Contact unilatéral de surfaces périodiquement rugueuses : modélisation et simulation

HAL Id: tel-01586043

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01586043

Submitted on 12 Sep 2017

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Contact unilatéral de surfaces périodiquement rugueuses : modélisation et simulation

Karim Houanoh

To cite this version:

Karim Houanoh. Contact unilatéral de surfaces périodiquement rugueuses : modélisation et simula-

tion. Matériaux. Université Paris-Est, 2017. Français. �NNT : 2017PESC1007�. �tel-01586043�

Th` ese de doctorat Sp´ecialit´e : M´ecanique

Ecole doctorale : Sciences, ing´enierie et environnement ´

Soutenue le 30 janvier 2017 par Karim HOUANOH

Contact unilat´ eral de surfaces p´ eriodiquement rugueuses :

mod´ elisation et simulation

Jury de th`ese

Lalaonirina RAKOTOMANANA, Pr´ esident, Professeur ` a l’Universit´ e de Rennes 1 Salah RAMTANI, Examinateur, Professeur ` a l’Universit´ e Paris 13

G´ ery DE SAXCE, Rapporteur, Professeur ` a l’Universit´ e de Lille

Thomas MICHELITSCH, Rapporteur, Directeur de recherche ` a l’Universit´ e Paris 6 Qi-Chang HE, Directeur de th` ese, Professeur ` a l’Universit´ e Paris-Est Marne-la-Vall´ ee Honor´ e YIN, Co-directeur de th` ese, Directeur de recherche ` a l’ENPC

octobre 2013 - octobre 2016

Laboratoire Mod´ elisation et Simulation Multi Echelle Laboratoire Navier

Universit´ e Paris-Est

Table des mati` eres

Remerciements 9

R´ esum´ e 10

Abstract 11

Nomenclature 12

Introduction 15

1 Contact unilat´ eral de surfaces ´ elastiques et p´ eriodiquement rugueuses 18

1.1 Elasticit´ ´ e lin´ eaire . . . . 18

1.2 La solution de Boussinesq et Cerruti . . . . 20

1.3 Contact entre deux surfaces ´ elastiques . . . . 21

1.3.1 Conditions de Signorini . . . . 21

1.3.2 Th´ eorie de Hertz . . . . 22

1.3.3 Lois de contact analytiques pour une asp´ erit´ e rigide . . . . 23

1.4 Surfaces ´ elastiques rugueuses . . . . 24

1.4.1 Th´ eorie de Greenwood-Williamson . . . . 24

1.4.2 Contact entre deux surfaces sinuso¨ıdales . . . . 26

1.5 M´ ethode num´ erique d’inversion matricielle . . . . 29

1.6 Elaboration de l’approche en pression p´ ´ eriodique pour deux surfaces rugueuses p´ eriodiques en contact unilat´ eral . . . . 32

1.7 Approche en pression p´ eriodique . . . . 32

1.8 Approche num´ erique pour le contact entre deux surfaces ´ elastiques p´ eriodiques 33 1.9 Validation num´ erique pour des surfaces sinuso¨ıdales . . . . 34

1.9.1 Rugosit´ e sinuso¨ıdale unidimensionnelle . . . . 34

1.9.2 Rugosit´ e sinuso¨ıdale bidimensionnelle . . . . 36

1.10 Application ` a diff´ erentes surfaces p´ eriodiques . . . . 38

2 Contact unilat´ eral de surfaces thermo´ elastiques et p´ eriodiquement ru- gueuses 49 2.1 Thermo´ elasticit´ e lin´ eaire . . . . 49

2.2 Contact entre deux surfaces thermo´ elastiques . . . . 50

2.3 Solutions analytiques pour le contact thermo´ elastique . . . . 52

2.3.1 Indentation d’une surface thermo´ elastique lisse par une sph` ere rigide uniform´ ement maintenue ` a temp´ erature constante . . . . 52

2.3.2 Distribution de temp´ erature entre deux surfaces sinuso¨ıdales unidi- mensionnelles en contact unilat´ eral . . . . 52

2.4 Approche num´ erique pour le calcul du flux de chaleur, de la distribution de pression et de la surface de contact . . . . 54

2.5 Distributions de pression et flux de chaleur pour le contact entre deux surfaces thermo´ elastiques p´ eriodiques . . . . 55

2.6 M´ ethode d’inversion matricielle adapt´ ee aux surfaces thermo´ elastiques et p´ eriodiquement rugueuses . . . . 56

2.7 Evaluation num´ ´ erique de la distribution de temp´ erature, du flux de chaleur et de la surface de contact . . . . 57

2.7.1 Application num´ erique au contact thermo´ elastique Hertzien . . . . . 57

2.7.2 Calcul de la temp´ erature et du flux de chaleur et mesure de la surface de contact entre deux surfaces p´ eriodiquement rugueuses . . . . 59

3 Contact unilat´ eral de surfaces visco´ elastiques et p´ eriodiquement rugueuses 70 3.1 Visco´ elasticit´ e lin´ eaire . . . . 70

3.1.1 G´ en´ eralit´ es . . . . 70

3.1.2 Mod` eles rh´ eologiques . . . . 71

3.1.3 Fonction de fluage et de relaxation 1D . . . . 72

3.1.4 Mat´ eriaux visco´ elastiques non-vieillissants . . . . 74

3.1.5 Fonction de fluage et de relaxation 3D . . . . 75

3.1.6 Principe de correspondance . . . . 75

3.2 Contact entre deux surfaces visco´ elastiques . . . . 76

3.3 Solution analytique pour le contact visco´ elastique de Hertz sans glissement . 78 3.4 Discr´ etisation des ´ equations gouvernant le contact entre deux surfaces visco´ elastiques 79 3.4.1 Formulation quasi-´ elastique . . . . 79

3.4.2 Discr´ etisation . . . . 80

3.5 Contact entre deux milieux visco´ elastiques de surfaces g´ eom´ etriquement p´ eriodiques 82 3.5.1 Formulation continue . . . . 82

3.5.2 Approche num´ erique . . . . 83

3.6 Validation et exemples num´ eriques . . . . 83

3.6.1 Contact sans glissement . . . . 84

3.6.2 Contact avec glissement . . . . 87

Conclusions 94

Publications et Communications 96

Annexes 96

A Int´ egration de la fonction de Green 97

B Int´ egration de la fonction de couplage thermo´ elastique 98

Table des figures

1 Contact entre deux surfaces ` a diff´ erentes ´ echelles. . . . 15 1.1 Un milieu ´ elastique Ω g´ en´ erique. . . . 19 1.2 La surface S du demi-espace ´ elastique et la partie S _c sur laquelle est distribu´ ee

la pression p dans le cas du probl` eme de Boussinesq. . . . 20 1.3 Contact entre un corps rigide et un demi-espace d´ eformable. . . . 21 1.4 Pression de contact p(x, y) en fonction de la distance d(x, y) en un point

quelconque de coordonn´ ees (x, y). . . . 22 1.5 Contact entre deux sph` eres ´ elastiques. . . . . 23 1.6 Mod` eles d’asp´ erit´ es de g´ eom´ etries simples admettant des solutions analy-

tiques. . . . 23 1.7 Le contact entre deux surfaces rugueuses d´ eformables peut se r´ eduire ` a celui

entre une surface rugueuse rigide et une surface plane d´ eformable. . . . 25 1.8 Contact entre une surface rigide sinuso¨ıdale unidimensionnelle et la surface

lisse d’un demi-espace ´ elastique. . . . 27 1.9 Amplitude h(x, y) pour diff´ erentes g´ eom´ etries d’asp´ erit´ es en configurations

orthotrope et hexagonale. . . . . 28 1.10 Discr´ etisation de la surface de contact nominale S _n . . . . 30 1.11 Algorithme du processus it´ eratif pour d´ eterminer la surface de contact r´ eelle

et la distribution de pression avec la m´ ethode d’inversion matricielle. . . . . 31 1.12 La p´ eriode de r´ ef´ erence d’un demi-espace d´ eformable en contact avec une

surface rigide et p´ eriodiquement rugueuse. . . . 32 1.13 Distributions de pression de contact sur la surface du demi-espace ´ elastique

pour une surface rigide sinuso¨ıdale unidimensionnelle avec N _p = 3 et N _p = 11 p´ eriodes. . . . 34 1.14 La surface de contact relative | S _c ⁰ | / | S ⁰ | en fonction de la pression moyenne

normalis´ ee ¯ p/p ^∗ . . . . 35 1.15 Convergence de l’approche en pression p´ eriodique pour une p´ eriodicit´ e si-

