Application de la spectrométrie des rayons X au dosage de faibles teneurs de métaux dans les minerais

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Application de la spectrométrie des rayons X au dosage

de faibles teneurs de métaux dans les minerais

Jacques Despujols

To cite this version:

31

APPLICATION DE LA

SPECTROMÉTRIE

DES RAYONS X AU DOSAGE DE FAIBLES TENEURS

DE

MÉTAUX

DANS LES MINERAIS

Par JACQUES

DESPUJOLS,

Ingénieur

E. C.

P.,

attaché de recherches _au C. N. R. S. Laboratoire de Chimie

_physique

de la Faculté des Sciences

_de

Paris.

Sommaire. - Trois méthodes utilisant les

spectres de rayons X ont été _{envisagées pour} résoudre un

problème industriel : le _{dosage rapide} de métaux dans les stériles de minerais,. Dans ces trois _méthodes, il a été fait usage de spectrographes à cristal courbé.

La _{spectrométrie} d’émission, avec _{excitation par} fluorescence donne les meilleurs résultats. Un appa-reil a été étudié et monté pour chercher les meilleures conditions expérimentales. Celles-ci ont été déterminées pour le zinc : il a été _possible de doser cet élément dans des stériles avec une _précision

de 5 à 10 _pour 100 sur des

_quantités

de l’ordre de 0,1 pour 100. La même méthode a été _appliquée

au _plomb.

Dans le cas du _tungstène, il a fallu recourir à la _{spectrographie} d’émission avec excitation _cathodique. La troisième méthode, dite « _{par absorption différentielle », basée} sur la comparaison de deux intensités,

mesurées ici par un _compteur de Geiger, a été employée dans _{le cas} du zinc. Les résultats concordent avec

ceux donnés _par la _première méthode _{pour des teneurs}

_supérieures

à 2 pour 100.

LE JOURNAL DE _PHYSIQUE ET LE RADIUM.

PHYSIQUE APPLIQUÉE.

SUPPLÉMENT AU _N° 2.

TOME 13, FÉVRIER

1952,

Introduction.

-.. Les exploitations

modernes de mines

_{métalliques,}

_{pour faciliter le}

_transport

ultérieur du

minerai

- et l’obtention du métal

-,

le

traitent,

après

extraction,

par des

procédés

divers :

broyage

fin,

puis séparation

par

densité, flottation,

grillage,

etc. Il sort de

l’installation

située sur la

mine

_{même, un}

minerai « enrichi » et des « _stériles »

qui

ne doivent contenir _{que les}

_{plus petites quantités}

possibles

des métaux recherchés.

Pour la bonne marche de ces

_{exploitations,}

il est essentiel

de contrôler

fréquemment

la

_composition

de ces stériles :

si,

par suite d’un mauvais fonction-nement des

_appareils

ou d’un

_changement

dans la nature ou les teneurs du

_minerai,

les

_pourcentages

en métaux des stériles

_augmentent

_{anormalement,}

ce

_qui

_peut

être la cause

_d’une

_perte

_sérieuse,

il faut

pouvoir

y

porter

remède immédiatement. Il est donc

important

d’avoir une méthode

_permettant

de doser

avec sûreté et très

_rapidement

des teneurs de l’ordre de 0,1 r _pour 10o à

quelques pour-cent

de métaux

dans ces stériles.

Il m’a semblé que les méthodes utilisant les

spectres

de rayons X

pouvaient

être

_appliquées

à ce cas.

Je me suis servi de

_{spectrographes}

à cristal

courbé,

qui

ont d’ailleurs été utilisés avec succès dans les

nombreux

_problèmes

de

_{spectrochimie}

étudiés au

Laboratoire de Chimie

_{physique [1].}

Tous les éléments’ne

_peuvent

_{pas être dosés avec} la même facilité : les

_longueurs

d’onde de leurs raies

caractéristiques

et de leurs discontinuités

d’absorp-tion,

la forme de

l’échantillon,

la nature de la

gangue,

etc.,

conduisent à étudier

_{spécialement}

chaque

cas

_d’espèce.

Pour le

zinc,

j’ai

pu

employer

la méthode

_qui

’m’apparaissait

a

_priori

comme la meilleure : la

spectrométrie

d’émission,

l’échantillon étant excité

par

fluorescence..

I. -

Spectrométrie

d’émission

avec _{excitation par fluorescence.}

,

A.

_Principe

de la

méthode

et étude

_théorique

des conditions

_{optima. -}

L’échantillon à

_analyser

est soumis

_{à-un rayonnement}

X dit «

_primaire

».

Ainsi

_excité,

_{il émet des rayons X de} « fluorescence _»,

qui

ne

_comprennent

_{que les raies}

_{caractéristiques}

des éléments

_présents

dans l’échantillon. Ces raies sont

_séparées

_par un

spectromètre,

et

l’on

mesure

leurs

_intensités,

_qui

sont fonctions des teneurs

correspondantes.

Il est _{nécessaire que} le

rayon-nement

_primaire

_{comprenne des} radiations

corres-pondant

à des

_énergies

un _peu

_{plus grandes}

_{que les}

énergies d’excitation

des raies considérées.

J’ai

_adopté

_{pour la} mesure de l’intensité relative

des raies le

_compteur

de

_Geiger,

_plus

sensible _{que la}

plaque photographique,

et

_qui

avait

_déjà

été utilisé par Mlle Cauchois

[1]

[3]

et _{par les chercheurs}

américains

_[2].

Le nombre N

_{d’impulsions}

fournies en un

_temps

donné par le

compteur

se _{compose :}

a. du nombre S

_(signal),

fonction de l’intensité de la raie

_étudiée,

donc fonction de la teneur en

l’élément à

doser,

qui

est ici le

zinc;

soit x pour 100

cette teneur;

b. du nombre n,

_{représentant}

ce _{que j’appellerai}

dans la suite : «

_rayonnement

parasite

». n

_{comprend :}

les rayons

cosmiques

et contaminations

actives donnant lieu au « mouvement _{propre »} du

_compteur;

la

diffusion

du

_{rayonnement primaire}

_{par les}

_pièces

de

_{l’appareil,}

l’air et le

cristal;

la fluorescence de ces mêmes

substances;

enfin la diffusion du

_rayonnement

_primaire

_par l’échantillon lui-même.

n _{n’est pas}

_{rigoureusement indépendant}

de x; mais _pour des échantillons ne _{différant que par leur}

teneur en

zinc,

que je supposerai

faible,

n varie très peu; en effet la différence entre les

_rayonnements

parasites

se réduit à la différence de la diffusion

(cohérente

et

_{incohérente)}

_{causée par} une faible

quantité

de zinc et la

_{quantité correspondante}

de

gangue; cette différence est

_négligeable

devant l’erreur

_statistique

commise sur n.

