E542 : Le temps des cerises
2010 cerises sont réparties dans un certain nombre de paniers.
1) on choisit le ou les paniers qu'on veut garder, on retire les autres avec les cerises qu'ils contiennent 2) on retire des paniers conservés, quand il y en a plusieurs, autant de cerises que nécessaire pour que chacun de ces paniers contienne le même nombre de cerises.
Le but de ces choix est de maximiser en fin d'opération le nombre total de cerises dans les paniers restants.
Si l'on a 2010 cerises au départ, quel est le plus grand nombre total qui peut être obtenu par le meilleur choix, quelle que soit la répartition initiale des 2010 cerises ?
Soit N le nombre de cerises et n le nombre de paniers; classons les paniers par nombre décroissant de cerises : il y a xk cerises dans le panier k avec x1≥...≥xk>...>xn
et ∑xk=N. Si l’on retire les n-k paniers contenant le moins de cerises, on obtient à la fin k paniers contenant xk cerises, soit kxk cerises. Le choix est optimal si kxk est le plus grand possible.
La configuration la plus défavorable est donc celle qui minimise m=Sup(kxk).
La plus grande valeur de N que l’on peut atteindre pour m fixé est alors donnée par N=∑[m/k] , la sommation étant étendue aux n=m valeurs non nulles, en notant [ ] la partie entière. Ainsi pour m=335, N=1996 et pour m=336, N=2016.
Pour N=2010, on peut donc obtenir un minimum de 336 cerises, quelle que soit la répartition initiale.
