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UNIVERSITE DE LORRAINE
Ecole Nationale Supérieure des Mines de Nancy Laboratoire GeoRessources
Ecole Doctorale RP2E THESE
Présentée en vue du grade de DOCTEUR DE L’UNIVERSITE DE LORRAINE
en Mécanique - Génie Civil Par
Bakri BASMAJI
Développement d’un modèle analytique d’interaction sol- structure pour l'étude du comportement mécanique des structures soumises à un mouvement de terrain – influence des
déformations de cisaillement et de la plasticité
Soutenue publiquement le 15 décembre 2016 Devant le jury composé de
Abdul-hamid Soubra Rapporteur- Professeur - Université de Nantes Fabrice Emeriault Rapporteur - Professeur - INP Grenoble
Anne Pantet Examinateur - Professeure - Université du Havre Emad Jahangir Examinateur - Chargé de recherche-Mines ParisTech Didier Subrin Examinateur - Chef du pôle- CETU
Sandrine Rosin Examinateur - Maître de conférences Université de Lorraine Laurent Sylvestre Invité - CEREMA
Olivier Deck Professeur - Co-directeur de thèse- Université de Lorraine Marwan Al Heib Directeur de thèse- INERIS
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Sommaire
1- Etude bibliographie ... 7
1.1- Origine des mouvements de terrain ... 7
1.1.1- Les affaissements miniers... 7
1.1.2- Le creusement de tunnels ... 9
1.1.3- Effondrement localisé (Fontis) ... 10
1.1.4- Retrait-gonflement du sol ... 11
1.2- Description et prévision des mouvements en champ libre ... 12
1.2.1- Les mouvements associés aux affaissements miniers et ses composants ... 12
1.2.2- Les mouvements associés au creusement des tunnels ... 13
1.3- Comportement des bâtiments soumis à des mouvements de terrain ... 14
1.3.1- Comportement des bâtiments vis-à-vis de la déformation horizontale ... 15
1.3.2- Comportement des bâtiments vis-à-vis de la courbure du terrain ... 15
1.3.3- Comportement des bâtiments vis-à-vis de la pente du terrain ... 17
1.3.4- Comportement global ... 18
1.3.5- Définition de ∆ et de ∆0 ... 18
1.4- Interaction Sol-Structure ... 20
1.4.1- Les modèles analytiques de l'interaction sol-structure. ... 22
1.4.2- L'interaction sol-structure associée à des mouvements de terrain ... 25
1.4.3- Le modèle analytique de Deck et Singh (2010) pour l'interaction sol-structure en cas de mouvement de sol ... 26
1.4.4- Modèle numérique de l'interaction sol-structure ... 29
1.4.5- Les modèles physiques ... 34
1.5- Conclusion ... 37
2- Justification des modèles analytiques utilisés du sol et IDENTIFICATION de leurs paramètres ... 39
2.1- Objectif ... 39
2
2.2- Choix des modèles ... 39
2.3- Modèles de Winkler et Pasternak ... 40
2.4- Paramètres des modèles analytiques ... 42
2.4.1- Module de réaction de Winkler Kw ... 42
2.4.2- Module de cisaillement de Pasternak Gp ... 45
2.5- Méthodologie pour calculer les paramètres de Winkler et Pasternak ... 46
2.5.1- Déplacement du sol à partir de la théorie de l’élasticité ... 46
2.5.2- Déplacement du sol modélisé par les modèles de Winkler et Pasternak ... 49
2.5.3- Ajustement des déplacements ... 50
2.5.4- Comparaison des différentes expressions des modules ... 54
2.6- Validation des résultats ... 55
2.7- Conclusion ... 58
3- Développement d’un modèle d’interaction sol-structure ... 59
3.1- Modélisation de l'ISS en prenant en compte l'influence du cisaillement dans le sol 60 3.1.1- Modélisation du bâti ... 60
3.1.2- Mouvement des terrains en champ libre ... 61
3.1.3- Modélisation du terrain ... 62
3.2- Modèle final et résolution du système ... 65
3.2.1- Cas sans décollement ... 65
3.2.2- Cas avec décollement ... 71
3.2.3- Conclusion ... 76
3.3- Taux de transmission de la déflexion en fonction de la rigidité relative ... 76
3.3.1- Choix des valeurs de rigidité du sol et du bâtiment ... 76
3.3.2- Analyse et discussion des résultats ... 78
3.3.3- Comparaison entre les modèles d’ISS utilisant l'approche de Winkler et de Pasternak ... 82
3.3.4- Conclusion ... 83
3.4- Etude de sensibilité ... 85
3
3.4.1- Influence de la longueur du bâtiment ... 85
3.4.2- Influence du déplacement en champ libre ... 85
3.4.3- Relation entre R et Δ/L ... 86
3.5- Modèle d'ISS en prenant en compte l'influence du cisaillement dans le bâtiment ... 87
3.5.1- Modèle analytique du problème d’ISS ... 89
3.5.2- Sans décollement ... 90
3.5.3- Avec décollement ... 91
3.5.4- Conclusion ... 93
3.6- Conclusion ... 94
4- Prise en compte de la plasticité du terrain ... 95
4.1- Objectif ... 95
4.2- Introduction ... 95
4.3- Modèles d’ISS avec comportement élastoplastique pour le sol ... 97
4.3.1- Cas des fondations profondes ... 97
4.3.2- Cas d’une poutre en contact avec le sol ... 98
4.3.3- Cas de soutènements souples ... 99
4.4- Développement d’un modèle d’ISS prenant en compte la plasticité du terrain (cas de Winkler) ... 100
4.4.1- Modélisation du terrain ... 100
4.4.2- Equations du système ... 102
4.4.3- Résolution du problème (Cas de Winkler)... 102
4.4.4- Résultats (modèle de Winkler) ... 104
4.5- Développement d’un modèle d’ISS prenant en compte la plasticité du terrain (cas de Pasternak) ... 108
4.5.1- Equations et résolution du système dans le domaine élastique ... 108
4.5.1- La solution en considérant la plasticité du sol ... 110
4.6- Conclusion ... 112
5- Validation des résultats ... 113
4
5.1- Objectif ... 113
5.2- Validation numérique ... 113
5.2.1- Validation au moyen de modèles réalisés avec CESAR-LCPC ... 113
5.2.2- Comparaison avec les résultats de Potts et Addenbrooke ... 118
5.3- Comparaison avec le modèle de Farrell et Mair (2012) ... 121
5.4- Comparaison avec le modèle de Goh et Mair (2010) ... 128
5.5- Comparaison avec le modèle physique réduit de Nghiem (2015) ... 129
5.6- Conclusion ... 131
6- Conclusion générale ... 133
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Introduction générale et problématique
Les mouvements de sol en surface peuvent produire des désordres sur les ouvrages construits en surface et les ouvrages enterrés. Ces mouvements peuvent trouver leur origine dans l'existence de mines et de carrières souterraines en France et à travers le monde en raison de l'exploitation des matières premières. Un grand nombre d'anciennes exploitations souterraines constituées de vides abandonnés à différentes profondeurs existe ainsi en Lorraine par exemple. Ces vides représentent un aléa parce que les terrains sus-jacents peuvent s'affaisser en cas d'effondrement de l'édifice minier. Cinque affaissements se sont produits dans le bassin ferrifère Lorrain dans les dernières 20 ans, ces affaissements ont endommagé plus de 500 bâtiments. Une autre origine fréquente est le creusement de tunnels en site urbain, l'extension de la ligne de métro de Londres et le projet de Grand Paris Express où plus de 200 km de travaux souterrains se déroulent dans des zones urbanisées, ce sont des exemples des mouvements de terrains qui peuvent induire des dommages sur les bâtis, le niveau du dommage dépend de l’interaction sol-structure.
