1 octobre2015 AntoineAmarilli ,PierreBourhis ,PierreSenellart Circuitsdeprovenancepourlesarbresetlesinstancesquasi-arborescentes

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Circuits de provenance pour les arbres et les instances quasi-arborescentes

Antoine Amarilli¹, Pierre Bourhis², Pierre Senellart^1,3

1Télécom ParisTech

2CNRS CRIStAL

3National University of Singapore

1^er octobre 2015

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Problème général

Considérons une requête et uneinstance relationelle Souvent, évaluer la requête nesuffit pas:

→ On cherche de l’information quantitative

→ On cherche lelienentre lerésultatet l’entrée

→ Calculer la provenancede la requête !

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Problème général

Considérons une requête et uneinstance relationelle Souvent, évaluer la requête nesuffit pas:

→ On cherche de l’information quantitative

→ On cherche lelienentre lerésultatet l’entrée

→ Calculer la provenancede la requête !

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 1 : sécurité pour une requête conjonctive

Considérons larequête conjonctive :∃xyz R(x,y)∧R(y,z) Considérons l’instance relationnellesuivante :

R a b b c d e e d f f

Résultat : vrai

Ajouter des annotations de sécurité:

Public, Confidentiel, Secret, Secret défense, Indisponible Quelle est l’accréditationnécessaire ?

→ Résultat : Confidentiel

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 1 : sécurité pour une requête conjonctive

Considérons larequête conjonctive :∃xyz R(x,y)∧R(y,z) Considérons l’instance relationnellesuivante :

R a b b c d e e d f f

Résultat : vrai

Ajouter des annotations de sécurité:

Public, Confidentiel, Secret, Secret défense, Indisponible Quelle est l’accréditationnécessaire ?

→ Résultat : Confidentiel

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 1 : sécurité pour une requête conjonctive

Considérons larequête conjonctive :∃xyz R(x,y)∧R(y,z) Considérons l’instance relationnellesuivante :

R a b Public b c Secret d e Confidentiel e d Confidentiel f f Secret défense

Résultat : vrai

Ajouter des annotations de sécurité:

Public, Confidentiel, Secret, Secret défense, Indisponible

Quelle est l’accréditationnécessaire ?

→ Résultat : Confidentiel

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 1 : sécurité pour une requête conjonctive

Considérons larequête conjonctive :∃xyz R(x,y)∧R(y,z) Considérons l’instance relationnellesuivante :

R a b Public b c Secret d e Confidentiel e d Confidentiel f f Secret défense

Résultat : vrai

Ajouter des annotations de sécurité:

Public, Confidentiel, Secret, Secret défense, Indisponible Quelle est l’accréditationnécessaire ?

→ Résultat : Confidentiel

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 1 : sécurité pour une requête conjonctive

Considérons larequête conjonctive :∃xyz R(x,y)∧R(y,z) Considérons l’instance relationnellesuivante :

R a b Public b c Secret d e Confidentiel e d Confidentiel f f Secret défense

Résultat : vrai

Ajouter des annotations de sécurité:

Public, Confidentiel, Secret, Secret défense, Indisponible Quelle est l’accréditationnécessaire ?

→ Résultat : Confidentiel

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 1 : sécurité pour une requête conjonctive

Considérons larequête conjonctive :∃xyz R(x,y)∧R(y,z) Considérons l’instance relationnellesuivante :

R a b Public b c Secret d e Confidentiel e d Confidentiel f f Secret défense

Résultat : vrai

Ajouter des annotations de sécurité:

Public, Confidentiel, Secret, Secret défense, Indisponible Quelle est l’accréditationnécessaire ?

→ Résultat : Confidentiel

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 1 : sécurité pour une requête conjonctive

Considérons larequête conjonctive :∃xyz R(x,y)∧R(y,z) Considérons l’instance relationnellesuivante :

R a b Public b c Secret d e Confidentiel e d Confidentiel f f Secret défense Résultat : vrai

Ajouter des annotations de sécurité:

Public, Confidentiel, Secret, Secret défense, Indisponible Quelle est l’accréditationnécessaire ?

→ Résultat : Confidentiel

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 1 : sécurité pour une requête conjonctive

Considérons larequête conjonctive :∃xyz R(x,y)∧R(y,z) Considérons l’instance relationnellesuivante :

R a b Public b c Secret d e Confidentiel e d Confidentiel f f Secret défense

Résultat : vrai

Ajouter des annotations de sécurité:

Public, Confidentiel, Secret, Secret défense, Indisponible Quelle est l’accréditationnécessaire ?