nuso¨ıdale unidimensionnelle. . . . 36 1.16 Distributions de pression pour y = l/2 dans le cas d’une surface sinuso¨ıdale

avec N _p = 3 × 3 = 9 et N _p = 11 × 11 = 121. . . . 37 1.17 Mesure de la surface de contact relative | S _c ⁰ | / | S ⁰ | en fonction de la pression

normalis´ ee ¯ p/p ^∗ . . . . 37

1.18 Distributions de pression surfaciques pour une surface rigide sinuso¨ıdale avec N _p = 21 × 21 = 441 asp´ erit´ es pour diff´ erentes valeurs de la p´ en´ etration δ : 0.1777 mm (A), 0.5923 mm (B), 1.0291 mm (C), 2.5542 mm (D), 4.0719 mm (E), 5.6193 mm (F). . . . . 38 1.19 Convergence de l’approche en pression p´ eriodique pour une rugosit´ e sinuso¨ıdale

bidimensionnelle. . . . 39 1.20 Distributions de pression pour la p´ en´ etration δ = 1 mm impos´ ee calcul´ ees

pour les surfaces p´ eriodiques unidimensionnelles. . . . 40 1.21 Mesures de la surface de contact relative | S _c ⁰ | / | S ⁰ | en fonction de la pression

normalis´ ee ¯ p/p ^∗ d´ etermin´ ees pour les surfaces p´ eriodiques unidimensionnelles. 40 1.22 Distributions de pression pour la p´ en´ etration δ = 2.5 mm impos´ ee dans le cas

d’une surface rigide contenant des asp´ erit´ es parabolo¨ıdales (A), coniques (B) et pyramidales (C). . . . 41 1.23 Distributions de pression pour la p´ en´ etration δ = 0.4 mm impos´ ee et y = 0

mm calcul´ ees dans le cas des surfaces p´ eriodiques bidimensionnelles. . . . 41 1.24 Mesures de la surface de contact relative | S _c ⁰ | / | S ⁰ | en fonction de la pression

normalis´ ee ¯ p/p ^∗ obtenues pour les surfaces p´ eriodiques bidimensionnelles. . . 42 1.25 Configurations de la p´ eriodicit´ e : (a) carr´ ee ; (b) hexagonale. . . . 42 1.26 Distributions de pression surfaciques pour des p´ eriodicit´ es en configuration

carr´ ee (figures de gauche) ou hexagonale (figures de droite), dans les cas d’asp´ erit´ es sinuso¨ıdales (a,b), parabolo¨ıdales (c,d), coniques (e,f) et pyrami- dales (g,h). . . . . 45 1.27 Mesure de la surface de contact relative en fonction de la pression norma-

lis´ ee pour des p´ eriodicit´ es en configuration carr´ ee (carr´ es bleu) ou hexagonale (cercles rouge). . . . 46 1.28 Trois configurations p´ eriodiques : niveau d’interaction ´ elev´ e (a), interm´ ediaire

(b) et faible (c) entre les asp´ erit´ es. . . . . 46 1.29 Distributions de pression pour les niveaux d’interaction ´ elev´ e (a), interm´ ediaire

(b) et faible (c) dans le cas d’asp´ erit´ es parabolo¨ıdales. . . . 47 1.30 Distributions de pression pour les niveaux d’interaction ´ elev´ e (a), interm´ ediaire

(b) et faible (c) dans le cas d’asp´ erit´ es coniques. . . . 47 1.31 Distributions de pression pour les niveaux d’interaction ´ elev´ e (a), interm´ ediaire

(b) et faible (c) dans le cas d’asp´ erit´ es pyramidales. . . . 47 1.32 Mesure de la surface de contact relative en fonction de la pression norma-

lis´ ee pour des niveaux d’interaction ´ elev´ e (cercles bleu), interm´ ediaire (carr´ es rouge) et faible (losanges violets). . . . 48 2.1 L’indentation de la surface lisse d’un demi-espace thermo´ elastique par un

solide rigide uniform´ ement maintenu ` a la temp´ erature θ <sup>0</sup> . . . . 51 2.2 Distribution de pression de contact ` a la surface d’un demi-espace thermo´ elastique

en contact avec une sph` ere rigide. . . . 53 2.3 Flux de chaleur ` a la surface d’un demi-espace thermo´ elastique en contact avec

une sph` ere rigide. . . . 53

2.4 R´ epartition de la temp´ erature surfacique ` a la surface d’un demi-espace thermo´ elastique en contact avec une surface rigide sinuso¨ıdale unidimensionnelle. . . . 54 2.5 Distribution de pression et flux de chaleur calcul´ es en y = l/2 avec la temp´ erature

θ ⁰ = 200 ^o C uniform´ ement r´ epartie dans la sph` ere rigide. . . . 58 2.6 R´ epartitions de la temp´ erature surfacique calcul´ ees en y = l/2 pour diff´ erentes

valeurs de θ ⁰ dans le cas de l’indentation par une sph` ere rigide. . . . 59 2.7 Diff´ erences entre les solutions num´ eriques et analytiques en pression et flux de

chaleur en fonction du nombre d’´ el´ ements dans le maillage dans le cas d’une asp´ erit´ e sph´ erique. . . . . 60 2.8 Distributions de pression obtenues pour diff´ erentes valeurs de θ ⁰ dans le cas

d’une asp´ erit´ e sph´ erique. . . . 61 2.9 Flux de chaleur obtenus pour diff´ erentes valeurs de θ ⁰ dans le cas d’une

asp´ erit´ e sph´ erique. . . . . 61 2.10 Temp´ eratures et flux de chaleur calcul´ es avec T ⁰ = 300 ^o C pour des surfaces

p´ eriodiques unidimensionnelles. . . . 63 2.11 Convergence de l’approche en pression de contact et flux de chaleur p´ eriodiques

pour une p´ eriodicit´ e sinuso¨ıdale unidimensionnelle. . . . . 64 2.12 Mesure de la surface de contact en fonction de la temp´ erature θ ⁰ pour des

surfaces p´ eriodiques unidimensionnelles. . . . . 65 2.13 Distributions de pression calcul´ ees pour diff´ erentes valeurs de θ ⁰ dans le cas

de surfaces sinuso¨ıdales unidimensionnelles. . . . 66 2.14 R´ epartitions de la temp´ erature calcul´ ees pour diff´ erentes valeurs de θ ⁰ dans

le cas d’asp´ erit´ es sinuso¨ıdales. . . . 67 2.15 R´ epartitions de la temp´ erature calcul´ ees pour θ ⁰ = 150 ^o C dans les cas

d’asp´ erit´ es parabolo¨ıdales (A), coniques (B) et pyramidales (C). . . . 67 2.16 Flux de chaleur calcul´ es pour diff´ erentes valeurs de θ ⁰ dans le cas d’asp´ erit´ es

sinuso¨ıdales. . . . 68 2.17 Flux de chaleur calcul´ es pour θ ⁰ = 150 ^o C dans les cas d’asp´ erit´ es para-

bolo¨ıdales (A), coniques (B) et pyramidales (C). . . . 68 3.1 Essai de traction sur une barre : ´ evolution temporelle de la d´ eformation ε. . 71 3.2 Exemples de mod` eles rh´ eologiques : (1) mod` ele de Kelvin-Voigt : solide visco´ elastique,

(2) mod` ele de Maxwell : liquide visco´ elastique, (3) mod` ele de solide ´ elastoplastique, (4) mod` ele de Bingham : solide viscoplastique, (5) un mod` ele du type Maxwell g´ en´ eralis´ e. . . . 72 3.3 Essai de fluage et r´ eponse en d´ eformation au cours du temps. . . . 73 3.4 Essai de relaxation et r´ eponse en contrainte au cours du temps. . . . . 73 3.5 Surfaces de contact nominale et r´ eelle ` a tout instant τ et ` a l’instant actuelle

t dans le cas du contact avec glissement entre une surface rigide et la surface lisse d’un demi-espace visco´ elastique. . . . 77 3.6 Evolution du rayon de contact dans le cas du contact visco´ ´ elastique Hertzien. 79 3.7 Evolution du rayon de contact et du d´ ´ eplacement du corps rigide calcul´ e au

cours du temps dans le cas d’une asp´ erit´ e sph´ erique. . . . 85

3.8 Evolution de la force de contact et distribution de pression pour ´ y = 0.05 mm

`

a l’instant t = 0.005 s calcul´ ees dans le cas du contact entre une sph` ere rigide et un demi-espace visco´ elastique. . . . . 86 3.9 Evolution de la force de contact et distribution de pression ` ´ a diff´ erents ins-