La bonne estimation du tassement des terrains et du déplacement des bâtiments après un mouvement de sol est nécessaire pour permettre d’estimer la dégradation attendue dans ce bâtiment. Si les méthodes numériques sont largement utilisées pour estimer ces déplacements, leur utilisation soulèvent de nombreuses questions pour justifier la pertinence des hypothèses réalisées et reste coûteuse en termes de temps. Elles sont particulièrement pertinentes pour étudier des configurations spécifiques. D’un autre côté, la problématique peut être étudiée par des modèles physiques réduits qui se révèlent néanmoins coûteux également (en temps et argent) et qui soulèvent également de nombreuses interrogations quant au choix des matériaux et du facteur d'échelle. Elles permettent de comprendre la réponse qualitative de bâtiments dans une zone de mouvement de sol, mais la généralisation des résultats reste difficile. D'ici vient l'importance de faire des modèles analytiques simples et efficaces, permettant d’aboutir à des résultats quantitatifs et de mener des études de sensibilité.
Si le mouvement de sol en terrain vierge est facile à prévoir d'après plusieurs relations développées dans la littérature, ce n'est pas le cas pour un bâtiment qui se trouve dans cette zone de mouvement. En effet, le déplacement du sol en terrain vierge ne peut pas être transmis au bâtiment sauf s’il est très souple par rapport au sol, alors que la transmission de ce mouvement sera presque nulle si le bâtiment et très rigide par rapport au sol. On va trouver que la typologie des bâtiments, leurs dimensions, les propriétés de matériaux utilisés, les charges appliquées, l’intensité des mouvements du sol et la nature du sol jouent un rôle important en déterminant les déplacements finaux dans ce bâtiment et les contraintes développées dedans. Négliger un ou plusieurs de ces paramètres conduit forcement à une mauvaise estimation du déplacement de ce bâtiment, ce qui cause une mauvaise estimation de la dégradation attendue en cas de mouvement de sol.
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Cette thèse a pour objectif de développer une nouvelle méthodologie pour estimer les déplacements prévus dans un bâtiment soumis à un mouvement de sol.
Dans une première partie, une étude bibliographique sera consacrée à la présentation des phénomènes de mouvements de terrains, à leurs conséquences sur les constructions, et aux différentes approches utilisées pour estimer les déplacements des bâtiments suite à ces mouvements.
Dans une seconde partie, les paramètres utilisés pour le modèle qui décrit le comportement de sol dans ce travail seront justifiés. La justification de ces paramètres constitue un réel obstacle pour développer le modèle analytique de l'interaction sol structure.
Dans une troisième partie, un modèle analytique de l'interaction sol structure sera développé afin de pouvoir estimer les déplacements et les efforts dans un bâtiment soumis à un mouvement de sol. Le taux de transmission des mouvements en champ libre du terrain au bâtiment sera calculé et tracé en fonction de la rigidité relative en flexion du bâti par rapport au terrain. L’apport de ce travail de thèse concerne principalement la prise en compte de déformations de cisaillement dans le sol et dans le bâti.
Dans une quatrième partie, l'influence de la prise en compte du comportement élastoplastique dans le sol sur les déplacements d'un bâtiment soumis à un mouvement de sol sera étudiée. Les développements proposés utilisent également une approche analytique.
Dans une cinquième partie, un modèle numérique en utilisant le code CESAR sera développé afin de valider les résultats analytiques. D’autres comparaisons sont également proposées sur la base de résultats de plusieurs modèles numériques et expérimentaux développés principalement à l'Université de Cambridge pour suivre les réponses de bâtiments pendant les extensions de tunnel de Londres.
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1- ETUDE BIBLIOGRAPHIE
1.1- Origine des mouvements de terrain
Plusieurs phénomènes sont à l'origine de mouvements de terrain comme les affaissements miniers, le retrait-gonflement des sols argileux, les fontis, la variation de niveau de nappes, le creusement de tunnels, etc.
Ce travail s’intéresse plus spécifiquement aux mouvements induits par des cavités souterraines (mines, carrières, tunnels). C’est vis-à-vis de ces mouvements que les phénomènes d'interaction sol structure seront étudiés.
1.1.1- Les affaissements miniers
L’exploitation des matières premières (fer, sel, gypse, etc.) au moyen de mines et de carrières souterraines laisse aujourd'hui des vides souterrains abandonnés à différentes profondeurs et sous différentes conditions environnementales et climatiques.
Après l'arrêt des exploitations, des affaissements peuvent se produire suite à la rupture des piliers ou du recouvrement. Le problème des affaissements et leurs conséquences sur les bâtiments et les ouvrages en surface peuvent se révéler essentiel dans une optique de gestion des risques associés à ces exploitations.
On distingue principalement deux types d'affaissements : les fontis et les affaissements progressifs ou brutaux.
Les affaissements progressifs ou brutaux se produisent à l’aplomb d’exploitations de grande extension et peuvent se produire de manière accidentelle pour les exploitations exploitées notamment par chambres et piliers. Ils se manifestent en surface par une cuvette d'affaissement de grande ampleur, de forme continue ou discontinue. Les différentes étapes de l'affaissement d'une mine sont présentées dans la Figure 1-1. L'affaissement est qualifié de brutal ou progressif selon qu'il se produit de manière quasiment instantanée ou quasi-statique (plusieurs semaines à plusieurs mois). La différence d’évolution entre une nature brutale ou progressive s’explique par de nombreux facteurs tels que le taux de défruitement, la profondeur et la nature du recouvrement, etc. (Vachat 1982).
Les affaissements miniers provoquent l'apparition d'une cuvette en surface. Cette cuvette a une géométrie tridimensionnelle qui dépend de plusieurs facteurs liés à la géométrie de l'exploitation, la profondeur de l'exploitation, la méthode de l'exploitation et les propriétés mécaniques du sol.
