√ 5 5 5 5

(1)

D257. L'aire du décagone

Calculer l’aire d’un décagone qui est inscrit dans un cercle et qui a cinq côtés (consécutifs) de longueur égale au nombre d’or et les cinq autres côtés de longueur égale à l’inverse de ce nombre d’or.

Soit R le rayon du cercle circonscrit au décagone.

Un côté de longueur (1+

√

5 )/2 est vu du centre sous l'angle 2a tel que a = arcsin (1+

√

5 )/4R Un côté de longueur (-1+

√

5 )/2 est vu du centre sous l'angle 2b tel que b = arcsin (-1+

√

^{5 )/4R}

Et a+b = ∏/5 rad = 36°. Que les côtés de longueurs égales soient consécutifs ou non importe peu.

1)Calcul approché :

En faisant tourner la boucle 36°- arcsin (-1+

√

5 )/4R →b; (1+

√

5 )/ (4 sin b ) → R avec par exemple R initial =2, on obtient rapidement la solution de ce système d'équations car R converge vers 1,828, et b vers 26,268° d'où a = 36° - 26,268° = 9,732°.

Sur la figure, FE et DE sont les médiatrices des cordes AB et BC, E est le centre du décagone.

L'aire du décagone est 10 fois l'aire du quadrilatère EFBD : A = 5R² ( sin a cos a + sin b cos b ) = 9,4147

2) Calcul exact : Aire du décagone = 5(aire triangle ABC) + aire du pentagone régulier de côté AC.

Aire triangle ABC = ½ BA.BC.sin 36°, or BA.BC = 1 et sin 36° = ½

√

⁽⁽⁵⁻

^√

²⁽⁵⁾⁾⁾ ^.

5(aire triangle ABC) = 5/4

√

⁽⁽⁵⁻

^√

²⁽⁵⁾⁾⁾

Calcul de longueur AC : AC² = BA² + BC² + 2 BA.BC cos 36°

or BA²+BC² = 3 et cos 36° = (1+

√

5 )/4 = donc AC² = 3 + (1+

√

5 )/2 = ( 7+

√

5 )/2 L'aire d'un pentagone régulier de côté AC est donnée par AC²

√

²⁵⁺¹⁰

^√

^{5 /4}

soit ( 7+

√

^{5 )}

√

²⁵⁺¹⁰

^√

^{5 /8}

Aire du décagone : 5/4

√

⁽⁽⁵⁻

^√

²⁽⁵⁾⁾⁾ ^{+ ( 7+}

^√

^{5 )}

^√

²⁵⁺¹⁰

^√

^{5 /8}

ou encore 5/4 [

√

⁽⁽⁵⁻

^√

²⁽⁵⁾⁾⁾ ^{+ ( 7+}

^√

^{5 )/2}

^√

¹⁺²^/

^√

5 ] ≈ 9,41468624