Revue des Energies Renouvelables CER’07 Oujda (2007 205 – 208
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Prédiction numérique d’un écoulement turbulent sur une marche montante chauffée
Z. Bouahmed et A. Mataoui *
1 Laboratoire de Mécanique des Fluides, Faculté de Physique,
Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène, B.P. 32, El-Alia, Bab Ezzouar, Alger, Algérie
Résumé - L’écoulement turbulent abordant une marche montante est un problème physique très complexe qui intéresse l’industriel. Cette configuration génère deux zones de recirculation à modéliser numériquement. Notre étude a pour but d’examiner le champ dynamique et thermique de cet écoulement par une méthode des volumes finis aux variables primitives avec un maillage non uniforme structuré et décalé pour les composantes de la vitesse. Un modèle de turbulence de fermeture en un point a été adapté pour la résolution du système des équations du mouvement moyennées. Pour la validation de cette simulation, pratiquement tous les résultats ont été comparés à l’expérience.
1. INTRODUCTION
L’écoulement au voisinage d’une marche montante génère deux zones de recirculation qui ont un rôle très important dans le mécanisme turbulent et énergétique. Ce type d’écoulement se trouve dans plusieurs domaines, tel que : l’environnement, l’électronique et l’aéronautique.
La marche montante a été peu étudiée par rapport aux autres types de marche à cause de la complexité de sa structure (soit en écoulement turbulent ou laminaire). Parmi les chercheurs qui se sont intéressés à la marche montante :
- Abu-Mulawah [1], Zhang [2],…, ont effectué une simulation numérique.
- Moss et Baker [3] ont entrepris une étude expérimentale, que l’on a utilisée comme base de données pour les comparaisons de nos calculs.
- Taulbee et al. [4] ont fait un calcul analytique.
2. PROCEDURE DE CALCUL
Pour la présente étude, on a considéré un écoulement stationnaire, bidimensionnel et turbulent avec des propriétés thermophysiques constantes pour un fluide Newtonien, incompressible et non pesant.
Les équations du mouvement sont déduites dans différents principes de conservation.
Equation de conservation de la masse en régime incompressible x 0
U
j j =
∂
∂ (1)
Equation de conservation de la quantité du mouvement
−
∂ ν∂
∂ + ∂
ρ
∂
− ∂
∂ =
∂
j i j i j i
j i
j u u
x U x P x x
U U (2)
Equation de conservation de l’énergie
− θ
∂ α∂
∂
= ∂
∂
∂
j j j j
j u
x T x x
U T (3)
* amataoui@usthb.dz
Z. Bouahmed et al.
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Les équations (2) et (3) font apparaître des corrélations doubles uiuj et uiθqui nécessitent une modélisation pour fermer le système.
2.1 Modélisation de la turbulence
Le modèle k−ε à fort nombre de Reynolds à deux équations basé sur le concept de viscosité turbulente de Prandtl - Kolmogrov est utilisé. Les tenseurs des tensions de Reynolds (uiuj) et celui des corrélations vitesse - température (uiθ) sont reliés à ceux du champ moyen par la relation de Boussinesq :
∂ +∂
∂ ν ∂
=
− δ
i j j i t j i j ,
i x
U x u U
u 3 k
2 (4)
y ui t T
∂ Γ ∂
=
θ (5)
= ε νt µ 2
C k et
t Pr
t t
= ν
Γ (6)
Les quantités turbulentes (l’énergie cinétique k et la dissipation ε) sont déduites à partir de leurs équations de transport correspondantes (7) et (8) :
( )
−ε
σ + ν ν + +
ν
= ,i
k j t
, i i , j j , i
t U U U k
t d
k
d (7)
( )
ε
σ + ν ν ε + + ε +
ν ε =
ε
ε ,i
k t 2
2 j , i i , j j , i t
1 U U U C k
C k t d
d (8)
où Cµ=0.09, Cε1=1.44, Cε2=1.92.
Pour toutes les parois de la marche, la loi logarithmique de la couche limite turbulente (thermique et dynamique) ont été mises en œuvre.
2.2 Procédure numérique
Les équations du mouvement moyen et fluctuant sont résolues par la méthode numérique de volumes finis aux variables primitives. Le couplage vitesse-pression est réalisé par l’algorithme SIMPLE Patankar [5]. Le terme source doit être de forme linéaire pour la stabilité de la solution.
2.2.1 Conditions aux limites
Toute variable transportable Φ peut représenter : la vitesse longitudinale ( U ), la vitesse normale ( V ), l’énergie cinétique (k ), le taux de dissipation de k (ε) ou la température (T ).
La frontière AF : Un profil de couche limite thermique et dynamique est imposé à l’entrée.
Les frontières AB, BC et CD : Les conditions d’adhérence à la paroi sont adaptées suivant les directions correspondantes : T = Tp, Φ = 0.
La frontière DE : Frontière libre verticale, on impose ∂Φ ∂x = 0, V = 0.
