2 Champ de vecteurs

Calcul tensoriel et Opérateurs di¤érentiels

J.SAAB

ISSAE - Cnam Liban 17 juin 2019

Résumé

Dans ce article on introduit la notion de calcul tensoriel et calcul ex- térieur tout en présentant un point de vue mathématique et physique.

Les opérateurs di¤érentiels sont calculés selon le type de repère dé…ni au voisinage d’un point, on présente le cas d’un repère global et le cas d’un repère local mais orthonormé. Le chagement de repère permet d’étudier le lien entre les paramètres tensoriels dans les deux repères.

1 Dérivée Directionnelle

Soit f : Rⁿ ! Rⁿ une fonction de classe C¹. Soit (p; v) 2 Rⁿ Rⁿ un vecteur tangent enpàRⁿ c’est à dire tangent enpà une courbe cdeRⁿ:

c: ] "; "[ !Rⁿ; p=c(0) La dérivée directionnelle def dans la direction dev_p est

vp(f) = Xn i=1

vⁱ:@f

@xⁱj^p

Noter qu’en cours de géométrie on omet d’utiliser le symboleP

pour désigner la somme lorsque nous avons la somme des produits et on met à sa place l’indice de l’un en haut et de l’autre en bas, par exempleai:bⁱouaⁱ:1

bⁱ désigne la somme.

Attention : La dérivée directionnelle de f dans la direction de vp n’est autre que la dérivée def le long d’une courbe intégrale devp et cette dérivée ne dépend pas du choix de la courbe. En e¤et, soit(c)une courbe intégrale de vp c’est à dire (c)est une courbe de classeC¹qui véri…e

c(0) = p c⁰(0) = v_p

Observons cette application composée

c: ] "; "[ ! Rⁿ t ! (c¹(t); ; cⁿ(t))

# f R Nous avons

d(f c)

dt j⁰ = @f

@xⁱj^p:dcⁱ dtj⁰

= vⁱ:@f

@xⁱj^p

= vp(f) Exemple 1 Soit

f : R² ! R

(x; y) ! x²y y²+x p= (1;1); v_p= (1; 1) =~i ~j:Nous avons :

vp(f) = @f

@xj^p:v¹+@f

@yj^p:v²

= (2xy+ 1)p (x² 2y)p

= 4

Nous proposons de refaire ce calcul autrement : cherchons une courbe intégrale devp:

c: R ! R²

t ! (X(t); Y(t)) telle que

c(0) = p c⁰(0) = v_p Nous obtenons

8<

:

dX

dt = 1

dY

dt = 1

donc X = t+a

Y = t+b

Aussi,(X; Y)(0)=p= (1;1) donc(a; b) = (1;1) et la courbe intégrale devp est X = t+ 1

Y = t+ 1

D’autre partf c(t) = t³ 2t+ 4t+ 1 et(f c)⁰₍₀₎= 4:

Remarque 2 La dérivée de f(x; y) dans la direction de~i = (1;0) n’est autre que ^@f_@x et dans la direction de~j= (0;1) est ^@f_@y:

2 Champ de vecteurs

L’espace tangent enpàRⁿ est notéT_pRⁿ=f vecteurs tangents enpà une courbe deRⁿgdonc cet espace n’est autre queRⁿ:L’espace tangent àRⁿ noté TRⁿ est :

TRⁿ =f(p; v_p)= p2Rⁿ; v_p2T_pRⁿg donc c’est espace n’est autre queRⁿ Rⁿ=R²ⁿ:

Dé…nition 3 On appelle champ de vecteurs de classec^r, une application c^r : X: Rⁿ ! TRⁿ=R²ⁿ= [

p2RⁿTpRⁿ p ! Xp2TpRⁿ=Rⁿ

L’ensemble des champs de vecteurs qui sontC¹ sur Rⁿ est noté par (Rⁿ):

Remarque 4 un champX2 (Rⁿ)peut être vu comme un opéateur di¤ érentiel X : C¹(Rⁿ) ! C¹(Rⁿ)

f ! X(f)

avec

X(f) : Rⁿ ! R p ! X_p(f)

c’est à dire la dérivée directionnelle def dans la direction de Xp: Exemple 5 Soit le champ surR²:

X: R² ! R⁴

(x; y) ! ((x; y);2x²y ~i (x+y)~j) et soitf(x; y) = ln(xy): Nous avons :

X(f) = 2x²y@f

@x (x+y)@f

@y

= 2xy x+y y pour tout (x; y)6= (0;0):