S est le nombre

intéressant

à

connaître;

pour un

échantillon ne contenant _pas de

zinc,

No

= _n;

ceci

_permet

de déterminer n _{par des} mesures

préli-minaires. La mesure avec l’échantillon à doser

donne

N,

et l’on en déduit

Le

_problème

est de connaître S avec la

_précision

la meilleure :

AS

,

doit être le

_plus

_petit

_possible.

S

On ne

_peut

_pas diminuer les erreurs

_provenant

de l’échantillon lui-même et des variations des condi-tions

d’excitation,

par une bonne construction de

l’appareil.

Je ne vais donc considérer ici que les

erreurs

_{statistiques :}

°’

et

AN et An

sont

les erreurs

probables

sur N et n

si a = 0,67

et

Posons

Pour un échantillon

donné,

en _{faisant varier les}

paramètres

pi déterminant les conditions

expéri-mentales,

on fait varier N et n ; il est intéressant

d’adopter

les valeurs des pi

qui

rendent y

minimum.

En

_particulier,

un calcul très

simple

_{montre que si}

le

_paramètre

étudié est l’intensité du courant i

traversant le tube à _rayons

X,

il y a intérêt à

_prendre

la

_plus

_grande

valeur de i

_possible.

ÉTUDE

DE L’INTENSITÉ DE LA RAIE DE FLUORES-CENCE. -

a. Si l’on considère un

_pinceau

de _{rayons X}

primaires,

filiforme,

_{monochromatique,}

d’intensité

_Io,

pénétrant

dans l’échantillon sous

_l’angle

« avec la normale à la

surface,

un

_point

M de son

_trajet

sera

le

_point

de

_départ

d’un faisceau de _rayons de

fluo-rescence, dont on ne

_peut

recueillir

_{qu’une partie :}

recueillons par

exemple

un _{rayon MR faisant} un

angle

[3

avec la normale

_(fig.

_{i); oc}

_{et p}

ne sont _pas

forcément dans le même

_plan.

Le _rayon

incident,

affaibli par

absorption,

a une

intensité en M

_égale

à

En traversant en M la couche de

_{profondeur z}

et

d’épaisseur

dz,

il s’affaiblit par effet

photoélectrique

de

To et Fo sont les coefficients d’affaiblissement total et

_{photoélectrique}

_pour le

_rayonnement

incident.

Fig. 1 .

Le

_rayonnement

de fluorescence _{émis par M dans}

la

_{direction p}

et dans

_l’angle

solide dw a l’intensité

d 11=-

dl C dw

0

4n

C est un coefficient de

rendement;

posons

C dw

= K.

A la sortie

_de

l’échantillon,

l’intensité du rayon de

fluorescence

est

T étant le coefficient d’affaiblissement total pour la

longueur

d’onde de fluorescence.

Ceci se

_produit

_pour tous les

_points

M situés entre A et

_B;

e étant

_{l’épaisseur}

de

l’échantillon,

l’intensité

du

_rayonnement

de fluorescence sortant dans la direction MR sera donc

L’exponentielle

est

_négligeable

si l’échantillon est suffisamment

_épais.

b.

’Considérons

maintenant un faisceau

parallèle

de

_rayonnement

_primaire,

et un faisceau

corres-pondant

de

fluorescence,

que nous _supposerons

parallèle;

supposons encore _pour

simplifier

_{que le}

Soient :

A la section droite ufite du faisceau

incident,

B la section droite du faisceau de

fluorescence,

C la surface utile de l’échantillon

et

Si le faisceau

_primaire

est

_{monochromatique}

et

homogène,

son intensité utile sera

_{!Jo = Alo,}

et l’intensité du faisceau de fluorescence :

A n’est défini que par a,

_p

et B

Si l’on

_néglige

les effets

secondaires, K

est propor-tionnel à x P,- , _pe et _{pzn étant les densités de}

l’échan-pzn

tillon et de l’élément à

doser.

Nous avons donc

pour un

_rayonnement

excitateur

_{monochromatique;}

or le

_rayonnement

réel est

_{polychromatique;}

nous

raisonnerons dans ce

_qui

suit avec des coefficients 14 et zo

_{correspondant}

à une

_longueur

_{d’onde moyenne}

de ce

_rayonnement.

, ,

-

est le coefficient

_massique

_{d’absorption}

si

P g

pour la gangue

Posons

et

N - n constitue une mesure de l’intensité :J, mesure

proportionnelle

à 3 si le

_compteur

fonctionne

nor-malement :

Suivant

que

l’absorption

de l’élément à doser est

plus

grande

ou

_{plus petite}

_{que celle de la gangue,} m est

_positif

ou

_négatif,

et la courbe

_{représentative}

de la fonction

₍₄₎

a sa concavité

_dirigéé

vers le haut

(cas

le- plus

favorable _{pour les} basses

_teneurs),

ou vers le bas. Les courbes

_{expérimentales}

données

par

Friedman

et

Birks

_[2]

pour le fer ont des formes

qui correspondent

à ces différents cas. Il est

impos-sible

de calculer m et _p, car on ne _{connaît pas la}

longueur

d’onde « _{moyenne »} du

_rayonnement

excitateur.

Le nombre .N fourni par le

compteur

ne donnera

une mesure fidèle de la teneur x _{que si la}

composi-tion de la _gangue, ou du moins son

_absorption

globale,

reste constante

Si l’on savait réaliser des couches très minces’ et

homogènes

d’échantillon,

on

_pourrait

se débar-rasser de cette

_sujétion;

en

effet,

l’équation (2)

se

simplifie pour

e

_{petit :}

1 est fortement

_réduit,

maij

l’absorption

de la

gangue

n’apparait plus,

du moins en

_première

Fig. 2. - - _Appareil utilisé pour la fluorescence

(protections enlevées).

approximation.

L’application pratique

de ce fait

est

_{particulièrement}

difficile dans le cas de substances

en

_{poudres; je}

ne l’ai pas tentée.

J’ai donc.

