Contact avec glissement

a diff´erents instants. Les r´esultats sont compar´es aux solutions analytiques ´elastiques de

Wes-tergaard [63, 38] et aux solutions num´eriques obtenues par l’approche en pression p´eriodique

[31]. Il est observ´e que les r´esultats visco´elastiques tendent vers les r´esultats obtenus dans le

cas de l’indentation d’un demi-espace ´elastique caract´eris´e par les modules K∞ etµ∞.

3.6.2 Contact avec glissement

Roulement d’un cylindre rigide sur un demi-espace visco´elastique

La formulation discr`ete du contact avec glissement entre un solide rigide et un demi-espace

visco´elastique d´evelopp´ee dans ce chapitre est appliqu´ee pour r´esoudre le probl`eme de

roule-ment sans frotteroule-ment d’un cylindre rigide sur la surface lisse d’un demi-espace visco´elastique.

Le cylindre rigide, de rayon R = 5 mm, roule sur la surface visco´elastique `a une vitesse V

impos´ee seulement dans la directionx, doncV_y = 0 m.s⁻¹. Le d´eplacement de corps rigide est

constant au cours du temps et vautδ= 0.03 mm. La surface de contact nominale est un carr´e

de cˆot´e 10 mm et est maill´ee avec N_e = 100 ´el´ements rectangulaire de dimensions 0.1×10

mm² respectivement suivantx ety. La Figure 3.11 repr´esente l’´evolution des dimensions de

la surface de contact r´eelle en fonction du nombre de Deborah d´efinit par :

ξ0 = ^{V τc}

a₀ ^{, (3.57)}

avec a0 le rayon de contact en condition statique. La mˆeme ´evolution est pr´esent´e dans le

livre de Johnson [38]. La diff´erence mesur´ee entre la courbe calcul´ee et la courbe pr´esent´ee

dans l’ouvrage de Johnson n’exc`ede pas 2%.

Glissement sans frottement d’une surface rigide p´eriodique sur une surface visco´elastique

lisse

Enfin, l’approche ´elabor´ee pour le contact visco´elastique est maintenant utilis´ee pour

la r´esolution num´erique du glissement sans frottement d’une surface rigide de g´eom´etrie

p´eriodique sur une surface visco´elastique. La surface rigide est tout d’abord consid´er´ee comme

´

etant de g´eom´etrie sinuso¨ıdale unidimensionnelle dans la direction x, comportant Np =

51 crˆetes d’amplitude 0.196 mm et glisse suivant la direction x. La cellule p´eriodique S0,

rectangle de dimensions λ ×10 mm avec λ = 10/101 mm, est discr´etis´ee par N_e = 100

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

solution numérique viscoélastique

solution numérique élastique

−0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

solution numérique élastique

t=0 s

t=0.001 s

t=0.01 s

Figure3.9 – ´Evolution de la force de contact et distribution de pression `a diff´erents instants

calcul´ees dans le cas du contact entre une surface rigide sinuso¨ıdale unidimensionnelle et un

demi-espace visco´elastique.

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

solution numérique viscoélastique

solution numérique élastique

−0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

solution numérique élastique

t=0 s

t=0.001 s

t=0.01 s

Figure 3.10 – ´Evolution de la force de contact et distribution de pression `a diff´erents

instants pour y= 0 mm calcul´ees dans le cas du contact entre une surface rigide sinuso¨ıdale

unidimensionnelle et un demi-espace visco´elastique.

10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10² 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 a/a₀ b/a

Figure 3.11 – Dimensions de la surface de contact en fonction du nombre de Deborah dans

le cas du glissement d’un cylindre rigide.