Remarque 6 Un point ptel queXp=~0 est dit point singulier deX

Notation 7 Nous citons deux raisons pour exprimer un vecteur tangent ou un champ de vecteurs sous la forme

v_p = aⁱ: @

@xⁱjp; aⁱ2R X = Xⁱ(x) @

@xⁱ; x2Rⁿ etXⁱ(x)2C¹(Rⁿ)

au lieu de les exprimer comme il est de coutume par

v_p = aⁱ:e_i; aⁱ 2R;fe_igla base canonique de Rⁿ X = Xⁱ(x):ei; x2Rⁿ et Xⁱ(x)2C¹(Rⁿ)

d’abord parce qu’un vecteur tangent enpest vu comme un opérateur di¤ érentiel au pointpet le champ est un opérateur di¤ érentiel en un point génériquex2Rⁿ mais aussi parce que cela dépend du système de coordonnées utilisé et qui fait changer la base deRⁿ. Nous allons expliquer plus tard les lignes de coordonnées mais nous proposons d’éclaircir ceci maintenant en donnant un exemple surR²: LorsqueR² est muni de ses coordonnées catrésiennes (x; y) alors en …xantxet varianty nous obtenons une droite verticale passant par le point M(x; y)et en

…xanty et variant xnous obtenons une droite horizontale passant parM(x; y):

Ces lignes sont dites les lignes de coordonnées et si vous cherchez une tangente sur chacune de ces lignes vous allez trouver les vecteurs constants(1;0)et(0;1):

Ces vecteurs sont obtenus comme suivant : OM! = x ~i+y ~j

@OM!

@x = ~iet @OM!

@y =~j Ainsi !

OM =x _@x^@ j^M+y _@y^@ j^M:

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0.1 0.2 0.3 0.4

x y

M

Lorsque nous munissons R² aux coordonnées polaires (r; ) alors à r …xé et variable nous obtenons des arcs et à …xé etrvariables nous obtenons des demi droites issues de l’origine et ces lignes (arcs et demi droites) sont les lignes de

coordonnées. Le plan tangent en un point M à R² est porté par les vecteurs tangents à cette demi droite [OM]et à cet arc d’angle qui dé…nit le point M ainsi une base deT_{(r; )}R² est f_@r^@ jM; _@^@ jMg

En résumé un champ de vecteurs s’exprime en coordonnées cartésiennes par X =X¹(x; y):ex+X²(x; y):ey

et en coordonnées polaires

X =X¹(r; ):e_r+X²(r; ):e mais le plus légitime c’est :

X = X¹(x; y): @

@x+X²(x; y): @

@y X = X¹(r; ): @

@r+X²(r; ):@

@

3 Changement de variable

Si f :Rⁿ !Rⁿ est une appliactionC¹ dont le jacobien au point pest de déterminant non nul alorsf est dit changement de variable local, dans le sens quef est inversible au voisinage dep:Si ce déterminant est non nul pour tout p2Rⁿ alorsf est un changement de variable global.

Si f est un changement de variable local au voisinageU depalorsf induit une application linéaire

f : (U) ! (f(U)) telle quef X= (@fⁱ

@x^j):X; la matrice(@fⁱ

@x^j)i; j=1 n est le jacobien def:

Exemple 8 Nous considérons le champ X =x_@x^@ +y_@y^@ 2 (R²)et soit l’ap- plication

': ]0;+1[ ]0;2 [ ! R²

(r; ) ! (x=rcos ; y=rsin ) 1. Montrer que 'est un chamgement de variable

2. ExprimerX en coordonnées polaires Solution 9 1. Nous avons

jD'(r; )j= cos rsin

sin rcos =r6= 0

donc'représente un changement de variable deR²privé du demi axeox sur R²

2. Soit Y =a(r; )@

@r+b(r; )@

@ tel que' Y =X:Nous avons cos rsin

sin rcos

a

b = x

y Nous trouvons

a = rcos 2

b = 0

et parsuiteX en coordonnées polaires estX=rcos(2 )@

@r:

Remarque 10 Sif est un changement de coordonnées local autour dep2Rⁿ et si fe1; ; eng est une base de TpRⁿ alors ff ;pe1; ; f ;peng est une base deT_f(p)Rⁿ:

On rappelle quelques évidences de l’algèbre linéaire, siV 2TpRⁿ =Rⁿmuni de la base canonique

V =V¹e1+ +Vⁿen

Les composantes(V¹; ; Vⁿ)sont les coordonnées deV dans la base feig: Si on change de repère (base) alors les composantes deV dans cette nouvelle base sont

V⁰ =P ¹V oùP est la matrice de passage defe_ig àff e_ig:

A…n de bien insister sur ce point on propose d’exprimer le champ de gradient en coordonnées polaires : On considère le champ de vecteurs

rf = gradf =@f

@x

@ x+@f

@y

@

@y

le champ de gradient associé à une fonction scalairef(x; y)et exprimer en coor- données cartésiennes(x; y)deR²:En e¤et, soit 'l’application de changement de variable

