Sull'integrale generale di un sistema lineare del primo ordine ai differenziali totali a coefficienti costanti

R ^ENDICONTI

del

S ^EMINARIO M ^ATEMATICO

della

U NIVERSITÀ DI P ^ADOVA

F ^RANCESCO M ^AISANO

Sull’integrale generale di un sistema lineare del primo ordine ai differenziali totali a coefficienti costanti

Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova, tome 34 (1964), p. 401-410

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SULL’INTEGRALE GENERALE

DI UN

SISTEMA

LINEARE DEL

PRIMO ORDINE AI

DIFFERENZIALI

TOTALI

A

COEFFICIENTI COSTANTI

.Nota

*)

di FRANCESCO MAISANO

(a Palermo) **)

1. -

Riportiamo

ⁱⁿ

questo

^numero i risultati dovuti a G. Tre- visan relativi alla

esplicitazione dell’integrale generale

^{di un}

sistema di

equazioni

differenziali lineari ordinarie a coefficienti costanti e alla

applicazione

^{di tale}

espressione esplicita

^allo

studio di un sistema lineare ai differenziali totali

1).

A tali risultati si riallacciano le considerazioni che seguono

e che consentono di

precisare

^{la forma}

dell’integrale generale

di un sistema lineare ai differenziali totali di due variabili a

coefficienti costanti

nell’ipotesi

^che

gli

autovalori associati alle matrici A e B abbiano tutti indice

pari

alla loro

molteplicità.

Si consideri il sistema di

equazioni

differenziali ordinario

~

*)

Pervenuta in redazione il 5 marzo 1964.

Indirizzo dell’A.: Istituto matematico, Università, ^Palermo.

**)

^Lavoro

eseguito

nell’ambito dell’attività dei

Gruppi

di ricerca matematica del C.N.R.

l)

G. TREVISAN :

Un’espressione esplicita

per

l’integrale

^di

di

equazioni differenziali

lineari ordinarie ^a

coefficienti

^costanti.

Appli-

cazioni. Rend. del Seminario Matem. dell’Università di Padova. 1961 Voi. XXXI.

omogeneo ad n

incognite,

^a coefficienti costanti

Il vettore Y sarà ovviamente ad ^ii,

componenti

che si sup- porranno funzioni derivabili della variabile ^u.

Supponiamo

^che

l’equazione

caratteristica della matrice _qua- drata di

tipo (n, n)

^A

ammetta come radici

(distinte)

^{a2, ... , 9 a, t con}

molteplicità rispettivamente

1.1’ r2, ... , r, e

quindi

^con r1 + r2 + ^... + rt ^{= ’n.}

Allora

l’integrale generale

^{del sistema}

(1)

^è

dove

Pi

è la soluzione

generale

del sistema

algebrico

^lineare

esprimibile,

^{ove si}

tenga

^conto della circostanza che la matrice

ha rango

(n

^-

r,),

mediante combinazione lineare a

parametri

arbitrari di ri soluzioni

particolari indipendenti

del sistema

(3)

stesso. -

Il risultato espresso dalla

(2)

^{consente una immediata}

appli-

cazione allo studio del sistema lineare ai differenziali totali

dove A e B sono matrici di

tipo (n, n)

^{a elementi costanti dati}

nel campo

complesso

^{e Y il vettore}

il ^y,(u,

^{ad n}

componenti.

Il sistema

(4)

^è

equivalente

al sistema alle derivate

parziali :

2)

^I

rappresenta

^{ora ed avanti una} matrice unitaria di rango op- portuno.

403

e la condizione necessaria e sufficiente di

completa integrabilità

di tale sistema è data dalla

permutabilità

delle due matrici A

e B

(i prodotti

essendo effettuati

righe

^per

colonne).

La soluzione del sistema

(5)

sarà data dalla

(2)

^{sotto la con-}

dizione

(3)

^{e dove si}

pensino

ⁱ

parametri da

^cui

dipendono

^le

Pi

funzioni di v che dovranno determinarsi in modo che le

(2)

^sod-

disfino anche al sistema

(5’).

È

intanto ovvio che condizione necessaria e sufficiente

perchè

la

(2),

intesa nel senso sopra

precisato,

sia soluzione del siste-

ma

(5’),

è che soluzione della

(5’)

^{sia il}

generico

^addendo

Ora

perchè

ciò accada occorre e basta

scegliere

dove

~S 1~ i , S21i9

^{... ,}

Srili

^{s sono r i soluzioni}

particolari

^{ed indi-}

pendenti

del sistema

algebrico (3)

^e e2, ...,

(funzioni

^di

v)

è

l’integrale generale

del sistema differenziale lineare ^a coeffi- cienti costanti

i cui coefficienti

(s

⁼

1, 2,

^...,

r=)

^sono univocamente deter- minati

quali

soluzioni del sistema di nr;

equazioni

delle

quali

^solo

r:

^sono

indipendenti.