On trouvera des informations plus complètes dans les thèses de Deck (2002), et Aissaoui (1999).
Les déplacements verticaux sont à l'origine d'une pente et d'une courbure du terrain, alors que les déplacements horizontaux sont à l'origine d'une déformation horizontale du terrain de type extensif vers l'extérieur de la cuvette et compressif vers l'intérieur de la cuvette.
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Figure 1-1 : Illustration du phénomène d'affaissement minier (Deck 2002)
Pour décrire les mouvements de terrain qui sont les résultats d’un affaissement minier, un certain nombre de grandeurs sont définies (Figure 1-2).
- R : rayon de courbure d’un point de la cuvette d’affaissement à la surface du terrain. Une valeur négative correspond à une courbure concave (zone de compression vers le centre de la cuvette) et une valeur positive à une courbure convexe (zone d’extension vers les bords de la cuvette).
- Am : affaissement maximal mesuré au centre de la cuvette.
- v : déplacement vertical (affaissement) d’un point de la cuvette d’affaissement à la surface du terrain ;
v et R seront particulièrement importants dans ce travail. Ils décrivent ce qu'on va appeler le déplacement en terrain vierge ou en champ libre, c’est-à-dire le mouvement des terrains sans prise en compte de l'influence des constructions éventuelles en surface. Les mouvements en champ libre ne prennent donc pas en compte l'influence des phénomènes d'interaction sol- structure.
Plusieurs méthodes ont été développées pour estimer l'affaissement en champ libre et ses composants. Aissaoui (1999) a classé ces méthodes en 5 groupes : méthodes empiriques, semi empiriques, analytiques, physiques et numériques. Les méthodes empiriques et semi-empiriques s'appuient sur des considérations théoriques et empiriques. Les méthodes numériques ainsi des approches expérimentales et empiriques sont toujours employées pour estimer ces mouvement (Caudron (2007), Abbass Fayad (2004), Cui et Kimura (2010), Dyne (1998)).
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Deck (2002) a regroupé les formules mathématiques permettant de décrire les affaissements en surface ; deux grandes familles de fonctions apparaissent. La première est basée sur l’inverse de la fonction exponentielle et la seconde sur la fonction tangente hyperbolique.
Le niveau de dommages d’une structure dépend de sa typologie (matériaux, architecture et forme), de l’amplitude de l’affaissement (déformation horizontale et courbure en particulier) et de la position de la structure par rapport à la cuvette d’affaissement.
Les différentes approches utilisées pour estimer le niveau de dommages d'une structure ont pris en compte ces paramètres. Par exemple, NCB (1975) et Wagner et Schumman (1991) ont proposé des abaques afin d'estimer les endommagements de bâtiments en fonction de leur longueur et de la déformation horizontale du terrain. Wagner et Schumman (1991) proposent aussi un abaque pour estimer la dégradation en fonction de la déformation horizontale et la pente du terrain. Il existe également la méthode polonaise de Kwiatek (1998) qui utilise sept critères pour estimer la dégradation d'un bâtiment (3 pour décrire la géométrie de la structure, 3 pour ses caractères techniques et un paramètre pour décrire le terrain d'assisse).
Figure 1-2 : Illustration des mouvements de la surface des terrains et de la géométrie d'une cuvette d'affaissement (Deck 2002)
1.1.2- Le creusement de tunnels
Le creusement des tunnels peut induire des mouvements en surface (Figure 1-3). Ces mouvements ne sont pas uniformes mais se concentrent à l’aplomb de l’ouvrage souterrain sous la forme d’une cuvette. Le problème est particulièrement sensible dans les villes, où ces mouvements affectent toutes les composantes du tissu urbain, qu’il s’agisse des bâtiments, des ouvrages d’art, des voiries ou des réseaux.
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L’étude des mouvements associés au creusement des tunnels et leurs conséquences en termes de dommage aux bâtiments et d’étude des phénomènes d’ISS ont fait l’objet de plusieurs études à travers le monde Potts et Addenbrooke (1997), Withers (2001), Mair et Taylor (2001), Standing (2001), Viggiani et Standing (2001), Franzius (2003), Franzius et al. (2004), Dimmock et Mair (2008), Goh (2010), Goh et Mair (2011), Farrell et al. (2011) et Mair (2013).
A titre d’exemple, Giardina et al. (2013) ont mené des études numériques et expérimentales afin d'analyser le niveau de dommage d'une façade en maçonnerie suite à des travaux de creusement de tunnel. Ils ont montré le rôle important que peut jouer l’initiation de l’endommagement d’un bâtiment sur les phénomènes d’ISS et le niveau de dommage final que peut subir l’ouvrage.
Figure 1-3 : Mouvement induit par le creusement de tunnel (Serratrice et Magnan 2002)
1.1.3- Effondrement localisé (Fontis)
Une cloche de fontis correspond à une remontée localisée, par effondrements successifs des terrains au toit d'une cavité (Figure 1-4). Selon les caractéristiques géométriques de la cavité et mécanique du terrain sus-jacent, cette cloche de fontis peut être amenée à déboucher brutalement en surface. L'affaissement peut être de forte amplitude avec des discontinuités en surface. Abbas Fayad (2004) a étudié la stabilité de fontis au toit des carrières souterraines.
Les fontis sont un sujet d'étude à l'INERIS ou des modèles expérimentaux ont été développés pour mieux comprendre le phénomène et son influence sur les bâtiments (Nghiem (2015), Hor (2010) et Caudron (2008)).
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Figure 1-4 : Illustration du phénomène de fontis (Vachat 1982).
1.1.4- Retrait-gonflement du sol
Les phénomènes de retrait-gonflement provoqués par la variation de la teneur en eau des sols argileux peuvent produire des désordres sur les ouvrages en surface et sur les ouvrages enterrés.
Les maisons en maçonnerie restent les plus touchées par ce phénomène car leur résistance en cisaillement est faible, ce qui les rendent vulnérables vis-à-vis du phénomène de retrait- gonflement. Jahangir (2011), Olivella et al. (1996) et Denis et al. (2007) ont proposé des modèles de l'ISS associés à des mouvements de sol de type retrait-gonflement.
Par exemple, Jahangir (2011) a proposé une méthodologie d’étude de l’interaction sol argileux- structure pour estimer l'influence de la rigidité du bâti sur l'amplitude du retrait des sols argileux.
Le comportement hydromécanique du sol est modélisé par une surface d’état et la rigidité du bâti par un ressort. Il a montré que plus le bâti est rigide plus l’amplitude du retrait du sol argileux est faible. Il a également montré que l’influence de la raideur du bâti sur l’amplitude du retrait n’est pas négligeable et qu’elle varie en fonction de l’état initial et la nature du sol.