'(r; ) = (x=rcos ; y=rsin ) On a

' er=' (@

@r) = cos rsin sin rcos

1

0 = cos

sin c’est à dire

' ( @

@r) = cos @

@x + sin @

@y et

' e =' (@

@ ) = cos rsin sin rcos

0

1 = rsin rcos donc

' (@

@ ) = rsin @

@x+rcos @

@y et pour avoir une base orthonormée deT_{(r; )}R² on pose

er = ' (_@r^@ )

jj' (_@r^@ )jj = cos @

@x + sin @

@y e = ' (_@^@ )

jj' (_@^@ )jj = sin @

@x+ cos @

@y

Il est claire que< er; e >= 0:Le matrice de passage defex; eygà fer; e gest

P= cos sin

sin cos et son inverse

P ¹= cos sin sin cos

ainsi 8

>>

<

>>

:

ex = P ¹ 1

0 = cos er sin e ey = P ¹ 0

1 = sin er+ cos e

Soitg(r; ) =f(rcos ; rsin ) =f '(r; ): Par la règle de chaîne on a 8>

<

>:

@g

@r = cos ^@f_@x+ sin ^@f_@y

@g

@ = rsin ^@f_@x+rcos ^@f_@y

donc 8

><

>:

@f

@x = ¹_r[rcos ^@g_@r sin ^@g_@ ]

@f

@y = ¹_r[rsin ^@g_@r + cos ^@g_@ ]

et …nalement

rf = @f

@xex+@f

@yey =@g

@rer+1 r

@g

@ e :

4 Tenseurs covariants - Produit tensoriel

Dé…nition 11 SoitEun e.v,E est l’e.v dual. On appellep tenseur covariant ou 0

p tenseur surE, toute application multilinéaire

t:E E

pfois

| {z }

!R

L’ensemble des tenseurs 0

p sur E se note par ⁰_pE;ainsi ⁰₁E=E et par convention ⁰₀E=R:Le triplet( ⁰_pE;+; :)est unR-e.v pour les lois

(t₁+t₂)(X₁; ; X_p) = t₁(X₁; ; X_p) +t₂(X₁; ; X_p) ( :t)(X1; ; Xp) = :t(X1; ; Xp)

Dé…nition 12 (Produit tensoriel) Soits2 ⁰pEett2 ⁰qEon dé…nit le produit tensoriel des ett comme étant un élément de ⁰_p+qE donné par

(s t)(X1; ; Xp; Y1; ; Yq) =s(X1; ; Xp):t(Y1; ; Yq) Remarque 13 1. ( ) = ( )

2. 6=

3. ( + ) = +

4. ( + ) = +

4.1 Base et dimension de

E :

Soit fe1; ; eng une base de E et soit f ¹; ; ⁿg la base duale de E , c’est à dire ⁱ(ej) = ⁱ_j. Il en vient que si

X = Xn i=1

Xⁱ:ei 2E

alors ^j(X) =X^j:Pour éviter de s’embrouiller avec les indices, nous proposons de chercher une base de ⁰_pElorsque p= 2:Soitt2 ⁰2E ;nous avons

t(X; Y) = t(Xⁱe_i; Y^je_j)

= XⁱY^jti j

oùti j=t(ei; ej)2Rpour tousietj: Ainsi

t(X; Y) = t_{i j} ⁱ(X): ^j(Y)

= (ti j i j

)(X; Y) D’où

t=t_{i j} ^{i j}

et la famillef ^{i j}gi; j=1 n engendre ⁰₂E: D’autre part, si t_{i j} ^{i j} = 0 alors pour tousX; Y on a(t_{i j} ^{i j})(X; Y) = 0:En prenant X =e_i, Y =e_j nous obtenonst_{i j} = 0pour tousi et j, doncf ^{i j}gi; j=1 n est une famille libre et pasuite c’est une base de ⁰₂Eet dim ⁰₂E=n²:

Proposition 14 La famille f ^{1 p}g¹ i n est une base de ⁰_pE et dim ⁰_pE=n^p:

4.2 Changement de base :

Soitf :E !E un isomorphisme d’e.v et soientfeiget f"i =f(eiggdeux bases deE. Considérons le case oùt2 ⁰2E c’est à dire

t:E E !R

une application bilinéaire avect(e_i; e_j) = t_{i j}: La matrice associée à t dans la basefe_ig est

T = 0 B@

t11 t1n

... . .. ... tn1 tnn

1 CA

On sait que t(X; Y) =^t X:T:Y: Soit t("i; "j) = t^"_{i j} dont la matrice dans la base f"_ig est notée T^": On voudrait exprimer T^" en fonction de T pour voir le changement de coè¢ cients du tenseur t avec le changement de base : Soit X 2E; X =Xⁱ:e_i =X⁰ⁱ:"_i et soitP =P_ei!"i la matrice de passage de fe_ig à f"_ig:Nous avons

X⁰ =P ¹X Il en vient que

t(X; Y) = ^tX:T:Y = ^tX⁰:T^":Y⁰

= ^t(P X⁰):T:P:Y⁰

= ^tX⁰:^tP:T:P:Y⁰

et par comparaison avec la première ligne, nous trouvons que T^"= ^tP:T:P

Exercice 15 Véri…er que lorsquep= 1alorsT^"=T:P:

4.3 Tenseur de métrique

En physique, on rencontre l’expressionx y; x; y2E. En faitx y2 ⁰2E et les physiciens s’intéressent à la matrice des coè¢ cientsx_i:y_j

x y: E E ! R

( ; ) ! x y( ; ) =x( ):y( )

sachant quee_i( ^j) = ^j_i c’est à direx=xⁱe_i; y=y^je_j alorsx y=xⁱy^je_i e_j etx y( ⁱ; ^j) =xⁱy^j ainsi la matrice des coè¢ cients

X Y =

0 B@

x¹ y¹ x¹ yⁿ ... . .. ... xⁿ y¹ xⁿ yⁿ

1 CA

On noteE E=fx y = x; y2Eg:

Un tenseur particulier est la métriqueg surE:

Dé…nition 16 On appelle métrique sur E un tenseur g 2 ⁰2E qui est sy- métrique dé…ni positif (c’est à dire dont les valeurs propores sont strictement positives)

Soitg_{i j} =g(e_i; e_j)oùfe_igest une base deE:La matrice

G= 0 B@

g11 g1n

... . .. ... g_n1 g_nn

1 CA

est symétrique.g(X; Y) =< X; Y >=^tX:G:Y est un produit scalaire. Le tenseur gest dit métrique car il induit une distance surE dé…nie par

d(X; Y) =p

< X Y; X Y >=jj(X Y)jj oùjjZjj=p

< Z; Z >:

Exemple 17 DansR²la norme euclidienne (distance euclidienne) est une dis- tance provenant du produit scalaire canonique

< X; Y >=x₁y₁+x₂y₂ On ajjXjj=p

x²₁+x²₂ etd(X; Y) =p

(x₁ y₁)²+ (x₂ y₂)² Soit le changement de coordonnées

f : E ! E

x= (x1; ; xn) ! (y1(x); ; yn(x))

On va noter parB=fex1; ; exngouf@x^@1; ;_@x^@

ngetB⁰ =fey1; ; eyngou f@y^@1; ;_@y^@

ng les bases deEpour chacun des systèmes de coordonnées. Pour toutxi; exi se décompose surB⁰ par

exi = 0 B@

@y1

@x1

@y1

@xn

... . .. ...

@yn

@x1

@yn

@xn

1 CA

0 BB BB BB BB

@ 0

... 1 0 ... 0

1 CC CC CC CC A

i^{ièm e}

c’est à dire e_xi = (^@y_@x¹

i;^@y_@x²

i; ;^@y_@xⁿ

i) = @y_j

@xi

e_yj: Soit (g_{i j}) la matrice de la métriqueg dans la baseB et(g_{i j}⁰ )celle degdans la baseB⁰:On a

gi j = g(exi; exj) = g(@yl

@xi

eyl;@yk

@xj

eyk)

= @yl

@xi

@yk

@xj

g(eyl; eyk) = @yl

@xi

@yk

@xj

g⁰_{l k} Exemple 18 Soit la fonction de changement sphérique

f : ]0;+1[ ]0;2 [ ]0; [ ! R³

(x1=r; x2= ; x3=') ! (y1=rcos sin'; y2=rsin sin'; y3=rcos') On sait que la métrique canonique surR³ estg_{i j}⁰ = ^j_i :

g⁰₁₁=g₂₂⁰ =g₃₃⁰ = 1et g⁰_{i j}= 0; 8i6=j Soit(gi j) la métrique relative à(r; ; '), on a

g₁₁ = @y₁

@x1

@y₁

@x1

g⁰₁₁+@y₂

@x1

@y₂

@x1

g⁰₂₂+@y₃

@x1

@y₃

@x1

g₃₃⁰ g₁₂ = @y₁

@x1

@y₁

@x2

g⁰₁₁+@y₂

@x1

@y₂

@x2

g⁰₂₂+@y₃

@x1

@y₃

@x2

g₃₃⁰

... ... ...

On trouve 8

>>

>>

<

>>

>>

:

g11 = 1

g12=g21 = 0 g13=g31 = 0

g₂₂ = r²sin²'

g₃₃ = r²

Soitg(r; ; ') = 0

@ 1 0 0

0 r²sin²' 0

0 0 r²

1 A:

5 Formes extérieures sur un e.v.

Dé…nition 19 On dit que! est une p-forme extérieure sur E si ! 2 ⁰pE et

! est alternée, c’est à dire

!(X₁; ; X_p) = 0

chaque fois que deux éléments de la suiteX1; ; Xp sont égaux.