´

el´ements rectangulaires de dimensions λ/100 suivant x et 10 mm suivant y. La Figure 3.12

repr´esente la d´eform´ee de la cellule p´eriodique de r´ef´erence. La d´eform´ee est tr`es proche

de ce qui est pr´esent´e dans les travaux de Menga et al [50]. Pour finir, la surface rigide

glissant sur la surface visco´elastique est de rugosit´e p´eriodique bidimensionnelle comportant

N_p = 51 ×51 = 2601 asp´erit´es sinuso¨ıdales, parabolo¨ıdales, coniques ou pyramidales, de

mˆeme hauteur valant 0.196 mm. La cellule S0 est un carr´e de cˆot´eλ = 10/101 et maill´ee par

Ne = 100×100 ´el´ements carr´es dont les cˆot´es mesurent λ/100. La Figure 3.13 repr´esente

l’´evolution du moment m´ecanique, dans le cas des asp´erit´es sinuso¨ıdales, normalis´ee par sa

valeur minimale au cours du temps afin de mieux comparer les r´esultats. Les r´esultats sont

compar´es `a ceux obtenus dans les cas d’une asp´erit´e, soit Np = 1. Il est int´eressant de

remarquer que dans le cas d’une seule asp´erit´e rigide, le moment m´ecanique se stabilise bien

plus lentement que dans le cas d’une surface comportant plusieurs asp´erit´es. L’´evolution de

la taille de la surface de contact relative au cours du temps pour les diff´erentes g´eom´etries

´

etudi´ees est trac´ee sur la Figure 3.14. Il apparaˆıt que la surface de contact diminue au cours

du temps mais de fa¸con diff´erente selon la g´eom´etrie de la surface rigide. Cette diminution

de la surface de contact peut ˆetre observ´ee sur les Figures 3.15 `a 3.18 o`u sont affich´ees les

distributions de pression de contact aux instants t = 0 s et t = 0.01 s. `A l’instant initial,

les distributions de pression ont une forme proche de ce qui a ´et´e pr´esent´e pour les surfaces

´

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 V/V 0=0 V/V 0=1.85 V/V 0=1000

Figure3.12 – Configuration d´eform´ee de la cellule p´eriodique de r´ef´erenceS⁰ dans le cas du

glissement d’une surface rigide sinuso¨ıdale unidimensionnelle sur la surface d’un demi-espace

visco´elastique.

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Surfaces sinusoïdales unidimensionnelles

N_p=1 N_p=51 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Surfaces sinusoïdales bidimensionnelles

N_p=1 N_p=51×51=2601

Figure 3.13 – ´Evolution du moment m´ecanique au cours du temps calcul´ee dans les cas du

contact avec glissement entre une surface rigide sinuso¨ıdale et un demi-espace visco´elastique.

Aussi, dans le cas des surfaces sinuso¨ıdales et parabolo¨ıdales, la pression maximum s’est

diminu´ee et n’est plus atteinte au centre de la cellule p´eriodique, ce qui n’est pas le cas des

asp´erit´es pointues (coniques et pyramidales).

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 aspérités sinusoïdales aspérités paraboloïdales aspérités coniques aspérités pyramidales

Figure 3.14 – Mesure de la surface de contact relative au cours du temps dans le cas du

glissement d’une surface rigide comportant Np = 51 ×51 = 2601 asp´erit´es sinuso¨ıdales,

parabolo¨ıdales, coniques ou pyramidales sur un demi-espace visco´elastique.

p(GPa)

0

20

40

60

80

t = 0 s t = 0,01 s

Figure 3.15 – Distributions de pression de contact initiale et finale dans le cas du contact

avec glissement entre une surface rigide comportant N_p = 51 ×51 = 2601 asp´erit´es

si-nuso¨ıdales et un demi-espace visco´elastique.

p(GPa)

0

20

40

60

80

t = 0 s t = 0,01 s

Figure 3.16 – Distributions de pression de contact initiale et finale dans le cas du contact

avec glissement entre une surface rigide comportant N_p = 51×51 = 2601 asp´erit´es

para-bolo¨ıdales et un demi-espace visco´elastique.

p(GPa)

0

50

100

150

200

t = 0 s t = 0,01 s

250

Figure 3.17 – Distributions de pression de contact initiale et finale dans le cas du contact

avec glissement entre une surface rigide comportant N_p = 51×51 = 2601 asp´erit´es coniques

et un demi-espace visco´elastique.

p(GPa)

0

50

100

150

200

t = 0 s t = 0,01 s

Figure 3.18 – Distributions de pression de contact initiale et finale dans le cas du contact

avec glissement entre une surface rigide comportant N_p = 51×51 = 2601 asp´erit´es

pyrami-dales et un demi-espace visco´elastique.