→ Résultat : Confidentiel

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 2 : sémantique multiensembliste

Considérons à nouveau :∃xyz R(x,y)∧R(y,z).

R

a b

b c

d e

e d

f f

Résultat : vrai

Ajoutons des annotations de multiplicité Combien de correspondancesde la requête ?

→ Résultat : 1 + 1 + 1 + 1 = 4

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 2 : sémantique multiensembliste

Considérons à nouveau :∃xyz R(x,y)∧R(y,z).

R

a b

b c

d e

e d

f f

Résultat : vrai

Ajoutons des annotations de multiplicité Combien de correspondancesde la requête ?

→ Résultat : 1 + 1 + 1 + 1 = 4

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 2 : sémantique multiensembliste

Considérons à nouveau :∃xyz R(x,y)∧R(y,z).

R

a b 1

b c 1

d e 1

e d 1

f f 1

Résultat : vrai

Ajoutons des annotations de multiplicité

Combien de correspondancesde la requête ?

→ Résultat : 1 + 1 + 1 + 1 = 4

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 2 : sémantique multiensembliste

Considérons à nouveau :∃xyz R(x,y)∧R(y,z).

R

a b 1

b c 1

d e 1

e d 1

f f 1

Résultat : vrai

Ajoutons des annotations de multiplicité Combien de correspondancesde la requête ?

→ Résultat : 1 + 1 + 1 + 1 = 4

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 2 : sémantique multiensembliste

Considérons à nouveau :∃xyz R(x,y)∧R(y,z).

R

a b 1

b c 1

d e 1

e d 1

f f 1

Résultat : vrai

Ajoutons des annotations de multiplicité Combien de correspondancesde la requête ?

→ Résultat : 1

+ 1 + 1 + 1 = 4

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 2 : sémantique multiensembliste

Considérons à nouveau :∃xyz R(x,y)∧R(y,z).

R

a b 1

b c 1

d e 1

e d 1

f f 1

Résultat : vrai

Ajoutons des annotations de multiplicité Combien de correspondancesde la requête ?

→ Résultat : 1 +1

+ 1 + 1 = 4

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 2 : sémantique multiensembliste

Considérons à nouveau :∃xyz R(x,y)∧R(y,z).

R

a b 1

b c 1

d e 1

e d 1

f f 1

Résultat : vrai

Ajoutons des annotations de multiplicité Combien de correspondancesde la requête ?

→ Résultat : 1 + 1 +1

+ 1 = 4

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 2 : sémantique multiensembliste

Considérons à nouveau :∃xyz R(x,y)∧R(y,z).

R

a b 1

b c 1

d e 1

e d 1

f f 1

Résultat : vrai

Ajoutons des annotations de multiplicité Combien de correspondancesde la requête ?

→ Résultat : 1 + 1 + 1 +1

= 4

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 2 : sémantique multiensembliste

Considérons à nouveau :∃xyz R(x,y)∧R(y,z).

R

a b 1

b c 1

d e 1

e d 1

f f 1

Résultat : vrai

Ajoutons des annotations de multiplicité Combien de correspondancesde la requête ?

→ Résultat : 1 + 1 + 1 + 1 = 4

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 3 : faits incertains

Considérons à nouveau :∃xyz R(x,y)∧R(y,z).

R

a b

b c

d e

e d

f f

Résultat : vrai

Voyons les faits commeincertains, mettons-leur des annotations atomiques

Pour quelles sous-instances la requête est-elle vérifiée ?

→ Résultat : (f₁∧f₂)∨(f₃∧f₄)∨f₅

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 3 : faits incertains

Considérons à nouveau :∃xyz R(x,y)∧R(y,z).

R

a b

b c

d e

e d

f f

Résultat : vrai

Voyons les faits commeincertains, mettons-leur des annotations atomiques

Pour quelles sous-instances la requête est-elle vérifiée ?

→ Résultat : (f₁∧f₂)∨(f₃∧f₄)∨f₅

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 3 : faits incertains

Considérons à nouveau :∃xyz R(x,y)∧R(y,z).

R a b f₁ b c f₂ d e f₃ e d f₄ f f f₅

Résultat : vrai

Voyons les faits commeincertains, mettons-leur des annotations atomiques

Pour quelles sous-instances la requête est-elle vérifiée ?