Remarque 20 Il est facile de véri…er qu’une forme ! est alternée si et seule- ment si

!(X₁; ; X_i; ; X_j; ; X_p) = !(X₁; ; X_j; ; X_i; ; X_p) On véri…e facilement la proposition suivante :

Proposition 21 Si est une permutation deSp =f1;2; ; pg et"( )est sa signature alors

!(X ₍₁₎; ; X _(p)) ="( )!(X1; ; Xp)

L’ensemble desp-formes extérieures est un s.e.v de ⁰_pEet se note par^^pE : On a ^⁰E = R; ^¹E = ⁰₁E = E : On montre facilement les propriètés suivantes :

1. Si!2 ^^pE etfX₁; ; X_pgest une famille liée deEalors!(X₁; ; X_p) = 0

2. ^^pE =f0gpourp > n= dimE:

5.1 Produit extérieur :

Soitt2 ⁰pE:

Dé…nition 22 On dé…nit l’antisymétrisé det par Ant(t)(X1; ; Xp) = X

2Sp

"( )t(X ₍₁₎; ; X _(p))

Exemple 23 Pourt2 ⁰2E; Ant(t)(X; Y) =t(X; Y) t(Y; X) Pour t2 ⁰3E

Ant(X; Y; Z) = t(X; Y; Z) +t(Y; Z; X) +t(Z; X; Y) t(X; Z; Y) t(Z; Y; X) t(Y; X; Z)

Dé…nition 24 Si 2 ^^pE et 2 ^^qE , on dé…nit alors le produit extérieur

^ comme étant un élément de ^^p+qE donné par

^ = 1

p!q!Ant( )

Exemple 25 Pour ; 2 ^¹E , on a ^ (X; Y) = (X) (Y) (Y) (X) Pour 2 ^¹E et 2 ^²E , on a

^ (X; Y; Z) = (X) (Y; Z) + (Y) (Z; X) + (Z) (X; Y) On cite les propiètés suivantes du produit extérieur

1. ^est associatif et distributif par rapport à+

2. ^n’est pas commutatif et ^ = ( 1)^p:q ^ pour 2 ^^pE et 2 ^^qE , en particulier ^ = 0pout tout 2 ^^2k+1E :

Proposition 26 La famille desp-formes surE,f ⁱ¹^ ^ ^ipg1 i1<i2< <ip n

est une base de^^pE et dim^^pE =C_n^p:

Exemple 27 f ¹^ ²; ¹^ ³; ²^ ³g est une base de^²E lorsquen= 3:

Proposition 28 1. soit !₁; ; !_k 2 ^¹E . La famille f!₁; ; !_kg est libre si et seulement si !₁^ ^!_k6= 0

2. Sif 2End(E); !2 ^ⁿE alors

!(f(X₁); ; f(X_n)) = det(f):!(X₁; ; X_n)

6 Champ de tenseurs

Soit(x; U)un système de coordonnées locales autour dep2E:On noteEp

l’e.v.E muni de ce système de coordonnées. SoitEs= t

p2EEp

Dé…nition 29 Un champ de tenseurst de type 0

k sur un ouvertV deE est une application

t: V ! ⁰kEs=_pt

2V 0 kEp

q ! t_q2 ⁰kE_q Le champt s’ecrit surV :t=ti1 ik(x)( ^{i1 ik})(x)

De même, un champ de k-formes surV :

!: V ! ^^kE_s= t

p2V ^^kE_p q ! !q 2 ^^kEq

Le champ! s’ecrit sur V : != P

1 i1< <ik n

!i1 ik(x)( ⁱ¹^ ^ ^ik)(x) Si f :E !E est un chamgement de variable, on dé…nit alors la fonction cotangentef :^^kE_s ! ^^kE_s0 telle que si!2 ^^kE_s0 alorsf !2 ^^kE_s:

(f !)_p(X₁; ; X_k) =!_f(p)(f _;pX₁; ; f _;pX_k) pour tousX1; ; Xk2 (Es)

Dé…nition 30 Un tenseurpcovariant et q contravariant surE est une appli- cation

t: (E E

|{z}p

) (E E )

|{z}q

! R

(X1 Xp;!1 !q) ! t(X; !) multilinéaire. L’ensemble des tels tenseurs se note ^q_pE

Remarque 31 Un tenseur t; p covariant, q contravariant sur E peut être identi…é à une application multilinéairet⁰ :

t⁰ : E E

|{z}p

! ⁰qE X = (X₁ X_q) ! t⁰(X₁ X_q) avec

t⁰(X1 Xq) : E E )

|{z}q

! R

!= (!1 !q) ! t(X; !)

Par exemple un champ de tenseurs de type ¹₁ peut être vu comme t : (E) ^¹E !C¹(E)bilinéaire ou aussi commet⁰ : (E) ! (E) linéaire telle que

t⁰(X)(!) =t(X; !)

7 Opérateurs di¤érentiels dans une base globale

Soit E un e.v. muni d’une base globale B = fe1 eng: On note par O l’origine deE:SoitB⁰ =f"1 "ng une nouvelle base deE:On a

"l = aⁱ_l:ei

OM! = xⁱ:ei=X^l:"l

Il en vient que

xⁱ=X^l:aⁱ_l

Le vecteurOM!2 ¹0E = ⁰₁E est un1-tenseur contravariant

OM!: E ! R

! ! !(OM!)