Conclusion

Le travail de th`ese a pour objectif d’´elaborer une approche adapt´ee au contact sans

frottement entre deux milieux infinis dont les surfaces sont de g´eom´etries p´eriodiques. Les

milieux sont suppos´es ne subir que de petites d´eformations. L’approche pr´esent´ee s’appuie

sur la solution de Boussinesq et Cerruti, le principe de correspondance de Lee et Radok, et

la m´ethode des ´el´ements de fronti`ere.

La p´eriodicit´e de la pression de contact est prise en compte dans la formulation du probl`eme

en additionnant l’influence des diff´erentes p´eriodes dans une seule cellule surfacique p´eriodique

de r´ef´erence. Ainsi seule une p´eriode n´ecessite d’ˆetre discr´etis´ee, ce qui permet d’effectuer

des simulations num´eriques plus rapides tout en conservant une bonne pr´ecision.

Dans un premier temps, l’approche en pression p´eriodique est appliqu´ee au contact entre

deux surfaces ´elastiques p´eriodiquement rugueuses. La solution de Boussinesq et Cerruti est

adapt´ee aux surfaces infinies et g´eom´etriquement p´eriodiques. La discr´etisation est d´evelopp´ee

en tenant compte d’un nombre fini mais suffisamment ´elev´e de p´eriodes. Des r´esultats

num´eriques sont pr´esent´es dans le cas du contact entre deux surfaces sinuso¨ıdales

unidi-mensionnelles ou bidiunidi-mensionnelles. Les distributions de pression calcul´ees sont tr`es proches

de leurs solutions analytiques. De plus, une ´etude de convergence a montr´e que la diff´erence

entre les solutions num´eriques et analytiques descendait nettement sous 1%, que ce soit en

terme de discr´etisation ou en terme de p´eriodicit´e, ce qui est tr`es satisfaisant et permet de

valider le mod`ele num´erique. Des asp´erit´es de g´eom´etries parabolo¨ıdales, coniques ou

pyra-midales sont ensuite ´etudi´ees. Les r´esultats ont mis en ´evidence que la g´eom´etrie des asp´erit´es

a une influence non n´egligeable sur la distribution de pression et sur la surface de contact.

Diff´erentes configurations p´eriodiques sont aussi test´ees. Il a ´et´e montr´e que la position des

asp´erit´es influence aussi les r´esultats de mani`ere significative.

Le travail suivant a consist´e en la prise en compte des d´eformations induites par une

cir-culation de la chaleur entre les deux milieux en contact. La formulation de ce probl`eme

de contact dans le cas des surfaces thermo´elastiques p´eriodiques a donc ´et´e ´etablie avant

d’ˆetre discr´etis´ee. Des simulations num´eriques sont ensuite effectu´ees pour valider l’approche

num´erique en l’appliquant au contact de Hertz et au contact entre deux surfaces sinuso¨ıdales

unidimensionnelles. Les r´esultats montrent encore l’efficacit´e de l’approche ´etablie puisque

la diff´erence entre les pressions de contact ou les flux de chaleur calcul´es et leurs solutions

analytiques est tr`es faible. D’autres simulations num´eriques ont montr´e que la temp´erature

peut aussi impacter le flux de chaleur, la pression et la surface de contact. Il a aussi ´et´e

montr´e que l’´evolution de la surface de contact en fonction de la temp´erature est diff´erente

si les surfaces en contact sont finies ou infinies.