tants calcul´ ees dans le cas du contact entre une surface rigide sinuso¨ıdale unidimensionnelle et un demi-espace visco´ elastique. . . . 88 3.10 ´ Evolution de la force de contact et distribution de pression ` a diff´ erents instants

pour y = 0 mm calcul´ ees dans le cas du contact entre une surface rigide sinuso¨ıdale unidimensionnelle et un demi-espace visco´ elastique. . . . 89 3.11 Dimensions de la surface de contact en fonction du nombre de Deborah dans

le cas du glissement d’un cylindre rigide. . . . 90 3.12 Configuration d´ eform´ ee de la cellule p´ eriodique de r´ ef´ erence S ⁰ dans le cas

du glissement d’une surface rigide sinuso¨ıdale unidimensionnelle sur la surface d’un demi-espace visco´ elastique. . . . 91 3.13 ´ Evolution du moment m´ ecanique au cours du temps calcul´ ee dans les cas du

contact avec glissement entre une surface rigide sinuso¨ıdale et un demi-espace visco´ elastique. . . . 91 3.14 Mesure de la surface de contact relative au cours du temps dans le cas du

glissement d’une surface rigide comportant N p = 51 × 51 = 2601 asp´ erit´ es si-

nuso¨ıdales, parabolo¨ıdales, coniques ou pyramidales sur un demi-espace visco´ elastique. 92 3.15 Distributions de pression de contact initiale et finale dans le cas du contact

avec glissement entre une surface rigide comportant N p = 51 × 51 = 2601 asp´ erit´ es sinuso¨ıdales et un demi-espace visco´ elastique. . . . 92 3.16 Distributions de pression de contact initiale et finale dans le cas du contact

avec glissement entre une surface rigide comportant N p = 51 × 51 = 2601 asp´ erit´ es parabolo¨ıdales et un demi-espace visco´ elastique. . . . 93 3.17 Distributions de pression de contact initiale et finale dans le cas du contact

avec glissement entre une surface rigide comportant N p = 51 × 51 = 2601 asp´ erit´ es coniques et un demi-espace visco´ elastique. . . . 93 3.18 Distributions de pression de contact initiale et finale dans le cas du contact

avec glissement entre une surface rigide comportant N p = 51 × 51 = 2601

asp´ erit´ es pyramidales et un demi-espace visco´ elastique. . . . 93

Remerciements

Je tiens tout d’abord ` a adresser mes plus sinc` eres remerciements ` a mes directeurs de th` ese, Qi-Chang He et Hai-Ping Yin pour leur encadrement de qualit´ e, leurs conseils et leur soutien. Leur pr´ esence m’a ´ et´ e d’une grande aide et m’a permis de r´ ealiser mon travail de th` ese dans de tr` es bonnes conditions.

Je remercie ´ egalement le Labex MMCD de m’avoir fourni les moyens n´ ecessaires pour le bon d´ eroulement de cette th` ese, notamment d’avoir pris en charge ma participation ` a des conf´ erences internationnales o` u j’ai pu assister ` a d’int´ eressantes interventions, rencontrer et discuter avec d’autres chercheurs.

J’aimerais enfin remercier les membres des laboratoires MSME et NAVIER pour leur cha-

leureux accueil qui a grandement facilit´ e mon int´ egration au cours de ces trois ann´ ees.

R´ esum´ e

Le contact unilat´ eral entre deux surfaces est un ph´ enom` ene omnipr´ esent en physique, en m´ ecanique et en g´ enie civil. Une surface nominalement lisse ` a l’´ echelle macroscopique est en r´ ealit´ e rugueuse ` a l’´ echelle microscopique. La pr´ esence de rugosit´ es modifie consid´ erablement la distribution des contraintes et le champ des d´ eformations au voisinage des surfaces en contact. La prise en compte de rugosit´ es surfaciques ` a l’´ echelle microscopique constitue souvent une cl´ e pour appr´ ehender et mod´ eliser un grand nombre de ph´ enom` enes d’inter- face/surface observ´ es ` a l’´ echelle macroscopique, tels que le frottement, l’adh´ esion, l’usure et la conductivit´ e thermique ou ´ electrique. Ce travail de th` ese porte sur le contact unilat´ eral de deux demi-espaces dont les surfaces sont p´ eriodiquement rugueuses. Dans la premi` ere partie du travail o` u les deux demi-espaces sont constitu´ es de deux mat´ eriaux lin´ eairement

´

elastiques, une approche num´ erique simple et efficace est propos´ ee et ´ elabor´ ee en se basant

sur la m´ ethode des ´ el´ ements de fronti` ere et la m´ ethode d’inversion matricielle et en exploi-

tant la p´ eriodicit´ e du probl` eme en question. Cette approche num´ erique est d’abord compar´ ee

avec et valid´ ee par des r´ esultats analytiques et ensuite appliqu´ ee ` a plusieurs cas d’int´ erˆ et pra-

tique. Dans les deuxi` eme et troisi` eme parties du travail, l’approche num´ erique propos´ ee dans

le cas ´ elastique est ´ etendue aux cas o` u les demi-espaces sont form´ es de mat´ eriaux d’abord

lin´ eairement thermo´ elastiques et ensuite lin´ eairement visco´ elastiques. Des r´ esultats analy-

tiques existants dans ces deux cas sont utilis´ es comme benchmarks pour tester la pr´ ecision

et l’efficacit´ e des approches r´ esultantes. Des exemples num´ eriques sont donn´ es pour mettre

en ´ evidence des ph´ enom` enes physiques.

Abstract

Unilateral contact between two surfaces is a phenomenon often present in physics, me- chanics and civil engineering. A nominally smooth surface on a macroscopic scale is actually rough on the microscopic scale. The presence of surficial roughness considerably modifies the stress distribution and the strain field in the vicinity of the surfaces in contact. Consideration of surficial roughness at the microscopic scale is often a key to understanding and mode- ling a large number of macroscopic interface/surface phenomena such as friction, adhesion, wear and thermal or electrical conduction. This work focuses on the unilateral contact of two half-spaces whose surfaces are periodically rough. In the first part of the work where the two half-spaces consist of two linearly elastic materials, a simple and efficient numeri- cal approach is proposed and elaborated on the basis of the boundary element method and the matrix inversion method and by exploiting the periodicity of the problem in question.

This numerical approach is first compared with and validated by available analytical results

and then applied to several cases of practical interest. In the second and third parts of the

work, the numerical approach proposed in the elastic case is extended to cases where the

half-spaces are formed of materials that are first linearly thermoelastic and then linearly

viscoelastic. Some existing analytical results in these two cases are used as benchmarks to

test the accuracy and efficiency of the resulting approaches. Numerical examples are given

to bring out some physical phenomena.

Nomenclature

Param` etres ´ elastiques

A : tenseur de rigidit´ e ´ elastique S : tenseur de souplesse ´ elastique E : module de Young

ν : coefficient de Poisson K : module de compressibilit´ e µ : module de cisaillement

Param` etres thermo´ elastiques

Ψ : tenseur de conductivit´ e thermique κ : conductivit´ e thermique

α : coefficient de dilatation thermique D : distortivit´ e

Param` etres visco´ elastiques

τ _c : temps caract´ eristique

Autres notations

Ω : milieu d´ eformable

σ : tenseur des contraintes de Cauchy ε : tenseur des d´ eformations

u : vecteur des d´ eplacements

u _i,j : d´ eriv´ ee de u dans la direction i par rapport ` a la direction j X : tenseur du deuxi` eme ordre

S : surface d’un demi-espace

S _c : surface de contact r´ eelle

S _n : surface de contact nominale

u(x, y) : d´ eplacement vertical du point de coordonn´ ees (x, y) p(x, y) : pression au point de coordonn´ ees (x, y)

T (x, y; ξ, η) : fonction de Green F : force de contact

δ : d´ eplacement de corps rigide

h(x, y) : hauteur au point de coordonn´ ees (x, y)

d(x, y) : distance vertical au point de coordonn´ ees (x, y) R : rayon de courbure

a : rayon de contact

γ : demi-angle au sommet d’un cˆ one

β : exposant dans la loi de contact de Hertz c _g : facteur dans la loi de contact de Hertz r : position radiale

¯

p : pression moyenne

| S _c | : mesure de la surface de contact

∆ : param` etre de hauteur λ : longueur d’onde

p ^∗ : pression moyenne n´ ecessaire pour que le contact soit complet b : demi-longueur de s´ eparation

N _e : nombre d’´ el´ ements de discr´ etisation l _i : longueur d’un ´ el´ ement dans la direction i m(x, y; ξ, η) : fonction d’influence de Love p _j : pression de contact au centre de l’´ el´ ement j u _i : d´ eplacement vertical du centre de l’´ el´ ement i