Un champ est un mot utilisé en physique pour désigner une grandeur qui change selon la position où elle est mésurée. Il peut être vectoriel (champ éléctrique, accélération...) ou scalaire (pression, température,....). On désigne parV~(M)un champ vectoriel en un point M et par f(M) un champ scalaire en un point M: Dans ce paragraphe, on utilise des champs intrinsèques c’est à dire dont

la valeur ne dépend pas du système de coordonnées choisi, pour cela on utilise V~(xⁱ)ouf(xⁱ)avec(xⁱ)sont les coordonnées deM selon une certaine base de E:

On dit qu’un champ scalaire f : U E ! R est dérivable en un point M si @f

@xⁱ(M)existe8 i:Si on change de paramètres(X¹ Xⁿ)à la place de (x¹ xⁿ), on peut parler de la di¤érentielle d’un champOM!

dM!=dxⁱei=dX^l"l

avec

dX^l=b^l_idxⁱet dxⁱ=aⁱ_ldX^l où(b^l_i) = (aⁱ_l) ¹:

Remarque 32 La vraie dé…nition de la di¤ érentielledxⁱ est que c’est la base duale de @

@xⁱ

dxⁱ( @

@x^j) = ⁱ_j; @

@xⁱ 2 (E); dxⁱ2 ^¹E

En physique on regarde à dxⁱ comme un déplacement in…nitésimal intrin- sèque. On a

df= @f

@xⁱdxⁱ= @f

@X^ldX^l

où @f

@X^l = @f

@xⁱ

@xⁱ

@X^l = @f

@xⁱ:aⁱ_l ; 8l aussi

@f

@xⁱ =bⁱ_l @f

@X^l On va écrire@_l=aⁱ_l@_i:

Dé…nition 33 SoitV~ un champ de vecteursV~(x) =vⁱ(x)~ei:On dit que V~ est dérivable si ses composantes admettent des dérivées partielles de premier ordre.

Suite à un changement de base on a

@_l(V^J) =aⁱ_l@_i(b^J_jv ^j)

Comme les deux bases sont …xes c’est à direb^J_j est constant alors

@l(V^J) =aⁱ_l b^J_j @i(v ^j)

7.1 Divergence de V ~ ; gradient de f ; rotationnel de V ~ et laolacien de f :

1. divV~ =@ivⁱ

2. !

grad f =g^{i j}(@j f)~ei avecgi j =g(ei; ej)et (g^{i j}) = (gi j) ¹:Pour une base orthonormée(gi j) =In = (g^{i j})et

grad!f =@_i f ~e_i

3. SoitA=Aⁱ ~ei; i= 1;2;3 (E =R³):On va dé…nir un tenseur antisymé- trique

!=!12 e1^e2+!13 e1^e3+!23e2^e3

bien sûr!_{i i} = 0et!_{i j} = !_{j i}:

On pose!12=A³; !13=A²et!23=A¹;ainsi on a dé…ni un tenseur an- tisymétrique (une2-forme) à partir d’un champ de vecteursA:La matrice de cette2-forme est

!= 0

@ 0 A³ A² A³ 0 A¹ A² A¹ 0

1 A

Dé…nition 34 Le rotationnel du champAest le champ de vecteur rotA=V¹ e1+V²e2+V³ e3

avec Vⁱ= @

@x_j(!i j)

4. Le laplacien d’un champ scalairef dans une base globale (indépendantes des coordonnées) est le champ scalaire f :

f = div(grad f) =@_i(g^{i j} @_j f) =g^{i j}@_i@_jf et si la base est orthonormée alors

f = @²

@x²_if

Remarque 35 Lorsque la base est globale alors les coè¢ cients de la métrique g sont constants.

8 Opérateurs di¤érentiels dans un système de coordonnées local

On considèreR³muni des coordonnées(q₁; q₂; q₃) :cela peut être(x; y; z)le repère cartésien ou(r; ; z)le repère cylindrique ou(r; ; ')le repère sphsérique

ou d’autres repères. Soitp(q1; q2; q3)2R³ et considérons le point in…nitésima- lement voisin, (p+dp)(q1+dq1; q2+dq2; q3+dq3): Soit ds la distance entre pet p+dp: Cette distance s’écrit dans un système de coordonnées orthogonal (cartésien, cylindrique, sphérique..)

ds²=h²₁dq₁²+h²₂dq₂²+h²₃dq²₃

les h_i dépendent des q_j; on les appelle les éléments du tenseur métrique. On avait vu que dans un système de coordonnées cartésien(x; y; z)la métrique

g=I₃= 0

@ 1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 A et donc

ds²=dx²+dy²+dz² En fait ds² = jjdpjj² =< dp; dp > où dp = dq₁: @

@q1

+dq₂: @

@q2

+dq₃: @

@q3:

Si le système de coordonnées choisi (q1; q2; q3) est orthogonale pa rapport à une

