Résolution de contraintes qualitatives pour le temps et l'espace par SAT à partir de treillis

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Résolution de contraintes qualitatives pour le temps et l’espace par SAT à partir de treillis

Jean-François Condotta, Daniel Le Berre

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Jean-François Condotta, Daniel Le Berre. Résolution de contraintes qualitatives pour le temps et

l’espace par SAT à partir de treillis. RFIA 2012 (Reconnaissance des Formes et Intelligence Artifi-

cielle), Jan 2012, Lyon, France. pp.978-2-9539515-2-3. �hal-00660969�

Résolution de contraintes qualitatives pour le temps et l’espace par SAT à partir de treillis

Jean-François Condotta Daniel Le Berre Université Lille-Nord de France, Artois CRIL-CNRS, UMR 8188

rue de l’université, SP 16, F62307 Lens {condotta,leberre}@cril.fr

Résumé

Dans cet article, nous proposons deux nouvelles traduc- tions des réseaux de contraintes qualitatives (RCQ) pour le temps et l’espace en problèmeSAT. À partir d’un ordre partiel sur les relations de base formant un treillis, ces deux traductionsSATmodélisent un découpage de chaque contrainte duRCQ considéré par des ensembles d’inter- valles du treillis et des propriétés reliant ces intervalles et les opérations de faible composition et d’inverse. Ces deux traductions peuvent être notamment utilisées dans le cadre du calcul des intervalles afin de traduire en problèmeSAT unRCQà partir de l’ensemble des relations convexes.

Mots Clef

Réseaux de contraintes qualitatives temporelles ou spa- tiales,SAT.

1 Introduction

Thématique de recherche centrale en Informatique depuis de nombreuses décennies, le raisonnement concernant le temps et l’espace a notamment été étudié dans des do- maines tels que la compréhension du langage naturel, la spécification et la vérification de programmes et de sys- tèmes, les systèmes de gestion de base de données tem- porelles et spatiales, les systèmes d’informations géogra- phiques (SIG), la planification temporelle et spatiale,etc.

Dans les années 80, Allen [1, 2] propose un formalisme pour raisonner sur le temps qui deviendra un modèle pour de nombreux autres formalismes dévolus au raisonnement sur le temps et l’espace. Allen représente les entités tempo- relles (actions, activités, événements) par des intervalles de la droite et considère13relations de base entre ces inter- valles représentant des positions particulières entre entités temporelles. La relation de base meets, par exemple, est constituée de l’ensemble des paires d’intervalles telles que la borne supérieure du premier intervalle coïncide avec la borne inférieure du second. Cette relation peut être utilisée pour représenter le fait qu’une activité se termine à l’instant où une autre débute. L’originalité de l’approche d’Allen ne réside pas réellement dans le fait de considérer les13re- lations de base correspondant à toutes les configurations

possibles des quatre bornes de deux intervalles mais plutôt dans la manière dont est représenté et géré l’ensemble des informations temporelles concernant un système. En effet, Allen représente les informations temporelles par un ré- seau de contraintes qualitatives (RCQen abrégé). Chacune des contraintes est définie par un ensemble de relations de base et représente les positions relatives possibles entre deux entités temporelles du système à modéliser. UnRCQ est une description qualitative d’un ensemble de configu- rations possibles d’entités puisqu’elle ne fait explicitement aucune référence à des données quantitatives ou métriques.

Étant donné unRCQ, le problème principal qui se pose est le problème de la cohérence : est-ce que leRCQadmet ou n’admet pas une solution ? Pour décider du problème de la cohérence d’unRCQ, un algorithme de recherche avec re- tour arrière peut être mis en œuvre. À chaque étape de la recherche, une contrainte est sélectionnée puis définie par une des relations de base la composant. De plus, le cal- cul de la fermeture par faible composition peut être réa- lisé afin de supprimer des relations non possibles. L’algo- rithme s’arrête lorsqu’un scénario (unRCQdéfini par des relations singletons) fermé par faible composition est ca- ractérisé ou lorsque l’ensemble des choix pris lors de la recherche a conduit à un échec. Dans le premier cas, la cohérence du RCQ initial a été caractérisée. Dans le se- cond cas, nous pouvons affirmer qu’il est non cohérent.

Cet algorithme de recherche a été rendu beaucoup plus efficace par l’utilisation de classes traitables [9, 13, 14].

En effet, à chaque étape de la recherche, plutôt que d’ins- tancier la contrainte sélectionnée par chacune des relations singletons correspondant à ses relations de base, nous pou- vons réaliser une instanciation par des sous-relations de la contrainte issues d’une classe traitable. Le facteur de bran- chement dans l’arbre de recherche se trouve ainsi diminué.

D’autres approches [17, 6, 10, 7] consistent à traduire les RCQ en logique propositionnelle afin de les résoudre à l’aide de solveursSAT. La traductionSATproposée dans [6] a pour originalité d’utiliser la notion de classes trai- tables. À partir d’un treillis possédant des propriétés parti- culières avec les opérations algébriques que sont la faible composition et l’inverse, cette traduction modélise d’une

part un découpage des contraintes en intervalles de ce treillis et modélise d’autre part la structure du treillis.