→ Résultat : (f₁∧f₂)∨(f₃∧f₄)∨f₅

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 3 : faits incertains

Considérons à nouveau :∃xyz R(x,y)∧R(y,z).

R a b f₁ b c f₂ d e f₃ e d f₄ f f f₅

Résultat : vrai

Voyons les faits commeincertains, mettons-leur des annotations atomiques

Pour quelles sous-instances la requête est-elle vérifiée ?

→ Résultat : (f₁∧f₂)∨(f₃∧f₄)∨f₅

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 3 : faits incertains

Considérons à nouveau :∃xyz R(x,y)∧R(y,z).

R

a b f₁

b c f₂

d e f₃ e d f₄ f f f₅

Résultat : vrai

Voyons les faits commeincertains, mettons-leur des annotations atomiques

Pour quelles sous-instances la requête est-elle vérifiée ?

→ Résultat : (f₁∧f₂)

∨(f₃∧f₄)∨f₅

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 3 : faits incertains

Considérons à nouveau :∃xyz R(x,y)∧R(y,z).

R a b f₁ b c f₂

d e f₃

e d f₄

f f f₅

Résultat : vrai

Voyons les faits commeincertains, mettons-leur des annotations atomiques

Pour quelles sous-instances la requête est-elle vérifiée ?

→ Résultat : (f₁∧f₂)∨(f₃∧f₄)

∨f₅

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 3 : faits incertains

Considérons à nouveau :∃xyz R(x,y)∧R(y,z).

R a b f₁ b c f₂

d e f₃

e d f₄

f f f₅

Résultat : vrai

Voyons les faits commeincertains, mettons-leur des annotations atomiques

Pour quelles sous-instances la requête est-elle vérifiée ?

→ Résultat : (f₁∧f₂)∨(f₃∧f₄)

∨f₅

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 3 : faits incertains

Considérons à nouveau :∃xyz R(x,y)∧R(y,z).

R a b f₁ b c f₂ d e f₃ e d f₄

f f f₅

Résultat : vrai

Voyons les faits commeincertains, mettons-leur des annotations atomiques

Pour quelles sous-instances la requête est-elle vérifiée ?

→ Résultat : (f₁∧f₂)∨(f₃∧f₄)∨f₅

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 3 : faits incertains

Considérons à nouveau :∃xyz R(x,y)∧R(y,z).

R a b f₁ b c f₂ d e f₃ e d f₄ f f f₅

Résultat : vrai

Voyons les faits commeincertains, mettons-leur des annotations atomiques

Pour quelles sous-instances la requête est-elle vérifiée ?

→ Résultat : (f₁∧f₂)∨(f₃∧f₄)∨f₅

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 4 : le semi-anneau universel N [X]

Considérons à nouveau :∃xyz R(x,y)∧R(y,z).

Mettons desannotations atomiques X=f₁, . . . ,f_n auxfaits Le semi-anneau le plus général :N[X], les polynômes enX

R a b f₁ b c f₂ d e f₃ e d f₄ f f f₅

→ Résultat : (f₁⊗f₂)⊕(f₃⊗f₄)⊕(f₄⊗f₃)⊕(f₅⊗f₅)

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 4 : le semi-anneau universel N [X]

Considérons à nouveau :∃xyz R(x,y)∧R(y,z).

Mettons desannotations atomiques X=f₁, . . . ,f_n auxfaits Le semi-anneau le plus général :N[X], les polynômes enX

R a b f₁ b c f₂ d e f₃ e d f₄ f f f₅

→ Résultat :

(f₁⊗f₂)⊕(f₃⊗f₄)⊕(f₄⊗f₃)⊕(f₅⊗f₅)

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 4 : le semi-anneau universel N [X]

Considérons à nouveau :∃xyz R(x,y)∧R(y,z).

Mettons desannotations atomiques X=f₁, . . . ,f_n auxfaits Le semi-anneau le plus général :N[X], les polynômes enX

R

a b f₁

b c f₂ d e f₃ e d f₄ f f f₅

→ Résultat :

(f₁⊗f₂)⊕(f₃⊗f₄)⊕(f₄⊗f₃)⊕(f₅⊗f₅)

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 4 : le semi-anneau universel N [X]

Considérons à nouveau :∃xyz R(x,y)∧R(y,z).

