Chapitre 1QUELQUES NOTIONS DE PHYSIQUE CRISTALLINEPHYSIQUE CRISTALLINE

Master Chimie de Matériaux

Matériaux oxydes pour les applications électriques et électroniques

P. Marchet

[email protected]

électriques et électroniques

R. El Bouayadi

[email protected]

Chapitre 1

QUELQUES NOTIONS DE PHYSIQUE CRISTALLINE PHYSIQUE CRISTALLINE

Introduction à l’utilisation des tenseurs dans l’étude des propriétés des cristaux

Introduction à l’utilisation des tenseurs dans l’étude des tenseurs dans l’étude des propriétés des cristaux

Une propriété physique est l’entité qui relie deux grandeurs mesurables, elles mêmes ne

représentant aucune propriété particulière

Ces grandeurs mesurables peuvent être des scalaires ou des vecteurs

Exemples :

force = masse x accélération f = m . a

Matériaux anisotropes : la plupart des cristaux étant anisotropes, leurs propriétés physiques seront décrites par des équations tensorielles

force = masse x accélération f = m . a

induction magnétique = perméabilité x champ magnétique B = µ₀ . H

Matériaux isotropes : la propriété est un scalaire

induction magnétique = perméabilité x champ magnétique B = µ₀ . H

Cause (ex : H)

Tenseur de rang n

Propriété = Effet (ex : B)

Cas général des cristaux :

Propriété = Effet Cause

Tenseur de rang m + n

Tenseur de rang n

Tenseur de rang m

Propriété = Effet Cause

Tenseur de rang m + n

Tenseur de rang n

Tenseur de rang m Tenseur de rang m

Scalaires et vecteurs

Scalaires

densité, température,...

Un nombre : d , T,...

Tenseurs de rang 0

Vecteurs

force, champ électrique, moment dipolaire,...

Trois composantes E = [E₁, E₂, E₃]

Tenseurs de rang 1

Tenseurs du 2

rang

Exemple : densité de courant J dans un

conducteur sous champ électrique E Conducteur

isotrope

J = σ E

J et E sont colinéaires

J (j

, j

, j

) _j

1

= σ E

j

= σ E

j

= σ E

E E (E

, E

, E

)

σ est alors un scalaire = tenseur de rang 0

Tenseurs du 2

rang

Exemple : densité de courant J dans un conducteur sous champ électrique E

Conducteur

anisotrope

J = σ E

J et E peuvent être non colinéaires

j (j

, j

, j

)

E (E

, E

, E

)

j

= σ

E

+ σ

E

+ σ

E

j

= σ

E

+ σ

E

+ σ

E

j

= σ

E

+ σ

E

+ σ

E

σ est alors un tenseur de rang 2

j

= σ

E

+ σ

E

+ σ

E

j

= σ

E

+ σ

E

+ σ

E

j

= σ

E

+ σ

E

+ σ

E

Tenseurs du 2

rang

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

Tenseur du 2ème rang

σ

σ

σ

σ

j

= σ

E

p

= T

q

+ T

q

+ T

q

p

= T

q

+ T

q

+ T

q

p = [p

p

p

] q = [q

q

q

]

p

= T

q

Utilisation des tenseurs du 2

rang

q = cause et p = effet : peuvent être non colinéaires

p

= T

q

+ T

q

+ T

q

p

= T

q

+ T

q

+ T

q

p

= T

q

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

=

quantité physique qui dépend du repère choisi

Quelques exemples de tenseurs du 2^ème rang

Propriété cause effet

Conductivité électrique

Champ électrique Densité de courant Conductivité

thermique

Gradient de température

Densité de flux de chaleur Permittivité Champ électrique Déplacement Permittivité Champ électrique Déplacement diélectrique Susceptibilité

diélectrique

Champ électrique Polarisation Perméabilité Champ

magnétique

Induction magnétique Susceptibilité

magnétique

Champ magnétique

Aimantation

Rang du tenseur

Nb de coefficients

Nature Exemples

0 1 Scalaire Densité, température, masse 1 3 Vecteur Champ électrique, polarisation

Déplacement électrique, Coefficients pyroélectriques

Exemples de propriétés et des tenseurs associés

Coefficients pyroélectriques 2 9 Tenseur Permittivité, conductivité,

Contrainte, déformation 3 27 Tenseur Coefficients piézoélectriques 4 81 Tenseur Coefficients élastiques

Contraintes et

et

déformations

Introduction

La contrainte

Une forceF est appliquée à un bloc de matériau : F se transmit à travers le bloc, et est compensée par une force opposée (exercée par le support sur le bloc) : support est remplacé par le force opposé.

