Feuille d’exercices III

Universit´e Paris 7 Denis Diderot L3Math-Info (Alg`ebre et g´eom´etrie) 2009-2010

Feuille d’exercices III

Exercice 1 Soient 𝐺 un groupe fini et 𝑉 un espace vectoriel de dimension finie sur ℂ. On suppose que Φ :𝐺×𝑉 →𝑉 est une action lin´eaire sur𝑉. Autrement dit, pour tout𝑔∈𝐺, l’application𝑣7→𝑔𝑣:= Φ(𝑔, 𝑣) estℂ-lin´eaire.

1) Pour tout𝑔∈𝐺, soit𝜌𝑉(𝑔) l’endomorphisme de𝑉 qui envoie𝑣en𝑔𝑣. Montrer que 𝜌𝑉 est un homomorphisme de groupes de𝐺vers GL(𝑉).

2) Montrer que, pour tout 𝑣 ∈ 𝑉, le sous-espace vectoriel engendr´e par orb(𝑣) est stable par l’action du groupe𝐺.

3) On dit que Φ estirr´eductiblesi𝑉 ∕= 0 et si les sous-espaces vectoriels de𝑉 stables par l’action du groupe sont pr´ecis´ement 0 et𝑉. Montrer que, si𝑉 est irr´eductible, alors𝑉 = Vect_ℂ(orb(𝑣)) quel que soit𝑣∈𝑉,𝑣∕= 0.

4) Soit⟨,⟩un produit hermitien sur𝑉. Montrer que, la fonction complexe sur𝑉 ×𝑉 d´efinie par

⟨𝑣₁, 𝑣₂⟩_Φ:= 1

∣𝐺∣

∑

𝑔∈𝐺

⟨𝑔𝑣₁, 𝑔𝑣₂⟩

est ´egalement un produit hermitien sur𝑉.

5) Montrer que⟨,⟩Φest invariant par l’action de𝐺. Autrement dit, on a⟨𝑔𝑣1, 𝑔𝑣2⟩Φ=

⟨𝑣1, 𝑣2⟩Φquels que soient𝑔∈𝐺et 𝑣1, 𝑣2∈𝑉.

6) En d´eduire que, si 𝑊 est un sous-espace vectoriel de 𝑉 qui est stable par l’action du groupe 𝐺, alors il en est de mˆeme de son suppl´ementaire orthogonal 𝑊^⊥ par rapport `a ⟨,⟩Φ.

7) Montrer qu’il existe des sous-espaces𝑉1,⋅ ⋅ ⋅, 𝑉𝑟dans𝑉 qui sont stables par l’action de𝐺, irr´eductibles, et tels que

𝑉 =𝑉₁⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕𝑉_𝑟.

Exercice 2 Soit𝐺un groupe fini. On appellerepr´esentationde𝐺les donn´ees d’un es- pace vectoriel de rang fini𝑉 surℂainsi qu’une action lin´eaire de𝐺sur𝑉 (not´ee (𝑔, 𝑣)7→

𝑔𝑣). La repr´esentation est diteirr´eductiblesi l’action du groupe est irr´eductible. Si𝑉1

et 𝑉2 sont deux repr´esentations de 𝐺, on d´esigne par Hom𝐺(𝑉1, 𝑉2) l’ensemble des applications lin´eaires de𝑉1 vers𝑉2 qui pr´eservent l’action de𝐺. Autrement dit,

Hom_𝐺(𝑉₁, 𝑉₂) :={𝑓 ∈Hom(𝑉₁, 𝑉₂)∣ ∀𝑔∈𝐺,∀𝑣∈𝑉₁, 𝑓(𝑔𝑣) =𝑔𝑓(𝑣)}

1) Soient𝑉1et𝑉2 deux repr´esentations de𝐺. Montrer que Hom𝐺(𝑉1, 𝑉2) est un sous- espace vectoriel de Hom(𝑉1, 𝑉2).

2) Montrer que l’application 𝐺×Hom(𝑉1, 𝑉2) → Hom(𝑉1, 𝑉2), qui envoie (𝑔, 𝑓) en 𝑣7→𝑔𝑓(𝑔⁻¹𝑣), est une action lin´eaire du groupe 𝐺. V´erifier que Hom𝐺(𝑉1, 𝑉2) est le sous-ensemble des ´el´ements invariants par𝐺.

3) Soient𝑉1 et𝑉2 deux repr´esentations irr´eductibles de𝐺. Montrer que la dimension de Hom𝐺(𝑉1, 𝑉2) est ou bien 0 ou bien 1. En outre, Hom𝐺(𝑉1, 𝑉2) est non-nul si et seulement s’il existe un isomorphisme de𝑉1vers𝑉2 qui pr´eserve l’action du groupe 𝐺.