M ij : coefficient d’influence relatif ` a l’interaction entre les ´ el´ ements i et j S ⁰ : cellule surfacique de r´ ef´ erence

S _c ^k : surface de contact r´ eelle dans la cellule surfacique k N p : nombre de p´ eriodes g´ eom´ etriques

A _ij : composante de la matrice d’influence r´ esultante θ(x, y, z) : temp´ erature au point de coordonn´ ees (x, y, z) q : vecteur des flux de chaleur

Ψ : tenseur de conductivit´ e thermique

∇ : op´ erateur gradient I : tenseur identit´ e

θ ⁰ : temp´ erature uniforme dans le milieu rigide

θ ^∞ : temp´ erature uniforme dans le demi-espace avant contact q(x, y) : flux de chaleur au point (x, y)

C(x, y; ξ, η) : fonction de couplage thermo´ elastique q ^∞ : flux de chaleur lointain

c(x, y; ξ, η) : fonction de couplage thermo´ elastique int´ egr´ ee q _j : flux de chaleur au centre de l’´ el´ ement j

θ _i : temp´ erature au centre de l’´ el´ ement i

B _ij : coefficient de couplage thermo´ elastique relatif ` a l’interaction entre les ´ el´ ements i et j L _ij : composante de la matrice de couplage thermo´ elastique r´ esultante

t : instant actuel t ₀ : instant initial

ϕ(t, τ ) : fonction de fluage ψ(t, τ ) : fonction de relaxation R : ensemble des r´ eels

L (f ) : transform´ ee de Laplace de la fonction f (t)

f ˜ (s) : transform´ ee de Laplace-Carson de la fonction f(t) V i (s) : vitesse de glissement dans la direction i

M _i : moment m´ ecanique dans la direction i K(t) : module de compressibilit´ e visco´ elastique µ(t) : module de cisaillement visco´ elastique

∆t : incr´ ement temporel

l _t : nombre d’instants dans la discr´ etisation temporelle

n b : nombre de branches de Maxwell dans le mod` ele rh´ eologique de Maxwell g´ en´ eralis´ e

Introduction

Le contact entre deux surfaces, un ph´ enom` ene tr` es souvent rencontr´ e tant ` a l’´ echelle macroscopique qu’` a l’´ echelle microscopique, est encore source de nombreuses difficult´ es ren- contr´ ees en physique et en m´ ecanique (singularit´ es, non-lin´ earit´ es, etc). Dans le cas simple du contact entre deux barres, deux ´ etapes sont ` a distinguer :

– dans un premier temps, la distance entre les deux barres diminue, aucun effort n’est n´ ecessaire ;

– dans un second temps, d` es que la distance est nulle, une force se d´ eveloppe dans la surface de contact.

La force de contact ´ etant nulle si la distance ne l’est pas, et ´ etant non nulle si la distance l’est, il s’agit d’une des non-lin´ earit´ es les plus difficiles ` a traiter en m´ ecanique. De plus, la rugosit´ e est un aspect qui peut se manifester ` a diff´ erentes ´ echelles comme l’illustre la Figure 1. En effet, une surface nominalement lisse ` a l’´ echelle macroscopique est en r´ ealit´ e rugueuse

`

a l’´ echelle microscopique. Les premiers travaux sur la m´ ecanique du contact sont r´ ealis´ es

Figure 1 – Contact entre deux surfaces ` a diff´ erentes ´ echelles.

par Hertz [29, 30], ` a la fin du 19 <sup>` eme</sup> si` ecle. Hertz a ´ etudi´ e le probl` eme de contact entre

deux sph` eres. Jusqu’` a la deuxi` eme moiti´ e du 20 <sup>eme `</sup> si` ecle, des recherches ont port´ e sur le contact entre deux solides ´ elastiques. C’est dans ce contexte qu’ont ´ et´ e ´ etablies diff´ erentes approches pour r´ esoudre ce probl` eme, telles que la m´ ethode d’inversion matricielle pr´ esent´ ee dans le livre de Johnson [38], l’approche variationnelle pr´ esent´ ee par Kalker [41, 42], ou en- core l’approche en variables complexes pr´ esent´ ee par Galin [22]. Pour compl´ eter la th´ eorie de Hertz, Sneddon a analytiquement ´ etudi´ e les distributions de pressions dans le cas d’une seule asp´ erit´ e sph´ erique, cylindrique ou conique [60]. C’est ` a partir du milieu du 20 <sup>` eme</sup> si` ecle que des chercheurs ont propos´ e des m´ ethodes pour analyser le contact entre deux surfaces visco´ elastiques. Tout d’abord Lee et Radok ont ´ etabli un principe de correspondance pour

´

etendre la solution de Boussinesq et Cerruti au cas d’un demi-espace visco´ elastique [45]. Des solutions analytiques ont ainsi ´ et´ e d´ eduites pour une asp´ erit´ e sph´ erique, cylindrique ou co- nique. Toutefois cette correspondance ne reste valable que si la surface de contact augmente au cours du temps. En effet, durant la phase d’augmentation de la surface de contact, la solution de Hertz reste valable. Si la surface de contact d´ ecroit, l’approche propos´ ee par Ting [61] doit ˆ etre utilis´ ee pour d´ eterminer la relation entre la surface de contact et l’in- terp´ en´ etration, ainsi que la distribution de pression en phase de d´ echargement. Ting montre qu’une r´ einitialisation de la pression de contact s’effectue lorsque la surface de contact dimi- nue, et qu’il est inutile d’int´ egrer temporellement toute l’histoire de la pression.

Ces derni` eres ann´ ees, des membres du laboratoire Mod´ elisation et Simulation Multi-´ Echelle ont r´ ealis´ e des travaux sur :

– le contact conforme avec frottement pour les assemblages de verre ; – le frottement entre l’aluminium et le verre ;

– la prise en compte de l’adh´ esion dans les probl` emes de contact ; – le contact unilat´ eral entre deux surfaces rugueuses et ´ elastiques.

Des membres du laboratoire Navier ont ´ elabor´ e une m´ ethode de calcul de la pression de contact pour des surfaces rugueuses en employant l’approche multi-asp´ erit´ e, notamment pour l’´ etude du contact entre un pneumatique et une chauss´ ee [2, 3, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 19, 20, 43, 44, 67, 68].

Le travail de th` ese porte sur le contact entre deux surfaces visco´ elastiques, infinies et p´ eriodiquement rugueuses. Les enjeux de ce travail de th` ese sont :

– le d´ eveloppement d’une approche microm´ ecanique pour la mod´ elisation du contact unilat´ eral entre deux surfaces p´ eriodiquement rugueuses ;

– la construction d’une m´ ethode num´ erique de calcul de la distribution de pression et du d´ eplacement ;

– la mise en application de la m´ ethode num´ erique.

L’objectif de cette th` ese est d’´ etablir une approche simple et efficace pour ´ etudier le contact

entre deux surfaces de g´ eom´ etries p´ eriodiques. Les travaux sont r´ ealis´ es sous l’hypoth` ese des

petites d´ eformations et le contact est suppos´ e se produire sans frottement. D’un point de

vue num´ erique, la m´ ethode des ´ el´ ements de fronti` ere est adopt´ ee. En effet cette m´ ethode

est efficace pour r´ esoudre les probl` emes de contact car seule la surface potentiellement en

contact doit ˆ etre discr´ etis´ ee. Ce m´ emoire de th` ese d´ ebutera par un premier chapitre d´ edi´ e ` a

l’´ etude du contact entre deux surfaces ´ elastiques et p´ eriodiquement rugueuses. L’approche en pression p´ eriodique sera pr´ esent´ ee et la formulation ´ etablie sera discr´ etis´ ee pour ensuite ˆ

etre appliqu´ ee ` a des exemples num´ eriques. L’int´ erˆ et principal de cette approche est que seule une cellule surfacique p´ eriodique doit ˆ etre maill´ ee, ce qui diminue fortement le nombre d’´ el´ ements pour lesquels la pression doit ˆ etre d´ etermin´ ee, le nombre de p´ eriodes g´ eom´ etriques