Per la determinazione

dell’integrale generale

del sistema

(5)

e

(5’ ) bisognerà

ovviamente trattare

più

^{sistemi del}

tipo (7),

^uno

per

ogni

^{radice distinta}

dell’equazione

caratteristica della ma-

trice A.

2. - Con

rispondenza

alle nomenclature usate al n.

1,

^si

ponga:

ed

si denoti

poi

^con la matrice di

tipo (ri, r,)

dei coefficienti del sistema

(7),

matrice che diremo associata allo zero a=

dell’equa-

zione caratteristica della matrice A o

semplicemente

^matrice

associata allo zero ai.

Siano

poi

1’l/i, 1’1/i, ^{... ,}

gli

zeri distinti

dell’equazione

caratteristica di

gai

e abbiano

rispettivamente molteplicità

9 Lo 21 i ... , e

quindi

con

L’integrale generale

del sistema

(7)

^sarà

allora,

in confor- mità alla

(2)

dove è la soluzione

generale

del sistema

algebrico

e

quindi

^risulterà:

405

Sostituendo tale

espression e

^nella

(6)

si ottiene per il sistema

(5)

e

(5’)

la soluzione:

L’integrale generale

del sistema

(5)

^e

(5’)

^è

dunque:

Ma

1’integrale

del sistema

(5)

^e

(5’) può

ottenersi scambiando il ruolo delle matrici A e B con

procedimento analogo

^a

quello

ora

seguito.

Si denotino con

fli, P2’

^{... ,}

p, gli

zeri distinti

dell’equazione

caratteristica:

della matrice B e siano _{r$ ,} ... , r, le relative

molteplicità

e

quindi

^con ri + ^... + ri ^{= n.}

-

Fissata la radice

~h

si denoti

con Sx

la matrice di

tipo (n, r~)

le cui colonne

rappresentino rh

^soluzioni

indipendenti

^{del sistema}

lineare

Siano

poi

^{1 ...}

gli

^{zeri distinti}

dell’equazione

caratteristica

della matrice associata allo zero

relative

molteplicità

^e

quindi

^con:

L’integrale generale

del sistema

(5)

^e

(5’) può

allora scriversi:

essendo la soluzione

più generale

del sistema

algebrico:

Si fissi ora, ^a

partire

^dalla

(9),

^un

integrale particolare

^del

sistema

(5)

^e

(5’ ) :

ciò si otterrà in

corrispondenza

^{ad una}

parti-

colare scelta dei

parametri

^che

intervengono

^nelle

Qjli;

^{è chiaro}

che,

^{con una}

opportuna

scelta dei valori dei

parametri

^{che inter-}

vengono nelle la

(11)

si riduce alla fissata soluzione.

Denotando ancora con la

(9)

^{e con la}

(11)

le due determina- zioni

degli integrali particolari

^cos

ottenuti,

^dal diretto loro confronto si deduce che ciascuna delle _V,,, i coincide con

una fl

e ciascuna delle _Yp/A con una a ma « a

priori »

^non è detto che i #i’

implici

^{come non} è detto che

implichi yu/h # yu’/h’.

Si consideri ^{ora un}

generico

^{a e un}

generico

^{= e}

poi

l’unico addendo della

(9)

Esiste nella

(11)

^un solo addendo e sia

(con

⁼

a,)

identicamente

eguale

^alla

(12).

407 Ricordando ^ora

l’ipotesi

circa l’indice

degli

autovalori a

e f3 sarà, qualunque

^{sia cf, i e}

e l’ultima identità

implica:

e

quindi

cioè

Si trova intanto il risultato: ad

ogni

^{zero a di}

molteplicità

rí

dell’equazione

^,4

1

^{= 0}

corrisponde

^un ben determinato

zero

PAI

^della

B i =

^{0 di}

eguale molteplicità.

Inoltre,

^{ove si}

tenga

^{conto delle}

(8)

^e

(10), l’equazione

^carat-

teristica della matrice

H«i

associata allo zero at ha un solo zero

distinto e

quindi

^di

molteplicità ri

ⁱ

eguale

^{allo zero della}

~ ~~I

^-

B i =

⁰

corrispondente

^{alla a nel senso}

prima precisato.