´

metriquehalors h=

0

@ h11 0 0 0 h22 0 0 0 h33

1 A=

0

@ h²₁ 0 0 0 h²₂ 0 0 0 h²₃

1 A

< @

@qi

; @

@qj

>=h( @

@qi

; @

@qj

) = 0 pouri6=j et jj @

@q1jj= r

< @

@q1

; @

@q1

>=h1; jj @

@q2jj= r

< @

@q2

; @

@q2

>=h₂;jj @

@q3jj= r

< @

@q1

; @

@q1

>=h₃: Remarque 36 dx² n’est autre que le tenseur ⁰₂ :dx dx

En coordonnées sphériques g=

0

@ 1 0 0

0 r²sin²' 0

0 0 r²

1 A et donc

ds²=dr²+r²sin²'(d )²+r²(d')²

et on véri…e que la métrique euclidienne est donnée en coordonnées cylindriques par

g= 0

@ 1 0 0 0 r² 0 0 0 1

1 A c’est à dire

ds²=dr²+r²d ²+dz²

Dans la suite, on va apprendre à exprimer les opérateurs di¤érentiels dans n’im- porte quel système de coordonnées orthogonal

8.1 Gradient d’un champ scalaire

Soit la fonction f(p)qui à chaque point pde l’espace associe une quantité (champ scalaire), comme un champ de densités, potentiels....On est intéressé par savoir de combien cette fonction change si on passe du pointpau pointp+dp:

Le gradient mésure cette quantité physique

df=f(p+dp) f(p) = (gradf):(dp) (1) Le champ de vecteursgradf se note aussirf, c’est donc un vecteur "(rf)(p)"dont le produit scalaire avec le déplacementdp(dq1; dq2; dq3)donne la variation def:

Noter qu’une quantité physique ne doit pas dépendre du système de coordonnées choisi. On propose de calculerrf dans un système de coordonnées orthogonal (q1; q2; q3) :En e¤et, la di¤érence de valeurs def entre le point(q1; q2; q3)et le point(q1+dq1; q2; q3)est

df =f(q1+dq1; q2; q3) f(q1; q2; q3) = @f

@q1

dq1

et en comparaison avec(1)on trouve (rf)₁:h₁₁dq₁= @f

@q₁dq₁ et donc (rf)1= 1

h11

@f

@q1

De même pour les autres composantes, on déduit que rf = 1

h₁

@f

@q₁eq1+ 1 h₂

@f

@q₂eq2+ 1 h₃

@f

@q₃eq3

où

e_qi=

@

@qi

jj@q^@ijj; fe_qig est la base orthonormalisée def @

@q_ig

Ceci rejoint notre travail dans le paragraphe précédent, par exemple pour les coordonnées cartésiennes où(gi j) =I3donch1=h2=h3= 1on a

rf =@f

@xe_x+@f

@ye_y+@f

@ze_z et en coordonnées cylindriques où la métrique est

(gi j) = 0

@ 1 0 0 0 r² 0 0 0 1

1 A

c’est à direh₁=h₃= 1eth₂=r;on a rf = @f

@re_r+1 r

@f

@ e +@f

@ze_z

8.2 Rotationnel d’un champ de vecteurs

Avant de parler du rotationnel, on va donner des exemples sur les champs de vecteurs et leurs courbes intégrales : Soit le champ

X : U R² ! R²

(x; y) ! ( y; x)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

x y

Les courbes intégrales deX sont des courbes c(t) = (x(t); y(t))telles que

dx

dt = y

dy

dt = x et c(0) = (x; y)

il en vient quex⁰⁰(t) +x(t) = 0et doncx(t) =acost+bsintcommey= x⁰(t) alors y(t) = asint bcost: La condition initiale donne a = x et b = y e parsuite

c(t)_(x;y)= (xcost ysint; xsint+ycost)

On remarque queX_(c)² +Y_(c)² =x²+y² c’est donc un cercle de centre oet qui passe par(x; y)donc de rayonp

x²+y²:

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

x y

De même lorsqu’on cherche les courbes intégrales deX(x; y) =xex+yey

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

x y

On trouve que les courbes intégrales sont

c(t)_(x;y)= (xe^t; ye^t)

ce sont des demi droites issues d’un voisinage in…nitésimal deo:Y_c(t)=^y_xX_c(t): La di¤érence entre les deux …gures est la suivante : dans la première on remarque que les courbes intégrales se referment sur elles même tandisque dans

la seconde, les courbes sont comme provenant d’une source à l’opposé de la première …gure où aucune source ne saute aux yeux. C’est cela que le rotationnel mésure :

Soit X un champ de vecteurs, (c) un contour fermé entourant une region plane d’aireA; nétant un normal unitaire àA: On dé…nit le rotationnel deX notérotX oucurlX de sorte que

n:rotX = lim

A!0

1 A

Z

c

X:dM (2)

où l’orientation de(c)est compatible avec le choix den

SoitR³ muni des coordonnées(q1; q2; q3)et soit le champ X_(q1;q2;q3)=X_(q)¹ e_q1+X_(q)² e_q2+X_(q)³ e_q3

Soit(c) un circuit plan di¤érentiable par morceaux, autour d’un point pdans le plans< q₂; q₃>et considérons la …gure suivante