Mettons desannotations atomiques X=f₁, . . . ,f_n auxfaits Le semi-anneau le plus général :N[X], les polynômes enX

R

a b f₁

b c f₂ d e f₃ e d f₄ f f f₅

→ Résultat : (f₁⊗f₂)

⊕(f₃⊗f₄)⊕(f₄⊗f₃)⊕(f₅⊗f₅)

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 4 : le semi-anneau universel N [X]

Considérons à nouveau :∃xyz R(x,y)∧R(y,z).

Mettons desannotations atomiques X=f₁, . . . ,f_n auxfaits Le semi-anneau le plus général :N[X], les polynômes enX

R a b f₁ b c f₂

d e f₃

e d f₄ f f f₅

→ Résultat : (f₁⊗f₂)

⊕(f₃⊗f₄)⊕(f₄⊗f₃)⊕(f₅⊗f₅)

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 4 : le semi-anneau universel N [X]

Considérons à nouveau :∃xyz R(x,y)∧R(y,z).

Mettons desannotations atomiques X=f₁, . . . ,f_n auxfaits Le semi-anneau le plus général :N[X], les polynômes enX

R a b f₁ b c f₂

d e f₃

e d f₄ f f f₅

→ Résultat : (f₁⊗f₂)⊕(f₃⊗f₄)

⊕(f₄⊗f₃)⊕(f₅⊗f₅)

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 4 : le semi-anneau universel N [X]

Considérons à nouveau :∃xyz R(x,y)∧R(y,z).

Mettons desannotations atomiques X=f₁, . . . ,f_n auxfaits Le semi-anneau le plus général :N[X], les polynômes enX

R a b f₁ b c f₂ d e f₃

e d f₄

f f f₅

→ Résultat : (f₁⊗f₂)⊕(f₃⊗f₄)

⊕(f₄⊗f₃)⊕(f₅⊗f₅)

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 4 : le semi-anneau universel N [X]

Considérons à nouveau :∃xyz R(x,y)∧R(y,z).

Mettons desannotations atomiques X=f₁, . . . ,f_n auxfaits Le semi-anneau le plus général :N[X], les polynômes enX

R a b f₁ b c f₂ d e f₃

e d f₄

f f f₅

→ Résultat : (f₁⊗f₂)⊕(f₃⊗f₄)⊕(f₄⊗f₃)

⊕(f₅⊗f₅)

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 4 : le semi-anneau universel N [X]

Considérons à nouveau :∃xyz R(x,y)∧R(y,z).

Mettons desannotations atomiques X=f₁, . . . ,f_n auxfaits Le semi-anneau le plus général :N[X], les polynômes enX

R a b f₁ b c f₂ d e f₃ e d f₄

f f f₅

→ Résultat : (f₁⊗f₂)⊕(f₃⊗f₄)⊕(f₄⊗f₃)

⊕(f₅⊗f₅)

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 4 : le semi-anneau universel N [X]

Considérons à nouveau :∃xyz R(x,y)∧R(y,z).

Mettons desannotations atomiques X=f₁, . . . ,f_n auxfaits Le semi-anneau le plus général :N[X], les polynômes enX

R a b f₁ b c f₂ d e f₃ e d f₄

f f f₅

→ Résultat : (f₁⊗f₂)⊕(f₃⊗f₄)⊕(f₄⊗f₃)⊕(f₅⊗f₅)

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple 4 : le semi-anneau universel N [X]

Considérons à nouveau :∃xyz R(x,y)∧R(y,z).

Mettons desannotations atomiques X=f₁, . . . ,f_n auxfaits Le semi-anneau le plus général :N[X], les polynômes enX

R a b f₁ b c f₂ d e f₃ e d f₄ f f f₅

→ Résultat : (f₁⊗f₂)⊕(f₃⊗f₄)⊕(f₄⊗f₃)⊕(f₅⊗f₅)

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Spécialisation et homomorphismes

Ces exempless’exprimentpar des semi-anneaux commutatifs : semi-anneau desécurité (K,min,max,Public,Indisponible) semi-anneau desmultiplicités(N,+,×,0,1)

semi-anneaubooléen(PosBool[X],∨,∧,f,t) semi-anneauuniversel(N[X],+,×,0,1)

N[X]est le semi-anneauuniversel:

La provenance pourN[X]sespécialise vers toutK[X] Parcommutation avec les homomorphismes, les annotations atomiques deXpeuvent êtreremplacéespar leur valeur dansK

→ Calculer la provenance N[X]englobe toutes les tâches

→ Pour des requêtes conjonctives, c’est faisable entemps polynomial en l’instance d’entrée

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Spécialisation et homomorphismes

Ces exempless’exprimentpar des semi-anneaux commutatifs : semi-anneau desécurité (K,min,max,Public,Indisponible) semi-anneau desmultiplicités(N,+,×,0,1)

semi-anneaubooléen(PosBool[X],∨,∧,f,t) semi-anneauuniversel(N[X],+,×,0,1) N[X]est le semi-anneauuniversel:

La provenance pourN[X]sespécialise vers toutK[X]

Parcommutation avec les homomorphismes, les annotations atomiques deXpeuvent êtreremplacéespar leur valeur dansK

→ Calculer la provenance N[X]englobe toutes les tâches

→ Pour des requêtes conjonctives, c’est faisable entemps polynomial en l’instance d’entrée

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Spécialisation et homomorphismes

Ces exempless’exprimentpar des semi-anneaux commutatifs : semi-anneau desécurité (K,min,max,Public,Indisponible) semi-anneau desmultiplicités(N,+,×,0,1)

semi-anneaubooléen(PosBool[X],∨,∧,f,t) semi-anneauuniversel(N[X],+,×,0,1) N[X]est le semi-anneauuniversel:

La provenance pourN[X]sespécialise vers toutK[X]

Parcommutation avec les homomorphismes, les annotations atomiques deXpeuvent êtreremplacéespar leur valeur dansK

→ Calculer la provenance N[X]englobe toutes les tâches

→ Pour des requêtes conjonctives, c’est faisable entemps polynomial en l’instance d’entrée

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Provenance et probabilités

Évaluation probabilistede requêtes :

Requêteconjonctivefixée q:∃xyz R(x,y)∧R(y,z) Instance d’entréeTID:

R a b 0,6 b c 0,9

→ La probabilité deqest0,6×0,9

→ C’est laprobabilitéde la provenancePosBool[X]

→ #P-dur en les données (≈NP-dur pour le comptage)

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Provenance et probabilités

Évaluation probabilistede requêtes :

Requêteconjonctivefixée q:∃xyz R(x,y)∧R(y,z) Instance d’entréeTID:

R a b 0,6 b c 0,9

→ La probabilité deqest0,6×0,9

→ C’est laprobabilitéde la provenancePosBool[X]

→ #P-dur en les données (≈NP-dur pour le comptage)

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Provenance et probabilités

Évaluation probabilistede requêtes :

Requêteconjonctivefixée q:∃xyz R(x,y)∧R(y,z) Instance d’entréeTID:

R a b 0,6 b c 0,9

→ La probabilité deqest0,6×0,9

→ C’est laprobabilitéde la provenancePosBool[X]

→ #P-dur en les données (≈NP-dur pour le comptage)

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Provenance et probabilités

Évaluation probabilistede requêtes :

Requêteconjonctivefixée q:∃xyz R(x,y)∧R(y,z) Instance d’entréeTID:

R a b 0,6 b c 0,9

→ La probabilité deqest0,6×0,9

→ C’est laprobabilitéde la provenancePosBool[X]

→ #P-dur en les données (≈NP-dur pour le comptage)

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Arbres et instances quasi-arborescentes

Idées : les instances d’entrée doivent êtrequasi-arborescentes Décomposition en arbred’une instance : couvrir tous les faits

Largeur d’arbre: largeur minimale d’une décomposition (nombre maximal de sommets énumérés simultanément)

Lesarbressont de largeur1 Lescyclessont de largeur2

Lesk-cliqueset lesk-grillessont de largeurk−1

Quasi-arborescent:largeur d’arbrebornée par uneconstante

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Arbres et instances quasi-arborescentes

Idées : les instances d’entrée doivent êtrequasi-arborescentes Décomposition en arbred’une instance : couvrir tous les faits Largeur d’arbre: largeur minimale d’une décomposition (nombre maximal de sommets énumérés simultanément)

Lesarbressont de largeur1 Lescyclessont de largeur2

Lesk-cliqueset lesk-grillessont de largeurk−1

Quasi-arborescent:largeur d’arbrebornée par uneconstante

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Arbres et instances quasi-arborescentes