4) En d´eduire que, si𝑉1 et 𝑉2 sont deux repr´esentations irr´eductibles de𝐺telles que dim(𝑉1)∕= dim(𝑉2), alors Hom𝐺(𝑉1, 𝑉2) ={0}.

Exercice 3 Soit𝐺un groupe fini. Pour toute repr´esentation𝑉 de𝐺, on d´esigne par 𝜒𝑉 :𝐺→ℂl’application telle que 𝜒𝑉(𝑔) = Tr(𝜌𝑉(𝑔)), o`u 𝜌𝑉(𝑔) est l’endomorphisme de𝑉 qui envoie𝑣en𝑔𝑣. Cette application sera appel´ee lecaract`erede𝑉.

1) Soit𝑉 une repr´esentation de𝐺. Montrer que la fonction𝜒𝑉 est unefonction centrale sur𝐺. Autrement dit, pour tousℎ, 𝑔 ∈𝐺, on a

𝜒_𝑉(ℎ𝑔ℎ⁻¹) =𝜒_𝑉(𝑔).

D´eterminer la valeur de𝜒_𝑉(1).

2) Montrer que, si𝑉 est une repr´esentation de𝐺, alors𝜒_𝑉(𝑔⁻¹) =𝜒_𝑉(𝑔) quel que soit 𝑔∈𝐺.

3) Montrer que, si𝑉 est une repr´esentation de rang 1 de𝐺, alors𝜒_𝑉 est un caract`ere lin´eaire de𝐺.

4) Soient𝑉₁et 𝑉₂deux repr´esentations de𝐺. Montrer que 𝜒_{Hom(𝑉1,𝑉2)}(𝑔) =𝜒_𝑉1(𝑔)𝜒_𝑉2(𝑔).

Exercice 4 Soit 𝐺 un groupe fini. Si 𝑉1 et 𝑉2 sont deux repr´esentation de 𝐺, on d´esigne par𝑀 : Hom(𝑉1, 𝑉2)→Hom(𝑉1, 𝑉2) l’application lin´eaire qui envoie 𝑓 en

𝑣7−→ 1

∣𝐺∣

∑

𝑔∈𝐺

𝑔𝑓(𝑔⁻¹𝑣).

1) Soient 𝑉1 et 𝑉2 deux repr´esentations irr´eductibles de 𝐺 avec Hom𝐺(𝑉1, 𝑉2) = 0.

Montrer que, pour tout𝑓 ∈Hom(𝑉1, 𝑉2), on a𝑀(𝑓) = 0.

2) Soit𝑉 une repr´esentation irr´eductible de𝐺. Montrer que, pour tout𝑓 ∈Hom(𝑉, 𝑉), 𝑀(𝑓) est une homoth´etie de rapport Tr(𝑓)/dim(𝑉).

3) Soient 𝑉 une repr´esentation irr´eductible de 𝐺 et 𝜑 une fonction centrale sur 𝐺.

On d´esigne par𝜌𝑉 :𝐺→GL(𝑉) l’homomorphisme de groupes correspondant `a la repr´esentation𝑉. Montrer que

∑

𝑔∈𝐺

𝜑(𝑔)𝜌𝑉(𝑔) = 1 dim(𝑉)

∑

𝑔∈𝐺

𝜑(𝑔)𝜒𝑉(𝑔)Id𝑉.

Exercice 5 Soit 𝐺 un groupe fini. Soient 𝐶(𝐺) l’ensemble des fonctions centrales complexes sur𝐺et𝐼(𝐺) l’ensemble des caract`eres des repr´esentations irr´eductibles de 𝐺.

1) Montrer que𝐶(𝐺) est un sous-espace vectoriel deℂ^𝐺.

Dans les questions suivantes, on munit𝐶(𝐺) du produit hermitien

⟨𝜑, 𝜓⟩:= 1

∣𝐺∣

∑

𝑔∈𝐺

𝜑(𝑔)𝜓(𝑔).

2) Montrer que, si𝑉1et𝑉2sont deux repr´esentations irr´eductibles telles que Hom𝐺(𝑉1, 𝑉2) = 0, alors⟨𝜒𝑉₁, 𝜒𝑉₂⟩= 0.

3) Montrer que, si𝑉 est une repr´esentation irr´eductible, alors⟨𝜒𝑉, 𝜒𝑉⟩= 1.

4) Montrer que l’application Φ :𝐺×ℂ^𝐺, qui envoie (𝑔, 𝑓) enℎ7→𝑓(ℎ𝑔), est une action lin´eaire du groupe𝐺.

5) En d´eduire que toute fonction centrale orthogonale `a 𝐼(𝐺) est nulle.

6) En d´eduire que𝐼(𝐺) est une base orthonorm´ee de𝐶(𝐺).