En suivant une approche similaire, nous proposons dans cet article deux nouvelles traductionsSATpermettant d’ex- ploiter un arrangement des relations de base en treillis. Ces nouvelles traductions ont pour avantage de définir moins de variables et moins de clauses que la traduction originelle donnée dans [6].

Dans la section suivante, des rappels sur les formalismes qualitatifs pour le temps et l’espace sont donnés. La sec- tion3est consacrée à la définition d’une première traduc- tion des RCQen problèmeSAT. Dans la section 4, nous montrons que cette nouvelle traduction est complète pour le problème de la cohérence des RCQ. La section 5 est dévolue à une deuxième traductionSAT équivalente à la première, mais composée d’un nombre moins important de clauses. Dans la section6, nous décrivons quelques résul- tats expérimentaux et enfin, nous concluons en exposant des perspectives à nos travaux.

2 Préliminaires sur les formalismes qualitatifs

2.1 Les relations et opérations

Un formalisme qualitatif est basé sur un ensemble B de relations de base définies sur un domaineD. Nous suppo- serons dans la suite que ces relations sont binaires. Les re- lations de base deB sont complètes et mutuellement ex- clusives : deux éléments de D satisfont une et une seule relation de base r appartenant à B. Les relations de B forment ainsi une partition deD×D. Nous supposons queB contient la relation identité surDque nous notonsIdet que pour chaque relation de basea∈B, la relation inverse dea, notéea⁻¹correspond également à une relation de base de B. À titre d’exemple considérons le calcul des intervalles.

Ce formalisme dévolu au raisonnement temporel proposé par Allen [1] est basé sur13relations de base binaires dé- finies sur les intervalles de la droite. Formellement, le do- maineDest défini par l’ensemble{x= [x⁻, x⁺] :x⁻ <

x⁺avecx⁻, x⁺ ∈Q}. D’autre part,Bcorrespond à l’en- semble {p, pi, m, mi, o, oi, s, si, d, di, f, f i, eq}. Chaque relation deBpeut être définie à l’aide de contraintes sur les bornes des intervalles deD. Par exemple,si ={(x, y)∈ D×D:x⁻ =y⁻ety⁻ < x⁺}. L’ensemble des13rela- tions de base est illustré par la figure 1. Remarquons que la relation identitéIdcorrespond à la relation de baseeq.

Une relation (complexe) est définie par une union de re- lations de base et caractérisée par un sous-ensemble de B. Ainsi, l’ensemble des relations définissables à partir de l’ensembleBest dénoté par2^B. Pour toute relationR∈2^B et toute paire d’éléments(x, y)∈D×D,xetysatisfontR si et seulement si il existe une relation de basea∈Rtelle quexety satisfonta(i.e.(x, y) ∈a). Parmi les relations de2^B, la relation totale, notéeΨ, correspond à la relation contenant toutes les relations de base deBet est satisfaite par tout couple d’éléments deD×D. La relation vide, no-

x precedes y(p)

x starts y(s) y satrtedBy x(si)

x

y x y x overlaps y(o) y overlappedBy x(oi)

x f inishes y(f) y f inishedBy x(f i) x y

x equals y(eq)

x y

x

x y

y

y contains x(di) x during y(d) y metBy x(mi) x meets y(m)

x y

y precededBy x(pi)

FIGURE1 – Les relations de base du calcul des intervalles.

tée∅, ne contient aucune relation de base et ne peut jamais être satisfaite.

L’ensemble2^Best muni des opérations ensemblistes habi- tuelles : union∪, intersection∩. En tant qu’ensemble de re- lations, il est également muni d’opérations relationnelles : l’opération unaire inverse (⁻¹) et l’opération binaire de faible composition (). L’inverse d’une relationR∈2^Best la relation constituée des relations inverses de ses relations de base :R⁻¹={a⁻¹:a∈R}. La faible composition de deux relations de basea, b ∈ Best définie par la relation ab = {c ∈ B : ∃x, y, z ∈ Davec(x, y)∈ a,(y, z) ∈ bet(x, z) ∈ c}. La composition faible de deux relations R, R⁰ ∈2^Best définie par :RR⁰=S

a∈R,b∈R⁰ab.

2.2 Les réseaux de contraintes qualitatives (RCQ)

Les informations temporelles ou spatiales d’un système à modéliser peuvent être représentées par un réseau de contraintes qualitatives,RCQ en abrégé. UnRCQest dé- fini par un ensemble de variablesV représentant des entités temporelles ou spatiales et par un ensemble de contraintes spécifiant pour chaque couple de variables les positions relatives possibles entre les deux entités correspondantes.