Idées : les instances d’entrée doivent êtrequasi-arborescentes Décomposition en arbred’une instance : couvrir tous les faits Largeur d’arbre: largeur minimale d’une décomposition (nombre maximal de sommets énumérés simultanément)

Lesarbressont de largeur1 Lescyclessont de largeur2

Lesk-cliqueset lesk-grillessont de largeurk−1

Quasi-arborescent:largeur d’arbrebornée par uneconstante

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Arbres et instances quasi-arborescentes

Idées : les instances d’entrée doivent êtrequasi-arborescentes Décomposition en arbred’une instance : couvrir tous les faits Largeur d’arbre: largeur minimale d’une décomposition (nombre maximal de sommets énumérés simultanément)

Lesarbressont de largeur1 Lescyclessont de largeur2

Lesk-cliqueset lesk-grillessont de largeurk−1

Quasi-arborescent:largeur d’arbrebornée par uneconstante

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Énoncé du problème

De nombreuses tâches sont tractables en les données sur les instances quasi-arborescentes:

L’évaluation de requêtes MSOestlinéaire[Courcelle, 1990]

Lecomptage de résultatsaussi [Arnborg et al., 1991]

L’évaluation probabiliste estlinéairepour les arbres [Cohen et al., 2009]

(MSO= premier ordre + quantification sur les ensembles ; couvre l’algèbre relationelle, Datalog monadique, etc.)

→ Peut-ondéfinir la provenance dans ce contexte ?

→ Peut-on la calculerefficacement ?

→ Peut-ongénéraliserces résultats ?

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Énoncé du problème

De nombreuses tâches sont tractables en les données sur les instances quasi-arborescentes:

L’évaluation de requêtes MSOestlinéaire[Courcelle, 1990]

Lecomptage de résultatsaussi [Arnborg et al., 1991]

L’évaluation probabiliste estlinéairepour les arbres [Cohen et al., 2009]

(MSO= premier ordre + quantification sur les ensembles ; couvre l’algèbre relationelle, Datalog monadique, etc.)

→ Peut-ondéfinir la provenance dans ce contexte ?

→ Peut-on la calculerefficacement ?

→ Peut-ongénéraliserces résultats ?

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Énoncé du problème

De nombreuses tâches sont tractables en les données sur les instances quasi-arborescentes:

L’évaluation de requêtes MSOestlinéaire[Courcelle, 1990]

Lecomptage de résultatsaussi [Arnborg et al., 1991]

L’évaluation probabiliste estlinéairepour les arbres [Cohen et al., 2009]

(MSO= premier ordre + quantification sur les ensembles ; couvre l’algèbre relationelle, Datalog monadique, etc.)

→ Peut-ondéfinir la provenance dans ce contexte ?

→ Peut-on la calculerefficacement ?

→ Peut-ongénéraliserces résultats ?

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Énoncé du problème

De nombreuses tâches sont tractables en les données sur les instances quasi-arborescentes:

L’évaluation de requêtes MSOestlinéaire[Courcelle, 1990]

Lecomptage de résultatsaussi [Arnborg et al., 1991]

L’évaluation probabiliste estlinéairepour les arbres [Cohen et al., 2009]

(MSO= premier ordre + quantification sur les ensembles ; couvre l’algèbre relationelle, Datalog monadique, etc.)

→ Peut-ondéfinir la provenance dans ce contexte ?

→ Peut-on la calculerefficacement ?

→ Peut-ongénéraliserces résultats ?

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Table des matières

1 Introduction

2 ProvenanceBool[X]

3 ProvenanceN[X]

4 Conclusion

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Idée générale

Provenance Bool[X]sur arbres / instances quasi-arborescentes Le monde des arbres :

Requête :MSO sur les arbres

Le monde des instances quasi-arborescentes: Requête :MSO sur l’instance

→ Réductible aux arbres[Courcelle, 1990]

→ Pour commencer : provenance Bool[X], requêtes sur lesarbres

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Idée générale

Provenance Bool[X]sur arbres / instances quasi-arborescentes Le monde des arbres :

Requête :MSO sur les arbres

Le monde des instances quasi-arborescentes: Requête :MSO sur l’instance

→ Réductible aux arbres[Courcelle, 1990]

→ Pour commencer : provenance Bool[X], requêtes sur lesarbres

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Arbres incertains

1

5

7 6

2

4 3

Une valuationd’un arbre dit s’il faut garderoueffacer la couleur des nœuds Requête d’exemple :