_employé

une

quantité

d’échantillon

telle que

l’exponentielle

de

_{l’équation (2)}

soit

négligeable,;

dans le cas de minerai de

zinc,

le calcul

conduit à une densité

_{superficielle}

minimum

d’envi-ron

_o,08

_g/cm2.

B.

_{Dispositif expérimental.}

- J’ai fait l’étude

d’un

_appareil

destiné à déterminer les meilleures conditions de

_dosage;

cet

_appareil

a été construit

à l’atelier du

Laboratoire

de Chimie

_physique

(fig. 2).

Il consiste en un

_{spectromètre}

à

_compteur

et à cristal courbé et

en-

un

ensemblè

_porte-tube

à _rayons

X,

porte-échantillon;

le tout est

_supporté

par un châssis

_métallique.

Il est

possible

de

séparer

les deux

_{parties, qui}

ne sont assemblées _{que par} deux

boulons,

si l’on veut

_employer

le

_{spectromètre}

pour un autre _usage.

Le

_{spectromètre}

est

utilisable par transmission

dépasser

5o cm; à

_chaque

_rayon

_correspond

un

support

de

_{porte-cristal}

amovible.

A la

_place

du

_compteur,

on

_peut

fixer un

porte-plaque

photographique. ,

’

Le

_{porte-tube-porte-échantillon}

est _{conçu de} telle sorte

_qu’il

soit

_possible

de faire varier dans de

, larges

mesures les conditions

_{géométriques}

de

l’exci-tation.

Le tube à _rayons X utilisé est ici un tube

Machlett

AEG 50

T, à

anticathode de

_tungstène

et

_{foyer large.}

Sa fenêtre

_(en

_béryllium)

est

_dirigée

vers le

_haut,

de manière à ce _que la face inférieure

de l’échantillon soit la face

_utile,

comme dans un

microscope

métallographique.

Les échantillons industriels se

_présentent

sous

forme

_{pulvérulente;}

il est donc

_possible

de les

_placer

dans des boîtes

_cylindriques

de 5o mm de

diamètre,

dont le fond est constitué _par une feuille de

cello-phane

mince

_transparente

aux _rayons

X;

l’agglo-mération

_préalable

est ainsi

_évitée,

et la durée totale du

_dosage

raccourcie. Le

_poids

total

d’échan-tillon

_employé

est de 10 à 1 5

_g.

Le

_générateur

haute tension est du

_type

Grei-nacher à tension

_constante;

il est

_complété

_par une

installation de

stabilisation :

a. Un stabilisateur

_{électronique}

d’intensité a

été fourni

_{gracieusement}

à titre d’essai par la maison

Chenaille,

de

Saint-Cloud;

la variation de l’intensité

passant

dans le tube à _rayons X est ainsi

pratiqué-ment nulle

_(inférieure

à

_{1/10 oooe).}

b. Pour

_corriger

les variations de tension du

sec-teur,

le

_poste

est raccordé à l’alimentation

géné-rale 220 V par l’intermédiaire d’un «

_Réguvolt

»

de V. Alter

_qui

abaisse les variations

_possibles

de 15 à i _pour i oo.

Immédiatement au-dessous du

_compteur

se trouve le

_{préamplificateur,}

_{relié par} un câble blindé au

meuble renfermant

_{l’amplificateur,}

les échelles

élec-troniques,

le

_générateur

haute tension du

_compteur,

les

_{stabilisateurs,}

le numérateur et

_{l’intégrateur.}

Je me suis servi tour à tour d’una installation

Philips

Norelco,

revissée à l’atelier du

_laboratoire,

et d’une installation entièrement construite au

laboratoire.

C.

Étude

des conditions

_optima

_pour le zinc.

- Le doublet Ka du

zinc,

de

_longueurs

d’onde

t432,2z

uX _pour

_Kocl

et

_1436,04

uX _pour

_Ka.2’

est

particulièrement indiqué

pour le

dosage

de cet

élément. La

_longueur

d’onde de la discontinuité K est de

_19-80,7

uX;

le

_rayonnement

excitateur issu d’une

_anticathode

de

_tungstène

sera

_{composé :}

des raies

_Ly

et d’une

_partie

des raies

_Lp

et du fond

continu,

de

_longueurs

d’onde

_comprises

entre ₉₀₀ et 1280 uX.

J’ai

_{opéré par}

_{transmission,}

_pour

_pouvoir

utiliser

une

_grande

surface d’échantillon.

Le

_principe

de la méthode étant

_posé,

on

_peut

faire choix d’un

_grand

nombre de

_paramètres

pour

la

_disposition

et le

_réglage

de

_{l’appareil;}

ce sont :

les conditions

d’excitation :

tension et intensité

(le

tube

_{à rayons}

X étant choisi à

l’avance);

le choix du cristal et du

_système

de

_plans

réflecteurs;

les conditions

_{géométriques;}

le

_type

du

_compteur

et l’ouverture de sa fente.

I p EXCITATION. -

La variation de y [formule (1)]

en fonction de la tension

_appliquée

au

_tube,

dans le cas où z =

o,5

_pour i oo, montre _{que, du moins}

jusqu’à

5o

_kV,

la tension la

_plus

élevée est la meil-leure. J’ai

_adopté

la valeur de

45

kV afin de ne _pas

fatiguer

le tube

_qui

ne

_supporte

_pas une tension

supérieure

à 5o kV.

J’ai dû limiter l’intensité du courant à ₉

mA,

par suite de la faible

puissance

du stabilisateur de tension.

Fig. 3.

2° CRISTAL. - Les cristaux

métalliques

étaient

particulièrement indiqués

ici en raison de leur

_grande

luminosité

_{[3]; j’ai}

donc

_employé

des monocristaux d’aluminium convenablement orientés

qui

avaient été obtenus -

par

recristallisation

après écrouissage

critique

- _au

Laboratoire

de Chimie

_physique

de la

Technische

_Hogeschoole

de Delft

_(Pays-Bas)

_[4].

Les

_plans

réticulaires

₍₁₁₁₎

étaient

perpendicu-laires aux faces. Dans ces

conditions,

le

_pouvoir

réflecteur d’un cristal est lié à son

_épaisseur

d par les

relations

et

1 est le chemin parcouru par le

_rayonnement

à

L’épaisseur optimum

est

_{telle que}

ij -

o, ce.

_qui

correspond

à 1

=- !..

La

_figure

3 donne les valeurs de a en fonction

de 1

_{pour À}

_=980,

1180

_{et 1630}

uX.

