DS7 : Mécanique et Induction — Corrigé

DS7 : Mécanique et Induction — Corrigé

Durée : 4h. Les calculatrices sont interdites. Le devoir est probablement trop long pour être terminé, faites-en le maximum.

Exercice 1:Un hamster court dans sa cage

1. Les forces qui s’exercent sur la roue sont lepoids du hamster,le poids de la roueet laréaction de l’axe de rotation sur la roue. Comme la roue est globalement immobile, on en conclut que la somme des ces forces est nulle.

R

Pa

F

Pr

2. Le moment cinétique de la roue du hamster estL_∆=J_∆ω. 3. D’après le théorème du moment cinétique : ^dL_dt^∆ = J∆dω

dt = M∆(P~a) = mgRsinθ0. La réaction de l’axe de rotation et le poids de la roue passant par l’axe, leur moment est nul. On a donc l’accéleration angulaire :

dω

dt = ^mgRsin_J ^θ0

∆ .

4. On a montré à la question précédente que l’accélération angulaire de la roue est constante, doncω(t) = ^mRg_J^sinθ0

∆ t. 5. L’énergie cinétique de la roue estE_c(t) = ¹₂J_∆ω(t)². DoncE_C(t) = ^(mRg_2J^sinθ0)2

∆ t²

6. Le hamster court à une vitesse v, la vitesse angulaire correspondante est ω = _R^v. Le temps qu’il met pour atteindre cette vitesse est :t= _mRg^J∆_sin^ω_θ

0 '0,3 s

7. L’énergie cinétique de la roue est alorsEc= ¹₂J∆ω²=70 mJ.

8. Lorsque la vitesse de course du hamster est constante, l’accélération angulaire de la roue est nulle et donc le moment des forces appliquées sur la roue doit également être nul. C’est le cas uniquement pourθ0= 0

9. On procède de la même manière que dans la question 3 en ajoutant au moment du poids le couple résistant des frottements, il faut donc remplacermRgsinθ₀parmRgsinθ₀−Γ_∆.

10. Dans ces conditions, lorsque le hamster court à vitesse constante l’accélération angulaire étant nulle, il faut que la somme des moments des forces appliquées à la roue soit nulle, et donc le moment du poids doit compenser exactement le couple résistant du aux frottements. On a alorsmRgsinθ0−Γ∆= 0et doncθ0=arcsin_mRg^Γ∆ 11. Lorsque le hamster court, la vitesse de rotation de la roue estω₀=v₀

12. Juste avant que le hamster ne s’arrête de courir,son énergie cinétique est nulleR car sa il a une vitesse nulle dans le référentiel du laboratoire.

Si on prend l’origine des abscisses au centre de la roue, son énergie potentielle de pesenteur est Ep =mgh =

−mgR.

L’énergie cinétique de rotation de la roue estEcR= ¹₂J∆ω²₀.

L’énergie mécanique totale du système est la somme des énergies cinétiques et potentielles, soit E_m=−mgR+1 2J_∆ω²₀ 13. Juste après que le hamster ne s’arrête de courir, les expressions de l’énergie cinétique de la roue et de l’énergie

potentielle du hamster restent les mêmes en remplaçantω0parω1. Seulement maintenant l’énergie cinétique du hamster n’est plus nulle, il avance à la même vitesse que la roue donc son énergie cinétique est :EcH= ¹₂mv²=

1

2mR²ω₁².

L’égalité des énergies mécaniques avant et après l’arrêt du hamster donne :

1

2J_∆ω²₀−mgR=1

2J_∆ω²₁−mgR+1

2mR²ω₁² soit ω₁=ω₀

r J∆

J∆+mR²

14. L’énergie mécanique reste constante car on néglige les frottements entre la roue et son axe. Elle vaut Em= 1

2J∆ω²

| {z }

EcR

+1 2mR²ω²

| {z }

EcH

− mgRcosθ

| {z }

Ep

= 1

2(J∆+mR²)ω²−mgRcosθ 15. En écrivant que l’énergie mécanique est constante on obtient

1

2(J∆+mR²)ω²−mgRcosθ=1

2(J∆+mR²)ω²₁−mgR soit ω= s

ω₁²−2mgR(1−cosθ) J∆+mR²

16. Lorsque le hamster est au sommet de la roue, il subit son poidsP~ =m~g dirigé verticalement vers le bas, et la réaction de la roue K~ dirigée également vers le bas (car l’accélération tangentielle du hamster est nulle en ce point).