F agit sur les sections du bloc parallèles à la surface d’application : le bloc est dans un état contraint.

L’intensité de la contrainte est : L’intensité de la contrainte est :

σest produite par une force qui tire perpendiculairement à la surface : Contrainte detraction

si la force fait un angle avec la surface : la force est décomposée en deux composantes :

Une composante normale, qui engendre une contrainte de tractionσ^{= F}n/A.

La contrainte de cisaillement ττττ (Cission) égale àF_t/A.

Dimension d’un contrainte [N/m²] ou pascal, unité trop petite dans la plupart des pascal, unité trop petite dans la plupart des applications, on utilise souvent [MN/m²] ou Mpa.

En traction simple : la déformation en traction est proportionnelle à la contrainte de traction :

E : module de Young.

Idem,la déformation de cisaillement est proportionnelle à la cission : G : module de cisaillement.

L’opposé de la dilatation est proportionnel à la pression : K : module de compressibilité.

Loi de HOOKE

Définir les constantes élastique (élasticité linéaire)

Rqs: les modules ont la même dimension que les contraintes (GPa) Rqs: les modules ont la même dimension que les contraintes (GPa)

La plupart des solides ont une réponse élastique seulement pour les très petites déformations <0,1%).

On a défini quatre constantes élastiques, mais pour la plupart des matériaux : K∼ E, ν∼ 0,33 etG∼3E/8.

Les modules élastiques caractérisent la rigidité d’un matériau (résistance à la déformation élastique)

Une traction simple entraîne des déformations de traction. Le cube s’allonge de u dans la direction de traction.

On définit la déformation longitudinale conventionnelle(nominale) par :

La section du cube sous contrainte

diminue :la déformationlatéraleest décrite par

La déformation

Les matériaux réagissent aux contraintes en se déformant.

diminue :la déformationlatéraleest décrite par lecoefficient de poisson ν :

Une cission crée des déformations de cisaillement : le tube est cisaillé latéralement sur une longueur w, ladéformation de cisaillement(distorsion) est : θ :angle de cisaillement.

Déformation élastiques sont toujours très petites :

γγγγ= θθθθ

Dilatation(variation du volume): Pression hydrostatique 20

Contraintes agissant sur un parallélépipède en équilibre statique : élément de matière de forme cubique (amorphe, polycristallin ou monocristallin)

Force

Contrainte = Aire = σσσσ [N m^-2]

σσσσ₁₃ σσσσ₂₃ σσσσ₃₃

x₃ Tenseur des contraintes

σσσσ

i : direction de la force j : normale à la face sur

laquelle la contrainte agit

σσσσ₁₁ σσσσ₂₁ σσσσ₃₁

σσσσ₁₂ σσσσ₂₂ σσσσ₃₂ σσσσ₁₃

x₁

x₂

Tenseur symétrique

σσσσ_ij = σσσσ_ji

9 composantes :

tension (3) + cisaillement (6)

i = j i

≠≠≠≠

σσσσ₂₂

1 3 2

σσσσ_33333333 tension

On ne considère ici que des contraintes donnant naissance à des déformations purs ! (pas de mouvement général du corps)

σσσσ₁₁

1

σσσσ_ii = tension (traction ou compression)

cisaillement

σσσσ σσσσ₂₁

1 3 2

σσσσ₁₂

σσσσ₁₂ et σσσσ₂₁ ont donc le même effet : cisaillement autour de l’axe 3

σσσσ_ij = σσσσ_ji = cisaillement

Tenseur symétrique

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σσσσ₁, σσσσ₂, σσσσ₃ : composantes normales σσσσ₄, σσσσ₅, σσσσ₆ : composantes σσσσ₁, σσσσ₂, σσσσ₃ : composantes normales

ou axiales

σσσσ₄, σσσσ₅, σσσσ₆ : composantes de cisaillement

1

2 3

4

5 6

1

2 3

Notation tensorielle

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

Ou bien

2 3

5 6

Notation matricielle (Notation de Voigt)

 

 



 

 



3 2 1

σ σ σ

1

2

4

 

 



 

 

 



