MPSI B 2009-2010 DM 6 24 avril 2020
L'objectif de ce problème est de présenter dans un cadre ensembliste la distance de Hamming ainsi qu'un exemple de code de Hamming1.
Pour tout ensemble niE, on notera]E son cardinal (nombre d'éléments).
Partie I. Diérence symétrique.
Dans cette partieΩdésigne un ensemble ni. Pour toute partieXdeΩ, le complémentaire deX dansΩest notéX et la fonction caractéristique deX est notée1X.
∀x∈Ω, 1X(x) =
(1six∈X 0sinon
On dénit dansP(Ω)une opération (notée∆) appelée diérence symétrique par :
∀(X, Y)∈ P(Ω)× P(Ω) :X∆Y = (X∩Y)∪(X∩Y)
1. a. Vérier les propriétés suivantes et les traduire dans le vocabulaire des opérations : (P1) ∀(X, Y)∈ P(Ω)× P(Ω) : X∆Y =Y∆X
(P2) ∀X ∈ P(Ω) : X∆∅=∅∆X=X
(P3) ∀X ∈ P(Ω) : X∆X=∅
b. Montrer que :
∀(X, Y)∈ P(Ω)2,∀x∈Ω, x∈X∆Y ⇔1X(x) + 1Y(x)≡1 mod 2.
Fig. 1: Diérence symétrique 2. a. Montrer que
∀(X, Y)∈ P(Ω)× P(Ω) :X∆Y = X∪Y
∪(X∩Y)
1d'aprèshttp ://fr.wikipedia.org/wiki/Code_de_Hamming
b. Soient X, Y, Z trois parties de Ω. Exprimer X∆(Y∆Z)comme une union de parties deux à deux disjointes, chacune de ces parties étant une intersection de trois. En déduire l'associativité de∆.
c. SoientX1, X2,· · · , Xp des parties deΩet xun élément deΩ. Montrer que x∈X1∆· · ·∆Xp⇔1X1(x) +· · ·+ 1Xp(x)≡1 mod 2.
Comme ∆ est associative, il est inutile d'écrire des parenthèses dans X1∆· · ·∆Xp.
3. Dans cette questionA,B,C sont des parties quelconques deΩ. a. Montrer queA∆B ⊂A∪B et que :
A∆B=∅ ⇒A=B b. Simplier(A∆C) ∆ (C∆B)et A∆ ((A∆C) ∆ (C∆B)).
4. Pour tout élémentu∈Ωet toute partieX deΩ, on noteXu={u}∆X. a. PréciserXu.
b. SoitB une partie quelconque deΩ. Montrer que :
](Xu∩B)≡
(](X∩B) + 1si u∈B
](X∩B)si u /∈B mod 2.
5. IciΩcontientnéléments. Pour toutA⊂Ω, on désigne parPA l'ensemble des parties X deΩtelles que
](X∩A)≡0 mod 2 a. Montrer que]PA= 2n−1lorsque Aest non vide.
b. SoientA1 etA2 deux parties non vides et distinctes deΩ. Montrer que ](PA1∩ PA2) = 2n−2
c. Soient A1 et A2 A3 trois parties non vides, deux à deux distinctes de Ω. On suppose de plus queA3 n'est pas incluse dans A1∪A2. Montrer que
](PA1∩ PA2∩ PA3) = 2n−3
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai M1006E
MPSI B 2009-2010 DM 6 24 avril 2020
Partie II. Distance de Hamming.
On reprend les notations de la section précédente et on dénit la distance de Hamming d(X, Y)entre deux partiesX et Y deΩpar
∀(X, Y)∈ P(Ω)× P(Ω) :d(X, Y) =](X∆Y).