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Figure 1-5 : Schéma de principe du phénomène de retrait-gonflement des argiles(BRGM)
1.2- Description et prévision des mouvements en champ libre
Ce qui nous intéresse dans ce chapitre, c'est de caractériser le mouvement à la surface des terrains en champ libre, c’est-à-dire sans prise en compte d’une interaction sol-structure associée à la présence d’un ouvrage. Nous ne cherchons à expliquer ni l'origine, ni la prévision d'occurrence de ces mouvements. Les deux phénomènes pris en compte ici sont les mouvements associés à des affaissements miniers et ceux associés au creusement de tunnels car ils correspondent à des mouvements continus.
Le déplacement en terrain vierge v(x) sera un paramètre important dans ce travail, il va intervenir dans le calcul de la déflexion maximale en terrain vierge Δ0, mais aussi dans les équations pour estimer la déflexion finale transmise au bâtiment Δ.
1.2.1- Les mouvements associés aux affaissements miniers et ses composants
Plusieurs méthodes ont été développées pour estimer l'affaissement et ses composants. Aissaoui (1999) a classé ces méthodes en 5 groupes : méthodes empiriques, semi empiriques, analytiques, physiques et numériques. Les méthodes empiriques et semi-empiriques s'appuient sur des considérations théoriques et empiriques. Les méthodes numériques ainsi des approches expérimentales et empiriques sont toujours employées pour estimer ces mouvement (Caudron (2007), Abbass Fayad (2004), Cui et Kimura (2010), Dyne (1998)).
Deck (2002) a regroupé les formules mathématiques permettant de décrire les affaissements en surface ; deux grandes familles de fonctions apparaissent. La première est basée sur l’inverse de la fonction exponentielle et la seconde sur la fonction tangente hyperbolique.
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On peut calculer la courbure du terrain à partir des fonctions théoriques du profile d'affaissement vertical. L’Equation 1-1 est la formule exacte de la courbure du terrain ; elle peut être simplifiée selon l'Equation 1-2 du fait que la pente de la cuvette est très petit devant l'unité, Saeidi (2010).
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𝑅𝑅 = 𝑑𝑑2𝑉𝑉(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥2
�[1+(𝑑𝑑𝑉𝑉(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 )2]3 Équation 1-1
Si 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 ≪1→ 1𝑅𝑅 =𝑑𝑑2𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑(𝑥𝑥)2 Équation 1-2
Il ya quand même des formules mathématiques permettant d'estimer la valeur minimale du rayon de la courbure d'une cuvette d'affaissement. Les différents auteurs s’accordent à exprimer le rayon de la courbure minimal en fonction du rapport H²/Am (H : profondeur de la mine, Am : l’affaissement maximal).
Tableau 1-1: Formules mathématiques permettant d'estimer la valeur minimale du rayon de courbure d'une cuvette d'affaissement (Deck 2002).
1.2.2- Les mouvements associés au creusement des tunnels
L’estimation et la prédiction des déplacements induits par le creusement de tunnels ont été traitées par plusieurs publications. Peck 1967 a mis la relation la plus connue dans ce domaine (Figure 1-6).
Dans la Figure 1-6, on note que S'v,max est le tassement maximal alors que Sv,max est le tassement dans le point d'inflexion. Sv(x) est le déplacement de sol dans la zone de compression, S'v(x) est le déplacement du sol en dehors de la zone de compression, cela convient avec la Figure 1-2.
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Figure 1-6 : Exemple de profil analytique décrivant le déplacement de sol en terrain vierge consécutifs aux travaux de creusement d’un tunnel à Londres, GCG (2007)
Farrell et al. (2014) ont mesuré le déplacement du sol à Londres pendant les travaux de creusement du tunnel. Les déplacements qu’ils ont mesurés, sont très proches des déplacements calculés à partir d'une fonction exponentielle (Figure 1-7).
Figure 1-7: Comparaison entre les déplacements mesurés et calculés pour les travaux de creusement d’un tunnel à Londres (Farrell et al. 2014)
La Figure 1-7 montre que les relations analytiques type (Peck 1969) sont capables de bien estimer le tassement en surface induits par le creusement de tunnel.
1.3- Comportement des bâtiments soumis à des mouvements de terrain
Les mouvements et déformations du terrain les plus critiques pour les ouvrages dépendent de la nature de l'aléa considéré. Pour un affaissement, par exemple, il faut prendre en compte principalement l'effet de la déformation horizontale et de la courbure du terrain. Pour les mouvements associés au creusement de tunnel ou au retrait gonflement, c’est essentiellement la courbure qui importe.
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Les différents comportements possibles d'un bâtiment soumis à des mouvements du terrain ont été décrits et synthétisés par Deck (2002) et Abbass Fayad (2004).
1.3.1- Comportement des bâtiments vis-à-vis de la déformation horizontale
Plusieurs études ont été faites pour comprendre le comportement des structures situées en zone de déformation horizontale : Shahin et al. (2004), Deck (2002), Arcamone (1980), Geddes (1984), Burland et al. (1977) et Soots (1969).
La déformation horizontale de terrain a une action sur la structure selon deux modes de transmission principaux : une poussée de terrain (cas de compression) et un frottement du terrain le long de la structure (Figure 1-8). Le taux de transmission de la déformation horizontale dépend de la rigidité relative d'une structure par rapport à celle du terrain. Boscardin et Cording (1989), Potts et Addenbrooke (1997) ont essayé de quantifier le taux de transmission pour des ouvrages rigides ou pour des ouvrages souples. Selon l'étude menée par Boscardin et Cording (1989) l'ordre de grandeur de ce paramètre est de 10 à 30% pour les bâtiments rigides et de 30 à 100 % pour les bâtiments souples.
Figure 1-8 : Comportements possibles d'un bâtiment vis à vis de la déformation horizontale de terrain (Kratzsch, 1983).
1.3.2- Comportement des bâtiments vis-à-vis de la courbure du terrain
La courbure du terrain est de deux ordres : concave ou convexe. La zone concave se situe vers le centre de la cuvette et la zone convexe vers les bords de la cuvette.
Attewell et Yeates (1984), Boscardin et Cording (1989), Kratzch (1983), Arcamone (1980), Soots (1969), Burland et al. (1977), Burland et Worth (1974), Neuhaus (1965), Geddes et Kennedy (1984), Potts et Addenbrooke (1997), Franzius et al. (2005), Deck et Singh (2010), Boramy (2012) et Nghiem (2015) ont mené des études pour étudier le comportement des structures en zone de courbure du terrain.
L'effet global d'une courbure concave est d'augmenter le report des contraintes verticales dues au poids propre de l'ouvrage vers ses extrémités. Pour des courbures importantes, l'ouvrage peut même être intégralement déchargé en son centre. La structure subie donc une flexion concave et des contraintes de traction apparaissent en fibre inférieure.