17. L’accélération normale s’écrit en coordonnées polaires (lorsque le rayon de la trajectoire est constant) comme

~a_r=−Rω²~e_r. Ce qui en utilisant la question 15 donne l’expression demandée :

~a=−R

ω₁²−2mgR(1−cosθ) J_∆+mR²

~er

18. En appliquant le PFD au hamster lorsqu’il se trouve au sommet de la trajectoire (θ=π) et en le projetant sur

~

er, on obtient :

−mg−K=ma_r=−mR

ω₁²− 4mgR J∆+mR²

soit K=mR

ω₁²− 4mgR J∆+mR²

−mg

Avec les valeurs numériques données, on trouveK <0, ce qui ne permet pas au hamster de faire un looping.

19. En y regardant en détails, on remarque que la vitesse de rotation initiale de la roue ω0, même si elle restait constante après l’arrêt du hamster serait trop faible pour permettre un looping. Il faut donc déjà augmenterω0

et donc réduireR(le hamster ne peut pas courir plus vite !). Ensuite il faut aussi augmenterJ∆en lui installant une roue plus lourde

Exercice 2:Le haut-parleur électrodynamique (Centrale TSI 2013) I – Équation mécanique

1. Schéma

z

d~l B~

d ~FL

i

2. La force de Laplace qui s’exerce sur un élément d`de la bobine est dF~<sub>L</sub>=id~`∧B~ =id`~u<sub>θ</sub>∧(−B~u<sub>r</sub>) =id`B~u_z. Pour trouver la force de Laplace totale, on intègre dF~_L entre0et `et on obtientF~<sub>L</sub>=i`B~u_z.

3. Le PFD projeté sur l’axez donne directementm¨z=i`B−kz−hz˙ II – Équation électrique

4. La puissance mécanique fournie par les forces de Laplace à l’équipage mobile est identique à la puissance électrique fournie au circuit. On a doncP_e=P_L.

5. On a Pe =U i, et PL =F~L·~v =i`B<sup>dz</sup><sub>dt</sub>. Or, la loi des mailles indique que e=−U et doncPe=−ei. Avec la question précédente on en conclut bien quee(t) =−B`^dz_dt

6. Schéma équivalent de la bobine :

e R L

u(t)

7. On au(t) =−e+UR+UL=−e+Ri+L^di_dt soitu(t) =B`^dz_dt +Ri+L^di_dt. III – Impédance du haut-parleur

8. Lorsqu’on passe en notation complexe, la dérivation se transforme en une multiplication par jω. L’équation mécanique devient−ω²mz=i`B−kz−jωhz ce qui est équivalent à l’équation demandée :−ω<sup>2</sup>z= <sup>B`</sup>_mi−_m^kz− jω_m^hz

On procède de la même manière avec l’équation électrique et on trouveu=jωB`z+Ri+jLωi

9. L’impédance complexe du haut-parleur estZ =u/i=jLω+R+jB`ωz/i. L’équation mécanique donnez _m^k −ω²+jω_m^h

= ^B`_mi.

10. Z se met donc bien sous la formeZ=R+jLω+Z_m avecZ_m=jB`ωz/i=jB`ω_k−mω^B`_2+jhω. Soit

Z_m= B²`²/h

1 +j ^mω_h −_hω^k = B²`²/h 1 +j

√km h

ω/

qk m−q

k m/ω

Par identification avec la formule donnée dans l’énoncé, on trouveR₀= ^B2_h^`2,Q_e=

√ km

h etω₀=q

k m. 11. lorsqueωω₀et ωω₀,|Z_m| →0.|Z_m|présente donc un maximum :

ω

|Z_m|

ω0

|Z_m|est maximum lorsqueω/ω0−ω0/ω= 0 donc lorsqueω=ω0et Z_m(ω0) =R0. Exercice 3:Une spire dans un champ magnétique (CCP TSI 2006)

1. Lorsque la spire pénètre dans la zone où règne le champ magnétique, le flux du champ magnétique à travers elle augmente, il y aura alors un courant induit dans la spire et elle va subir une force de freinage.

2. On choisit d’orienter le contour de la spire deN versP, la normale à la spire est alors orientée dans la direction

~

ez. Dans ces conditions, le flux du champ magnétique à travers la spire est :

— pourx <0,Φ = 0

— pour0≤x≤b,Φ =Bax

— pourx > b,Φ =Bab

3. La force électromotrice induite dans la spire est alors : e(t) =−dφ

dt Elle est non nulle que lorsque0≤x≤bet vaut

e(t) =−Bav et l’intensité qui circule dans la spire dans ce cas est

i(t) = e

R =−Bav R On a choisieetiallant deN versP.