´

etant simplement un param` etre. Des simulations num´ eriques ont ´ et´ e effectu´ ees dans le cas

du contact entre deux surfaces sinuso¨ıdales unidimensionnelles ou bidimensionnelles. La vali-

dation num´ erique de l’approche en pression p´ eriodique est effectu´ ee en comparant les distri-

butions de pression calcul´ ees ` a leurs solutions analytiques correspondantes. La convergence

est obtenue en termes de nombre d’´ el´ ements dans le maillage et en termes de nombres de

p´ eriodes g´ eom´ etriques prises en compte dans les calculs. D’autres g´ eom´ etries p´ eriodiques

sont ensuite consid´ er´ ees, les distributions de pression et les surfaces de contact obtenues

sont compar´ ees les unes aux autres. L’objet du second chapitre sera l’´ etude du contact

entre deux surfaces thermo´ elastiques de g´ eom´ etries p´ eriodiques. Un ´ echange de chaleur entre

les deux milieux en contact sera consid´ er´ e. La chaleur ne pouvant circuler qu’` a travers la

surface de contact, l’espacement entre les deux surfaces en dehors de la zone de contact

agit comme un isolant. Les d´ eplacements thermiques issus de l’´ echange de chaleur entre les

deux milieux en contact seront pris en compte dans la formulation du probl` eme. La vali-

dation num´ erique sera r´ ealis´ ee dans le cas du contact de Hertz et dans le cas du contact

entre deux surfaces thermo´ elastiques unidimensionnelles. L’approche num´ erique sera ensuite

appliqu´ ee ` a diff´ erentes g´ eom´ etries unidimensionnelles et bidimensionnelles. Le troisi` eme et

dernier chapitre sera consacr´ e ` a l’extension de l’approche en pression p´ eriodique au contact

avec glissement entre deux surfaces visco´ elastiques p´ eriodiquement rugueuses. L’approche

pr´ esent´ ee dans ce chapitre sera formul´ ee de sorte ` a ce que l’int´ egration g´ eom´ etrique soit

effectu´ ee seulement sur la surface de contact nominale actuelle. Les r´ esultats num´ eriques

obtenus pour le contact de Hertz et le contact entre deux surfaces p´ eriodiques unidimension-

nelles et bidimensionnelles seront pr´ esent´ es avant de clore ce m´ emoire par une conclusion.

Chapitre 1

Contact unilat´ eral de surfaces

´ elastiques et p´ eriodiquement rugueuses

L’objectif de ce chapitre sera de d´ evelopper une approche num´ erique pour ´ etudier effica- cement le contact entre deux solides ´ elastiques dont les surfaces potentiellement en contact ont une g´ eom´ etrie p´ eriodique.

Dans un premier temps la solution fondamentale de Boussinesq et Cerruti, les th´ eories sim- plifi´ ees de Hertz et de Grennwood-Williamson, et les conditions de contact unilat´ eral entre deux surfaces ´ elastiques seront rappel´ ees. Une approche en pression de contact p´ eriodique

´

elabor´ ee sera ensuite d´ evelopp´ ee avant d’ˆ etre test´ ee dans des exemples num´ eriques de contact entre surfaces sinuso¨ıdales. D’autres formes d’asp´ erit´ es seront ensuite trait´ ees pour r´ esoudre divers exemples de probl` emes de contact entre surfaces p´ eriodiques.

1.1 Elasticit´ ´ e lin´ eaire

Soit Ω un milieu ´ elastique, lin´ eaire et homog` ene, d´ efinit dans un espace r´ egi par un syst` eme de coordonn´ ees cart´ esien (O, x, y, z) dont O est l’origine est (x, y, z) sont les coor- donn´ ees de chaque point respectivement dans les directions x, y et z, qui forment un tri` edre directe. Le milieu Ω est suppos´ ee ne subir que des petites d´ eformations. Le contour de Ω est not´ e Σ, Γ <sup>N</sup> repr´ esente la partie de Σ sur laquelle sont impos´ ees les forces et Γ <sup>D</sup> repr´ esente la partie de Σ sur laquelle sont impos´ ees les d´ eplacements(Figure 1.1). Le probl` eme aux limites est gouvern´ e par l’´ equation d’´ equilibre suivante

div(σ) = 0 ∀ (x, y, z) ∈ Ω, (1.1) o` u σ est le tenseur des contraintes de Cauchy. Le tenseur des d´ eformations ε est d´ efinie comme ´ etant la partie sym´ etrique des d´ eriv´ ees spatiales du d´ eplacement u :

ε _ij = 1

2 (u _i,j + u _j,i ), (1.2)

Ω Σ Γ ^𝑁

Γ ^𝐷

𝑂 𝑥

𝑦 𝑧

Figure 1.1 – Un milieu ´ elastique Ω g´ en´ erique.

o` u u i,j est la d´ eriv´ ee du d´ eplacement dans la direction i par rapport ` a la direction j. La loi de comportement du milieu Ω est donn´ e par les relations entre le tenseur des contraintes et le tenseur des d´ eformations

σ = A : ε ∀ (x, y, z) ∈ Ω, (1.3)

ε = S : σ ∀ (x, y, z) ∈ Ω, (1.4)

o` u A est le tenseur de rigidit´ e ´ elastique et S est le tenseur de souplesse ´ elastique. Ces deux tenseurs sont de quatri` eme ordre et poss` edent les sym´ etries majeures et mineures :

A _ijkl = A _jikl = A _ijlk = A _klij , (1.5) S _ijkl = S _jikl = S _ijlk = S _klij , (1.6) et est d´ efini positif pour tout tenseur r´ eel sym´ etrique X de deuxi` eme ordre :

X : A : X ≥ cX : X , (1.7)

X : S : X ≥ sX : X , (1.8)

avec c et s (c 6 = s) deux constantes r´ eelles. Dans le cas o` u le milieu Ω est isotrope, les composantes du tenseur A d´ ependent de deux param` etres ´ elastiques. Dans ce qui suit, le milieu ´ elastique en question sera caract´ eris´ e par son module de Young E et son coefficient de Poisson ν. Il est aussi possible de relier ses modules de compressibilit´ e K et de cisaillement µ ` a ses E et ν :

K = E

3(1 − 2ν) , (1.9)

µ = E

2(1 + ν) . (1.10)

1.2 La solution de Boussinesq et Cerruti

Les travaux r´ ealis´ es durant cette th` ese portent sur le contact entre deux demi-espaces d´ eformables de surfaces rugueuses. Sous l’hypoth` ese des petites d´ eformations, ce probl` eme peut se r´ eduire au contact entre un demi-espace d´ eformable avec des propri´ et´ es appropri´ ees dont la surface est lisse et un demi-espace rigide avec une surface de g´ eom´ etrie appropri´ ee [38].

Dans le cas d’un demi-espace d´ eformable ´ elastique de module de Young E et de coefficient de Poisson ν, la distribution de pression et la surface de contact peuvent ˆ etre d´ etermin´ ees en r´ esolvant le probl` eme de Boussinesq. La surface S du demi-espace est soumis ` a une distribution de pression dans la direction z concentr´ ee sur une portion finie de S not´ ee S c . La surface S _n repr´ esente un aper¸cu ` a l’´ echelle macroscopique de la surface S _c (Figure 1.2).

Ainsi, le d´ eplacement vertical u(x, y) du point de coordonn´ ees (x, y) ∈ S dans la direction z

𝑆

𝑥

𝑦

𝑧 𝑆

0

x 𝑝 ξ, η

(ξ, η) (𝑥, 𝑦) x

𝑆

Figure 1.2 – La surface S du demi-espace ´ elastique et la partie S c sur laquelle est distribu´ ee la pression p dans le cas du probl` eme de Boussinesq.

est donn´ e par [7, 10]

u(x, y) = 1 πE ^∗

Z

S

T (x, y; ξ, η)p(ξ, η)dξdη, (1.11) o` u p(ξ, η) est la pression au point (ξ, η), et T (x, y; ξ, η) est la fonction de Green d´ efinie par

T (x, y; ξ, η) = 1

p (x − ξ) ² + (y − η) ² , (1.12)

relatif ` a l’interaction entre les points (x, y) et (ξ, η). De mani` ere g´ en´ erale, la fonction de

Green est la solution d’une ´ equation aux d´ eriv´ ees partielles lin´ eaire pouvant ˆ etre transform´ ee

en une ´ equation int´ egrale. Il s’agit d’une fonction de transfert qui permet d’exprimer une

diff´ erence de potentiels en int´ egrant un flux. Physiquement, la fonction T (x, y; ξ, η) repr´ esente

le d´ eplacement du point de coordonn´ ees (x, y) de la surface S induit par une force unitaire appliqu´ ee au point de coordonn´ ees (ξ, η) de S _c . Soit F la force concentr´ ee sur S _c , alors l’´ equilibre des forces doit ˆ etre v´ erifi´ e :

F = Z

S

p(ξ, η)dξdη. (1.13)

