Université Paris Dauphine Année universitaire 2013-2014
Première année DEGEAD Cours-TD de MR. BEY
Analyse Réelle, Optimisation libre et sous contrainte Groupes 12 & 17
Cours 3 : 07/10/2013
Suite Chapitre 8 : Calculs approchés des variations
Solutions TD3
Exercice 1.28
1. f g:
ef g(x) = x(f g)0 f g
=x(f0g+f g0) f g
=ef(x) +eg(x) 2. f /g:
ef /g(x) =x(f /g)0 f /g
=x(f0g−f g0) f g
=ef(x)−eg(x) 3. g◦f:
eg◦f(x) =x(g◦f)0(x) (g◦f)(x)
=xg0[f(x)]f0(x) g[f(x)]
=xf0(x)
f(x)f(x)g0[f(x)]
g[f(x)]
. =ef(x)eg(f(x)) Exercice 1.29
On recherche f tel que ef(x) = k avec k constante. On utilise la d´efinition d’´elastict´e
xf0(x) f(x) =k
(ln(f(x)))0 =k(ln(x))0
Ensuite on peut integrer
ln(f(x)) =kln(x) +a avec a constante, et on exponentie
f(x) = cln(xk) avec c=ea toujours constante.
Exercice 1.31
1
1. Soit p =F−1(x) la demande inverse
2. Soit x=kp−r, en inversant la relation on obtient p= (x/k)−1/r pour k, r > 0.
Exercice 2.32
1. Soit f0(x) = −x2e−x2(1x + 2x), alors l’´elasticit´e est ef(x) =−2(x2+ 1)
2. Pour ∆x= 5% et a= 1 une valeur approch´ee de la variation relative est ef(1)∆x=−15%
3. On cherche ∆x tel que f0(1)∆x= 1%, c’est `a dire ∆x=−2,2%.
4. L’´elasticit´e de f2(x) est donn´ee par ef2(x) = x(f2)0(x)
f2(x) = 2xf0(x)
f(x) = 2ef(x)
2
