Problème : « Loteries de dés veinardes ».
On considère un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de1 à6.
Pour toutn∈N?, une «n-loterie de dés » consiste ennlancers successifs de ce dé, en relevant chacun des numéros obtenus. Une telle n-loterie de dés peut donc être modélisé par un n-uplet(a1,· · ·, an) où chaque ak désigne le résultat obtenu lors duk-ème lancer.
Soitq un entier supérieur ou égal à 2.
On dit qu’une n-loterie de dés est q-veinarde si le dé ne renvoie jamaisq lancers successifs identiques.
Par exemple(6,5,1,4,4,2,1,1,1,2)est une10-loterie de dés qui est4-veinarde mais pas 3-veinarde.
On noteun le nombre den-loterie de dés qui sontq-veinarde.
On notepnla probabilité pour qu’une n-loterie de dés soit q-veinardes.
Partie No1 : Quelques résultats généraux, et le cas particulier q= 2 1. (a) Combien y a-t-il de n-loterie de dés ? Quelle est donc la relation entre pn etun?
(b) Que valentunetpn pour16n < q? Que valent uq etpq? 2. (a) Par un dénombrement, montrer que
∀n>1, 5un6un+1 66un. Quel encadrement en déduit-on pourpn etpn+1?
(b) En déduire que (pn)n>1 est décroissante et convergente.
Prouver que, pour toutn>1, 56n
6pn61.
3. Dans cette question, on supposeq = 2.
(a) Pour tout n∈N?, calculer un puis pn. (b) Que vaut lim
n→+∞pn? A partir de quelle valeur denavons-nous pn6 12? Partie No2 : Le cas particulier q= 3
Dans cette partie, on suppose que q= 3.
1. Donner les valeurs de u1,u2,u3 puis celles de p1,p2 etp3.
2. (a) Montrer que la suite (un)n>1 vérifie la relation de récurrence
∀n>3, un= 5(un−1+un−2). (E) (b) En déduire que, pour tout n>3, on a :pn= 365(6pn−1+pn−2).
(c) Montrer alors que la suite(pn)converge vers0.
3. (a) Pourn>1, calculer pn en fonction den.
Retrouver la limite de la suite(pn)n>1.
(b) A l’aide d’une calculatrice, donner une valeur denà partir de laquelle nous avonspn6 12? Partie No3 : Étude du cas général
Dans cette partie, on suppose que l’entier q est fixé avecq >2.
1. (a) Montrer que la suite (un)n>1 vérifie la relation de récurrence
∀n>q, un= 5×
q−1
X
k=1
un−k. (Rq)
1
(b) Monter alors que, pour toutn>q, on a :
pn= 5×
q−1
X
k=1
pn−k 6k . En déduire lim
n→+∞pn.
2. On note(Eq) l’équation xq−1 = 5(xq−2+xq−3+· · ·+x+ 1).
(a) Montrer que(Eq) équivaut à
xq−6xq−1+ 5 = 0etx6= 1.
(b) Montrer que l’équation(Eq)admet une unique solution réelle positiveλqvérifiant56λq<
6.
3. On va maintenant utiliser la question précédente pour améliorer le résultat de 2.(b) de la partie No1.
(a) Montrer que la suite de terme généralwn=λnq vérifie la relation(Rq).
(b) Montrer que, pour tout n>1,un> λnq. Qu’en déduit-on sur la suite(pn)? (c) Pourn= 5, à l’aide de Python, donner une valeur approché de λq à 10−8 près.
En déduire que sin61000alors la probabilité qu’une n-loterie de dés soit 5-veinarde est supérieure à 1/2.
(d) Écrire une fonction Python calculantpn pourq= 5.
(e) A partir de quelle valeur avons-nous effectivement pn< 12? Partie No4 : Compléments1
On reprend les notations de la partie précédente et on propose d’étudier la suite(λq)q>2. 1. Montrer que la suite (λq)q>2 est strictement croissante.
2. Montrer que lim
q→+∞λq= 6.
3. Pour tout n∈N? et, pour toutx∈[0,1[, on poseϕn(x) =nln(1−xn)−ln(1−x).
(a) Calculerψn(x) = (1−x)(1−xn)ϕ0n(x) avecn∈N? et06x <1.
(b) Montrer que, pour tout n∈N? et, pour tout06x6 13,06ψn(x)6ψn+1(x).
(c) En déduire que, pour toutn∈N? et, pour tout06x6 13,(1−xn)n>1−x 4. Dans cette question, on va montrer que(λq)q>2 converge « très rapidement » vers 6.
Plus précisément, on va prouver que, pour toutq>2, on a :µq6λq66où µq= 6−6q−21 . (a) Calculerfq(µq) et en déduire que uq6λq 66.
(b) Quel encadrement en déduit-on pourpn?
* * * FIN DU SUJET * * *
1. Partie facultative pour les plus motivés.
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