N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
K ARAGIANNIDÈS
Sur l’équilibre indifférent d’une chaîne pesante sur une courbe
Nouvelles annales de mathématiques 3e série, tome 16 (1897), p. 374-376
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SUR L'ÉQUILIBRE «DIFFÉRENT D'UNE CHAINE PESANTE SUR UNE COURBE;
PAR M. KARAGÏÀNNIDÈS.
Considérons une courbe parfaitement polie et une (haine homogène pesante de longueur / glissant sans frottement sur la courbe. Quelle doit être la forme de la courbe pour que la chaîne soit en équilibre dans toutes ses positions?
Il faut et il suffit pour cela que le centre de gravité de la chaîne reste à une hauteur constante, quand la chaîne glisse sur la courbe. Prenons un axe Oj' vertical et appelons s Tare de courbe; on devra avoir
f yds= C,
quel que soit s. Soit, le long de la courbe, y =--/(*),
en diiférentiant l'équation ( r ) , ou aura
( 9 ) fis •+• *)—/(*) = o .
La fonction f (s) doit donc admettre la période /. Il y a une infinité de courbes planes et gauches répondant à la question.
Bornons-nous à des exemples simples de courbes planes dans un plan vertical.
Supposons
2 7T V Y = asm —j— i
( 3;5 ) a constante. On en tire
1 - y
s = •— arc*m —,z~ a
et en différentiant
/ , . . , , l d)
Posons pour abréger — = b. Nous avons
On a donc x en fonction de y par une intégrale ellip- tique.
Dans le cas particulier où b = a, l'intégration est immédiate; on a
X — #0 =
la courbe est un cercle de rayon a, et de circonférence
i-Ka — •>. ~b = l,
solution évidente.
Supposons maintenant a différent de &, et pour fixer les idées a<^b. On a alors, en faisant
Cette courbe est aisée à construire : elle n'a pas de tangente verticale, car -y- ne s'annule pas ; elle a des inflexions sur OJC, comme une sinusoïde.
En intégrant par des fonctions elliptiques avec les notations de Jacobi, on obtiendra (voyez, par exemple, le Traité de MM. Appell et Lacour) :
x = a2 u -+- Z(M),
/ , a\
( m o d — ) ,
(c) \ rr dy \ y
J " — / — • — — ~ nrg en -
•-ƒ
jK = ctcnb u.
Si a était supérieur à h, la courbe aurait des tan- gentes verticales et horizontales.
On pourrait prendre de même, au lieu de la solution simple
. '2 7T S
y = —=—
. VTZS . 'STZS . '\TZS . 4 ^ ^
y — At cos — H Bjsin — -+- A2cos —j- -h B2sin — Artcos—-.— H-B/iSin— — ,
les A et les B étant des constantes. Il serait intéressant de voir si, parmi ces courbes, il s'en trouve d'algé- briques aulres que le cercle.