Le circuit(c)est joint les pointsp; A; B; C; pavecp(q2; q3); A(q2+a; q3); B(q2+ a; q3+b); C(q2; q3+b):On a

R

(pA)XdM = R

(pA)X¹dq₁+X²dq₂+X³dq₃

=

Z a 0

X²(q₂; q₃)h₂(q₂; q₃)dt

= X²(q2; q3)h2(q2; q3)a

Noter que le chemin(p; A)a pour équation :(q1= 0; q2=t; q3= 0);On a dq₂=jjdtjj=p

< dt:e_q2; dt:e_q2>=h₂(q₂; q₃)dt:

De même R

(BC)XdM =

Z 0 a

X²(q₂; q₃+b)h₂(q₂; q₃+b)dt

= X²(q₂; q₃+b)h₂(q₂; q₃+b)a de sorte que poura; bin…niment petits, on a :

R

(pA)XdM+R

(BC)XdM = a[X²(q₂; q₃)h₂(q₂; q₃) X²(q₂; q₃+b)h₂(q₂; q₃+b)]

= ab (X²h₂)_(q2;q3+b) (X²h₂)_((q2;q3) b

= ab @

@q3

(X²h₂) De la même façon, on trouve que

Z

(AB)

XdM+ Z

(CD)

XdM=ab @

@q₂(X³h₃) L’aire de la surface limitée par le contour est

A² = jjpAjj²jjpCjj²

= < pA; pA > : < pC; pC >

= < aq2; aq2>< bq3; bq3>

= a²b²h²₂h²₃ D’où

A=abh2h3:

Ainsi, poura; bsu¢ semment petits, et d’après(2)on a rotX: q1

jjq1jj = 1 abh2h3

ab @

@q3

(X²h2) +ab @

@q2

(X³h3)

(rotX)₁ = 1

h2h3

@

@q2

(X³h3) @

@q3

(X²h2)

(3)

De même pour les autres composantes, il su¢ t de faire une permutation circu- laire.

(rotX)₂ = 1 h1h3

@

@q3

(X¹h1) @

@q1

(X³h3) (rotX)₃ = 1

h2h1

@

@q1

(X²h2) @

@q2

(X¹h1)

APPLICATION :

1. En coordonnées cartésiennes :h₁=h₂=h₃= 1 rotX = @X³

@y

@X²

@z ex

@X³

@x

@X¹

@z ey+ @X²

@x

@X¹

@y ez

2. En coordonnées cylindriques :h1=h3= 1; h2=r rotX =1

r

@X³

@

@(rX²)

@z e_r+ @X¹

@z

@X³

@r e + @(rX²)

@r

@X¹

@ e_z 3. En coordonnées sphériques :

rotX =1 r

@X³

@

@(rX²)

@' e_r+ @X¹

@'

@X³

@r e +1 r

@(rX²)

@r

@X¹

@ e_'

8.3 La divergence

Le travail d’un comptable est de faire le bilan des sommes dépensées et gagnées par son entreprise. C’est exactement ce travail qu’e¤ectue l’opérateur divergence.

Considérons une surface in…nitésimale fermée donnée par un cube élémen- taire, autour d’un pointp:Quel est le bilan d’un ‡ux d’un champX à travers

?Ce bilan est donné par

dV:div(X) = Z

Xd

où dV = abch₁h₂h₃ est l’élément de volume du domaine limité par : Les

normales aux faces sont par convention orientées sortantes.

On rappelle que si

H =P(x; y; z)~i+Q(x; y; z)~j+R(x; y; z)~k un champ de vecteurs et

: 8<

:

x = x(u; v) y = y(u; v) z = z(u; v) une surface paramétrée, alors

Z

H:~ !ds= Z Z

Du;v

(P:D(y; z)

D(u; v)+Q:D(z; x)

D(u; v)+R:D(x; y) D(u; v))dudv Soit ₁=la faceABCD; ₂=la facepEF G:On a

Z

1

Xd = bch2(q1+a; q2; q3)h3(q1+a; q2; q3)X¹(q1+a; q2; q3) Z

2

Xd = bch₂(q₁; q₂; q₃)h₃(q₁; q₂; q₃)X¹(q₁; q₂; q₃) et la somme de deux intégrales donne

@

@q₁(h2h3X¹)abc

De même pour les autres faces opposées, on obtient div(X) = 1

h1h2h3

@

@q1

(h2h3X¹) + @

@q2

(h3h1X²) + @

@q3

(h1h2X³) Par exemple, en coordonnées cylindrique

div(X) =1 r

@

@r(rX¹) + @

@ (X²) + @

@z(rX³)

8.4 Le Laplacien

Le laplacien d’un champ scalairef noté f est tout simplement f = div(grad f)

f = 1

h₁h₂h₃

@

@q1(h2h3@f

@q1) +_@q^@

2(h3h1@f

@q2) +_@q^@

3(h1h2@f

@q3)