Formellement, unRCQest défini de la manière suivante : Définition 1 UnRCQN est un couple(V, C)où :

• V = {v₀, . . . , v_n−1}, avecn ≥ 0, est un ensemble de variables ordonnées.

• Cest une application associant à chaque couple de va- riables(vi, v_j)∈ V ×V une relationC(vi, v_j)de2^B. La relation C(vi, v_j) sera également notée C_ij pour simplifier. L’applicationC est telle queC_ij = C_ji⁻¹ et C_ii ⊆ {Id}, pour toutv_i, v_j∈V.

La figure 2(a) représente unRCQN du calcul des inter- valles défini sur quatre variables. Une contrainteC_ij n’est pas représentée lorsque la contrainteC_jiest déjà représen- tée ou lorsquei=j(la contrainte étant alors définie par la relation identité, ici{eq}). Dans la suite, nous utiliserons les définitions suivantes :

Définition 2 SoitN = (V, C)unRCQdéfini sur2^B, avec V ={v0, . . . , vn−1}.

• Unesolution partielledeN surV⁰ ⊆V est une applica- tionσdeV⁰versDtelle que(σ(vi), σ(vj))∈C(vi, v_j), pour toutvi, vj ∈V⁰.

• UnesolutiondeN est une solution partielle surV⁰ = V.N estcohérentsi et seulement s’il admet une solu- tion.

• N est-cohérent si et seulement si pour toutv_k, v_i, v_j∈ V,C(v_i, v_j)⊆C(v_i, v_k)C(v_k, v_j).

• Un sous-RCQ N⁰ de N est un RCQ (V, C⁰) où C⁰(vi, v_j) ⊆ C(vi, v_j)pour tout v_i, v_j ∈ V. La nota- tionN⁰ ⊆ N dénotera le fait queN⁰est un sous-RCQ deN.

• Un scénario Γ de N est un sous-RCQ (V, C⁰) de N tel que pour tout v_i, v_j ∈ V, la relation C⁰(vi, v_j)est composée d’une et une seule relation de base. Dans la suite, Γij dénotera la relation de base a telle que C⁰(vi, v_j) ={a}.

• N⁰ = (V, C⁰)estéquivalentàN si est seulement siN etN⁰ont mêmes solutions.

• S’il existevi, vj ∈V tels queC(vi, vj) =∅alorsN est dit trivialement incohérent.

À titre d’illustration, la figure 2(b) représente une solution duRCQde la figure 2(a). Un scénario cohérent correspon- dant à cette solution est représenté par la figure 2(c).

{s, o, m, p, di, f i}

v3

v2

v₁

{o, f i}

{p} {f i, f} {f i, di, eq, si}

{f, oi, mi, o, f i, s, eq} v0

(a)

v2

v0 v1

v3

(b)

{p}

v₃

v2

v1

{p} {f i} {si} {o}

{oi}

v0

(c)

FIGURE2 – UnRCQN du calcul des intervalles (a), une solutionσdeN (b) et un scénario cohérentΓduRCQN correspondant à la solutionσ(c).

Étant donné un sous-ensemble de relations E ⊆ 2^B, un RCQ N = (V, C) sur E est un RCQ tel que pour tout v_i, v_j ∈V,C_ij ∈ E.

2.3 Treillis sur B et les relations intervalles

Dans la suite, nous supposons donné un ensemble de rela- tions de baseB. De plus, nous supposons que les éléments

deBsont arrangés selon une relation d’ordre partiel≤tel que(B,≤) est un treillis, i.e.tel que (B,≤) satisfait les propriétés suivantes :

Propriété 1

• (1)pour touta∈B,a ≤ a(réflexivité) ;

• (2)pour touta, b, c ∈ B, sia ≤ c etc ≤ balors a ≤ b(transitivité) ;

• (3)pour touta, b∈B, sia ≤ betb ≤ aalorsa=b (antisymétrie) ;

• (4) pour tout a, b ∈ B, il existe deux éléments de B correspondant à Inf({a, b}) (infimum de a et b) et Sup({a, b})(supremum deaetb).

Un intervalle du treillis(B,≤)sera noté[a, b]aveca, b∈B tels quea ≤ bet correspondra à l’ensemble des relations de baseBdéfini par[a, b] = {c : a ≤ cetc ≤ b}. Les relations de2^B définissables par des intervalles de(B,≤) seront appelées dans la suite relations intervalles et corres- pondront à l’ensembleI={R∈2^B :∃a, b∈Baveca≤ betR = [a, b]} ∪ {∅}. De plus, nous supposons que le treillis(B,≤)et les opérations d’inverse et de faible com- position sont reliés au travers des propriétés suivantes : Propriété 2

• pour touta, b∈B,a ≤ bssib⁻¹ ≤ a⁻¹;

• pour touta, b∈B,[a, b]⁻¹= [b⁻¹, a⁻¹];

• pour touta, b, c, d∈B,[a, b][c, d] = [Inf(ac),Sup(b d)].