Pour les

_longueurs

d’onde

_supérieures

à i

Â,

’ l’épaisseur

optimum

est difficile à

_réaliser;

on

_peut.

toutefois

_prendre

une

_épaisseur

un _peu

_supérieure

sans

_perdre

_trop

de luminosité.

Le cristal finalement

_adopté

avait o,20 mm

d’épaisseur.

Le rayon de courbure R du cristal est lié à

,la

distance D entre le cristal et le

_compteur

_{par la}

relation

D’après

Marmier

_[5],

D

_optimum

est _{donné par} la

formule ,

ce

_qui

conduirait à une valeur

_optimum

_pour le _rayon de

courbure

avec :

6,

largeur

de la fente du

_compteur;

F,

ouverture du

cristal;

cr, coefficient de diffusion du

cristal;

a, facteur de réflexion du cristal.

J’ai fait le calcul dans le cas- d’un cristal

d’alu-minium d’ouverture F

_{= i,Q}

X 2,7

cm-,

la

largeur

de la fente du

_compteur

étant 0 = 1 mm; fj’ et « ont été évalués de

_façon

_{approchée :}

_pour

a

j’ai

supposé

le cristal « idéalement

imparfait » [6]. D’après

ce

calcul,

le rayon

optimum

serait voisin de 2 cm,

ce

_{qui signifierait}

_pratiquement

_que le _{rayon le}

plus

petit possible

est le meilleur. Comme

_je

ne

disposais

que de cristaux de 25 et de

4o

cm de _rayon,

je

les ai

_{comparés; j’ai}

obtenu de meilleurs résultats

avec

_le

_{rayon de} 25 cm, _que

_{j’ai adopté}

_{par la suite.}

3°

_{CONDITIONS GÉOMÉTRIQUES,}

-

Angles

de

l’échantillon avec les directions de

rayonnement

incident et

_émergent.

- La discussion de

l’équation (3),

en tenant

compte

du _{fait que} le faisceau

incident,

quoique plus

large

que la surface utile du

cristal,

n’a pas une

_largeur

illimitée,

conduit à

_placer

l’échan-tillon de manière à ce _que toute la surface du

cristal,

toute la fente du

_compteur

et tout le faisceau

incident

soient

_{complètement}

utilisés.

Cela a été confirmé par

_{l’expérience :}

la

_figure

₄

montre la

_{disposition qui}

_permet

d’obtenir la valeur

minimum pour y.

Distance de

l’échantillon à

la

_fen2tre

du tube.

-L’expérience

a

conduit

à

_approcher

le

_{plus possible}

l’échantillon de la fenêtre du tube

_(fig.

_4).

Distance de l’échantillon au cristal. -

Le

calcul

de

Marmier

_indiquait

une distance d entre l’échantil., Ion et le cristal telle _que

J’ai cherché

_{expérimentalement}

la valeur

_optimum

de d dans deux cas :

pour un cristal de mica courbé sous

_Qo

cm,

_j’ai

trouvé

pour un cristal d’aluminium de 25 cm _{de rayon,}

pour des

raison

d’encombrement,

il était

iinpossible

d’approcher

le

_{porte-échantillon}

à moins

de 106

mm

du

_cristal,

ce

_{qui correspondait}

à ’ xx

2,3;

pour

des valeurs de d

_supérieures

à _{06 mm,} la

_{fonction y}

Fig. 4. - Dosages de zinc par fluorescence : utilisations des faisceaux de _rayonnement X.

croissait avec

_d;

_j’ai

donc

_adopté

_{pour les}

dosages

d = 106 mm.

40

UTILITÉ D’UNE FILTRATION DU RAYONNEMENT

PRIMAIRE. - Le

rayonnement

parasite

est

_composé

pour la

plus grande partie

de

rayonnement primaire

diffusé par l’échantillon.

M’lé Cauchois

m’a

_suggéré

de diminuer l’intensité de ce

_rayonnement

_par

rap-port

au

_{rayonnement excitateur,}

de

_longueurs

d’onde

_plus

courtes,

en

_interposant

entre la fenêtre

du tube et l’échantillon un

_filtre,

_par

exemple

en

aluminium ou bien un filtre sélectif pour éliminer

la diffusion

_Compton.

Le calcul m’a conduit au résultat suivant :

En

_supposant

_que n est dû

uniquement à

du

rayonnement

diffusé de même

_longueur

d’onde que celle de la raie

observée,

un , filtre

non sélectif

n’est utile que pour des teneurs telles

que N

soit inférieur à un

certain.nombre,

ici

égal

à 2,7.

Les teneurs de zinc _{que j’ai} eu à doser étaient

telles que

je

n’ai pas eu besoin de filtre.

’

Compton,

et surtout du

_rayonnement

diffusé réfléchi

en second ordre par le cristal. Ce dernier

rayonnement

est certainement très intense : le

_rapport

_des pou-voirs réflecteurs des

_{plans (111)}

_de

l’aluminium en

second et

_premier

ordre est de 20 _{pour i oo,} et le

rayonnement

de second ordre est

_beaucoup

moins

absorbé par l’air et surtout _par le cristal.

D.

_Dosages

de zinc dans les stériles.

-1° COURBES D’ÉTALONNAGE. - J’ai

commencé par

étudier des échantillons «

_{synthétiques ))}

_composés

de sable de Fontainebleau et de

,sulfate

de

_zinc,

préparés

par les laboratoires de la Société « Minerais

et Métaux »;

puis,

_{pour r me}

rapprocher

des minerais

réels,

j’ai

formé des échantillons «

semi-synthé-tiques »

avec de la _{gangue de} Touissit

_(Maroc)

ne

contenant pas de zinc et de

_l’oxyde

de zinc.

Les courbes obtenues en

_portant

les résultats sur

Fig.5.

un

_{graphique bilogarithmique (fig.}

₅₎

sont _presque des droites pour des teneurs en zinc inférieures à

quelques

pour-cent,

et sont

_parallèles

sur une

_grande

partie

de leur

_longueur.

2° ESTIMATION DE LA PLUS PETITE

_QUANTITÉ

DE

ZINC DÉCELABLE. --

D’après

W.

J.

_Oosterkamp

_[7]

une raie est décelée avec certitude si son intensité

dépasse

le

_rayonnement

_parasite

de

_cinq

fois son erreur

_{probable statistiqùe.}

Dans le cas de

_mélanges

de sable et

de

sulfate de

zinc,

le

_rayonnement

_parasite

donne 2

260

_impulsions

(en

5 mn et _pour une intensité dans le tube de ₉

_mA).