« Y a-t-il un nœud vert et un rouge ? » Valuation : {2,3,7}

La requête est vraie

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Arbres incertains

1

5

7 6

2

4 3

Une valuationd’un arbre dit s’il faut garderoueffacer la couleur des nœuds Requête d’exemple :

« Y a-t-il un nœud vert et un rouge ? » Valuation : {2}

La requête est fausse

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Arbres incertains

1

5

7 6

2

4 3

Une valuationd’un arbre dit s’il faut garderoueffacer la couleur des nœuds Requête d’exemple :

« Y a-t-il un nœud vert et un rouge ? » Valuation : {2,7}

La requête est vraie

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Formules et circuits de provenance

1

5

7 6

2

4 3

Quelles valuations satisfont la requête q?

→ Formule de provenance deq sur un arbre incertain T:

Formule booléenneϕ en lesvariablesx2,x3,x7

→ ν(T)satisfaitqssiν(ϕ)estvraie Circuit de provenance deq surT [Deutch et al., 2014]

Circuit booléenC

avec desportes d’entréeg2,g3,g7

→ ν(T)satisfaitqssiν(C)estvraie

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Formules et circuits de provenance

1

5

7 6

2

4 3

Quelles valuations satisfont la requête q?

→ Formule de provenance deq sur un arbre incertain T:

Formule booléenneϕ en lesvariablesx2,x3,x7

→ ν(T)satisfaitqssiν(ϕ)estvraie

Circuit de provenance deq surT [Deutch et al., 2014]

Circuit booléenC

avec desportes d’entréeg2,g3,g7

→ ν(T)satisfaitqssiν(C)estvraie

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Formules et circuits de provenance

1

5

7 6

2

4 3

Quelles valuations satisfont la requête q?

→ Formule de provenance deq sur un arbre incertain T:

Formule booléenneϕ en lesvariablesx2,x3,x7

→ ν(T)satisfaitqssiν(ϕ)estvraie Circuit de provenance deq surT [Deutch et al., 2014]

Circuit booléenC

avec desportes d’entréeg2,g3,g7

→ ν(T)satisfaitqssiν(C)estvraie

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple

1

5

7 6

2

4 3

Y a-t-il un nœud vertet unrouge?

Formule de provenance : (x₂∨x₃)∧x₇

Circuit de provenance :

∧

∨ g₇

g₂ g₃

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple

1

5

7 6

2

4 3

Y a-t-il un nœud vertet unrouge? Formule de provenance : (x₂∨x₃)∧x₇

Circuit de provenance :

∧

∨ g₇

g₂ g₃

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Exemple

1

5

7 6

2

4 3

Y a-t-il un nœud vertet unrouge? Formule de provenance : (x₂∨x₃)∧x₇

Circuit de provenance :

∧

∨ g₇

g₂ g₃

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Notre résultat principal sur les arbres

Théorème

Pour touterequête MSO q fixée, pour toutarbreT donné en entrée,

on peut construire un circuit de provenanceBool[X]de q sur T entemps linéaireen T.

→ Étapes clés :

Faire deq un automate d’arbres[Thatcher and Wright, 1968] Matérialiser ses transitions possiblessur T

Corollaire

Si les nœuds ont desprobabilitésd’être gardés indépendamment, on peut calculer laprobabilité de la requêteen temps linéaire.

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Notre résultat principal sur les arbres

Théorème

Pour touterequête MSO q fixée, pour toutarbreT donné en entrée,

on peut construire un circuit de provenanceBool[X]de q sur T entemps linéaireen T.

→ Étapes clés :

Faire deq un automate d’arbres[Thatcher and Wright, 1968]

Matérialiser ses transitions possiblessur T

Corollaire

Si les nœuds ont desprobabilitésd’être gardés indépendamment, on peut calculer laprobabilité de la requêteen temps linéaire.

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Notre résultat principal sur les arbres

Théorème

Pour touterequête MSO q fixée, pour toutarbreT donné en entrée,

on peut construire un circuit de provenanceBool[X]de q sur T entemps linéaireen T.

→ Étapes clés :

Faire deq un automate d’arbres[Thatcher and Wright, 1968]

Matérialiser ses transitions possiblessur T Corollaire

Si les nœuds ont desprobabilitésd’être gardés indépendamment, on peut calculer laprobabilité de la requêteen temps linéaire.