Dans ce qui suit, S _c correspondra ` a la surface de contact r´ eelle et S <sub>n</sub> correspondra ` a la surface de contact nominale. De plus, dans la surface de contact r´ eelle S _c , le d´ eplacement u(x, y) d´ efini comme ´ etant la diff´ erence entre le d´ eplacement de corps rigide δ de la surface rigide et sa hauteur z = h(x, y) :

u(x, y) = δ − h(x, y), ∀ (x, y) ∈ S _c . (1.14)

1.3 Contact entre deux surfaces ´ elastiques

1.3.1 Conditions de Signorini

De mani` ere g´ en´ eral, le contact entre deux solides doit v´ erifier les conditions de contact de Signorini. Soit d(x, y) la distance vertical entre le point de coordonn´ ees (x, y) de la surface

´

elastique S et la surface du milieu rigide (Figure 1.3). Dans la surface de contact, la distance

𝑑(𝑥, 𝑦) 𝑆

𝑝(𝑥, 𝑦)

Figure 1.3 – Contact entre un corps rigide et un demi-espace d´ eformable.

entre les surfaces des deux milieux est nulle et une pression de contact s’´ etablie :

p(x, y) > 0, d(x, y) = 0, ∀ (x, y) ∈ S _c . (1.15) En dehors de la surface de contact S c , la distance entre les deux surfaces est non nulle et les surfaces sont libres de contraintes :

p(x, y) = 0, d(x, y) > 0, ∀ (x, y) ∈ / S _c . (1.16)

Ainsi, la Figure 1.4 repr´ esente l’´ evolution de la pression de contact p(x, y) en fonction de la distance d(x, y) en un point donn´ e de coordonn´ ees (x, y). Il est important d’observer la singularit´ e sur ce graphe, ceci constitue une des non-lin´ earit´ es les plus fortes ` a traiter en sciences physique. Enfin, la condition de compl´ ementarit´ e est v´ erifi´ ee en tout point de la

0 𝑑(𝑥, 𝑦)

𝑝(𝑥, 𝑦)

Figure 1.4 – Pression de contact p(x, y) en fonction de la distance d(x, y) en un point quelconque de coordonn´ ees (x, y).

surface ´ elastique S

p(x, y)d(x, y) = 0, ∀ (x, y) ∈ S. (1.17) La principale difficult´ e pour traiter ce genre de probl` eme est qu’il soit gouvern´ e par des in´ egalit´ es.

1.3.2 Th´ eorie de Hertz

Les premi` eres recherches sur le contact ont ´ et´ e poursuivies par Hertz en 1882 portant sur le contact entre deux sph` eres ´ elastiques not´ ees Ω 1 et Ω 2 et de rayons R 1 et R 2 (Figure 1.5). Les solides ´ elastiques sont suppos´ ees lin´ eaires, homog` enes et isotropes. Le module de Young et le coefficient de Poisson du milieu i sont respectivement not´ es E _i et ν _i (i = 1, 2).

Les d´ eformations sont consid´ er´ ees petites et le contact se produit sans frottement. Soit R le rayon de courbure ´ equivalent d´ efinit par

1 R = 1

R ₁ + 1

R ₂ (1.18)

et E ^∗ le module de Young ´ equivalent v´ erifiant 1

E ^∗ = 1 − ν ₁ ²

E ₁ + 1 − ν ₂ ²

E ₂ . (1.19)

La th´ eorie de Hertz donne les r´ esultats suivants [29, 30]

Ω

(𝐸

, ν

)

Ω

(𝐸

, ν

)

𝑅

𝑅

𝑎

δ

Figure 1.5 – Contact entre deux sph` eres ´ elastiques.

– la surface de contact est circulaire, de rayon not´ e a, – l’interp´ en´ etration axiale δ est donn´ ee par

δ = a ²

R , (1.20)

– bien que les mat´ eriaux ´ elastiques soient suppos´ es lin´ eaires, la relation entre la force de contact F et l’interp´ en´ etration δ est non-lin´ eaire :

F = 4 3 E ^∗ √

Rδ ^3/2 . (1.21)

1.3.3 Lois de contact analytiques pour une asp´ erit´ e rigide

Des solutions analytiques au probl` eme de Boussinesq sont donn´ ees pour une seule asp´ erit´ e rigide de g´ eom´ etrie axisym´ etrique. Dans le cas d’une asp´ erit´ e sph´ erique de rayon de courbure

𝑧 𝑧 𝑧

𝑅 𝑎 γ

Figure 1.6 – Mod` eles d’asp´ erit´ es de g´ eom´ etries simples admettant des solutions analytiques.

R, ces solutions sont donn´ ees par la th´ eorie de Hertz. Dans le cas d’une asp´ erit´ e cylindrique de rayon a, ou conique de demi-angle au sommet γ, les solutions sont propos´ ees par Love en s’appuyant sur le probl` eme de Boussinesq.

A l’´ ` echelle macroscopique, la loi de contact peut ˆ etre d´ ecrit par

F = c _g δ ^β , (1.22) o` u δ est le d´ eplacement de corps rigide impos´ e dans la direction z ` a l’asp´ erit´ e, et c _g et β sont des constantes r´ eelles d´ ependant de la g´ eom´ etrie de l’asp´ erit´ e :

sph` ere : c _g = 4 3 E ^∗ √

R, β = 3

2 , (1.23)

cylindre : c _g = 2E ^∗ a, β = 1, (1.24)

cˆ one : c _g = 2

π E ^∗ tan(γ), β = 2. (1.25)

Dans le cas d’un cylindre, le contact est dit conforme car initialement la surface de contact est de dimensions comparables au cylindre et elle reste inchang´ ee au cours du proc´ ed´ e. Mais dans les cas sph´ erique et conique, le rayon de contact a augmente avec le chargement :

sph` ere : a =

3F R 4E ^∗

, (1.26)

cˆ one : a =

2F tan(γ) πE ^∗

. (1.27)

A l’´ ` echelle microscopique, la distribution de pression est axisym´ etrique, le param` etre spatial r = p

x ² + y ² est alors introduit. D’apr` es les conditions de Signorini, la pression est nulle en dehors de la surface de contact : p(r) = 0 ∀ r > a. Dans la zone de contact, la distribution de pression pour les trois mod` eles d’asp´ erit´ es ´ etudi´ es pr´ ec´ edemment s’exprime comme suit [60]

Sph` ere : p(r) = 3¯ p 2

1 − r ²

a ²

∀ r ≤ a, (1.28)

cylindre : p(r) = p ¯ 2

1 − r ²

a ^{2 −}

∀ r ≤ a, (1.29)

cˆ one : p(r) = ¯ p a r

∀ r ≤ a, (1.30)

o` u ¯ p = _πa ^F

est la pression de contact nominale, ou moyenne, ` a l’´ echelle macroscopique.

1.4 Surfaces ´ elastiques rugueuses

1.4.1 Th´ eorie de Greenwood-Williamson

Soient deux corps ´ elastiques Ω ₁ et Ω ₂ caract´ eris´ es respectivement par leurs modules de

Young E ₁ et E ₂ , et leurs coefficients de Poisson ν ₁ et ν ₂ , et dont les surfaces sont respec-

tivement d´ ecrites par les fonctions h ₁ (x) et h ₂ (x) dans la direction z. Dans le cas o` u les

deux solides subissent des petites d´ eformations, le probl` eme de contact peut ˆ etre r´ eduit, sans aucune approximation, au probl` eme ´ equivalent du contact entre un solide rigide de surface d´ ecrite par la hauteur h(x) = h ₁ (x) + h ₂ (x), et un solide ´ elastique de module de Young normalis´ e E ^∗ v´ erifiant l’´ equation (1.19). Dans la th´ eorie de Greenwood-Williamson,

E ₁ ,ν ₁

E ₂ ,ν ₂ h ₁ (x)

h ₂ (x)

h(x)

E,ν

Figure 1.7 – Le contact entre deux surfaces rugueuses d´ eformables peut se r´ eduire ` a celui entre une surface rugueuse rigide et une surface plane d´ eformable.

la rugosit´ e d’une surface est suppos´ ee constitu´ ee d’asp´ erit´ es de mˆ eme rayon de courbure et de hauteur diff´ erente, dont la r´ epartition suit une loi Gaussienne. Aussi, les d´ eformations d’une asp´ erit´ e sont suppos´ ees ind´ ependantes de ses voisins. Soit une surface rugueuse dont les asp´ erit´ es sont suppos´ ees sph´ eriques, de rayon R, et dont la hauteur h du sommet suit une loi de distribution Gaussienne [52] :