La raie

_qui

aurait comme intensité

correspondrait

à o,002 pour i oo de

_zinc;

_pour une

intensité de 5o mA

_(intensité

maximum

_permise

par le

tube)

et 3 o mn de

_comptage,

la teneur limite deviendra

_2,6.10-8.

Pour

_des

échantillons

_naturels,

le

_rayonnement

parasite

donne 19

1 o

impulsion;

le même calcul conduit

à une teneur limite’ décelable _{de 0,007 pour 10oo pour}

9 mA et 5 mn de

_comptage

et de i. i o-5 _{pour 5o mA} et 3o mn, ceci bien entendu avec une tension et une

intensité

_qui

seraient

_parfaitement

bien

stabilisées..

30

ÉCHANTILLONS

D’ORIGINE INCONNUÈ. - On

ne _{connaît pas}

_{l’absorption}

de la gangue; il

faut

-effectuer une mesure de

_{comparaison :}

on

_peut

_par

exemple

mélanger

intimement m _grammes

_d’oxyde

de zinc en

_poudre

fine à M _grammes

d’échantillon;

la teneur totale en zinc

_pàsse

de x à x’ :

si x et m sont

_petits;

_pour x

_plus

_{grand, x}

sera déter-miné par

approximations

successives. 1

Pour de

_petites

teneurs en

_zinc,

on

_peut

considérer la courbe N =

f(x)

_comme

linéaire;

soient N _et N’

les nombres

_{correspondant}

à x et x’ :

n

_qui

varie très peu avec

_{l’absorption}

de la- gangue,

peut

être considéré comme connu avec assez de

précision;

pour les

dosages

d’échantillons

_naturels,

j’ai pris

n _{= 1910.}

J’ai étudié entre autres des stériles de minerais

originaires

de

_l’Afrique

du Nord. Pour

quelques-uns d’entre eux,

_j’ai

fait faire une

_analyse

de

contrôle par polarographie.

Dans le tableau 1 "’:

xu

_représente

la teneur en _{zinc donnée par les} usines

des Sociétés

_qui

ont fourni les

_{échantillons;}

xp le résultat de

l’analyse

de contrôle par

polaro-graphie ;

x, la teneur déterminée par fluorescence

X,

avec

deux mesures de 5 mn.

TABLEAU I,

Les valeurs déterminées _par

_{polarographie}

pou-vant être considérées comme les

_plus

exactes,

il est

probable

que les Xu relatifs aux échantillons du

Djebel

Semène sont entachés d’une erreur

syste-matique.

Le calcul d’erreur conduit à une

_précision

relative

sur xl

comprise

entre 5 est 10 pour oo; l’erreur réelle

_semble

être inférieure à cette valeur pour les

faibles teneurs en

_zinc,

et

_supérieure

pour les fortes

40 ÉCHANTILLONS

D’ORIGINE CONNUE. --- Le

_dosage

peut

alors être effectué avec une seule mesure; mais il faut

_{préalablement}

étalonner

_l’appareil

avec des échantillons de même

_origine

et de teneurs connues. Les résultats

_{x2 du}

tableau II sont

obtenus,

toujours

par deux mesures de 5 mn, en

_prenant

comme échantillon-étalon le no 1 de

_chaque

mine,

avec la teneur xu pour El Gréfa et xp pour Semène

et Touissit.

TABLEAU II.

1

Ces

_{quelques exemples}

montrent _que les résultats

obtenus par fluorescence X sont cohérents.

Quand

cela est

_possible,

il est bien

_préférable

de

procéder

en se reférant à des

échantillons-étalons,

surtout pour les fortes teneurs. ,

J’ai étudié brièvement l’influence des éléments constitutifs de la gangue, à l’aide d’échantillons

synthétiques

composés

de

calcaire,.

silice,

barytine,

pyrite

et blende. La

_figure

6 montre _par

_exemple

l’influence de la

_pyrite

sur une _gangue

_composée

uniquement

de

calcaire;

chaque

point

de ce

_graphique

a été obtenu _par une seule mesure de 5 mn.

Fig. 6.

E.

_Dosages

de

_plomb

dans

les

stériles.

-Les raies K du

_plomb,

les

_plus

_intenses,

sont de

longueurs

d’onde

_beaucoup

_trop

courtes _{pour être} utilisées dans l’installation dont

_je

_disposais.

La raie

_Lp,

_(À

=

g8o,24 uX)

est très voisine des raies

L92

(À

= 980,99

uX)

et

_Lgl.,

_(X

_{= 981,gi}

_uX).

Il m’est apparu

expérimentalement

qu’il

était

préfé-rable de faire les

_comptages

sur ce _groupe

_{Lp plutôt}

que sur la raie

_Lot,

_(À

=

1 1 72,7

uX).

J’ai

_opéré

avec exactement le même

_montage

_que

pour le

zinc,

de manière à

pouvoir

passer

rapidement

d’un

_dosage

à

_l’autre,

_quoique-ici

il eût été

proba-blement

_plus

_avantageux

d’utiliser un

tube

à

_rayonsX

à anticathode de

_{molybdène,. ’}

J’ai

_essayé

de réduire le

_rayonnement

_parasite

Fig. 7.

par

rapport

à la

raie,

en filtrant le

_rayonnement

primaire

par

quelques

dixièmes de millimètre

d’aluminium;

cela n’a _pas

_appôrté

d" amélioration,

probablement

par suite de la

présence

de

rayon-nement

_réfléchi

en second ordre _par le

_cristal;

_j’ai

donc fait toutes les mesures sans ce filtre.

J’ai tracé une courbe

_{d’étalonnage}

avec des

échan-tillons

_{synthétiques}

_composés

de sable de

Fontai-nebleau

et de

_galène

_{pulvérisée.}

Cette courbe

_{(fig. 7)}

a sa concavité

_plus

accentuée que

celle

relative au

zinc;

elle cesse d’être une droite à

_45,D,

un _{peu avant}

i _pour i oo de

_plomb.

