Foyers et directrices des surfaces du second ordre

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

H. L ^EMONNIER

Foyers et directrices des surfaces du second ordre

Nouvelles annales de mathématiques 2^e série, tome 14 (1875), p. 216-222

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FOYERS ET DIRECTRICES DES SURFACES DU SECOND ORDRE,

PAR M. H . LEMONNIER,

Professeur de Mathématiques spéciales au lycée Henri IV.

1. Soit (f(xy y, z) l'ensemble des termes du second degré dans 1' équation générale du second degré

Si les coordonnées sont rectangulaires et que S soit une racine de l'équation ordinaire dite en S, on sait que Ton a deux plans cycliques par l'équation

?- S ( x2+ , r2 + «:) = o.

Posons

a et p désignant ainsi deux fonctions du premier degré.

Deux plans cycliques quelconques respectivement pa- rallèles aux plans « et |3ayant pour équations a -f- 2/7=^0, j3 H- iq = o, l'équation

.ƒ>> J, *) — (a -4- *ƒ>)(? + ²? )

— 2/?P — ZqoL — (\pq

-f- D — _{— iqat. —}

sera celle d'une sphère passant par les deux sections cycliques relatives à ces plans.

Si la sphère est de rayon nul, son centre sera un foyer de la surface 5 alors on a pour ce centre

Sr-f-C' -pf^y-ça^y =

Cx CTz -hD— ^{= O.}

L'élimination de p et de q entre ces quatre équations mène à deux équations pour le lieu des foyers qui cor- respondent à la valeur de S considérée.

Les trois premières équations donnent d'abord

p'

Sz-hC" p'z

= 0,

( a i 8 )

OU

X

jr z

F, h ft

r

"y -4-

c

C'

c K

ff

ft

= 0.

C'est l'équation d'un plan qui passe par le centre de la surface, puisqu'il passe à l'origine quand elle est en ce centre, et ce plan est perpendiculaire à l'intersection des plans a et j3. C'est, en conséquence, le plan principal perpendiculaire a la direction que détermine S, en sup- posant S différent de zéro.

Considérons d'autre part les équations S.r-4-C — ppx — q*x^0, C'z-f-D

On peut d'abord en tirer

— qx—pfr —q*t ^{= O.}

a H- OU

Sz-f-C'

a-f-a', p-f-

=4 ft.

*; ft

Or, par les équations

on obtient

fi' '

ft •.

P* ax

ft «;

p

Sx-+-C St-hC

Px

ft

Sx-f-C

d'où

ft

puis il en résulte

Sa: H- C Sz H- C"

d'où

P.

p;

p;

Sz -f-C"

p;

Sx + C a^

Sz-f-C'7 a'

S.r H- C

p;

On a ainsi une équation du second degré ou une identité.

Par le changement de x en ƒ ou de z enj^, on aurait deux autres équations analogues. L'une d'elles au moins, jointe à Péquation du plan signalé, détermine une co- nique comme lieu de foyers répondant à la valeur de S.

Application à Vellipsoïde. — Soit

- Prenons S = —, nous aurons

à2

r⁷

b*

( 23O )

d'où

__ sj b2—c2 \/a7— b2

• '. *• 7

bc ab

\/b2—c2 Ja2—b'

bc ab

par suite

\J a2— b2

Û' '^ — c²

__ sla2— b2 y/A2— _2

ab2c L ' é q u a t i o n ( i ) d e v i e n t

et l ' é q u a t i o n ( a )

sla2-~b2\lb2 — c*

ab2c

T

— c2 Jb' — c1

bc

x \ja2 — i

z b⁷— c²

~bc

bc

o

U2—b2

~a~b /b7 — c2

r = O

OU

(Ö2—6*)(62— cn [ x2-h2

_ _ _ _ _ 1 1 - 1 - , a

\

-hz'\ b2—c2x2 a2— b2 z2

b* a}b2

a2c2 b7c2 a2 a2b* c2 '

x» z2

b- — c²= ï .

On a ainsi pour focale dans le plan xz, vu qu'on pose a^>b>c, une hyperbole ayant pour sommets réels les foyers de l'ellipse du plan xy, et pour foyers ceux de l'ellipse du plan xz.

Les deux autres focales, en déduisant de là leurs équa- tions par permutation tournante, ont pour équations, l'une

X*

l'autre

—— J .

Si l'on considère un point pour équation, avec y = o,

sur la focale qui a

on a, pour les valeurs de p et de q correspondantes,

/,2 ^ ^,2 ^

p = .r,

b'

b2

)Jb'-C' bc

V

.X,

b'2

b*

'b²—c*

si s/

b*

\/

V a* -

rib

(/> - OC

«' -

ab Ir -

bc

- Ù'

- c1

sla1 — b2

ab

• b2

S'a2 — b*

Te ï* Vb

d'au

bc \ b2 — *:*/ ub \ m*—b%]

pour les plans d'intersection de Tellipsoïde et de la sphère- foyer (o?!, o, Zy). L'intersection de ces plans est donc donnée par

c1zx

d'où

c'est la directrice correspondant au foyer (a^, o, z^). Le plan du foyer et de la directrice est normal à la focale et coupe la surface suivant une conique qui a le point (j?i, o, -Zj) pour foyer et la droite pour directrice cor- respondante.

Je m'arrête, n'ayant pas à développer ici toute la théo- rie des foyers dans les surfaces du second degré.