σ

σ

σ

x₂

∆∆∆∆x₁

∆∆∆∆u₁

∆∆∆∆u₂ e₁₂

e₂₁ e_ij = ∂u_i

∂x_j

Déformations

e_ij = εεεε

ij + ϖ_ij

rotation déformation

∆∆∆∆x₁ x₁

∆∆∆∆u₁ ϖ_ij = 1/2(e_ij - e_ji)

ε ε ε

εij = 1/2(e_ij + e_ji) i = j : extensions i ≠≠≠≠ j : cisaillement

ε εε

ε11 εεεε

12 εεεε

13

ε εε

ε12 εεεε

22 εεεε

23

εεε

ε13 εεεε

23 εεεε

33

Tenseur des déformations

2 3

5 6

Notation matricielle

 

 



 

 



3 2 1

ε ε ε

1

2

4

 

 



 

 

 



ε

ε

ε

Notation matricielle

=











36 35

34 33

32 31

16 25

24 23

22 21

16 15

14 13

12 11

S S

S S

S S

S S

S S

S S

S S

S S

S S

 

 



 

 



3 2 1

ε ε ε

 

 



 

 



3 2 1

σ σ σ

=







 





 61 62 63 63 65 66

56 55

54 53

52 51

46 45

44 43

42 41

36 35

34 33

32 31

S S

S S

S S

S S

S S

S S

S S

S S

S S

ε _i = S _ij σ _j

 

 



 

 

 



ε ε ε

 

 



 

 

 



σ

σ

σ

Propriétés diélectriques et magnétiques :

Aimantation,

Polarisation diélectrique

Induction diélectrique et magnétique : dans le vide

Electrostatique Magnétisme

+ + + + +

- - - - -

E H

S U D q

r

r 



 



= 

0

E D

r r

0

= ε

I

H B

r r

0

= µ

B

la densité de charge sur les plaquesest égale à la valeur du

champDentre les plaques

Dans le vide

E D

r v

0

0 = ε B H

r r

0 0 = µ

Electrostatique Magnétisme

E

D ₀ = ε ₀ B ₀ = µ ₀ H

Cause : Champ magnétique Effet :

Induction magnétique Cause :

Champ électrique Effet :

Déplacement diélectrique

E D

r r

ε 0

=

UNITES

V / m

C/ m

µ = 4 π 10

N / A

exactement

ε

Permittivité (diélectrique) du vide en F / m

µ

Perméabilité (magnétique) du vide en N / A

µ

= 4 π 10

N / A

exactement

ε

≈ 1 / (36 π 10

F / m

ε

µ

C

= 1

Induction diélectrique et magnétique : dans un milieu matériel

Electrostatique Magnétisme

+ ++

+ +

- --

- -

E H

E D

r r = ε

I

H B

r r = µ

B

Milieu matériel

Electrostatique Magnétisme

C

C D

D _{= =} ε ε ₌ ε

0 0

0

B

B ₌ µ µ ₌ µ

0 0

Permittivité

(diélectrique) relative

Perméabilité

(magnétique) relative

ε

et µ

sans dimension

P = ????

S U P q

r

r = U

d d S P q

r

r = µ U

P

r r

= V

Surface S Epaisseur d

S

P = charge / unité de surface

d

S P U

= V

P = moment

dipolaire / unité de

volume

Milieu matériel

Electrostatique Magnétisme E

D

r

r = ε B H

r r = µ

P E

D

r r

r = ε

+ ^{B r = µ}

( ^{H r + M r} )

H M

r r = χ E

P

r r = ε

χ

( ) ^E

D

r

r = ε

1 + χ ^{B r = µ}

( ^{1 + χ} ) ^{H r}

( ^χ

) ^{ε ε}

ε

ε =

1 + =

^{µ = µ}

( ^{1 + χ} ) ^{= µ}

^µ

Relations entre les propriétés

d’équilibre thermiques, électriques et d’équilibre thermiques, électriques et

mécaniques des cristaux

Relations entre les propriétés d’équilibre thermiques, électriques et mécaniques des cristaux

ε ε ε

ε σσσσ _{D E S T}

ε ε ε ε σσσσ

Variable cause Variable

effet

Elasticité Effet piézo- électrique

Dilatation thermique

D E

T S

Propriétés diélectriques Effet piézo-

électrique

Effet piézo- calorique

Effet électro- calorique

Effet pyro- électrique

Capacité calorifique

D (1)

