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Lames piézo-èlectriques d’épaisseur non uniforme
Alexis Guerbilsky
To cite this version:
LAMES
PIÉZO-ÈLECTRIQUES
D’ÉPAISSEUR
NON UNIFORMEPar ALEXIS GUERBILSKY.
Laboratoire du Professeur
Langevin, École
dePhysique
et Chimie.Sommaire. 2014 Nous avons cherché à expliquer par une théorie simple les phénomènes qui se produisent
dans une lame de quartz à épaisseur non uniforme lorsqu’elle vibre en résonance suivant son épaisseur.
Cette théorie nous a permis d éliminer en grande partie les causes qui rendaient la courbe de
réso-nance d’une telle lame, très irrégulière et d’obtenir des résultats qui semblent être susceptibles d’applica-tions techniques, par exemple qu’aux filtres de bandes de haute fréquence, etc.
Considérons une lame de
quartz
piézo-électrique
àfaces
parallèles
vibrant suivant sonépaisseur.
D’après
les travaux deDyne(1),
cette lamepeut
êtrereprésentée
auvoisinage
de sa résonanceprincipale,
suivant sonépaisseur,
par la celluleéquivalente
repré-Fig. 1.
sentée sur la
figure
1 où la selfN,
lescapacités
Ko
et Ket la résistance S
dépendent
des dimensions de la lameet où la résistance S est
proportionnelle
à sonamor-tissement. La courbe de résonance de la lame à l’allure de celle de la
figure
2.Fig.2.
La
pointe a correspond
à la résonance du circuit NKSet la
pointe b
vers labase,
à la résonance du même circuit fermé sur lacapacité
Ko
ou à l’anti-résonancede la cellule
représentant
le cristal.(1) Dyim D. X. The Piezo-Electric quartz resonator and its
equi-valent electric circuit. Proc. Phys. Soc., 1926, 38, 399, 457.
La
fréquence correspondant
à lapointe a dépend
del’épaisseur
de la lame.Supposons
maintenant que cettelame n’ait
plus
ses facesparallèles,
maislégèrement
inclinées l’une par
rapport
à l’autre. On pourra laconsidérer,
dans ce cas, comme un nombre infini de résonateurs infinimentpetits,
chacun à facesparallèles
et
couplés
entre eux. La celluleéquivalente n’y
seraitplus
représentable
de la mêmefaçon
par un nombrefini d’éléments. La courbe de résonance serait
élargie
et
correspondrait
à une bande defréquence
déter-minée par l’ensembled’épaisseurs.
Pour déterminer l’allure
générale
de la courbe de résonance d’un telrésonateur,
il est nécessaire deprendre
en considération tout l’ensemble desphéno-mènes
complexes qui
entrent enjeu.
Fig.4.
Pour commencer, nous allons
interprêter
une courbe derésonance,
relevée àl’oscillographe,
d’une lame à faceslégèrement
inclinées l’une parrapport
à l’autre. Les armatures étant constituées parl’argenture déposée
sur ses faces
(fig.
3,
planche
p.164).
Fig. 5.
Cette courbe a été relevée dans les conditions
sui-vantes : le circuit était celui de la
figure
4. La self L et lacapacité
C constituent un circuit accordé sur la166
quence moyenne du
quartz Q.
On a relevé la tension aux bornes de ce circuitqui,
après
avoir étéredressé,
agissait
sur unoscillographe cathodique.
Onaperçoit
ungrand
nombre de maxima et de minimaqui
pour-raient êtreexpliqués
de lafaçon
suivante : Considérons(fig. 5)
la lame dequartz Q.
Pour unefréquence f ,
la lame entre en résonance localisée en a.Lorsque
lafré-quence
varie,
laplage
de résonance sedéplace
sur le cristal. Mais les déformations du cristal en aprovo-quent
une onde de déformationdirigée
lelong
de la lame. On voit sur lafigure
6 de laplanche
(photogra-phie
de la lameprise
en lumièrepolarisée),
laplage
principale
de résonance a et ungrand
nombre depoints
lumineuxcorrespondant
à l’onde sepropageant
le
long
du cristal.Considérons une de ces ondes. Elle se réfléchit sur
le bord B du résonateur et revieot en A avec une
cer-taine
phase.
Lorsque
lapointe
a, par suite des varia-tions de lafréquence,
sedéplace
lelong
de lalame,
laphase
due à l’onde de retourvarie,
cequi peut
expli-quer la
présence
de nombreux maxima et minima. Eneffet,
si ons’arrange
defaçon
àempêcher
les réflexions sur lapériphérie
de lalame,
la courbe de lafigure
3 setransforme en celle de la
figure
7(planche)
où lesnombreuses
pointes
sontsupprimées.
Pour
empêcher
ces réflexions sur lesbords,
on adéposé
sur ceux-ci de la matière absorbantequi
peut
être une colle ou un masticquelconque.