1°

ÉCHANTILLONS

D’ORIGINE INCONNUE. -

L’in-terpolation

linéaire est ici _{très douteuse pour les}

teneurs .u eD

_{plomb supérieures}

à i pour 100; on

_peut

tourner la difficulté en

portant

sur la courbe

d’éta-lonnage- les

nombres N et N’

_{qui correspondent}

aux

teneurs u et u’ = _u

+ 8 u;

_{on en} déduit

et

Le tableau III est relatif aux mêmes échantillons

que

plus

haut.

uu est la teneur donnée par les usines des Sociétés

qui

ont fourni les

échantillons;

up est le résultat

d’une

analyse

de contrôle par

polarographie;

ue est le résultat d’une

analyse

de contrôle par

électrolyse;

ui est la teneur _{déterminée par} fluorescence X

et

_{interpolation}

_linéaire;

U2 est la teneur déterminée par fluorescence X et

au

par la formule Ho =

s u

.

A titre de vérification de la

méthode,

j’ai

d’autre

part

composé

un échantillon

_{semi-synthétique}

avec

du stérile de Touissit et du sulfure de

_plomb.

Par

fluorescence,

j’ai

trouvé ul =

_1,4s

et

u2 =

1,17; la teneur réelle était de 1,12 pour 10oo de

plomb.

2°

ÉCHANTILLONS

D’ORIGINE

CONNUE. «

La méthode de la courbe

_{d’étalonnage}

_peut

_{s’appliquer.}

Pour cette même série d’échantillons

_{nord-africains,}

j’ai pris

comme échantillons étalons : _pour la mine

du

_{Dj ebel - Semène,}

le n°

2,

pour El

Gréfa,

le n° 1,

et _pour

_Touissit,

le no

_1,

avec les teneurs ue,

qui

sont les

_{plus précises.}

Soit U3 la teneur _{déterminée par} cette méthode.

TABLEAU IV.

Ici encore, il est

_{probable qu’une}

erreur

systéma-tique

s’est

_glissée

dans les teneurs uu des échantillons d’ El Gréf a. *

La teneur limite au-dessus de

_laquelle

la méthode utilisant une mesure de

_{comparaison risque}

de donner des résultats erronés est ici inférieure à

i _pour i oo de

plomb.

Par

_contre,

si l’on

emploie

des

échantillons-étalons,

on arrive à des résultats

corrects;

ces résultats sont moins

_précis

_{que dans} le cas du

_zinc,

car à teneur

_égale

le nombre N est

plus petit

pour le

plomb

que pour le

zinc,

dans les conditions

_{d’expérience;}

cela est

dû,

mise à

_part

l’absence de raies du

_tungstène

dans la

_région

utile -du

_rayonnement.

_primaire,

au _{fait que les raies L}

sont naturellement moins intenses _{que les} raies K et ont un rendement de fluorescence moindre.

II. -

Spectrographie

d’émission

avec excitation

_cathodique.

Je n’ai _pu

_employer

la méthode

_qui

vient d’être décrite _{pour doser le}

_tungstène

dans des

stériles,

car

_je

ne

_disposais

_{pas de} tube à _rayons X

_qui

produise

un

_rayonnement

intense dans une _gamme

de

_longueurs

d’onde

_comprise

entre i o0o est 1 200

_uX,

et

_qui

_{n’émette pas les} raies du

_tungstène.

J’ai donc dû

_procéder

_{par la} méthode

_{classique [8]}

d’émission par excitation

cathodique.

Dans cette

_méthode,

l’échantillon est

_placé

en

faible

_quantité

_(de

l’ordre de 2 _cg ou

_moins)

sur

l’anticathode d’un tube à _{rayons X démontable.} Le

_rayonnement

issu du tube est

_analysé

_par un

spectrographe;

l’intensité de la raie choisie est mesurée par

photométrie. L’usage

d’une chambre d’ionisation ou d’un

_compteur

de

_Geiger

ne serait

pas intéressant

ici,

car le fonctionnement du tube n’est pas assez _{stable pour}

_permettre

des

mesures

correctes en _{peu de}

_temps.

Le

_problème

était de doser

_rapidement

des

quantités

de

tungstène comprises

entre o,02 et

0,15

pour 10o dans des stériles

_composés

princi-palement

de

_quartz

_accompagné

de

_pyrite,

_mispickel

et tourmaline.

J’ai été

_guidé

_{pour le choix de}

_{l’appareillage}

_par le travail de Mme Prévot

_[1]

sur le

xhénium,

élément voisin du

_tungstène.

Le tube à rayons X démontable était du

_type

Seeman. La fenêtre de sortie du

_rayonnement

était

constituée par une feuille d’aluminium de

_{I5 p}

d’épaisseur.

Comme

_je

ne

pouvais

_pas me servir

d’un filament de

_tungstène,

_qui

aurait distillé dans le

_tube,

_j’ai

_employé

une « cathode à

oxydés »

dont

le

filament,

en

_alliage

nickel-chrome,

était recouvert

d’une

_pellicule

_d’oxydes

alcalino-terreux.

La raie du

_tungstène

observée était la raie

Lai,

de

_longueur

d’onde

_1473,37

uX.

J’ai

_employé

comme cristal une lame de mica

courbée sous

_Qo

_cm;

ceci m’a

_imposé

la méthode

par

transmission;

en

effet,

la distance réticulaire

des

_plans

de

_clivage

du mica est

_trop

_grande

_pour

permettre

un

_réglage

commode du

_{spectrographe}

en _{travaillant par} réflexion.

Les

_plans

réticulaires

_(100),

donnant une

disper-sion d’environ

12,5

uX/mm,

m’ont fourni une assez

bonne luminosité.

Résultats. -

Étant

donné les

précautions

prises

pour assurer la

_{reproductibilité}

des

_dosages,

_la quan-tité minimum de

_tungstène

décelable n’est ici

_pas

inférieure à

_o,03

_pour I oo.

Un

_simple

examen visuel et la

_comparaison

avec

des clichés témoins

_permet

de doser des

_quantités

de

tungstène

inférieures à

0,15

pour 100 avec une erreur

absolue _{moindre que}

_o,03

_{pour I oo.}

III. -

Dosages

de zinc dans les

minerais

par

spectrométrie

d’absorption.

A.

_Principe

de la méthode utilisée. ---- J’ai

employé

la _{méthode par} «

_absorption

différentielle ».

Cette

méthode,

indiquée

par Glocker et

Frohn-mayer

[9],

a été utilisée par Moxnes [10] justement

dans le cas du zinc. L’intensité du

_rayonnements

était mesurée par une méthode

_{photographique.}

Voges

[11]

a

_remplacé

_{par la} suite la

_plaque

photo-graphique

par une chambre d’ionisation. Enfin

Mlle Cauchois et K. Mac

_{Taggart [12]}

ont utilisé

avec succès un

_{spectromètre}

à cristal courbé par

transmission

et un

_compteur

de

_Geiger

_pour observer

encadrant une

_{discontinuité,}

soit de deux bandes

étroites de fond

_continu;

ils ont

_indiqué

la_méthode de la « double fente » pour ces études.