Notons que la deuxième de ces trois propriétés découle di- rectement de la première. Pour de nombreux formalismes qualitatifs comme le calcul des intervalles, le calcul des points, le calcul des rectangles ou encore le calcul desn- pavés un tel treillis existe [16, 15, 12, 3, 4, 18]. Le treillis du voisinage conceptuel du calcul des intervalles repré- senté par la figure 3(a) admet de telles propriétés. Dans la suite, ce treillis sera appelé treillis du calcul des inter- valles et sera utilisé dans le cadre des différents exemples donnés. En considérant ce treillis, les relations intervalles correspondent aux relations continues [16] du calcul des intervalles également appelées relations convexes [11].

Les relations{m, o, s, d} et{f i, eq, f} sont des relations treillis puisque {m, o, s, d} = [m, d] et {f i, eq, f} = [f i, f]. De plus, nous avons par exemple{m, o, s, d}⁻¹= [m, d]⁻¹ = [di, mi] = {di, si, oi, mi} et{m, o, s, d} {f i, eq, f}= [m, d][f i, f] = [Inf(mf i),Sup(df)] = [Inf({p}),Sup({d})] = [p, d].

Les différents encodagesSATque nous allons étudier dans la suite utilisent un découpage des contraintes desRCQen sous-relations intervalles. Nous supposerons ce découpage donné. Ainsi, pour unRCQN = (V, C)donné et chaque relationC_ij 6=∅avecv_i, v_j ∈V, nous supposerons qu’il existe un ensemble de relations intervalles S_ij¹, . . . , S_ij^kij et un ensemble de relations de base a¹_ij, . . . , a^k_ij^ij, b¹_ij, . . . , b^k_ij^ijtelles queCij =S_ij¹∪. . .∪S_ij^kij, aveckijun entier supérieur à1etS^k_ij= [a^k_ij, b^k_ij]pour toutk∈ {1, . . . , kij}. 3

di

f pi mi oi

d eq

m p si

o

f i s

(a)

[p, s]∪[f i, di]

v3

v2

v1

[f i, f i]∪[f, f]

[o, f i]

[p, p]

[f, mi]∪[o, eq]

[f i, si]

v0

(b)

FIGURE3 – (a) Le treillis du calcul des intervalles, (b) un RCQN du calcul des intervalles.

De plus, nous supposons que pour toutk, k⁰∈ {1, . . . , k_ij} avec k 6= k⁰, S^k_ij⁰ ∩S_ij^k = ∅. Pour tout v_i, v_j ∈ V nous savons que d’une part C_ji = C_ij⁻¹,C_ij = C_ji⁻¹ et que d’autre part, pour toute relation intervalle [a, b]avec a, b ∈ B, nous avons[a, b]⁻¹ = [b⁻¹, a⁻¹]. Nous suppo- serons donc que pour tout vi, vj ∈ V, kij = kji et que pour toutk∈ {1, . . . , k_ij},S_ij^k = (S_ji^k)⁻¹,a^k_ij = (b^k_ji)⁻¹ etb^k_ij = (a^k_ji)⁻¹. À titre d’illustration, la figure 3(b) décrit un découpage possible des contraintes du RCQN repré- senté dans la figure 2(a) en utilisant le treillis du calcul des intervalles.

3 La traduction Sat

La première traduction desRCQen problèmeSAT, appe- léeSat_I, reprend l’approche générale de la traductionSAT présentée dans [6]. Elle réalise une modélisation d’unRCQ à partir d’un encodage de la relation d’ordre(B,≤)et d’un découpage des contraintes duRCQen relations intervalles.

Intuitivement, elle profite de certaines symétries et duali- tés concernant les différentes opérations algébriques (in- verse et faible composition) avec les structures que sont lesRCQet le treillis(B,≤)afin de minimiser le nombre de variables propositionnelles et de clauses utilisées. Étant donné un RCQN, nous noterons dans la suiteSat_I(N) l’ensemble des clauses obtenues par la traductionSat_Iap- pliquée àN.

Nous pouvons constater que les contraintes définies ex- plicitement par un RCQN = (V, C)comportent des re- dondances lorsqu’on considère l’opération d’inverse. En effet, pour tout vi, vj ∈ V, nous pouvons constater que la contrainteC_ij (respectivementC_ji) est redondante par rapport à la contrainte C_ji (respectivement C_ij) puisque C_ij = C_ji⁻¹ (respectivement C_ji = C_ij⁻¹). D’autre part, une contrainteC_ij = [a¹_ij, b¹_ij]∪. . .∪[a^k_ij^ij, b^k_ij^ij]exprime le fait que la relation de base a_ij ∈ Bdevant être satis- faite par les variablesv_ietv_jdoit appartenir à exactement un des intervalles[a^k_ij, b^k_ij]aveck ∈ {1, . . . , kij}. Autre- ment dit,a_ijdoit être tel qu’il existek∈ {1, . . . , kij}avec a^k_ij ≤a_ij eta_ij ≤b^k_ij. La contraintea_ij ≤b^k_ij peut s’ex-

primer de manière équivalente par(b^k_ij)⁻¹ ≤a⁻_ij¹ou bien encorea^k_ji ≤ a⁻_ij¹ puisque a^k_ji = (b^k_ij)⁻¹. En notantaji

la relation de base inverse dea_ij,a^k_ji≤a⁻_ij¹s’exprime de manière équivalente para^k_ji≤a_ji.