L'effet global d'une courbure convexe est de reporter les contraintes verticales dues au poids propre de l'ouvrage vers son milieu. Pour des courbures importantes, l'ouvrage peut même être
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intégralement déchargé à ses extrémités. La structure prend une courbure convexe et des contraintes de traction apparaissent en fibre supérieure.
La question principale est d’évaluer la courbure finale du bâtiment. Cette courbure est-elle la même que celle du terrain en champ libre ? Nous tenterons de répondre à cette question en étudiant l’interaction entre le sol et la structure. La Figure 1-9présente une description schématique du comportement de la structure en zone concave ou convexe.
Dans la zone concave, l’augmentation des contraintes verticales sous les extrémités de la structure est remarquable, alors que l’augmentation des contraintes verticales dans la zone convexe est sous le centre de la structure. Pour des courbures importantes, la structure peut être décollée à ses extrémités (dans la zone convexe) ou en son centre (dans la zone concave), selon la rigidité du terrain et de la structure.
La Figure 1-9-g, montre que la courbure de terrain peut être la cause d’une sollicitation de la structure par flexion et par cisaillement.
D'une manière générale une courbure concave du terrain génère des fissures inclinées, concentrées vers le bas de l'ouvrage et orientées depuis les extrémités inférieures de l'ouvrage vers son centre. Une courbure convexe à un effet contraire, avec des fissures concentrées dans la partie supérieure de la structure et orientées depuis le centre de l'ouvrage vers ses extrémités supérieures.
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Figure 1-9 : Schémas présentant les comportements possibles d'une structure vis-à-vis de la courbure des terrains (Deck 2002)
1.3.3- Comportement des bâtiments vis-à-vis de la pente du terrain
La mise en pente provoque une redistribution des contraintes dans le sol (Figure 1-10), qui deviennent plus élevée en aval et plus faible en amont au-dessous d’une structure.
La pente provoque aussi un changement de descente de charge au niveau de la structure. Les éléments porteurs du côté de l'inclinaison se retrouvent plus comprimés, cela peut aller jusqu'à mettre en traction une partie de ces éléments si l'inclinaison est assez forte (Figure 1-10). De ces côtés, les façades n'étant pas dimensionnées pour les supporter, cette traction est à l’origine d'un risque d'effondrement de la structure.
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Figure 1-10 : Redistribution des contraintes lors de l'inclinaison d'un bâtiment (Crédit CSTB)
1.3.4- Comportement global
Le comportement global d'un bâtiment vis-à-vis du cumul de la courbure, de la déformation du terrain, et des différents déplacements du terrain est assez délicate à appréhender. On peut formuler quelques observations.
- La zone de traction (convexe) est plus susceptible d'entrainer des dégradations dans le bâti, car la résistance en traction de la structure est globalement moins importante que celle en compression.
- Les mouvements qui causent la plus importante redistribution des contraintes verticales dans le sol sont l'inclinaison et la courbure du terrain.
- La majeur partie des fissures pouvant apparaitre dans les murs sont inclinées ou verticales. Seule la déformation de compression peut engendrer des fissures horizontales.
- L'influence de la typologie du bâtiment joue un rôle important. Un bâtiment souple aura une tendance à suivre les déplacements du terrain, ce qui limite les pertes d'appui au niveau de fondations, mais va provoquer des déformations internes importantes pouvant gêner son utilisation. D'autre part, si le bâtiment est rigide, il va présenter des accumulations de contraintes au niveau de points durs, qui peuvent être à l’origine de son endommagement.
1.3.5- Définition de ∆ et de ∆0
Dans ce travail, on va distinguer entre deux termes de la déflexion ∆et ∆0en fonction ou pas de l’absence de structure. La Figure 1-11résume l'état du phénomène d’interaction sol-structure. Si l'influence de l’interaction sol-structure n’est pas prise en compte, le bâti souple suit alors parfaitement le tassement du sol, et donc ce tassement est égal au déplacement initial du sol.
Quant au bâti très rigide, il peut résister contre le mouvement du sol et la déformation induite est très limitée.
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Figure 1-11 : Déplacement du sol et du bâti sans et avec prise en compte de l'influence de l'ISS, et le déplacement en terrain vierge (Deck et Singh 2010)
Il convient en effet d’évaluer d’abord la déflexion du bâti ∆ en fonction de mouvement en champ libre ∆0.
Les différentes approches proposées pour étudier le comportement des ouvrages et leur vulnérabilité en zone de mouvement de terrains mettent en évidence la nécessité de distinguer deux mouvements du terrain :
• Le mouvement en champ libre Δ0 qui caractérise le mouvement subi par le terrain en l’absence de toute interaction avec un ouvrage, il correspond à la déflexion maximale que le bâti est susceptible de subir dans l’hypothèse que la totalité du mouvement du terrain lui soit transmise. Il existe une relation géométrique entre la courbure du terrain, la déflexion et la longueur du bâtiment (Burland et Wroth 1974, Kratzsch 1983) :
∆0= 8𝑅𝑅𝐿𝐿2 Équation 1-3
• La déflexion transmise au bâti Δ qui peut être significativement inférieure au déplacement en champ libre compte tenu des phénomènes d’interaction sol-structure et surtout pour des structures rigides.
La détermination du rapport ∆/∆0, appelé ensuite le taux de transmission, est le point clé qui sera traité dans les prochains chapitres pour différents types de sol et de bâti.
Pour un bâtiment léger et très rigide, un décollement peut se produire, la nouvelle déformation de bâtiment doit être moins importante dans ce cas que la déformation en l’absence de décollement (Deck et Singh 2010).
En prenant le phénomène de l'ISS en compte, le mouvement de sol peut conduire à un tassement du sol aux extrémités du bâtiment (Deck 2002), le tassement différentiel subi par le bâti devrait toujours être inférieur à celui du sol, la déflexion maximale du bâti (∆) devrait toujours être entre
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zéro et une valeur ∆0 correspondant au déplacement du sol en champ libre sous le bâtiment. Par conséquent, le taux de transmission de déflexion ∆/∆0est toujours inférieur à 1.
Calculer la valeur de Δ est assez difficile. Même si la modélisation analytique ne permet pas de prendre en compte des configurations complexes, au contraire de modèles numériques, elle permet d’obtenir rapidement des résultats pour une plage de variation importante des paramètres du modèle. En plus, les modèles analytiques permettent plus aisément de faire des études de sensibilité.
