Examen écrit d’algèbre
Premier bachelier en sciences mathématiques, Deuxième bachelier en sciences physiques,
septembre 2014
Consignes:
• Répondre à des questions différentes sur des feuilles distinctes et numérotées comportant chacune vos nom et prénom. Rendre au moins une feuille par question (même en cas d’abstention). Il est attendu que les réponses fournies soient clairement justifiées.
La clarté, la rédaction et la justification des réponses fournies intervien- nent dans la cotation de l’ensemble de l’examen.
• Fin de l’examen à12h00(partie commune uniquement) –13h00(partie commune + partiel).
Bon travail !
1. On considère la matrice
A= 1 3
8 + 2α 2α −2 + 2α
−1−α 6−4α 1−7α
−1 + 2α 2α 7 + 2α
a) Calculer le polynôme caractéristique deA et vérifier que les valeurs propres de A sont 2et 3.
b) Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre α ∈ C, la matrice A est-elle diagonalisable ?
c) Quand A est diagonalisable, fournir une matrice inversible S telle que S−1AS soit diagonale. Fournir la matrice S−1AS correspon- dante.
d) Quand A n’est pas diagonalisable, quelles réductions à la forme de Jordan sont envisageables ?
2. Vrai–Faux. Justifier à chaque fois votre réponse par une preuve (énoncer un résultat théorique du cours peut suffire) ou un contre-exemple explicite.
a. Toute matrice hermitienne est unitaire.
b. Les matrices de C77 ayant χ(x) = (x−3)2(x−5)4(x+ 7) et
M(x) = (x−3)(x−5)2(x+7), respectivement comme polynôme ca- ractéristique et minimum, à permutation de blocs près, n’ont qu’une réduction possible à la forme normale de Jordan.
c. Un polynôme à coefficients réels possède au moins un zéro réel.
d. Toute matrice de R33 possède une valeur propre réelle.
e. Le polynôme P100
j=0zj possède un zéro de module au moins 3.
3. Soient deux vecteurs deR3 considéré comme R-vectoriel,
u1 =
1 0
−1
etu2 =
0 2 3
.
On considère une application linéaire T deR3 dans R3 telle que T u1 =
2 1 0
etT u2 =
1 0 1
.
a) Choisissez un vecteur u3 tel que U = (u1, u2, u3) soit une base de R3 (on gardera cette base tout au long de l’exercice). Dans cette base, donnez
ΦU(T u1) etΦU(T u2).
b) Soit l’ensemble E formés des vecteurs v ∈ R3 tels que T u3 = v et que le rang deT vaut2. Exhiber un élément appartenant à E. Cet ensemble est-il un sous-espace vectoriel ? Si oui, quelle en est sa dimension ?
c) Choisissez un vecteur wtel queT u3 =wetT est un isomorphisme.
d) Si
T u3=
5 3
−1
,
représenter matriciellement T dans la base U et donner une base du noyau de T.
4. Décomposer en fractions simples surCla fraction rationnelle suivante 1
x(x−1)2.
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⋆ Matière du partiel (uniquement 1BM)
5. Etudier le rang de la matrice suivante, en fonction du paramètre λ ∈C,
1 2 λ 2 2 λ −1 3λ λ λ 3 0
6. Calculer Mn, pour tout entier n∈N, où
M =
1 2 0 0 1 2 0 0 1
.