Fort de ce constat, étant donné unRCQN = (V, C), l’en- codageSat_I(N)considère l’ensemble des variables pro- positionnellesPI(N)défini par {a^kij : vi, vj ∈ V, i 6= j, k∈ {1, . . . , kij}eta∈ S_ij^k}. Nous verrons par la suite que la satisfaction de l’ensemble des clauses issues de la traductionSat_I appliquée àN permet de caractériser un sous-RCQN⁰ = (V, C⁰)deN -cohérent et défini surI. Intuitivement, pour toutv_i, v_j ∈ V, aveci 6= j, la satis- faction dea^k_ij^kij impliquera que C_ij⁰ ⊆ S_ij^k. De plus, la satifsfaction dea^kij impliquera que siC_ij⁰ ⊆ S^k_ij alors pour toutb∈C_ij⁰ ,a≤b.

En considérant l’ensemble de variables propositionnelles PI(N), nous définissons l’ensemble de clauses Sat_I(N) de la manière suivante :

• Les clauses(I)sont introduites pour modéliser les dif- férents découpages des contraintes en sous-relations de I (définition des bornes et de l’exclusivité des sous- relations).

− Pour toutvi, vj∈V, aveci < j: a¹_ij¹ij∨. . .∨a^k_ij^ijkij^ij (Ia).

− Pour toutvi, vj∈V, aveci < jetkij= 1: a¹_ji¹ji (Ib).

− Pour toutv_i, v_j ∈V, aveci6=jetk_ij >1, pour tout k∈1, . . . , kij:

¬a^k_ij^kij∨a^k_ji^kji (Ic).

− Pour toutv_i, v_j ∈V, aveci < jetk_ij >1, pour tout k∈1, . . . , kij−1et pour toutk⁰∈k+ 1, . . . , kij:

¬a¹_ij^kij∨ ¬a^k_ij^0kij⁰ (Id).

• Pour modéliser une propriété liée aux supremums du treillis(B,≤)concernant chaque couple de relations de base de chaque sous-relation issue du découpage de cha- cune des contraintes, les clauses(II)sont introduites. La propriété modélisée permet en partie de s’assurer que les relations de base pouvant être satisfaites entre deux va- riablesv_i, v_jforment un intervalle du treillis(B,≤).

− Pour toutvi, vj ∈ V,k ∈ 1, . . . , kij,{a, b} ⊆ S_ij^k, tels quec=Sup({a, b})etcest distinct dea,b:

¬a^kij∨ ¬b^kij∨c^kij (II).

• Le fait que les relations de base pouvant être satisfaites entre deux variablesv_i, v_j doivent former un intervalle du treillis(B,≤)est en partie assuré par l’insertion des clauses (III). Ces clauses assurent que la borne infé- rieure de l’intervalle est inférieure à sa borne supérieure.

– Pour toutv_i, v_j ∈V,k∈1, . . . , kij,a∈S_ij^k,b∈S_ji^k tels quei < jeta6≤b⁻¹:

¬a^kij∨ ¬b^kji (III).

• Le lien entre le treillis (B,≤) et l’opération de faible composition est assuré par l’ajout des clauses(IV).

– Pour tout v_i, v_j, v_l ∈ V, k ∈ 1, . . . , kil, k⁰ ∈ 1, . . . , klj tels que i, j, l sont distincts deux à deux, i < j,((S_il^k S^k_lj⁰)∩C_ij) =∅:

¬a^k_il^kil∨ ¬a^k_lj^0klj⁰ (IVa).

– Pour tout vi, vj, vl ∈ V, k ∈ 1, . . . , kil, k⁰ ∈ 1, . . . , k_lj, k⁰⁰ ∈ 1, . . . , k_ij tels que i, j, l sont dis- tincts deux à deux,i < j,((S_il^k S_lj^k0)∩C_ij) 6= ∅ et((S_il^k S^k_lj⁰)∩S_ij^k00) =∅:

¬a^k_il^kil∨ ¬a^k_lj^0klj⁰∨ ¬a^k_ij^00kij⁰⁰ (IVb).

– Pour tout v_i, v_j, v_l ∈ V, k ∈ 1, . . . , kil, k⁰ ∈ 1, . . . , klj,k⁰⁰∈1, . . . , kij,a∈S^k_il,b∈S_lj^k0 tels que i, j, lsont distincts deux à deux,((S_il^kS_lj^k0)∩S_ij^k00)6=

∅etSup(Inf(ab), a^k_ij⁰⁰)6∈S_ij^k00:

¬a^kil∨ ¬b^klj⁰∨ ¬a^k_ij^00kij⁰⁰ (IVc).