Figure 1-12 : Modélisation d’un bâtiment par une poutre selon Burland and Wroth (1974)
1.4- Interaction Sol-Structure
L'interdépendance du comportement mécanique entre le sol sous des fondations et la structure basée sur ces fondations est appelée "interaction sol-structure". L’application d’une charge sur une fondation engendre des déformations du sol et de la fondation associée à une redistribution des contraintes dans le sol qui dépend de la rigidité du sol et de la fondation. La connaissance de l’état de contrainte au contact sol-fondation est nécessaire pour un dimensionnement réaliste des structures qui prend en compte le seuil de capacité portante du sol. Cet état de contrainte est susceptible d’être fortement modifié quand le terrain subit un mouvement (affaissement minier, retrait gonflement, creusement de tunnel, etc.).
Avant que les méthodes numériques ne soient utilisées, les chercheurs ont développé des méthodes simples et efficaces pour tenir compte des phénomènes d’interaction sol-structure et estimer les contraintes dans le sol et les déplacements des ouvrages. Les phénomènes d'interaction sol-structure étant fortement dépendant de la raideur de la structure et du terrain, l’enjeu consiste à pouvoir les modéliser de manière satisfaisante.
La raideur de la structure dépend de ses matériaux de construction, de sa géométrie et de sa typologie structurelle, etc. Dans un souci de simplification, les structures sont souvent modélisées par un élément de poutre caractérisé par une rigidité (EI) représentant la rigidité de toute la structure ou de ses fondations (Burland et al., 1977, Bowles, 1996, Frantziskonis et Breysse, 2003, Dimmock et Mair, 2008, Deck et Singh, 2010). La majorité des études traitant du comportement
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d’une poutre posée sur un terrain est basée sur le modèle de poutre d’Euler-Bernoulli où la déformation due au cisaillement est négligée (Morfidis et Avramidis, 2002). Un modèle alternatif est celui de la poutre de Timoshenko qui permet de prendre en compte l'influence des déformations de cisaillement dans la structure (Son et Cording, 2005).
La raideur du terrain dépend de sa nature géologique et géotechnique. Bien que les terrains aient un comportement élastoplastique complexe, les méthodes d’analyse de l’interaction sol-structure ont d’abord utilisé un modèle élastique pour son comportement.
Quand une fondation flexible sur un milieu élastique est sujette à un chargement uniforme, la réaction dans le sol (la pression de contact) restera uniforme. La Figure 1-13 montre une fondation flexible reposant alternativement sur un sol fin ou granulaire. La différence du profil de tassement est due au manque de cohésion pour le cas du sol granulaire. Il est à noter que dans les deux cas la pression de contact reste uniforme. On notera que la fondation souple se déplace et se déforme avec le terrain sans modifier l’état de contrainte dans le sol.
Figure 1-13 : Fondation flexible, a) matériaux élastiques fins, b) matériaux granulaires (Mesta et Prat, 1999)
Dans le cas d’une fondation très rigide, le tassement reste identique sous la fondation pour tous les points. Pour un matériau granulaire, la réaction est concentrée au milieu sous la fondation à cause du manque de cohésion. Pour un terrain cohérent, la fondation rigide ramène la contrainte vers les extrémités et la réaction est donc maximale aux extrémités (Mesta et Prat, 1999 ; Deck, 2002 ; Das, 2009). On notera donc que la fondation rigide ne se déforme pas mais modifie l’état de contrainte de contact.
Figure 1-14 : Fondation rigide, a) matériaux élastiques fins, b) matériaux granulaires (Mesta et Prat, 1999)
En réalité le comportement d’une fondation est entre les deux cas illustrés sur la Figure 1-13 et la Figure 1-14. La différence de raideur entre le sol et la fondation fait intervenir des phénomènes
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d’interaction sol-structure. La répartition de la pression de contact dépend de la rigidité relative de la fondation (la structure) et du terrain.
1.4.1- Les modèles analytiques de l'interaction sol-structure.
Quand on parle de modélisation analytique de l'interaction sol-structure, il faut distinguer deux parties, le sol et la structure.
Dans les différentes études de l'ISS, la structure est toujours modélisée par une ou plusieurs poutres (Euler-Bernoulli ou Timoshenko), alors que le sol est modélisé par différents modèles, dont le plus simple est le modèle de Winkler.
1.4.1.1- Modélisation du terrain
Modèle de Winkler
Winkler (1867) a supposé que la réaction du sol, à chaque point sous la fondation, est proportionnelle à la déflexion de la fondation en ce point. Cette hypothèse revient à modéliser le terrain par une juxtaposition de ressorts élastiques. Le constant de proportionnalité de ces ressorts est connue comme le module de réaction du sol Kw.
𝑝𝑝(𝑥𝑥) =𝐾𝐾𝑤𝑤𝑤𝑤(𝑥𝑥) Équation 1-4
Le paramètre Kw (le module de réaction de sol) et les méthodes permettant de l’évaluer seront décrits précisément dans le chapitre 2.
D'après Houlsby et al. (2005), le modèle de Winkler (équation 1-4) est simple et se combine bien avec les méthodes numériques et analytiques. Malgré la simplicité et l'efficacité du modèle proposé par Winkler, il a deux inconvénients majeurs. Premièrement, il ne prend pas en compte l’interaction entre les ressorts, ce qui revient à négliger le cisaillement vertical dans le sol. En conséquence, une discontinuité de déplacement se crée entre la zone chargée et la zone non chargée sous la fondation. Deuxièmement, il ne tient pas compte de la plasticité pouvant se produire dans le terrain.
Plusieurs chercheurs ont donc proposé des modifications du modèle de Winkler pour le rendre plus efficace et plus logique en introduisant certaines formes d'interaction entre les ressorts tels que des éléments en flexion (Hetényi, 1946), des couches de cisaillement (Pasternak 1954), des membranes sous traction constante (Filonenko-Borodich 1940). Ces modèles ont un autre paramètre qui caractérise l'interaction entre les ressorts.
Modèle de Filonenko-Borodich
Filonenko-Borodich (1940) a proposé un modèle sur la base du modèle de Winkler pour assurer une continuité des déplacements entre les ressorts individuels de Winkler en les connectant à une membrane mince soumise à une tension constante (Figure 1-15). En prenant en considération l’équilibre du système membrane-ressort, il démontre que pour un problème en 2D le tassement du sol associé à une charge répartie est donné par l'Equation1-5.
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𝑝𝑝(𝑥𝑥) =𝐾𝐾𝑤𝑤(𝑥𝑥)− 𝑇𝑇𝑤𝑤′′(𝑥𝑥) Équation 1-5
Où w est le déplacement de sol, K est le module de réaction de sol et T est le module de Filonenko-Borodich.
Il faut deux paramètres K et T pour caractériser ce modèle.
Figure 1-15 : Déformation du modèle de Filonenko-Borodich, (a) terrain sans chargement, (b) charge ponctuelle, (c) charge ponctuelle sur une fondation rigide et (d) charge repartie Filonenko-
Borodich (1940).