P _h = 1

√ 2πh ^∗ exp( − h ²

2h ^∗2 ), (1.31)

o` u h ^∗ est l’´ ecart-type de la fluctuation de la hauteur des asp´ erit´ es. Soit d la distance s´ eparant les surfaces et n ⁰ le nombre d’asp´ erit´ es par unit´ e de surface, le nombre d’asp´ erit´ es en contact par unit´ e de surface n ⁰ _c s’´ ecrit

n ⁰ _c = | S _n | n ⁰ Z ∞

d

P _h dh, (1.32)

o` u | S <sub>n</sub> | est la mesure de la surface de contact nominale. Si la hauteur d’une asp´ erit´ e num´ erot´ ee i d´ epasse la distance d, alors cette asp´ erit´ e p´ en` etre la surface du demi-espace de δ = h − d et sa surface de contact mesure

| S _c ⁱ | = πa ² _i = πRδ _i , (1.33)

avec une force de contact ayant pour valeur F _i = 4E √

R

3(1 − ν ² ) δ _i ^3/2 . (1.34)

La surface de contact totale r´ eelle est donn´ ee par

| S c | = π | S n | n ⁰ R Z ∞

d

(h − d)P h dh. (1.35)

A l’´ ` echelle nominale, la pression de contact moyenne ¯ p = _|S ^F

c

| est donn´ ee par

¯

p = 4E √ R 3(1 − ν ² ) n ⁰

Z ∞ d

(h − d) ^3/2 P h dh. (1.36)

1.4.2 Contact entre deux surfaces sinuso¨ıdales

Dans cette section, les principaux r´ esultats du contact entre deux surfaces sinuso¨ıdales sont rappel´ es et serviront de r´ ef´ erence par la suite. Dans le contexte du probl` eme de Bous- sinesq pr´ ec´ edemment d´ ecrit, une surface rigide sinuso¨ıdale entre en contact avec la surface lisse d’un demi-espace ´ elastique.

Surfaces sinuso¨ıdales unidimensionnelles

Dans un premier temps, la surface rigide est d´ ecrite par un profil sinuso¨ıdale unidimen- sionnelle dans la direction x, d’amplitude 2∆ et de longueur d’onde λ. La Figure 1.8 illustre le probl` eme de contact en question. Avant que le contact ne se produise, la distance normale entre les deux surfaces peut ˆ etre exprim´ e par la fonction

h(x) = ∆

1 − cos( 2πx λ )

. (1.37)

Le d´ eplacement vertical, donn´ e par l’´ equation (1.14), s’´ ecrit comme suit

u(x) = δ − h(x), (1.38)

Soit ¯ p la pression de contact moyenne et p ^∗ = _(1−ν ^πE∆

)λ la pression moyenne n´ ecessaire pour que le contact soit complet. Si ¯ p est suffisamment grande pour que le contact soit complet entre les deux surfaces, alors la distribution de pression peut se mettre sous la forme

p(x) = ¯ p + p ^∗ cos( 2πx

λ ). (1.39)

Si la surface de contact est discontinue (¯ p ≤ p ^∗ ), la rugosit´ e ´ etant unidimensionnelle, les

surfaces de contact seront des bandes parall` eles de longueur 2a et les surfaces de s´ eparation

2Δ

λ

2b 2a

𝑝 ^∗ 𝑝

𝑝 < 𝑝 ^∗

𝑝

𝑝 ^∗ 𝑝 = 𝑝 ^∗

Figure 1.8 – Contact entre une surface rigide sinuso¨ıdale unidimensionnelle et la surface lisse d’un demi-espace ´ elastique.

des bandes parall` eles de longueur 2b suivant x. Westergaard a d´ emontr´ e qu’une r´ epartition de pression de la forme [63, 38, 40]

p(x) = 2¯ p cos( ^πx _λ ) sin ² ( ^πa _λ )

sin ² ( πa

λ ) − sin ² ( πx λ ) 1/2

, ∀| x | ≤ a, (1.40) est la solution du probl` eme en question. De plus, la pression moyenne peut s’´ ecrire

¯

p = p ^∗ sin ² ( πa

λ ). (1.41)

L’´ equation (1.41) peut ˆ etre invers´ ee pour exprimer la mesure de la surface de contact relative : 2a

λ = 2 π sin ⁻¹

p ¯ p ^∗

1/2

(1.42) Dans le cas d’un faible chargement (¯ p p ^∗ ), pour des surfaces de contact suffisamment petites et ´ eloign´ ees, les ph´ enom` enes d’interactions entre les asp´ erit´ es sont quasiment inexis- tants. La th´ eorie de Hertz est donc applicable pour d´ ecrire chaque asp´ erit´ e. Soit F = λ p ¯ la force de contact et R = _4π ^λ

∆ le rayon de courbure du sommet de chaque asp´ erit´ e. La th´ eorie de Hertz conduit ` a [38]

2a λ = 2

π p ¯

p ^∗ 1/2

. (1.43)

A l’inverse, si le contact est presque complet, les zones de s´ ` eparations sont petites et ´ eloign´ ees.

Chacune d’elles se comporte ainsi comme une fissure de longueur 2b dans un milieu infini.

La th´ eorie de la fissuration permet alors de caract´ eriser leur comportement 2b

λ = 2 π

1 − p ¯

p ^∗ 1/2

. (1.44)

Les ´ equations (1.43) et (1.44) repr´ esentent les comportements asymptotiques de la surface de contact pour de tr` es faibles chargement et un contact presque complet.

Surfaces sinuso¨ıdales bidimensionnelles

A pr´ ` esent, la surface rigide poss` ede un profil sinuso¨ıdal bidimensionnel. Avant contact, la distance normale entre les deux surfaces s’´ ecrit

h(x, y) = ∆ _x + ∆ _y − ∆ _x cos( 2πx λ x

) − ∆ _y cos( 2πy λ y

), (1.45)

o` u ∆ x et ∆ y sont des grandeurs caract´ eristiques de l’amplitude de la surface rigide respective- ment suivant les directions x et y, de mˆ eme λ _x et λ _y sont les longueurs d’onde de la surface rigide respectivement suivant x et y. La Figure 1.9 donne l’expression de la hauteur des asp´ erit´ es de g´ eom´ etrie parabolo¨ıdale, conique et pyramidale dispos´ ees en configurations or- thotrope ou hexagonale. Dans le cas d’une rugosit´ e orthotrope, ∆ _x = ∆ _y = ∆ et λ _x = λ _y = λ.

8Δ

λ

(𝑥

+ 𝑦

)

8Δ λ |𝑦|

8Δ λ |𝑥|

4 2Δ λ 𝑥

+ 𝑦

2Δ 𝑥 λ

2

+ 3𝑦 λ

4Δ

λ

+ λ

9

𝑥

+ 𝑦

4Δ λ

2 + λ

6

|𝑥|

3 + 𝑦

8Δ 3 λ

2 + λ

6

|𝑥|

4Δ λ

2 + λ

6

|𝑥|

3 − 𝑦

𝑥 3< 𝑦 < λ𝑥

2+λ𝑦

6 −𝑥

3

−𝑥 3< 𝑦 <𝑥

3

𝑥 3− λ𝑥

2+λ𝑦

6 < 𝑦 < −𝑥 3

|𝑥| ≥ |𝑦|

|𝑥| ≤ |𝑦|

Configuration carrée Configuration hexagonale Géométrie

ℎ(𝑥, 𝑦)

Paraboloïdale

Conique

Pyramidale

Figure 1.9 – Amplitude h(x, y) pour diff´ erentes g´ eom´ etries d’asp´ erit´ es en configurations

orthotrope et hexagonale.

La distance entre les deux surfaces avant contact s’´ ecrit alors plus simplement h(x, y) = ∆

2 − cos( 2πx

λ ) − cos( 2πy λ )

. (1.46)

La litt´ erature actuelle ne permet pas de traiter le probl` eme de contact en question. Ainsi, la distribution de pression peut ˆ etre exactement donn´ ee dans le cas o` u la surface de contact est continue :

p(x, y) = ¯ p + p ^∗ _x cos( 2πx λ x

) + p ^∗ _y cos( 2πy λ y

), (1.47)

avec p ^∗ _x = _(1−ν ^πE∆

)λ

et p ^∗ _y = _(1−ν ^πE∆

)λ

. Tant que la condition ¯ p < p ^∗ _x + p ^∗ _y est v´ erifi´ ee, alors le contact n’est pas complet entre les deux surfaces. Si la rugosit´ e est isotrope, alors la r´ epartition de pression se r´ eduit ` a

p(x, y) = ¯ p + 1 2 p ^∗

cos( 2πx

λ ) + cos( 2πy λ )

. (1.48)

Il est possible aussi de faire apparaitre les comportements asymptotiques de la surface de contact. La th´ eorie de Hertz est valable pour une tr` es faible pression moyenne. L’expression du rayon de contact a est ainsi donn´ ee par [38]

πa ² λ ² = π

3 8π

¯ p p ^∗

2/3

. (1.49)

De mˆ eme, la th´ eorie de la fissuration est applicable si le contact est presque complet. Les zones de s´ eparation sont petites et circulaires, de rayon b. Le comportement de chacune d’elles peut ˆ etre d´ ecrit par la th´ eorie de la fissure :

πb ² λ ² = 3

2π

1 − p ¯ p ^∗

. (1.50)

1.5 M´ ethode num´ erique d’inversion matricielle

Lorsque les deux surfaces en contact ont une g´ eom´ etrie complexe ou poss` ede plusieurs asp´ erit´ es, l’approche num´ erique est la plus largement employ´ ee pour r´ esoudre l’´ equation de Boussinesq (1.11). La m´ ethode d’inversion matricielle, d´ ecrite dans l’ouvrage de Johnson [38] et bas´ ee sur les ´ el´ ements de fronti` ere, est une m´ ethode efficace pour r´ esoudre divers probl` emes de contact entre deux solides car seule la surface potentiellement en contact doit ˆ

etre discr´ etis´ ee.