– Pour tout vi, vj, vl ∈ V, k ∈ 1, . . . , kil, k⁰ ∈ 1, . . . , k_lj, k⁰⁰ ∈ 1, . . . , k_ij, a ∈ S_il^k, b ∈ S_lj^k0, c ∈ S_ij^k00 tels que i, j, l sont distincts deux à deux, ((S_il^kS_lj^k0)∩S_ij^k00)6=∅,Sup(Inf(ab), a^k_ij⁰⁰)∈S_ij^k00, c6=a^k_ij⁰⁰,c=Sup(Inf(ab), a^k_ij⁰⁰):

¬a^kil∨ ¬b^klj⁰∨ ¬a^k_ij^00kij⁰⁰∨c^kij⁰⁰ (IVd).

À titre d’exemple, la figure 4 contient quelques clauses ob- tenues par traductionSat_IduRCQN = (V, C)représenté par la figure 2(a) en utilisant le treillis du calcul des in- tervalles (figure 3(a)). Dans la section suivante nous allons montrer que pour toutRCQN non trivialement incohérent, N est cohérent si et seulement siSat_I(N), pourvu que tout RCQsurI -cohérent non trivialement incohérent soit co- hérent.

4 Correction et complétude de la tra- duction Sat

Dans un premier temps nous montrons que pour toutRCQ N cohérent il existe une interprétationIsatisfaisant l’en- semble de clauses Sat_I(N). Étant donné un scénario Γ d’un RCQN nous définissons une interprétation particu- lière surPI(N)de la manière suivante :

Définition 3 Soient unRCQ N = (V, C)et un scénario Γ deN. Pour toutv_i, v_j ∈ V, aveci 6= j, nous notons dans la suitek_ij^Γ l’unique entierk ∈ {1, . . . , kij}tel que

Clauses(Ia):p¹₀₁∨f i²₀₁,o¹₀₂,p¹₀₃,f¹₁₂∨o²₁₂,f i¹₁₃, f i¹₂₃∨f²₂₃.

Clauses(Ib):f¹₂₀,pi¹₃₀,s¹₃₁.

Clauses(Ic):¬p¹₀₁∨si¹₁₀,¬f i²₀₁∨d²₁₀,¬f¹₁₂∨m¹₂₁,

¬o²₁₂∨eq²₂₁,¬f i¹₂₃∨f¹₃₂,¬f²₂₃∨f i²₃₂,¬si¹₁₀∨ p¹₀₁, ¬d²₁₀ ∨f i²₀₁,¬m¹₂₁∨f¹₁₂, ¬eq²₂₁∨o²₁₂,

¬f¹₃₂∨f i¹₂₃,¬f i²₃₂∨f²₂₃.

Clauses(Id):¬p¹₀₁∨ ¬f i²₀₁,¬f¹₁₂∨ ¬o²₁₂,¬f i¹₂₃∨

¬f²₂₃.

Clauses(II):¬f i²₁₂∨ ¬s²₁₂∨eq²₁₂,¬f²₂₁∨ ¬si²₂₁∨ oi²₁₂,¬di¹₁₃∨ ¬eq¹₁₃∨si¹₁₃,¬d¹₃₁∨ ¬eq¹₃₁∨f¹₃₁.

Clauses(III)a:¬m¹₀₁∨¬pi¹₁₀,¬o¹₀₁∨¬mi¹₁₀,¬o¹₀₁∨

¬pi¹₁₀, ¬s¹₀₁ ∨ ¬pi¹₁₀, ¬s¹₀₁ ∨ ¬mi¹₁₀, ¬s¹₀₁ ∨

¬oi¹₁₀, ¬di²₀₁ ∨ ¬f²₁₀,¬f i¹₀₂∨ ¬oi¹₂₀, ¬oi¹₁₂ ∨

¬f i¹₂₁, . . .

Clauses(IVa):¬f i²₀₁∨ ¬f i¹₁₃,¬o¹₀₂∨ ¬f²₂₃, . . . Clauses(IVb):¬p¹₀₃∨ ¬s¹₃₁∨ ¬f i²₀₁,. . .

Clauses(IVc):¬o¹₀₁∨ ¬mi¹₁₂∨ ¬o¹₀₂, . . .

Clauses(IVd):¬m¹₀₁∨ ¬mi¹₁₂∨ ¬o¹₀₂∨f i¹₀₂, . . .

FIGURE4 – Quelques clauses correspondant à la traduction Sat_I(N).

a^k_ij ≤Γij ≤b^k_ij. L’interprétationI_Γ^N surPI(N)est défi- nie par :

pour tout v_i, v_j ∈ V tel que i 6= j, pour tout k ∈ {1, . . . , kij}, pour touta ∈ S_ij^k,I_Γ^N(a^kij) = True si est seulement sik=k^Γ_ijeta≤Γij.