Modèle de Pasternak
Pasternak (1954) a également proposé un modèle sur la base du modèle de Winkler. Il a supposé qu’il y aurait une interaction de cisaillement entre les ressorts, ce qui peut être accompli en reliant les ressorts à une couche incompressible horizontale qui ne se déforme que dans le sens du cisaillement transversal (Figure 1-16). Les déformations et les forces maintiennent l’équilibre dans la couche de cisaillement décrit par un module de Pasternak Gp.
Figure 1-16 : Modèle de Pasternak
La relation entre la pression de contact et le tassement du terrain, d'après Pasternak, peut être exprimée par l'Equation 1-6.
𝑝𝑝(𝑥𝑥) =𝐾𝐾𝑝𝑝𝑤𝑤(𝑥𝑥)− 𝐺𝐺𝑝𝑝𝑤𝑤′′(𝑥𝑥) Équation 1-6
Pasternak a proposé un essai pour trouver le module de cisaillement de Pasternak Gp. A défaut de mesure expérimentale, il existe très peu de formules permettant d’estimer ce paramètre. Pour cela, nous proposerons une solution pour estimer cette valeur à partir de la théorie de l'élasticité dans le chapitre 2.
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Modèle de Hetényi
Dans le modèle proposé par Hetényi (1946), l'interaction entre les ressorts indépendants du modèle de Winkler se fait par l'intermédiaire d'une plaque élastique. La fonction de réponse pour ce modèle est donnée par l'Equation 1-7 :
𝑝𝑝(𝑥𝑥) =𝐾𝐾𝑤𝑤(𝑥𝑥)−12(1−ʋ𝐸𝐸ℎ32)𝑤𝑤(4)(𝑥𝑥) Équation 1-7
Avec E le module d'élasticité de la plaque, h la hauteur de la plaque et ν coefficient de Poisson du matériau constituant la plaque.
1.4.1.2- Modélisation de la fondation
Les approches analytiques développées pour étudier les phénomènes d’interaction sol-structure modélisent généralement le bâtiment par une poutre élastique d’Euler-Bernoulli de longueur
« L », hauteur « H », Largeur « B » et module de Young « E ». La poutre est sollicitée par une charge verticale uniforme « q » et une variable inconnue de distribution « p(x) » qui est la réaction de sol. L’équation de la déflexion de la poutre (sans prendre en compte l’effet du cisaillement dans la poutre) est une équation différentielle de deuxième ordre.
𝑦𝑦′′(𝑥𝑥) =−𝑀𝑀(𝑥𝑥)𝐸𝐸𝐸𝐸 Équation 1-8
où y(x) est la déformée verticale (positive vers le bas), M(x) le moment fléchissant et EI la raideur de la poutre.
L’équation différentielle caractéristique du bâti est décrite par l'équation 1-9.
𝑦𝑦(4)(𝑥𝑥) =𝐸𝐸𝐸𝐸𝑞𝑞 −𝑝𝑝(𝑥𝑥)𝐸𝐸𝐸𝐸 Équation 1-9
Figure 1-17 : Conventions de signes adopté pour le modèle d’interaction sol-structure
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1.4.2- L'interaction sol-structure associée à des mouvements de terrain
Quand il y a un mouvement de sol, l’environnement du bâtiment ne reste pas le même, et plusieurs paramètres jouent un rôle pour estimer le déplacement et la déformée que subira ce bâtiment. L'importance du phénomène d'interaction sol-structure dans le cas d’un mouvement de sol sera d’abord illustrée par un exemple cité par Dimmock et Mair (2008), avant d'expliquer les différentes approches existantes pour étudier ce phénomène.
La réponse progressive d'un bâtiment de 2 ou 3 étages en maçonnerie a été étudiée et comparée au déplacement en terrain vierge par Dimmock et Mair (2008) pendant les travaux de prolongation de la ligne Jubilee à Londres. Ces bâtiments se trouvent dans les rues de Moodkee et Keeton Estate. Pour déterminer le déplacement des façades de ces bâtiments, ils ont installé des instruments de surveillance le long de la base de leurs façades. Ils ont mesuré les déplacements de ces façades pendant les différentes étapes des travaux (Figure 1-18).
La Figure 1-19 présente les déplacements de la façade orientale du bâtiment « Neptune House », en fonction de l'avancement du creusement. On observe que le déplacement du bâtiment est différent du déplacement du sol en terrain vierge. En conséquence, ne pas tenir compte de l’interaction sol-structure peut conduire à une surestimation des déplacements et de la déflexion des bâtiments. Le déplacement en terrain vierge a été mesuré dans un autre site tout proche. Les conditions géologiques, la profondeur du tunnel, et la méthode d'excavation sont comparables au site étudié, mais sans la présence d’un bâtiment.
Figure 1-18 : Localisation des bâtiments étudiés pendant les travaux souterrains du creusement de la ligne Jubilee (Dimmock et Mair 2008)
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Figure 1-19 : Comparaison des profils de déplacement de la façade du bâtiment « Neptune House » (symboles pleins) aux profils de déplacement du terrain en champ libre (symboles évidés) pour
différents états d’avancement du tunnel-Dimmock et Mair (2008)
Cet exemple illustre l'importance des phénomènes d'interaction sol-structure. En simplifiant les choses, les structures sont considérées infiniment flexibles si elles suivent complètement le profil d'affaissement en terrain vierge. Pour des structures ne pouvant pas être considérées infiniment rigides, supposer une transmission totale des mouvements en champ libre peut clairement conduire à une surestimation de la déflexion finale de l’ouvrage et donc de son dommage.
1.4.3- Le modèle analytique de Deck et Singh (2010) pour l'interaction sol- structure en cas de mouvement de sol
Deck et Singh (2010) ont proposé une approche analytique pour calculer le taux de transmission de la déflexion en champ libre dans le cas d’une excavation et/ou d’un affaissement minier. Le bâtiment est modélisé par une poutre d’Euler-Bernoulli de raideur EI et le terrain par des éléments de Winkler de raideur Kw. Le modèle consiste à rechercher la solution d’équilibre statique d’une poutre uniformément chargée posée sur un terrain initialement courbe et dont la courbure représente le mouvement en champ libre. La Figure 1-20 montre l’état final d’équilibre du terrain et de la poutre pour une zone convexe.