4. La force de Laplace est non nulle uniquement lorsque0≤x≤bet vaut F~L=iaB~ex=−B²a²v

R ~ex

5. Le PFD donne

md~v

dt =F~_L=−B²a² R ~v En écrivant~v=v~exOn obtient l’équation différentielle :

dv

dt +B²a² mR v= 0 6. En utilisant la relation fournie, on obtient

dv

dxv+B²a² mR v= 0 Soit en divisant parv :

dv

dx+B²a² mR = 0

7. On intègre l’équation précédente, avec la condition initialev(0) =v0 on obtient : v(x) =v₀−B²a²

mR x

Cette équation est valable pour0≤x≤b. On obtient l’allure suivante pourv(x):

x 0

v(x) v0

−^b₂ b ^3b

2

8. La spire conductrice pourra entrer totalement dans la zone de champ magnétique à condition quev(b)≥0, c’est à dire que

v0>B²a²b mR

9. La condition précédente étant vérifiée, la variation d’énergie cinétique de la spire est

∆Ec= 1 2v₀²−1

2

v0−B²a²b mR

²

= B²a²b mR

v0−B²a²b 2mR

L’énergie cinétique perdue par la spire a été convertie en chaleur par effet Joule dans la résistance de la spire.

Exercice 4:Spire en rotation dans un champ magnétique (CCP TSI 2009)

1. Lorsque la spire tourne, le flux du champ magnétique qui la traverse varie, ce qui provoque une fem induite dans la spire et donc un courant induit qui va circuler dans le dipôleX.

2. Le flux du champ magnétique à travers la spire estΦ =SBcos(θ). 3. La force électromotrice induite dans la spire este=−dΦ

dt =SBωsin(ωt) 4. L’intensitéiqui traverse la résistance esti=e/R donc

i(t) =SBωsin(ωt) R 5. La puissance dissipée par effet Joule dans la résistance est

P_J=Ri²(t) = (SBωsin(ωt))²

R de valeur moyenne hPJi=(SBω)² 2R

6. Si la vitesse de la spire est constante, la somme des moments des forces qu’elle subit est nulle, doncΓL+ Γm= 0 avecΓL le couple des forces de Laplace et Γmle couple exercé par le moteur projetés sur l’axe~ez.

Or, on aΓL= (M~ ∧B)~ ·~ez= (i ~S∧B)~ ·~ez=−iBSsin(θ)donc le couple exercé par le moteur est Γm=iBSsin(ωt) = (SB)²ωsin²(ωt)

R ≥0

Le couple exercé par le moteur est toujours positif, donc c’est toujours un couple moteur.

La puissance du couple moteur estPm= Γmω et donc la puissance moyenne est : hPmi=(SBω)²

2R

7. On trouve comme on pouvait s’y attendre que la puissance moyenne fournie par le moteur est identique à la puissance moyenne dissipée par effet Joule. Comme la vitesse de rotation est constante, la totalité de la puissance fournie par le moteur est dissipée par effet Joule.

8. Si le dipôleX est un condensateur, on ai(t) =C^d_d^e_t et donc i(t) =SBCω²cos(ωt)

9. Dans ces conditions, le couple des forces de Laplace qui s’exercent sur la spire est ΓL = iBSsin(ωt) = (SB)²Cωcos(ωt)sin(ωt) dont la valeur moyenne est nulle. Il ne faudra donc pas exercer de couple mécanique sur la spire pour garder sa vitesse de rotation moyenne constante.

10. La puissance électrique instantanée reçue par le condensateur est Pc(t) =e(t)i(t) = (SB)²ω³Ccos(ωt)sin(ωt) = 1

2(SB)²ω³Csin(2ωt) La valeur moyenne de cette puissance est évidemment nulle.hsin(2ωt)i= 0

11. Au cours d’un tour de la spire, le condensateur est :

— Récepteur lorsque sin(2ωt)>0 donc pour0 ≤t ≤T/4 et T/2≤ t ≤3T/4. L’énergie reçue provient du moteur qui fait tourner la spire à vitesse constante.

— Générateur lorsque sin(2ωt)<0 donc pourT/4≤t≤T/2et3T/4≤t≤T. L’énergie libérée est reçue par le moteur qui fait tourner la spire à vitesse constante.