Exemple. En considérant le scénarioΓ représenté par la figure 2(a) duRCQN décrit par la figure 3(b) et le treillis du calcul des intervalles, nous avons I_Γ^N qui satisfiait uniquement les variables propositionnelles de PI(N) suivantes : p¹01, pi¹10, mi¹10, oi¹10, si¹10, o¹02, oi¹20, f¹20, p¹03, pi¹30, oi¹12, f¹12, o¹21, m¹21, si¹13,f i¹13,di¹13,eq¹13,f i¹23,f¹32. Nous pouvons montrer la propriété suivante :

Proposition 1 Soit unRCQN. Nous avons : siN est un RCQcohérent alorsSat_I(N)est satisfiable.

Preuve.(partielle). Dans la cas où N est cohérent, nous avonsN qui admet un scénarioΓ cohérent. Considérons l’interprétationI_Γ^N. Du fait queΓest un sous-RCQdeN dont toutes les contraintes sont définies par des relations singletons (et donc des intervalles ne contenant qu’une relation de base) nous pouvons montrer que les clauses(I), (II)et(III)sont satisfaites parI_Γ^N. D’autre part, comme Γ est un scénario cohérent, Γ est forcément -cohérent.

À partir de cette propriété, nous pouvons montrer que les clauses(IV)sont satisfaites parI_Γ^N. a

5

Les deux propositions suivantes correspondent à des pro- priétés qui nous permettront d’établir la complétude de la traductionSat_I.

Proposition 2 Soient unRCQN = (V, C)et un modèleI satisfaisantSat_I(N). Pour toutv_i, v_j ∈V, aveci6=j, il existe un unique entierk ∈ {1, . . . , kij}, noték^I_ij, tel que I |= a^k_ij^kij. De plus, pour toutv_i, v_j ∈ V, nous avons k_ij^I =k_ji^I.

Preuve. Soient v_i, v_j ∈ V, avec i < j. I satisfait la clause(I)a^k_ij¹ij∨. . .∨a^k_ij^ijkij^ij. Il existe donc un entier k ∈ {1, . . . , kij}, tel que I |= a^k_ij^kij. Supposons par l’absurde qu’il existe un entier k⁰ ∈ {1, . . . , kij} tel que k 6= k⁰ etI |=a^k_ij^0kij⁰. Nous avonsk_ij qui est forcément supérieur à 1. Sans perte de généralité, supposons que k > k⁰. Du fait des clauses(Id), nous avons :I 6|=a^k_ij^kij

ouI 6|=a^k_ij^0kij⁰. Il y a une contradiction. Ainsi,k⁰ne peut exister. Dans la suite, nous notons pour tout vi, vj ∈ V, avec i < j, l’entier k ainsi caractérisé par k^I_ij. Défi- nissons maintenant k^I_ji par k_ji^I = k_ij^I et montrons que I |=a^k

I ji

ji ^k

I ji

ji . Dans le cas oùk_ji^I = 1, d’après les clauses (Ib)nous avonsI|=a^k

I ji

ji ^k

I ji

ji . Supposons maintenant que k_ji^I > 1.I satisfait la clause(Ic)¬a^k

I ij

ij ^k

I ij

ij ∨a^k

I ji

ji ^k

I ji

ji . Comme I |= a^k

I ij

ij ^k

I ij

ij , nous pouvons affirmer que I |= a^k

I ji

ji ^k

I ji

ji . Supposons maintenant par l’absurde qu’il existe un entier k ∈ {1, . . . , kji} tel que k 6= k^I_ji et I |=a^k_ji^kji. Nous avonsk_jiqui est forcément strictement supérieur à1. Ainsi, d’après les clauses(Ic), nous pouvons affirmer que I |= a^k_ij^kij. D’autre part, nous savons que k 6= k^I_ij puisque k_ji^I = k^I_ij et k_ji^I 6= k. Ainsi, nous obtenons une contradiction d’après la définition dek^I_ij. a Étant donné unRCQ N = (V, C)et un modèle I satis- faisantSat_I(N), pour toutv_i, v_j ∈V, nous noteronsΠ^I_ij l’ensemble de relations de base {a : I |= a^kij^Iij},α^I_ij la relation de base de Bdéfinie parα^I_ij = Sup(Πij)etβ_ij^I la relation de base définie parβ^I_ij= (α^I_ji)⁻¹. Remarquons que l’ensembleΠ^I_ij est non vide puisque le modèleI sa- tisfait I |= a^k

I ij

ij ^k

I ij

ij . Ainsi, α_ij^I et β_ij^I sont bien définis.

Concernant ces deux relations de base, nous avons les pro- priétés suivantes :

Proposition 3 SoientN = (V, C)unRCQetIun modèle satisfaisant Sat_I(N). Pour tout v_i, v_j, v_k ∈ V distincts deux à deux, nous avons :

• (1)α^I_ij∈Πijetα^I_ij, β^I_ij∈S^k

I ij

ij ,

• (2)α^I_ij≤β_ij^I,

• (3) [α^I_ij, β_ij^I]⊆S^k

I ij

ij ,

• (4) [α^I_ij, β_ij^I]⁻¹= [α^I_ji, β_ji^I],

• (5) [α^I_ij, β_ij^I]⊆[α^I_il, β^I_il][α^I_lj, β^I_lj].