1. Montrer qued(A, B) = 0 entraîneA=B pour toutes partiesAetB deΩ. 2. Montrer l'inégalité triangulaire :
∀(A, B, C)∈(P(Ω))3:d(A, B)≤d(A, C) +d(C, B)
3. SoitC⊂Ωetk∈N, on dénit la H-sphère de centreC et de rayonk(notéeS(C, k)) et la H-boule de centreC et de rayon k(notéeB(C, k)) par :
∀X ∈ P(Ω),
(X∈ S(C, k)⇔ d(C, X) =k X∈ B(C, k)⇔ d(C, X)≤k
On notenle nombre d'éléments deΩ. Quel est le nombre d'éléments d'une sphère de rayonk? Quel est le nombre d'éléments d'une boule de rayonk?
Partie III. Communiquer sûrement c'est organiser le délayage.
Dans cette partieEdésigne un ensemble àpéléments. On imagine un système de trans- mission qui émet des partiesX deEvers un récepteur. Mais de petites erreurs peuvent survenir lors de la transmission et de temps en temps le X reçu n'est pas tout à fait leX émis. Pour remédier à cela, on va transformer (coder) leX en Φ(X)de sorte que chaque Φ(X) soit isolé puis transmettre le Φ(X). Si une petite erreur survient lors de la transmission, le récepteur saura la repérer et éventuellement la corriger ou demander une nouvelle émission. Il devra ensuite décoder leφ(X)enX.
On suppose donc l'existence d'un ensembleF ànéléments contenantE, dek∈Net d'une applicationΦdeP(E)dansP(F)telle que :
∀(X, Y)∈ P(E), X 6=Y ⇒d(Φ(X),Φ(Y))> k oùddésigne la distance de Hamming dansP(F).
1. Que signie pourΦle fait queksoit supérieur ou égal à0? 2. On supposeknon nul et pair. Montrer que :
∀(X, Y)∈ P(E)2, X 6=Y ⇒ B(Φ(X),k
2)∩ B(Φ(Y),k 2) =∅
3. a. On suppose k = 2. Montrer que n+ 1 ≤2n−p. Quelle est la plus petite valeur possible pournsip= 4?
b. On supposek= 4. Former une inégalité que doivent vérierpetn. Quelle est la plus petite valeur possible pournsip= 4?
Partie IV. Code de Hamming.
L'objet de cette section est de donner un exemple de fonctionΦvériant les propriétés de la section III. Ici, E est un ensemble à 4 éléments et F est un ensemble à 7 éléments contenantE. On note
E={d1, d2, d3, d4} F ={d1, d2, d3, d4, p1, p2, p3} Certaines parties deF, notéesA1,A2,A3, vont jouer un rôle particulier :
A1={d1, d2, d4, p1} A2={d1, d3, d4, p2} A3={d2, d3, d4, p3} On dénit une fonctionφdeP(E)dansP(F)la manière suivante.
∀X ∈ P(E),Φ(X)déni par :
Φ(X)∩E=X
p1∈Φ(X)⇔](X∩ {d1, d2, d4}) impair p2∈Φ(X)⇔](X∩ {d1, d3, d4}) impair p3∈Φ(X)⇔](X∩ {d2, d3, d4}) impair 1. CalculerΦ(∅),Φ(E),Φ({d1}),Φ({d1, d2, d4}).
2. Montrer que, pour toute partieXdeEet tout entierientre 1 et 3,Ai∩Φ(X)contient un nombre pair d'éléments.
3. Montrer que, pour toute partie non videZ deF :
]Z ≤2⇒ ∃i∈ {1,2,3}tel que ](Ai∩Z) = 1 4. SoientA,U,V des parties quelconques deF, montrer que
](A∩U)−](A∩V)≡](A∩(U∆V)) mod 2
5. Montrer que pour toutes parties (deE)X et Y distinctes , la distance de Hamming entreΦ(X)etΦ(Y)est strictement plus grande que 2.
6. (hors barême)2 SoitZ une partie de F. Montrer qu'il existe une partieX deE telle queZ= Φ(X)si et seulement si](A1∩Z),](A2∩Z),](A3∩Z)sont pairs.
2pour aller plus loin, il est bien plus commode d'utiliser la présentation classique des codes correcteurs à base d'algèbre linéaire sur le corps à deux éléments
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
2 Rémy Nicolai M1006E
