Devoir à la maison n

Terminale générale – Mathématiques expertes septembre 2020

Devoir à la maison n

1

À rendre le vendredi 18 septembre 2020

1. Soit m∈Z. Montrer que si 3 divise 4m alors 3 divise m.

2. Déterminer les racinesr₁ et r₂ du trinôme X²−6X+ 4 (avec r₁ < r₂).

3. On pose, pour tout n∈N, u_n=r₁ⁿ+rⁿ₂. a. Calculer u₀, u₁ et u₂.

b. Montrer que, pour tout n ∈N,u_n+2 = 6u_n+1−4u_n.

c. Montrer que, pour tout n ∈ N, u_n ∈ Z. On pourra raisonner par récurrence en considérant, pour tout n∈N, la proposition P_n : «u_n etu_n+1 sont des entiers ».

d. Démontrer que, pour toutn ∈N, 2ⁿdiviseu_n. On pourra raisonner comme en question 3.c..

4. On pose, pour tout n∈N, v_n=u_2n et w_n =u_2n+1.

a. Démontrer par récurrence que, pour tout n ∈N,w_n est un multiple de 3.

b. Montrer que, pour tout n ∈N^∗, si 3 divisev_n alors 3 divise vn−1

En déduire que, quel que soit n ∈N, v_n n’est pas un multiple de 3.

5. (facultatif) Existe-t-il un entiern tel que 5 divise un?

Terminale générale – Mathématiques expertes septembre 2020

Devoir à la maison n

1

À rendre le vendredi 18 septembre 2020

1. Soit m∈Z. Montrer que si 3 divise 4m alors 3 divise m.

2. Déterminer les racinesr₁ et r₂ du trinôme X²−6X+ 4 (avec r₁ < r₂).

3. On pose, pour tout n∈N, u_n=r₁ⁿ+rⁿ₂. a. Calculer u₀, u₁ et u₂.

b. Montrer que, pour tout n ∈N,u_n+2 = 6u_n+1−4u_n.

c. Montrer que, pour tout n ∈ N, u_n ∈ Z. On pourra raisonner par récurrence en considérant, pour tout n∈N, la proposition Pn : «un etun+1 sont des entiers ».

d. Démontrer que, pour toutn ∈N, 2ⁿdiviseu_n. On pourra raisonner comme en question 3.c..

4. On pose, pour tout n∈N, v_n=u_2n et w_n =u_2n+1.

a. Démontrer par récurrence que, pour tout n ∈N,w_n est un multiple de 3.

b. Montrer que, pour tout n ∈N^∗, si 3 divisev_n alors 3 divise vn−1

En déduire que, quel que soit n ∈N, v_n n’est pas un multiple de 3.

5. (facultatif) Existe-t-il un entiern tel que 5 divise u_n?