Viceversa, l’equazione

caratteristica della matrice asso-

ciata allo zero ha ^un solo zero distinto e

quindi

^di

molteplicità

ri

eguale

^alla ai

corrispondente

^alla

PAI.

Riassumendo : le due

equazioni

hanno lo stesso numero di zeri distinti e

gli

zeri dell’una possono mettersi in una ed una sola maniera in

corrispondenza

^biunivoca.

con

gli

zeri dell’altra in modo tale che

coppie

^{di zeri}

corrispon-

denti

a, fl

^abbiano

eguale molteplicità

^{e che le}

^equazioni

^caratte-

ristiche relative alle matrici

ga

^e

Hp

^{ad essi}

corrispondenti

^abbiano

l’una come unico

zero P

^{e l’altra come unico zero a.}

D’ora in avanti se

gli

^{zeri di O sono} a 1, az , ... , a t

denoteremo i

corrispondenti

^zeri

(nel

^senso sopra

precisato)

della j

I Âl - B j -

⁰

rispettivamente

^con

P~,

^{... ,}

fJ

^{t e con}

ri , r,, ^{... , r,} le relative

molteplicità

^comuni.

In base ai risultati ora ottenuti

l’integrale generale

del sistema

(5)

^e

(5’) può

^{scriversi a}

partire

^dalle

(9)

^e

(11)

^{nelle due forme:}

dove

Q

^{i e}

Q,

^{sono vettori a} ri

componenti

costanti arbitrarie.

Si fissino nella

(15)

le matrici

Qi

i e

quindi un’integrale

par- ticolare e si

scelgano

^le

Q

in modo che la

(16)

fornisca lo stesso

integrale particolare.

In

corrispondenza

^a

questa

^{scelta risulterà:}

Ma il vettore s

rappresenta

^una

generica

soluzione del sistema

algebrico

^lineare

e il vettore

SiQi

^una soluzione del sistema

algebrico

^lineare

e,

potendo ragionare

^sulle

Q

^come si è fatto sulle

Qi,

concludiamo che i due sistemi

algebrici (17)

^e

(18)

^sono

equivalenti

^e

quindi,

ricordando il

significato

delle matrici

Si

^{e si}

potrà scegliere

nella

(16)

409

e in tal caso la

(15)

^{e la}

(16)

forniranno

integrali particolari eguali

^{allora e solo}

quando

^si

scelgano

^le

Q i eguali

^alle

Q i.

Si deduce allora dal confronto della

(15)

^{e della}

(16)

^che

e

quindi l’integrale generale

^{del sistema}

(5)

^e

(5’ )

si scrive

(uti- lizzando,

per

esempio,

^la

(15))

ove

P, (i

⁼

1, 2,

...,

t) rappresenta

^{la soluzione}

generale

^del

sistema

algebrico

^lineare

(17)

o, ciò che è lo

stesso,

del sistema

algebrico (18)

^a

questo equivalente.

3. - Il

procedimento

svolto al n. 2 che ha consentito di de- terminare

l’integrale

del sistema lineare ai differenziali totali

nell’ipotesi

^che

gli

autovalori di A e B siano tutti di indice i = r,

può

ovviamente essere

generalizzato

^{al caso}

dell’integrazione

del sistema lineare ai differenziali totali del

tipo

.A ~ , ... ,

9

~,~

matrici di

ordine n,

date nel campo ^com-

plesso,

i cui autovalori siano di indice i ⁼ _r, e Y il vettore

)j

^{... , 9 ad n}

componenti.

Il sistema

(20)

^è

equivalente

^{al sistema} alle derivate

parziali

ed è noto che la condizione di

completa integrabilità

per tale sistema è data dalla

permutabilità

delle matrici

A i , A~,

... ,

Da

quanto

^{è stato detto nel numero}

precedente,

^le

equazioni

caratteristiche associate alle matrici

A;

^hanno

eguale

^numero

di zeri.

Inoltre se

sono

gli

zeri relativi

all’equazione

caratteristica associata alla matrice

jii, rispettivamente

^di

molteplicità

gli

zeri relativi

all’equazione

caratteristica associata alla

generica matrice

i si possono

disporre

nell’ordine

in modo che

gli

^{zeri aii abbiano}

molteplicità

r f ^e i sistemi lineari

risultino

equivalenti.

Iterando

opportunamente

^il

procedimento

svolto al n. 2 si determina

l’integrale generale

del sistema

(21)

^{che si}

presenta

nella forma:

essendo

Pi

i la soluzione

generale

^{di uno dei sistemi}

algebrici

lineari

(22).