Sujet de Thèse
• Titre : Méthodes particulaires modulées et ordres élevés.
• Unité de recherche : IRMAR, UMR-6625
• Thème : Analyse numérique
• Mots clefs : Equations aux dérivées partielles, équations de transports, équations cinétique, mécanique des fluides, calcul scientifique
• Les noms, prénoms, courriel, établissement des directeurs ou directrices de thèse
1. Erwan Faou. Erwan.Faou@inria.fr. INRIA & IRMAR
2. Nicolas Crouseilles. Nicolas.Crouseilles@inria.fr. INRIA &
IRMAR
Objectif de la thèse
Les méthodes particulaires sont extrêmement utilisées pour approcher des équations aux dérivées partielles issues de théories cinétiques (équations de Vlasov) ou fluides (Euler, Navier-Stokes). Si elles semblent particulièrement adaptées à la résolution numérique d’équations de transport nonlinéaires, elles souffrent néanmoins de désavantages liés à une representation statis- tique assez grossière de la solution [4]. A l’opposé, de nombreuses méthodes numériques existent qui sont d’ordres et de degrés de précision potentielle- ment élevés mais sont limitées par leur coût numérique à des systèmes de basses dimensions.
L’idée principale de ce sujet de thèse est d’étudier des méthodes inter- médiaires où la représentation de la solution est plus complexe et plus riche qu’une représentation particulaire en somme de Dirac, mais plus facile à ma- nipuler qu’une discrétisation complète sur une grille fixe. Cette approche hybride où la solution est représentée par des solutionsmoduléess’inspire de travaux théoriques récents qui ont fait leurs preuve en mécanique des flu- ides compressibles [3] mais aussi en mécanique quantique [2]. L’application de ces techniques de modulation à des problématiques numériques est très prometteuse, en particulier dans la dérivation de nouveaux schémas mod- ulés d’ordres élevés de type particulaires (la solution est somme de bulles modulées, dans l’esprits des méthodes de Trefftz). Elle pourrait avoir de
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nombreuses applications, en lien avec la simulation de solutions singulières, ainsi que pour la simulation d’ondes périodiques KEEN apparaissant dans les équations de type Vlasov [1], et enfin pour des problèmes en grande di- mension.
Une forte composante implémentation sera nécessaire, sur des problèmes de dimension assez élevées (3D, 4D en cinétique) demandant un réel in- vestissement en codage (méthodes PIC, semi lagrangienne, méthodes de ré- ductions de variance en grande dimension, etc...). A terme l’implémentation des nouvelles méthodes dans la biliothèque SELALIB [5] est envisagée.
References
[1] B. Afeyan, F. Casas, N. Crouseilles, A. Dodhy, E. Faou, M. Mehren- berger and E. Sonnendrücker,Simulations of Kinetic Electrostatic Elec- tron Nonlinear (KEEN) Waves with Two-Grid, Variable Velocity Reso- lution and High-Order Time-Splitting. EUR. Phys. J. D 68 (2014) 295
[2] E. Faou and P. Raphaël, On weakly turbulent solutions to the perturbed linear Harmonic oscillator. arxiv.org/abs/2006.08206, 2020.
[3] F. Merle, P. Raphaël, I. Rodnianski and J. Szeftel,On the implosion of a three dimensional compressible fluid, arxiv.org/abs/1912.11009, 2020.
[4] E. Sonnendrücker, Numerical Methods for the Vlasov-Maxwell equa- tions, Springer 2015.
[5] http://selalib.gforge.inria.fr/
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