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Instances quasi-arborescentes

Encodage en arbre : un arbre E sur un alphabet fini qui représente une instance quasi-arborescente I Requête MSO sur I→requête MSO sur E

Instance incertaine : chaque fait peut être présent ou absent

→ Chaque I^′ ⊆Iest une valuationdeE R

a b b c b d

R(a₁,a₂)

R(a₂,a₃) R(a₂,a₃)

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Instances quasi-arborescentes

Encodage en arbre : un arbre E sur un alphabet fini qui représente une instance quasi-arborescente I Requête MSO sur I→requête MSO sur E

Instance incertaine : chaque fait peut être présent ou absent

→ Chaque I^′ ⊆Iest unevaluation deE R

a b b c b d

R(a₁,a₂)

R(a₂,a₃) R(a₂,a₃)

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Instances quasi-arborescentes

Encodage en arbre : un arbre E sur un alphabet fini qui représente une instance quasi-arborescente I Requête MSO sur I→requête MSO sur E

Instance incertaine : chaque fait peut être présent ou absent

→ Chaque I^′ ⊆Iest unevaluation deE R

a b b c b d

R(a₁,a₂)

R(a₂,a₃) R(a₂,a₃)

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Instances quasi-arborescentes

Encodage en arbre : un arbre E sur un alphabet fini qui représente une instance quasi-arborescente I Requête MSO sur I→requête MSO sur E

Instance incertaine : chaque fait peut être présent ou absent

→ Chaque I^′ ⊆Iest unevaluation deE R

a b b c b d

R(a₁,a₂)

R(a₂,a₃) R(a₂,a₃)

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Instances quasi-arborescentes

Encodage en arbre : un arbre E sur un alphabet fini qui représente une instance quasi-arborescente I Requête MSO sur I→requête MSO sur E

Instance incertaine : chaque fait peut être présent ou absent

→ Chaque I^′ ⊆Iest unevaluation deE R

a b b c b d

R(a₁,a₂)

R(a₂,a₃) R(a₂,a₃)

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Résultat et conséquences

Théorème

Pour touterequête MSO q fixée et k∈N,

pour touteinstance d’entrée I de largeur d’arbre≤k, on peut construire entemps linéaire

un circuit de provenanceBool[X]de q sur I.

Corollaire

Les requêtes MSO ont une complexitélinéaire en données sur les instances TID quasi-arborescentes.

Corollaire

Le comptage pour MSO a une complexitélinéaire (déjà connu).

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Résultat et conséquences

Théorème

Pour touterequête MSO q fixée et k∈N,

pour touteinstance d’entrée I de largeur d’arbre≤k, on peut construire entemps linéaire

un circuit de provenanceBool[X]de q sur I.

Corollaire

Les requêtes MSO ont une complexitélinéaire en données sur les instances TID quasi-arborescentes.

Corollaire

Le comptage pour MSO a une complexitélinéaire (déjà connu).

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Résultat et conséquences

Théorème

Pour touterequête MSO q fixée et k∈N,

pour touteinstance d’entrée I de largeur d’arbre≤k, on peut construire entemps linéaire

un circuit de provenanceBool[X]de q sur I.

Corollaire

Les requêtes MSO ont une complexitélinéaire en données sur les instances TID quasi-arborescentes.

Corollaire

Le comptage pour MSO a une complexitélinéaire (déjà connu).

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Table des matières

1 Introduction

2 ProvenanceBool[X]

3 ProvenanceN[X]

4 Conclusion

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Premier problème : requêtes non-monotones

On veut généraliserdeBool[X]àN[X]

Les semi-anneaux gèrent mal la négation [Amsterdamer et al., 2011]

Notre construction utilise des portesNOT

→ q est monotonesi I|=q implique I^′ |=q pour toutI^′⊇I

→ Les circuits de provenance pour les requêtes monotones peuvent être monotones

Introduction ProvenanceBool[X] ProvenanceN[X] Conclusion

Premier problème : requêtes non-monotones

On veut généraliserdeBool[X]àN[X]

Les semi-anneaux gèrent mal la négation [Amsterdamer et al., 2011]

Notre construction utilise des portesNOT

→ q est monotonesi I|=q implique I^′ |=q pour toutI^′ ⊇I

→ Les circuits de provenance pour les requêtes monotones peuvent être monotones