On a obtenu le même résultat endéposant,
en contact avec lebord,
une matière
qui
n’est pas nécessairementabsorbante,
mais
qui
prolonge
la lame à unelongueur
suffisante etd’une
façon irrégulière
de manière que l’onde ne seréfléchisse
plus
mais continue à se propager dans cettematière sans trouver de surface de réflexion. Pour
expliquer
lesirrégularités
de la courbe de lafigure
7,on
peut
tenircompte
de ce que la lame ne constitue pas un résonateurunique composé
par l’ensemble decristaux infiniment
petits,
en nombre infinimentgrand,
mais un ensemble de résonateurs constitués :1° Par
celui-ci,
et 2° par d’autres résonateurs ennombre fini
correspondant
aux autres résonances de lalame,
notamment celles suivant salongueur,
sa lar-geur, formation des ondes stationnairestransver-sales,
harmoniques
de flexion et de torsion.Le
problème
général présente
degrandes
difficultésau
point
de vuemathématique ; ainsi,
pour le casd’une lame à faces
parallèles,
un cas seulement sembleavoir été traité
(1)
où le nombre de résonateurscouplés
se réduit à deux.
Mais sans avoir
l’expression générale
dumouve-ment, on
peut
atténuer lesirrégularités
de la courbe enatténuant
méthodiquement
tontes les résonancespara-sites
possibles.
On arrive ainsi à la courbe de lafigure
8(planche) qui présente
unpalier
horizontal et les deux bordsabrupts.
Néanmoins,
pour obtenir cerésultat,
(1) ‘V. P. MASOx. Electrical wave filters employing quartz crystal as elements. The Bell Systenl, Technical Journal. July 1934, 452, p. 405.
il ne suffit pas de choisir les
proportions
de la lameau
hasard,
mais il fautremplir
certaines conditions.Fig. 9. ~
Considérons,
en effet(fig. 9)
la celluleéquivalente
d’une lame correctement
corrigée
aupoint
de vue de lasuppression
des résonancesparasites.
Chacune de cescellules élémentaires est
couplée
élasliquement
à la cellule voisine.Supposons
que lafréquence qui
agit
sur le résonateur varie et
atteigne
cellecorrespondant
à un bord extrême de la lame. Celui-ci se met en réso-nance et la courbe monterapidement
pour atteindre laFig. 10.
courbe A
(fig.
10).
Ensuite,
l’amplitude
reste constantejusqu’à
ce que lafréquence
atteigne
celle correspon-dant à l’anti-résonance dupremier
bord. Sur la celluleéquivalente,
cecicorrespond
àl’augmentation
del’im-pédence
de lapremière
cellule etl’amplitude
baisse dans uneproportion dépendant
de laproportion
de l’ensemble des cellules entrant simultanément enjeu,
et de leur amortissement.
Lorsque l’amplitude
atteint lepoint
B, elle reste constantejtsqu’à
unpoint
c, oùla résonance du
premier
bord a étédépassée
etl’impé-dence
augmente brusquement
au delà de la valeurcorrespondant
à l’absence de toute résonancejusqu’à
ce que l’anti-résonance du dernier élément ait été
dépassée.
Considérons maintenant
(fig. 91)
un circuit danscondensa-teur variable
Ci.
Lemontage comprend :
une bobine Laccordée par un condensateur
C,
shuntée par
lequart Q,
et le condensateur
Ci
en série. Le milieu de la bobineest relié à la terre et la
grille
d’un voltmètreamplifica-teur est relié au
point
entre lequartz
et leconden-sateur
Ci.
On estobligé
de déterminer lepotentiel
moyen de lagrille
par une résistance de fuite R.La courbe de la
figure
10 devient celle de lafigure
i ~. Les bordsOA, AB,
CD,
DEdépendent :
1° De l’amortissement des cellules
élémentaires;
21 De la résistance de fuite R.
En effet la
capacité
K étantcompensée,
les variations de la tension aux bornes de la résistance R nedépen-dent,
si nousnégligeons
les résistances de la bobineL,
que du courant dû à la variation de
l’impédance
duquartz
lorsqu’il
résonne.Fig, 12.
Si on considère le circuit du
quartz,
la résistance Rterre,
la moitié de la bobineL,
la résistance R entre ensérie pour la résonance d’une cellule élémentaire
quel-conque et en
parallèle
pour l’anti-résonance et c’est ellequi
détermine enplus grande partie
l’amortissementdans
chaque
cas. Si cette résonance estfaible,
les bordscorrespondants
sont peu affectés et ceuxcorrespon-dant à l’anti-résonance deviennent moins
abrupts.
Lorsque
la résonance R est trèsgrande,
il seproduit
l’effet contraire. Si on veut obtenir une courbe à
large
palier
horizontal et à bordsabrupts,
on doit donc : Il Convenablement choisir la résistance defuite ;
2° Il faut que lalargeur correspondant
auxpointes
a et c soit faible parrapport
à lalargeur
totale de la courbe.Ceci revient à choisir un
angle
entre les faces limi-tant le cristal suffisamment tgrand.
