R/R, donné on a bien toujours LI

<

L,,,,.

III. R 4

R,.

- A. Plaçons-nous maintenant dans le cas R 4 R,. Les fentes sont maintenant larges et leurs images gzométriques couvriraient t franges de diffraction. La fonction d'appareil est alors très peu différente de Tr t/t.

Une correction par écran absorbant n'agirait que sur la fonction sinc2 5. Or celle-ci possède une influence négligeable sur la fonction F(t), qui demeurerait prati- quement inchangée : seule, donc, une correction par convolution peut être efficace dans ce cas. Nous som- mes ici dans une situation inverse de la précédente :

c'est maintenant la fonction d'appareil F(5) # Tr t / t et non plus la fonction de transfert qui est une fonction d'autocorrélation. Ce fait est là aussi défavorable :

Tr t / t est 2 fois plus large à la base que rect t/t (qui serait la fonction d'appareil correspondant à une seule fente) et possède des <( ailes )) gênantes. Pourtant les

deux fonctions correspondent au même domaine de fréquences spatiales : les fonctions de transfert corres- pondantes sont en effet sinc pt et sinc2 pt dont les pics centraux, les seuls importants, couvrent un même domaine égal à 2/t ; il faut donc corriger sinc2 pt en la multipliant par une fonction y(p) convenable de façon à ce que sa T. F. F2(<) ait une largeur à la base de l'or-

dre de t seulement. La nouvelle fonction de transfert sera :

= y(p) x sinc2 ,ut sur

1

p l

<

I/t = O sur

1

p

1 >

lit.

On voit que pour que y(p) soit définie sur l'intervalle

-

l/t,

+

I/t il faut que G2(,u) et G;(p) (dérivée de G2(p)) s'annulent en ces points : ceci limite la classe des fonctions d'appareil accessibles par cette méthode ; en particulier on ne peut obtenir rect </t (qui corres- pondrait à une déconvolution pure et simple) ni même sinc 2 t/t, mais des fonctions légèrement apodisées et par conséquent à peine plus larges que sinc 2 [/t sont accessibles. Nous avons calculé une de ces fonctions de la même façon que précédemment, seules les fonctions de base, pour les commodités du calcul, ont changé.

Nous avons posé

avec la condition supplémentaire

n

G2(1) = p =

C

1 a, cos pn = O = G,(- 1)

.

B. COMPARAISON DES FONCTIONS D'APPAREIL. Pour

5,

= 0,75 t nous avons obtenu la fonction G2(p) sui- vante :

G,(p) = 0,710 2

+

0,320 2 cos ntp

-

0,122 6 cos 2 ntp

+

0,096 2 cos 3 ntp

-

0,087 5 cos 4 ntp

+

0,083 5 cos 5 ntp. La fonction d'appareil que l'on obtient est plus étroite que Ho = Tr </t. A 0,5 les largeurs sont en effet dans le rapport 0,74 (Fig. 5). Il s'agit ici encore d'une

fonction d'appareil théorique Hz((), la fonction d'appareil réelle étant

La convolution par sinc2 ( modifie très peu, comme nous nous y attendons, le rapport des largeurs des fonctions d'appareil F2:,(t) et Fo(5) mais elle abaisse un peu les pieds de F2(<). Ici encore joue le fait que les arches positives et négatives de la fonction d'amplitude Hz(<) se compensent partiellement dans la convolution avec sinc2

5

; le même effet ne se produit pas avec Tr 5/t, ce que montre bien la figure 6 . Les fonctions F2(5) et F0(5) y sont représentées sur l'exemple t = 4. Les largeurs des fonctions F2 et Fo sont dans le rapport 0,7, et le premier pied de F2 est sensiblement au même niveau que le point de même abscisse de Fo.

(10)

O. ROBAUX ET B. ROIZEN-DOSSIER

F;G. 5.

-

Fonctions d'appareil théoriques obtenues dans le cas des fentes larges.

A- fonction 1 -

1

x / t

1

,

- - - fonction obtenue par une correction a posteriori

des enregistrements.

FE. 6. - Fonctions d'appareil réelles obtenues dans le ,cas

deb fentes larges t = 4

.

-

sans correction,

- - -

avec une correction a posteriori des enregistre-

ments.

La répercussion de cette correction sur le rapport s/b sera discutée dans une publication ultérieure. IV. Conclusion. - D'une façon générale le raison- nement précédent montre qu'il faut songer à la mét4ode de correction par convolution chaque fois que la fonction d'appareil ou la fonction de transfert est la fonction d'autocorrélation d'une fonction de domaine 2 fois trop étroit.

Quand c'est la fonction d'appareil qui possède ce caractère, on opérera une espèce de déconvolution : la déconvolution exacte n'est pas praticable mais nous avons vu que cela n'importait pas, nous ne recherchons que certains aspects de la fonction déconvoluée. Quand c'est la fonction de transfert qui est une fonction d'autocorrélation on ne pratiquera pas de déconvolution qui diviserait par 2 le domaine des fréquences spatiales mais on substituera à G(p) une fonction G,(,u) de même domaine n'ayant plus les caractères d'une fonction d'autocorrélation afin d'obtenir une fonction d'appareil d'amplitude environ deux fois plus étroite que la fonction d'intensité initiale. Nous avons d'autre part montré que la correction par convolution avait pour effet, quelle que soit la forme de la fonction d'appareil choisie, de limiter le domaine des fréquences de la répartition spectrale d'énergie du bruit. On peut ainsi gagner sur le rapport signal sur bruit un facteur Q d'autant plus important que le récepteur a une constante de temps plus faible.

Bibliographie

[l] WOODWARD, Probability and Information theory with application to Radar ; Pergamon press, 1960,28. [2] JACQUINOT (P.) et ROIZEN-DOSSIER (B.), C. R. Acad.

Sci,, 258, p. 4384.

[3] DOSSIER (B.), thèse, Paris ; Rev. d'optique, 1954, p. 93. [4] BARAKAT, J. Opt. SOC. Amer., 1962, 52, 264.

[5] ARSAC, Transformation de Fourier et théorie des dis- tributions, Paris, Dunod, 1961, p. 296.

[6] CONNES (J.), thèse, Paris ; Rev. d'optique, 1961, a) p. 39, b) p. 77.

[7] JACQUINOT (P.) et ROIZEN-DOSSIER (B.), Apodization, Promess in Ovtics. vol. III. North Holland mibiishing Company (~rnsterdam), 1964, p. 136.

INTERVENTION

A. GIRARD.

-

Dans le même ordre d'idées, je vou- drais signaler le résultat d'un calcul simple qui conduit à la détermination d'une distribution A(x) inverse de la fonction fente R(x), c'est-à-dire telle que :

(11)

On peut écrire : Une application numérique a permis de vérifier qu'on R(x)

*

6'(x

-

a ) = 6(x)

-

6(x

-

2a)

R(x)

*

6'(x

-

3a) = 6(x

-

2a)

-

6(x

-

4a) R(x) 6'(x

-

5a) =

...

etc.

En effectuant la somme, il vient

La distribution A(x) = Z6'(x

-

( 2 p

+

1)

a)

satis- fait bien à la relation (1) au terme 6 ( x

-

2 ( p

+

1)

a)

près, qui peut être rejeté aussi loin qu'on le désire en choisissant p assez grand. Pour un calcul numérique A(x) peut être approximé par une suite de doublets formés par deux masses ponctuelles contigues, égales et de signes opposées. La distance entre deux doublets consécutifs est égale à 2 a , largeur de la fente.

a bien :

I(x)

*

A(x) = O ( x ) si

O(x)

*

R(x) = I(x)

.