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èmeCours – Initiation au raisonnement déductif
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1. Les règles du débat mathématique
En mathématiques, pour savoir si un énoncé est vrai ou faux, on utilise certaines règles.
En voici quelques-unes :
(1) Un énoncé mathématique est soit vrai, soit faux
(2) Des exemples qui vérifient un énoncé ne suffisent pas pour prouver que cet énoncé est vrai.
(3) Un exemple qui ne vérifie pas un énoncé suffit pour prouver que cet énoncé est faux. Cet exemple est appelé un « contre – exemple ».
(4) Une constatation ou des mesures sur un dessin ne suffisent pas pour prouver qu’un énoncé de géométrie est vrai.
2. Les règles du débat mathématique
En mathématiques on utilise souvent des énoncés de la forme « si …. alors ….. »
Dans ces énoncés, l’expression qui est entre « Si » et « alors » est appelée la condition de l’énoncé et l’expression qui suit « alors » est appelée la conclusion.
Exemple : Si deux droites sont perpendiculaires alors elles sont sécantes.
La condition de l’énoncé ci-dessus est : « deux droites sont perpendiculaires » ; sa conclusion est : « elles sont sécantes »
La réciproque de l’énoncé ci-dessus est :
Si deux droites sont sécantes alors elles sont perpendiculaires. Cet énoncé est faux
On trouve la réciproque d’un énoncé en inversant la condition et la conclusion de cet énoncé.
Attention : La réciproque d’un énoncé vrai n’est pas toujours vraie. Par exemple, l’énoncé ci-dessus est vrai mais sa réciproque est fausse.
3. Contre-exemple
Pour un énoncé de la forme « si …. Alors …. « , un contre-exemple est un cas qui vérifie la condition et qui ne vérifie pas la conclusion.
Exemple : Pour l’énoncé « Si un nombre est divisible par 5 alors il se termine par 5 », 10 est un contre-exemple car :
Il vérifie la condition : 10 est divisible âr 5 ;
Mais il ne vérifie pas la conclusion : 10 ne se termine pas par 5 L’énoncé est donc faux.
Condition Conclusion
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4. Propriétés de géométrie à connaître
a) Droites :
D1 : Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.
D2 : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.
D3 : Si deux droites sont parallèles et si une troisième est perpendiculaire à l’une alors elle est perpendiculaire à l’autre.
b) Médiatrice :
M1 : Si une droite est perpendiculaire à un segment et passe par son milieu alors c’est la médiatrice de ce segment.
M2 : Si une droite est la médiatrice d’un segment alors elle est perpendiculaire à ce segment et passe par son milieu.
c) Losange :
L1 : Si un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur alors c’est un losange.
L2 : Si un quadrilatère est un losange alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux et d) Rectangle :
R1 : Si un quadrilatère a quatre angles droits alors c’est un rectangle.
R2 : Si un quadrilatère est un rectangle alors il a quatre angles droits..
e) Carré :
C1 : Si un quadrilatère a quatre côtés de même longueur et un angle droit alors c’est un carré.
C2 : Si un quadrilatère est un carré alors il a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur.
5. Méthodes
a) Prouver qu’un énoncé mathématique est faux Il suffit de trouver un contre-exemple.
Exemple : « Quel que soit le nombre choisi, s’il est divisible par 3 alors il est divisible par 6 » Cet énoncé est-il vrai ou faux ?
9 est un contre-exemple de cet énoncé ; en effet 9 est divisible par 3 ( 9 = 3 x 3 ) mais il n’est pas divisible par 6, donc cet énoncé est faux.
b) Prouver qu’un énoncé de géométrie est vrai
En géométrie, faire des observations et prendre des mesures ne permettent pas de prouver qu’un énoncé est vrai.
Pour prouver qu’un énoncé de géométrie est vrai, il faut raisonner en utilisant les données du problème, des définitions et des propriétés.
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3 Exemple : ABC est un triangle. Tracer la hauteur issue de A,
elle coupe (BC) en H. Tracer la droite (d) perpendiculaire à (BC) passant par C.
Prouver que (AH) et (d) sont parallèles.
Rédaction de la démonstration :
On sait que (AH) est perpendiculaire à (BC), par définition de la hauteur d’un triangle.
On sait que (d) est perpendiculaire à (BC) (données).
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles (propriété) Donc (AH) et (d) sont parallèles (conclusion).
c) Prouver qu’un énoncé sur des nombres est vrai
Des exemples ne permettent pas de prouver qu’un énoncé sur des nombres est vrai. Pour prouver qu’un énoncé sur des nombres est vrai, il faut souvent utiliser des calculs littéraux.
Exemple : Voici la recette d’un « cocktail mathématique » : Prendre un nombre,
Ajouter 6 à ce nombre, Multiplier le résultat par 3,
Soustraire le triple du nombre de départ
(c'est-à-dire le nombre de départ multiplié par 3).
Prouver que, quel que soit le nombre choisi au départ, on obtient toujours le même nombre 18.
Soit x le nombre de départ.
Appliquons, la « recette » à ce nombre :
Prendre un nombre x
Ajouter 6 à ce nombre x + 6
Multiplier le résultat par 3 (x+6) x 3
Soustraire le triple du nombre de départ (x + 6) x 3 – 3x
Simplifions cette expression à l’aide des propriétés de la distributivité : (x+6) x 3 – 3x = 3x + 18 – 3x = 18
On trouvera donc toujours 18, quel que soit le nombre choisi au départ.