Cecicontribue,
encore pour une autre
raison,
àexagérer
lalargeur
dupalier
parrapport
à l’intervallecorrespondant
auxbords. En
effet,
si on considère(fig. 13)
une lame àangles
trèsfaibles,
laplage
de localisation de laréso-nance sera
grande
et,
pour une faible varialion de fré-quence, unepartie
de cetteplage dépassera
les bordsFig.13.
et
l’amplitude diminuera.
On nepeutpas
indiquer
d’unefaçon
précise
lagrandeur
de laplage
en fonction del’angle puisque
cettegrandeur
dépend
d’ungrand
nombre de
considérations,
comme on l’a vuplus
haut,
notamment de l’amortissement du
cristal,
mais ellepeut
être déterminée danschaque
cas soit par descon-sidérations
théoriques
assezlongues et
difliciles à déve-lopper, ou bien par l’examen de la lame en lumièrepo--arisée. Ainsi nous avons obtenu pour une lame de
1 mm
d’épaisseur
et de 8 cm delong
desplages
delocalisation de l’ordre de 1 mm.
En outre, si
l’angle
est suffisammentgrand,
nonseulement la
largeur
de laplage
augmente
parrapport
aux
pointes
dues àl’anti~résonance,
mais aussi cespointes
elles-mêmes deviennent moinsgrandes.
En effet l’ensemble des cellules élémentaires correspon-dant simultanément à l’antiréconance diminue etl’augmentation
de leurimpédence
due àl’anti-réso-nance affecte moins
l’impédence
totale de la lame. En choisissant convenablement tous les éléments entrant enjeu,
onpeut
obtenir des courbes presqueparfaites,
parexemple
celle de lafigure
14(planche)
correspondant
à une lame de0,86
mmd’épaisseur
suivant l’axe
électrique,
1 cm suivant l’axeoptique
et15 mm suivant l’axe
mécanique.
La résistance de fuite était de 30 000 Q. La différenced’épaisseur
extrême était de 4 p..Par
contre,
avec d’autreslames,
on a pu obtenir descourbes
représentées
sur lafigure
15(planche).
On voit que toutes ces courbespeuvent
être déduites de cellesreprésentant
le casgénéral
de lafigure
10 si on fait convenablement varier les différentsparamètres.
Les lames de
quartz
à faces nonparallèles
qui
viennent d’être décrites ont trouvé
quelques
applica-tions
techniques.
Notamment,
elles ontpermis
de réa-liser des relaisélectro-optiques
pour lesappareils
enregistreurs photographiques
de son, des modula-teurs de la lumière pour latélévision,
des filtres de bandes pour des courants de hautefréquence,
etc.Dans le cas d’un relais
électro-optique
la lame esttravers-sée par la lumière
polarisée
defaçon
que le faisceau lumineux traverse le cristal en rencontrantsuccessive-ment les endroits à différentes
épaisseurs.
Lorsque
le cristal est au repos on compense lessystèmes
defaçon
à obtenir l’extinction
complète. Lorsque
le cristal est168
haute
fréquence qui agit
sur le cristal est modulé a unecertaine
fréquence
tout se passe commes’il y
avait troisfréquences
enprésence,
lafondamentale,
la somme etla différence de la fondamentale et celle de modulation.
k°ig, 16.
Le cristal vibrera par
conséquent
en trois endroitscorrespondant
à ces troisfréquences.
Achaque
instant la différence de chemimoptique
seraégale
à la somme des trois différences dues aux trois endroits de vibration.Ces trois différences de chemin vont se composer par
conséquent
avec conservation de laphase
et la modu-lation seracorrectementreproduite.
On a réusside cettefaçon
à réaliser des modulations pour le cinéma repro-duisant correctement lesfréquences
allantjusqu à
30 KC cequi
est bien au delà de la gamme utile. Il estévidemment
possible
d’allerbeaucoup
plus
loin. Commeapplication
du filtre de bande on a réalisé des transformateurs de moyennefréquence pour
la T. S.F.,
par
exemple
à 460 KC dont la courbe deréponse
estreprésentée
sur lafigure
16. On voit que cette courbeest
supérieure
comme forme à la courbe d’untransfor-mateur habituel. Le
montage
utilisé est celui de lafigure
17(suivi
du transformateur habituel de....,....,
Fig, 17.
"""’
moyenne
fréquence)
qui
ne diffère de celui de lafigure
if que par le fait que la résistance de fuite de lagrille
estremplacée
par un circuit accordé. Ceci estutile pour améliorer le
gain
del’étage
par le fait que lacapacité
d entrée de la lamepeut
êtreimportante
parrapport
à celle duquarlz
et,
par l’utilisation d’un circuitaccordé,
elle se trouvecompensée
et onpeut
obtenir une
impédence
d’entréegrande
parrapport
à celle duquartz.
Je tiens à renouveler mes remerciements chaleureux à Monsieur le Professeur P.