Preuve.Soientv_i, v_j∈V, aveci6=j.

• (1) Soient v_i, v_j ∈ V tels que i 6= j. Montrons que pour tout a, b ∈ Π^I_ij, nous avons Sup({a, b}) ∈ Π^I_ij. Soient a, b ∈ Π^I_ij et notons par c la relation de base Sup({a, b}). Dans le cas où nous avonsa = b,c = a ouc =bla propriété est trivialement satisfaite. Suppo- sons maintenant quea, b, csoient distincts deux à deux.

Notons que commea, b ∈ S^k

I ij

ij et queS^k

I ij

ij est un in- tervalle du treillis(B,≤), nous avonsc∈ S^k

I ij

ij . Par dé- finition deΠ^I_ij nous avonsI |= a^k

I ij

ij etI |= b^k

I ij

ij . D’après les clauses(II) nous pouvons en déduire que I|=c^k

I ij

ij . Ainsi, pour touta, b∈Π^I_ijnous avons mon- tré queSup({a, b}) ∈ Π^I_ij. Nous pouvons en conclure queSup(Π^I_ij)∈Π^I_ijet que doncα^I_ij ∈Πij.

Montrons maintenant que pour tout v_i, v_j ∈ V, avec i 6= j, α^I_ij et β_ij^I ∈ S^k

I ij

ij . Soient v_i, v_j ∈ V, avec i 6= j. Nous savons que α^I_ij ∈ Πij. Par définition de Πij, nous avons α^I_ij ∈ S^k

I ij

ij . Nous avons également α^I_ji ∈ Πji. Par définition deΠji, nous pouvons en dé- duire queα^I_ji∈S^k

I ij

ji . De plus,(S^k

I ij

ji )⁻¹ =S^k

I ij

ij . Ainsi, (α^I_ji)⁻¹ ∈ S^k

I ij

ij . Du fait que(α^I_ji)⁻¹ =β_ij^I, nous pou- vons conclure queβ_ij^I ∈S^k

I ij

ij .

• (2) Soient v_i, v_j ∈ V, aveci 6= j. Par définition de β_ij^I nous avonsβ_ij^I = (α^I_ji)⁻¹. D’après(1), nous avons α^I_ij ∈ Πij etα^I_ji ∈ Πji. Ainsi, nous avons d’une part α^I_ij ∈ S^k

I ij

ij , α^I_ji ∈ S^k

I ij

ji et d’autre part I |= α^I_ij^kij^ijI

etI |= α^I_ji^k

I ij

ji . Supposons par l’absurde queα^I_ij 6≤

(α^I_ji)⁻¹. Supposons dans un premier temps quei < j.

D’après les clauses(III), nous avonsI 6|= α^I_ij^k

I ij

ij ou I 6|= α^I_ji^k

I ij

ji . Nous obtenons une contradiction. Nous pouvons conclure queα^I_ij ≤(α^I_ji)⁻¹et qu’ainsiα^I_ij ≤ β_ij^I. Considérons maintenant le cas i > j. Supposons par l’absurde que α^I_ji 6≤ (α^I_ij)⁻¹. D’après les clauses (III), nous avons I 6|= α^I_ji^k

I ij

ji ouI 6|= α^I_ij^k

I ij

ij . Il y a une contradiction. Nous pouvons conclure queα^I_ji ≤ (α^I_ij)⁻¹. De la propriété 2 résulte que ((α^I_ij)⁻¹)⁻¹ ≤ (α^I_ji)⁻¹. Comme((α^I_ij)⁻¹)⁻¹=α^I_ij et(α^I_ji)⁻¹ =β_ij^I, nous pouvons conclure queα^I_ij≤β_ij^I.

• (3)Soientv_i, v_j ∈ V tels quei 6= j. De(2)nous sa- vons queα^I_ij ≤ β_ij^I. Ainsi, [α^I_ij, β_ij^I] est un intervalle de(B,≤)bien défini. À partir de(1), nous savons que α^I_ijetβ_ij^I appartiennent à l’intervalleS^k

I ij

ij = [a^k

I ij

ij , b^k

I ij

ij ].

Ainsi, nous avonsa^k

I ij

ij ≤α^I_ij ≤β_ij^I ≤b^k

I ij

ij . Nous pou- vons conclure que[α^I_ij, β_ij^I]⊆S^k

I ij

ij .

• (4) Soient v_i, v_j ∈ V tels que i 6= j. D’après (3), nous avonsα^I_ij ≤ β_ij^I etα^I_ji ≤β^I_ji. Ainsi,[α^I_ij, β^I_ij]et