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Figure 1-20 : Définition des déplacements du sol et du bâtiment lorsque l’équilibre statique est atteint (cas d’un contact complet entre le sol et le bâtiment) pour le modèle de Deck et Singh
(2010)
La solution homogène lorsqu’il n’y a pas de décollement entre le bâti et le terrain est donnée par l’équation suivante :
𝑤𝑤(𝑥𝑥) =𝐾𝐾𝑞𝑞
𝑤𝑤𝐵𝐵+𝐶𝐶1(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 �4�𝛽𝛽2 𝑥𝑥�+𝐶𝐶2𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 �4�𝛽𝛽2 𝑥𝑥�)𝑒𝑒4 𝑥𝑥�𝛽𝛽√2 +𝐶𝐶3(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 �4�𝛽𝛽2 𝑥𝑥�+𝐶𝐶4𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 �4�𝛽𝛽2 𝑥𝑥�)𝑒𝑒−4 𝑥𝑥�𝛽𝛽√2 Équation 1-10 Avec w(x) le tassement du terrain, β = KwB/EI, B la largeur de la poutre et q la charge uniformément répartie [N/m]
Deck et Singh (2010) ont utilisé la solution directe donnée par cette équation en rajoutant des conditions aux limites pour déterminer les constantes C1 à C4. Quand la poutre et le terrain sont en contact, la condition de non interpénétration est assurée par l’équation suivante :
y2(x) = w(x) - d + v(x) Équation 1-11
avec d le déplacement du corps rigide, y2 la déformée de la poutre et v le déplacement en champ libre du terrain.
La symétrie du problème permet de réduire le nombre d’inconnues à trois paramètres (C1=C3, C2= - C4 et d) qui sont obtenues en appliquant les conditions aux limites suivantes (équations 1- 12, 1-13, 1-14) :
y2(L/2) = 0 Équation 1-12
Cette première condition aux limites exprime que la déformée de la poutre est nulle aux extrémités où le déplacement de la poutre est égal à celui du corps rigide (d).
y2(2)(L/2) = 0 Équation 1-13
y2(3)(L/2) = 0 Équation 1-14
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Les deuxième et troisième conditions aux limites expriment que le moment fléchissant et l’effort tranchant sont nuls aux extrémités, parce que la poutre est en équilibre statique sous la charge q(x) et la réaction p(x).
Lorsqu’il y a décollement (Figure 1-21), le tassement du sol w(x) est nul tout au long de la surface de décollement, et on peut écrire :
d + y1(x) < v(x)
Figure 1-21 : Définition des déplacements du sol et du bâtiment lorsque l'équilibre statique est atteint (cas d’un décollement entre le sol et le bâtiment) pour le modèle de Deck et Singh (2010).
La déformée de la poutre peut donc être calculée par l’équation générale de la poutre en intégrant quatre fois l’équation 1-9 (p(x)=0 dans cette équation).
𝑦𝑦1(𝑥𝑥) =24𝐸𝐸𝐸𝐸𝑞𝑞𝑥𝑥4 +𝐶𝐶5𝑥𝑥2 +𝐶𝐶6 Équation 1-15 Quand il y a un décollement, le système d’équations contient plus d’inconnues (C1 à C6, d et c : la longueur de contact). Par conséquent, d’autres conditions aux limites sont nécessaires afin d’avoir autant d’équations que d’inconnues. En utilisant les conditions aux limites sur le point de décollement, le nombre d’équations requis peut être assuré. La continuité de la déformée et des dérivées d’ordre 1 à 4 au point de décollement (x=c/2) permettent de garantir la continuité du déplacement, de la pente, du moment fléchissant, de l’effort tranchant et de la charge répartie :
y1(c/2) = y2(c/2) Équation 1-16
y1(1)(c/2) = y2(1)(c/2) Équation 1-17
y1(2)(c/2) = y2(2)(c/2) Équation 1-18
y1(3)(c/2) = y2(3)(c/2) Équation 1-19
y1(4)(c/2) = y2(4)(c/2) Équation 1-20
En appliquant ces conditions aux limites, Deck et Singh (2010) ont pu résoudre l’équation générale du système et développer les courbes décrivant le taux de transmission de la déflexion Δ/Δ0, où Δ est la déflexion du bâti compte tenu de l’ISS et Δ0 la déflexion du bâti sous l’hypothèse d’une transmission complète des mouvements en champ libre. La Figure 1-22 montre le taux de
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transmission de la déflexion dans la zone convexe en fonction d’un paramètre adimensionnel de la rigidité relative définit par :
𝜌𝜌∗ =𝐾𝐾 𝐸𝐸𝐸𝐸
𝑤𝑤.𝐵𝐵.𝐿𝐿4 Équation 1-21
Où EI est la rigidité du bâti, Kw est le coefficient de réaction du sol, B la largeur du bâti et L sa longueur.
Pour un bâti très rigide sur un terrain souple (ρ*=1), le taux de transmission de la déflexion tend vers zéro. Inversement, il tend vers 1 pour un bâti souple sur un terrain rigide. Ces résultats indiquent clairement que l'interaction sol-structure doit être prise en compte pour le calcul de la déflexion finale du bâti pour obtenir une estimation pertinente de son endommagement.
Figure 1-22 : Taux de transmission de la déflexion en fonction de la rigidité relative 𝜌𝜌∗= 𝐾𝐾 𝐸𝐸𝐸𝐸
𝑤𝑤.𝐵𝐵.𝐿𝐿4
(Deck et Singh, 2010).
1.4.4- Modèle numérique de l'interaction sol-structure
Burland (1997) a affirmé que négliger l'effet de l'ISS conduirait à une surestimation de dommage de la structure. Potts et Addenbrooke (1997) ont étudié numériquement l’influence d'un tunnel circulaire d’un diamètre d=4,146 m, situé à deux profondeurs de H=20 et 34 m, sur différents bâtis. Ils ont utilisé une modélisation numérique 2D, en considérant un comportement non- linéaire élastique parfaitement plastique pour le sol, alors que le bâti a été modélisé par une poutre avec une raideur en flexion EI et une raideur axiale EA. Par ailleurs, ils ont négligé les
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charges appliquées au bâtiment pendant les calculs. Le taux de transmission de la déflexion en champ libre est calculé pour différentes valeurs des propriétés du bâti, afin de couvrir une grande étendue de rigidité relative. Potts et Addenbrooke ont défini la raideur relative en flexion ρ* et la raideur relative axiale α*, données par les Equations 1-22, 1-23.
Figure 1-23 : Géométrie du problème de l'analyse numérique de Potts et Addenbrooke (1997)
𝜌𝜌𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃∗ = 16.𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸
𝑠𝑠.𝐿𝐿4 Équation 1-22
𝛼𝛼∗ = 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸
𝑠𝑠.𝐿𝐿/2 Équation 1-23
Avec Es le module de Young du terrain. On peut constater que 𝛼𝛼∗ est sans dimension alors que l'unité pour 𝜌𝜌∗ est m-1, vu que l'unité de EI est kN.m2/m.
Pour chaque analyse, un profil d'affaissement et un profil de déplacement horizontal sont générés.
Les valeurs du taux de transmission de la déflexion et de la déformation horizontale en terrain vierge sont ensuite comparées à celles en présence du bâti.