E Diagramme (1)

de Heckmann

Effets principaux

Effets couplés Permittivité (2)

S (0) ε

ε ε ε (2)

(1)

T (0) σσσσ

(2)

Capacité calorifique (0) Élasticité (4)

D (1)

E Diagramme (1)

de Heckmann

Effets principaux Effets couplés

E (1)

Effets

électrothermiques (1)

Effets

électromécaniques (3)

S (0) ε

ε ε ε (2)

(1)

T (0) σσσσ

(2) T

(0) σσσσ

(2)

D (1)

E Diagramme (1)

de Heckmann

Effets principaux Effets couplés

E (1)

Effet pyroélectrique Effet électrocalorique Effet piézoélectrique inverse

S (0) ε

ε ε ε (2)

(1)

T (0) σσσσ

(2) T

(0) σσσσ

(2)

Effet pyroélectrique Effet piézoélectrique

direct

piézocalorique Dilatation thermique

D (1)

E Diagramme (1)

de Heckmann

Effets principaux Effets couplés

S (0) ε

ε ε ε (2)

(1)

T (0) σσσσ

(2)

Effets principaux

Variation de température dT Variation d ’entropie dS

T dT

dS = C Capacité calorifique

Variation du champ électrique dE

Variation du déplacement électrique dD

électrique dE_j

Permittivité

électrique dD_i j

ij

i

dE

dD = ε

Variation de la contrainte dσ_kl

Elasticité

Variation de la déformation dεεεε_ij kl

ij

s

d

d ∈ = σ

Quelques effets couplés

Variation de température dT Variation de la déformation dεεεε_ij

Dilatation thermique

Variation de la contrainte dσ_jk

Variation du déplacement électrique dD_i (ou de la

polarisation dP )

dT α

dε

=

contrainte dσ_jk polarisation dPⁱ _i)

Effet piézoélectrique direct

jk

i ijk

d

dD = d σ

Variation de température dT

Variation du déplacement électrique dD_i (ou de la

polarisation dP_i)

Effet pyroélectrique

dT p

dD

=

Un peu de thermodynamique

Dans un cristal

Causes

σσσσ_ij : contrainte

E_k : champ électrique ^Variables

indépendantes

Effets

T : température

εε εε

ij : déformation P_k : polarisation

∆∆∆∆S : variation d ’entropie

indépendantes

Variables dépendantes

Un peu de thermodynamique (suite)

Enthalpie libre

dG = - εεεε

ij dσσσσ_ij - P_k dE_k - S dT

G = H - TS - E_k P_k - σσσσ_ij εεεε

ij

Le système est

dG = -εεεε

ij dσσσσ_ij - P_k dE_k - S dT = (∂G/∂σσσσ_ij)_E,T dσσσσ_ij + (∂G/∂E_k)_σσσσ,T dE_k + (∂G/∂T)_σσσσ,E dT

Le système est complètement

défini par σσσσ, E et T G est une fonction d ’état

(∂G/∂σσσσ_ij)_E,T = - εεεε

ij (∂G/∂E_k)_σσσσ,T = - P_k (∂G/∂T)_σσσσ,E = - S

Un peu de thermodynamique (suite et fin)

-∂²G

∂σσσσ_ij ∂E_k = ∂εεεε

ij

∂E_k = d_ijk Effet piézoélectrique inverse

-∂²G

∂E_k ∂σσσσ_ij = ∂P_k

∂σσσσ_ij = d_ijk Effet piézoélectrique direct

-∂²G

∂σσσσ_ij ∂T = ∂εεεε

ij

∂T = αααα_ij Dilatation thermique

∂σσσσ_ij ∂T ∂T

-∂²G

∂T ∂σσσσ_ij = ∂SSSS

∂σσσσ_ij = e_ij Effet piézocalorique

-∂²G

∂E_k ∂T = ∂P_k

∂T = p_k Effet pyroélectrique

-∂²G

∂T ∂E_k = ∂S

∂E_k = e_k Effet électrocalorique

Principe de Neumann

Les propriétés des cristaux sont liées à leur symétrie

Pour les cristaux, la plupart de ces grandeurs sont des grandeurs tensorielles traduisant

leurs propriétés

Principe de Neumann

Les éléments de symétrie de toute propriété physique d ’un cristal doivent

contenir les éléments de symétrie du

groupe ponctuel du cristal