Je

_rappelle

ici le

_principe

de la méthode : on mesure l’intensité de deux

_rayonnements

X

mono-chromatiques

de

_longueurs

d’onde

_{À1 et a2}

encadrant

une discontinuité

_{d’absorption}

de l’élément à doser.

Soient p

et p

les coefficients

_massiques

_{d’absorption}

correspondant

à

_{À1 et À2 ( fig.}

_8),

K le

_rapport

des intensités des

_rayonnements

_quand

l’échantillon

est

_interposé

sur leur passage, et

_{K o}

ce

_rapport

en

l’absence d’échantillon. S’il

_n’y

a _pas dans le

_produit

à

_analyser

d’autre élément dont une discontinuité

d’absorption

soit

_comprise

entre

_{1B1 et À2 et}

si ces

longueurs

d’onde sont assez

_proches

l’une de

l’autre,

Fig. 8.

la densité

_{superficielle}

m de l’élément cherché est

donnée _{par là}

relation-avec

Pratiquement,

si

l’on

donne à la constante

_Co

sa

valeur

_théorique,

on n’obtient pas de bons

_résultats;

il faut déterminer une constante _{C par des}

expé-riences

_{préliminaires.}

_Si

M est la masse _par

centi-mètre carré de

l’échantillon

et si x _{pour 10oo} est la

teneur en l’élément

cherché

et

B. CONDITIONS EXPÉRIMENTALES. - 1° DENSITÉ

SUPERFICIELLE OPTIMUM DE

L’ÉCHANTILLON.

-L’erreur absolue sur m est

car

_Ko

_peut

être connu >vec toute la

_précision

voulue. Si

_Ni

et

_N2

sont les nombres

_{d’impulsions}

fournies par le

compteur

.

L’erreur

_probable

_statistique

sur K est

avec

On en tire

Si m est très

_petit,

K est _{peu différent de}

_{K o;}

la

précision

absolue _{est à peu}

_près

_{constante pour} un

même

_temps

de

_comptage,

_{N 2}

_dépend

surtout de

l’absorption

de la gangue.

Il _y a intérêt à avoir -

âm

minimum.

Soit a le coefficient

_massique

_{d’absorption}

de l’échantillon _{pour À2’ et} soit

_{N o2}

le nombre

d’impul-sions

_{pour a2}

en l’absence de l’échantillon :

Posons

et

Quand

x est

donné,

k et b sont constants. La valeur

_Mopt

rendant minimum la

fonction I:1m

est,

,quand x

est

_petit,

c’est-à-dire b

_négligeable

quand

b n’est pas

négligeable,

on

_peut

calculer

approximativement Mopt qui

a une valeur

_comprise

entre 2 . a

entre - .1 -’ -

·

a a+2

Pour le zinc dont la discontinuité

_{d’absorption}

K

a _pour

_longueur

d’onde

_1280,7

uX,

si la _gangue est

composée uniquement

de calcaire :

et

si la _gangue est siliceuse :

et

Pratiquement,

pour de très grandes intensités de

rayonnement X,

il

_peut

_{y avoir}

_avantage

à

_augmenter

un peu

l’épaisseur des échantillons : pour des valeurs

de

N

_supérieures

à

_quelques

centaines par

seconde,

le

_compteur

ne fonctionne

_plus

convenablement.

Pour éviter de mettre en solution le

minerai,

j’ai

cherché à obtenir des

_agglomérés

_homogènes

de masse

_{superficielle}

_comprise

entre

o,05

et

0,1

g/cire.

J’ai

essayé

des liants divers :

colles, cires,

paraffine,

dissolution de

caoutchouc,

plâtre,

collodion,

résines naturelles ou

_{synthétiques.}

Les meilleurs

résultats ont été obtenus avec des

_poudres

à mouler :

par

mélange

de l’échantillon avec 20 _{pour Ioo} en

poids

de

_{méthyl-acrylate}

en

_poudre

fine

_polymérisé

40

sous

_{pression à i 7oo C,}

_{pendant 1o}

mn,

_j’ai

obtenu de

_{petits disques,}

de 20 mm de

diamètre,

assez solides

pour pouvoir être

_manipulés.

B.

_{Appareillage.}

- J’ai

employé

le

_{spectromètre}

et le

_porte-tube

à _rayons X décrits dans la

_première

partie

de ce

_travail,

en faisant

_pivoter

le tube de

manière à ce _que sa fenêtre soit

_dirigée

vers le cristal. Le

_compteur

était muni de deux

_fentes;

un cache

en

plomb

permettait

d’obturer alternativement

l’une ou l’autre. Ces

fentes,

de

o,25

mm de

_large,

étaient

_séparées

de

1,4

mm, ce

_qui

_{correspondait}

à.

un écart en

_longueur

d’onde de 25 uX.

Le _{calcul m’avait montré que,} pourvu que les fentes soient situées

_{complètement}

de

_part

et

d’autre

de la

discontinuité,

leur ouverture

_{n’apportait}

_{pas de}

perturbation appréciable;

mais que leur distance était

Fig. 9.

la cause d’une erreur due à la différence des coefficient

d’absorption

de la _gangue

_{pour al}

et

_X2.

Le

cristal, d’aluminium,

était courbé sous 25 cm

de rayon;

j’ai

utilisé les

_plans

réticulaires

_(111).

Pour éviter le

_rayonnement

réfléohi en ordre

supérieur,

j’ai

dû limiter la tension

_appliquée

au

tube à 16

_kV;

les variations relatives de tension étant

_{importantes, j’ai}

effectué des mesures alternées

de 2 mn sur

_{J01 et À2 et j’ai}

fait la _moyenne des résul-tats obtenus.

C. RÉSULTATS DES DOSAGES. - 1°

ÉTALONNAGE.