La surface de contact nominale S _n est discr´ etis´ ee en N _e ´ el´ ements rectangulaires de dimen- sions l _x × l _y respectivement dans les directions x et y (Figure 1.10). En utilisant le principe de superposition et de lin´ earit´ e de l’int´ egration, l’int´ egrale de l’´ equation (1.11) peut ˆ etre formul´ ee en la somme de l’int´ egration sur chaque ´ el´ ement :

u(x, y) = 1 πE ^∗

N

X

j=1

Z

S

T (x, y; ξ 0 , η 0 )p(ξ 0 , η 0 )dξ 0 dη 0 , (1.51)

𝑆 _𝑛 0

(𝑥 _𝑖 , 𝑦 _𝑖 )

(𝑥𝑗, 𝑦𝑗) ^x x

𝑝 _𝑗

𝑆 _𝑐

𝑥

𝑧 𝑦

0 x (𝑥 _𝑗 , 𝑦 _𝑗 ) 𝑝 _𝑗

𝑙 _𝑥 𝑙 _𝑦

Figure 1.10 – Discr´ etisation de la surface de contact nominale S _n .

o` u S <sub>j</sub> est la surface du j <sup>` eme</sup> ´ el´ ement. En supposant que la pression de contact soit uniforme dans chaque ´ el´ ement, soit p j la pression de contact dans le j ^{` eme} ´ el´ ement. L’´ equation (1.51) s’´ ecrit ainsi

u(x, y) = 1 πE ^∗

" _N

X

j=1

Z

S

T (x, y; ξ 0 , η 0 )dξ 0 dη 0

#

p _j . (1.52)

L’int´ egration dans l’´ equation (1.52) pr´ esente une singularit´ e lorsque les points de coordonn´ ees (x, y) et (ξ 0 , η 0 ) co¨ıncident car d’apr` es l’´ equation (1.12) la distance entre ces deux points est nulle. Le calcul num´ erique de l’int´ egration est donc d´ elicat. Une solution analytique, fournie par Love pour l’int´ egrale de l’´ equation (1.52), permet de calculer pr´ ecis´ ement l’int´ egrale en question. L’insertion de cette solution, not´ ee m(x, y; ξ 0 , η 0 ), dans l’´ equation (1.52) conduit ` a

u(x, y) = 1 πE ^∗

N

X

j=1

m(x, y; x _j , y _j )p _j , (1.53) o` u (x <sub>j</sub> , y <sub>j</sub> ) sont les coordonn´ ees du centre du j <sup>` eme</sup> ´ el´ ement. L’expression de la fonction m(x, y; ξ 0 , η 0 ) est pr´ esent´ ee en Annexe A. Enfin, en notant u _i le d´ eplacement vertical du centre du i ^{` eme} ´ el´ ement et M _ij = m(x _i , y _i ; x _j , y _j ) la composante de la matrice d’influence, l’´ equation de Boussinesq discr´ etis´ ee est obtenue sous la forme matricielle suivante [12, 14, 20]

u i = 1 πE ^∗

N

X

j=1

M ij p j . (1.54)

A noter que ` M <sub>ij</sub> repr´ esente, physiquement parlant, le d´ eplacement vertical du centre du i <sup>eme `</sup>

´

el´ ement induit par une pression unitaire appliqu´ ee sur la surface du j ^{` eme} ´ el´ ement. Pour finir la discr´ etisation de l’´ equilibre des forces s’´ ecrit

F =

N

X

j=1

p _j l _x l _y . (1.55)

Afin de d´ eterminer l’ensemble des ´ el´ ements du maillage constituant la surface de contact r´ eelle S _c , la m´ ethode d’inversion matricielle est construite sur un processus it´ eratif consistant dans un premier temps ` a initialiser une surestimation de la surface de contact r´ eelle, le plus sˆ ur ´ etant de choisir l’ensemble des ´ el´ ements du maillage. Ensuite, dans chaque it´ eration, les pressions de contact ´ el´ ementaires sont d´ etermin´ ees en r´ esolvant le syst` eme matricielle (1.54), et les ´ el´ ements pour lesquelles la pression d´ etermin´ ee est n´ egative sont ´ elimin´ es de la surface de contact r´ eelle car le contact est compressif d’apr` es la condition de Signorini (1.15). La taille de la surface de contact r´ eelle se r´ eduit d’it´ eration en it´ eration jusqu’` a ce que les pressions d´ etermin´ ees soient strictement positives dans la surface de contact r´ eelle. Le probl` eme sera ainsi r´ esolu, et la distribution de pression ainsi que la surface de contact r´ eelle seront d´ etermin´ ees. L’algorithme du processus it´ eratif pour d´ eterminer la surface de contact r´ eelle est illustr´ e par la Figure 1.11. Le principale inconv´ enient de la m´ ethode d’inversion

Initialisation et surestimation de la surface de contact 𝑆

Détermination des pressions 𝑝

Tant que 𝑝

< 0 dans certains éléments

Les éléments où 𝑝

< 0 sont éliminés de la surface de contact réelle

Détermination des pressions 𝑝

𝑝

≥ 0 dans tous les

éléments de 𝑆

Problème de contact résolu oui

non

Figure 1.11 – Algorithme du processus it´ eratif pour d´ eterminer la surface de contact r´ eelle et la distribution de pression avec la m´ ethode d’inversion matricielle.

matricielle est son coˆ ut en temps de calcul qui peut devenir tr` es important en ´ etudiant des surfaces rugueuses comportant un tr` es grand nombre d’asp´ erit´ es, ce qui implique une discr´ etisation tr` es fine. Dans les cas o` u la surface rigide est p´ eriodiquement rugueuse, la pression de contact et la surface de contact sont aussi p´ eriodiques. La suite du chapitre pr´ esentera une approche qui exploite cette p´ eriodicit´ e afin de r´ eduire le nombre d’inconnues

`

a calculer.

1.6 Elaboration de l’approche en pression p´ ´ eriodique pour deux surfaces rugueuses p´ eriodiques en contact unilat´ eral

Lorsque le contact se produit entre la surface lisse d’un demi-espace d´ eformable et une surface rigide p´ eriodique de longueurs d’onde λ x et λ y respectivement dans les directions x et y, les surfaces de contact, le d´ eplacement et la distribution de pression sont p´ eriodiques.

Il est alors possible de r´ esoudre le probl` eme en ´ etudiant une cellule surfacique p´ eriodique consid´ er´ ee comme cellule de r´ ef´ erence du demi-espace d´ eformable d´ efinie par

S ⁰ =

(x, y) ∈ S | − λ _x

2 ≤ x ≤ λ _x

2 , − λ _y

2 ≤ y ≤ λ _y 2

. (1.56)

Pour des raisons de simplicit´ e, le centre de la cellule surfacique p´ eriodique de r´ ef´ erence S ⁰ est choisi comme ´ etant l’origine du syst` eme de coordonn´ ees (Figure 1.12).

𝑆

𝑆

𝑆

𝑆

𝑥

𝑦

𝑥 𝑦

0

λ

λ

Figure 1.12 – La p´ eriode de r´ ef´ erence d’un demi-espace d´ eformable en contact avec une surface rigide et p´ eriodiquement rugueuse.

1.7 Approche en pression p´ eriodique

En appliquant simplement le principe de superposition ` a la solution de Boussinesq et Cerruti (1.11), le champ de d´ eplacement peut s’´ ecrire

u(x, y ) = 1 πE ^∗

N

X

k=1

Z

S

T (x, y; ξ, η)p(ξ, η)dξdη, (1.57)