La frontière EF : Frontière libre horizontale, on impose ∂Φ ∂y = 0, U = U0, V = 0, T0
T = .
2.2.2 Maillage
Un maillage structuré non uniforme de 80 x 60 cellules, relativement serré près des parois de la marche pour prendre en compte les effets visqueux est adapté (Fig. 2).
CER’2007: Prédiction numérique d’un écoulement turbulent sur une marche… 207 3. RESULTATS
Les deux zones de recirculation sont mises en évidences par les lignes de courant calculées présentées dans la figure 3. Ces zones de recirculation sont caractérisées par les distances de rattachement Xs , Xa , XR .
Ces résultats ont été comparés et sont similaires à ceux de plusieurs travaux antérieurs : Moss et Baker [3], Zhang [2], Taulbee et al. [4]. Le coefficient de pression calculé est également comparé aux mesures de Moss et Baker [3] (Fig. 4). On constate un bon accord entre les deux prédictions. Des valeurs optimales du coefficient de pression C (p
( )
2 0 ref p
p 12 U
P C P
ρ
= − ) au
voisinage de la paroi verticale sont visibles justifiant le freinage du fluide dans cette région. Au delà de ces points de stagnation, on note une valeur asymptotique relativement faible.
Fig. 1: Conditions aux limites Fig. 2: Le maillage
Fig. 3: Lignes de courant Fig. 4: Coefficient de pression Dans la figure 5, on remarque que les niveaux de température augmentent dans les zones de recirculation. L’évolution du nombre de Nusselt local en fonction du nombre de Reynolds dans la deuxième zone de recirculation est illustrée dans la figure 6. Quelque soit le nombre de Reynolds, le nombre de Nusselt Nu ( y y
(
Tp T0)
1 y
Nu T
0 −
∂
− ∂
=
=
) atteint un maximum exactement au point de rattachement puis diminue en amont. On remarque aussi lorsque le nombre de Reynolds augmente la valeur optimale du nombre de Nusselt augmente aussi. Ce phénomène a été également observé par H.I. Abu Mulaweh [1], I. Yilmaz et al. [6] (Fig. 6).
4. CONCLUSION
L’écoulement en amont d’une marche montante chauffée a été étudié numériquement. Les résultats obtenus comparés à l’expérience mènent aux remarques suivantes :
- Deux zones de recirculation ont été mises en évidence par les lignes de courant.
Z. Bouahmed et al.
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- Au voisinage des deux points de stagnation la pression est maximale, ceci se justifie par le décollement du fluide des parois correspondantes.
- L’effet du chauffage de la marche permet de confirmer que dans les zones de recirculations les niveaux de température augmentent.
- Le nombre du Nusselt augmente en fonction du nombre du Reynolds et le maximum est toujours atteint au point de rattachement.
Fig. 5: Isothermes Fig. 6: Evolution du nombre de Nusselt en fonction du nombre de Reynolds NOMENCLATURE
Xs Distance de rattachement en amont de la marche, m
P Pression
T Température, K U I Composantes de la vitesse
Tp Température de la paroi, K C p Coefficient de pression
T0 Température du fluide ambiant, K Pref Pression de l’écoulement extérieur
l Largeur de la marche P p Pression de la paroi
Xa Distance de rattachement sur la paroi verticale, m
XR Distance de rattachement en aval de la marche, m
Nu Nombre de Nusselt k Energie cinétique turbulente
Symboles grecs ε Taux de dissipation
θ Température réduite ν Viscosité du fluide
6. REFERENCES
[1] H.I. Abu-Mulaweh, B.F. Armaly and T.S. Chen, ‘Measurements of Turbulent Mixed Convection Flow over a Vertical Forward-Facing Step’, in : ASME Proceedings of the Summer Heat Transfer Conference, Las Vegas, Nevada CD-ROM, 2003.
[2] C.X. Zhang, ‘Numerical Predictions of Turbulent Recirculating Flows with a k -ε Model’, Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, Vol. 51, pp. 177 – 201, 1994.
[3] W.D. Moss and S. Baker, ‘Recirculating Flows Associated with Two–Dimensional Steps’, Aeron. Quart, Vol. 31, pp. 151 – 172, 1980.
[4] D.B. Taulbee and J.M. Robertson, ‘Turbulent Separation Analysis a Head of a Step’, Trans. ASME. J. of Basic Eng., Vol. 94, N°3, pp. 544 - 550, 1972.
[5] S.V. Patankar, ‘Numerical Heat Transfer and Fluid Flow’, Series in Computational Methods in Mechanics and Thermal Sciences, Hemisphere Publishing Corporation, 1980.
[6] I. Yilmaz and H.F. Oztop, ‘Turbulence Forced Convection Heat Transfer over Double Forward Facing Step Flow’, International Communications in Heat and Mass Transfer, Vol. 33, pp. 508 – 517, 2006.