-

J’ai obtenu le

_point

0 avec du stérile de Touissit ne _{contenant pas de}

_zinc;

_pour avoir d’autres

_points,

j’ai

ajouté

à cet échantillon des feuilles de zinc

d’épaisseur

15 et _{25 p.} ce

_{qui correspondait}

à

I o,65,

1 7,75

et

_{I o,65 +}

_{17,75 ==}

_28,4

_{mg :} cm2. Ces

_expériences

_{préliminaires}

m’ont donné

20 Le tableau V est relatif aux résultats trouvés pour des stériles d’Italie et de

_{Sardaigne, ainsi que}

pour des échantillons

d’Afrique

du Nord

_déjà

dosés par fluorescence.

Xs est. la valeur trouvée _par

_absorption,

sans

correc-tion de l’erreur due à l’écartement des

fentes;

X4 est la valeur trouvée par

absorption

avec

correc-tion de cette erreur. TABLEAU V.

Pour les échantillons d’Italie et de

_Sardaigne,

il n’a pas été fait

d’analyse

de contrôle par une méthode sûre.

L’erreur absolue _{sur X4} est inférieure-à

o,5

pour 100

pour les basses teneurs. La méthode n’est en .tout état de cause

_acceptable

que

_{pour des} teneurs

supé-riepres

à 2 _{pour Ioo;}

mais,

même pour les fortes

teneurs,

la

_précision

est

_toujours

mauvaise. La durée

totale du

_dosage

est de l’ordre de 3o mn.

Conclusion. -

L’analyse quantitative

par émis-sion avec excitation

_cathodique

est essentiellement

une méthode de

_laboratoire,

nécessitant un

appa-reillage

compliqué

et des

_opérateurs

entraînés;

relativement

_longue,

délicate et _peu

sûre,

elle ne

doit être

_employée

_{que lorsque} les autres méthodes

se trouvent en défaut : par

_exemple

_pour

le

_dosage

de très faibles

teneurs,

ou

_quand

on ne

_dispose

_que

de très

_petites

_quantités

d’échantillons

_(quelques

milligrammes),

ou dans des cas

_{particuliers,}

comme

celui du

_tungstène.

La méthode avec _{excitation par}

_{fluorescence,}

_par

contre,

paraît

dès à

_{présent applicable}

industriel-lement ;

elle donne des résultats en

_quelques

_minutes,

avec une

_précision

relative de 5 à io pour Ioo;

l’appareillage,

assez

_simple,

_peut

être installé sur la

mine

_même,

et

_pourrait

dans un

_proche

avenir

être _{rendu presque} entièrement

_{automatique, pour}

doser simultanément

_plusieurs

éléments.

Pour les

_grandes

teneurs,

l’absorption

pourrait

rendre des

services;

dans le càs _{de minerais pauvres}

- et non

plus

de stériles - difficiles à mettre

en

solution,

donc à doser -par d’autres méthodes

(par

exemple

pour des minerais

silicatés),

et de

prove-nances les

_plus

diverses.

Ce travail a été effectué au Laboratoire de Chimie

physigue

de la Faculté des Sciences de

Paris,

sous la

direction de Mlle

Cauchois,

qui

m’en avait

_proposé

le

_sujet,

et

_qui

m’a si souvent aidé de ses bons conseils.

Je suis heureux de

_pouvoir

lui

_exprimer

ici,

ainsi

qu’à

M.

Bauer,

Directeur du

-laboratoire,

mes senti-ments les

_plus

sincères de reconnaissance.

Qu’il

me soit

permis de

remercier aussi les Sociétés

M.

Kahn,

Secrétaire

_général

de l’Union

_technique

des Minerais et Métaux bruts.

J’exprime

toute ma reconnaissance à M. le

Pro-fesseur W. G.

_Burgers,

ainsi

_qu’à

M. T. J.

Tiedema,

qui

m’ont accueilli avec tant de bienveillance au

Laboratoire de Chimie

_physique

de la

Technische

Hogeschoole

de

Delft;

ma

_gratitude

va

_également

à la Commission

_chargée

de

_{l’application}

de l’accord culturel franco-néerlandais

_qui

m’a

_permis

d’effectuer

ce

_stage

à Delft.

Manuscrit _reçu le ₁₉ novembre _1951.

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LES TRAJECTOIRES DANS LES L’ENTILLES

_{ÉLECTRONIQUES :}

UNE

MÉTHODE

D’APPROXIMATION

Par F. BERTEIN.

Sommaire. -

On sait que l’équation différentielle des _trajectoires de _{l’Optique électronique} ne

s’intègre commodément que dans un très _petit nombre de cas _{particuliers;} même _pour des _champs très

simples, le _problème de détermination de ces _{trajectoires exige l’emploi} de méthodes _{d’approximation}

(fractionnement en _{plusieurs sections,} construction point par point, etc.), méthodes _longues et se _prêtant

mal à une étude en _fonction des _{paramètres susceptibles} d’être mis en _jeu. Nous envisagerons ici une

méthode d’approximations successives offrant les caractères suivants : dans le cas des _champs de forme

simple elle fournit aisément les _trajectoires avec une _précision suffisante et, dé plus, sous une forme

analytique qui se _prête à l’étude* en fonction des divers _paramètres; d’autre part, l’obtention des _{approximations supérieures} ne _{présente pas} d’autre _{complexité que celle offerte par la résolution}

d’un _{système d’équations algébriques} linéaires.

LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM.

PHYSIQUE APPLIQUÉE.

SUPPLÉMENT AU NO 2.

TOME

_13,

FÉVRIER

_1952,

PAGE 41 A.

Position du

_{problème. -}

Prenons à titre

d’exemple

une lentille à trois électrodes de micros-cope

électronique;

elle crée un

_champ

dans la

région

de ces

_électrodes;

on notera

_v(z)

la fonction

_potentiel

correspondante prise

sur l’axe Oz de la lentille. Comme

_l’indique

la

_figure

i, la variation de cette

fonction est localisée sur un

_segment

de

Oz,

segment

qu’on définira par la suite par les abscisses

- et

+ I

pour

simplifier

l’écriture. Les

_régions

situées à

gauche

et à droite de cet intervalle sont

respecti-vement _{les espaces}

_objet

et

_image

de la lentille.

Une

_trajectoire

est _{déterminée par} son ordonnée

_s(z)

fonction de

l’abscisse

z. Nous nous limitons ici à

l’approximation

de Gauss et _{l’on sait que}

_s(z)

est reliée à

_v(z)

_par une

_équation

différentielle linéaire.

Le

_problème

de la lentille

_exige

_{que l’on} connaisse

la

_{correspondance}

entre les

_parties

_rectilignes

pré-sentées par cette

_trajectoire

dans les _espaces

_objet

et