Enfin, la derni`ere ´etape de ce travail de th`ese a ´etendu l’approche en pression p´eriodique

au contact avec glissement entre deux surfaces visco´elastiques p´eriodiquement rugueuses. La

formulation est ´etablie de sorte `a ce qu’`a chaque instant, l’int´egration spatiale soit effectu´ee

sur la surface de contact nominale actuelle, ce qui permet de ne pas avoir `a la faire sur

l’ensemble de la trajectoire parcourue par le glissement. La formulation discr´etis´ee est

en-suite appliqu´ee pour r´esoudre le probl`eme du contact de Hertz. Dans le cas o`u la surface

de contact augmente au cours du temps, les distributions de pression et forces de contact

calcul´ees sont proches de la solution de Hertz. Dans le cas o`u la surface de contact diminue

au cours du temps, les r´esultats num´eriques sont proches des solutions analytiques de Ting.

Des surfaces p´eriodiques sont ensuite ´etudi´ees, les r´esultats obtenus ont permis de conclure

que plus les asp´erit´es sont pointues, moins l’excentricit´e de la surface de contact produit par

le glissement est importante.

L’approche en pression p´eriodique est donc rapide et efficace pour ´etudier le contact entre

deux surfaces p´eriodiques et infinies. Cette approche peut ˆetre int´eressante `a employer pour

´

etudier le contact entre deux surfaces tr`es rugueuses dont les asp´erit´es sont tr`es nombreuses,

de hauteur et de dimensions assez proches. Ainsi, le probl`eme de contact pourrait ˆetre

r´esolu en choisissant un ´echantillon des deux surfaces et en appliquant l’approche en pression

p´eriodique.

Ce travail de th`ese pr´esente plusieurs perspectives : l’approche en pression p´eriodique ´etant

valid´ee num´eriquement, des probl`emes de contact d’int´erˆet plus pratique peuvent ˆetre

main-tenant trait´es, `a savoir entre deux surfaces p´eriodiques dont les asp´erit´es ont une g´eom´etrie

complexe ; des ph´enom`enes comme le frottement, l’adh´esion ou la fissuration peuvent ˆetre pris

en compte pour observer leurs effets sur la pression de contact et sur la surface de contact ;

l’approche en pression p´eriodique peut ˆetre employ´ee pour d´eterminer les caract´eristiques

effectives de surfaces rugueuses `a l’´echelle microscopique mais lisses `a l’´echelle

macrosco-pique, afin d’´etablir des relations entre la force de contact, le d´eplacement de corps rigide, et

la mesure de la surface de contact ; les applications pour la construction durable sont aussi

int´eressantes, notament pour ´etudier l’ouverture et la fermeture des l`evres d’une fissure ;

la simulation de proc´ed´es ´electrochimiques permettrait d’analyser comment les r´eactions

chimiques peuvent modifier la composition des surfaces en contact ; l’approche en pression

p´eriodique peut aussi ˆetre appliqu´ee aux surfaces multi-couches.

Publications et Communications

Articles publi´es dans des revues internationales avec

commit´e de lecture

Houanoh K., Yin H.P., He Q.-C. (2016). A simple numerical approach for solving the

fric-tionless contact problem of elastic wavy surfaces. Meccanica, 51, 463-473.

Houanoh K., Yin H.P., Cesbron J., He Q.-C. (2016). Influence of the in-plan distribution

of asperities on the normal contact of periodically rough surfaces. Proceedings of the

Insti-tution of Mechanical Engineers, Part C : Journal of Mechanical Engineering Science, 230,

1382-1391.

Communications dans des conf´erences internationales

Houanoh K., Yin H.P., He Q.C. (October 1-3, 2014). Numerical analysis of the contact

bet-ween frictionless elastic wavy surfaces by using boundary element method. 24th International

Workshop on Computational Micromechanics of Materials, Madrid, Spain.

Houanoh K., Yin H.P., He Q.C. (March 30 - April 2, 2015). Numerical study of the

fric-tionless contact problem between thermoelastic wavy surfaces. EUROMECH Colloquium 575,

Contact Mechanics and Coupled Problems in Surface Phenomena, Lucca, Italia.

Houanoh K., Yin H.P., He Q.C. (May 11 - 13, 2016). Contact of viscoelastic bodies with

periodically wavy surfaces. 8th Contact Mechanics International Symposium, Warsaw,

Po-land.

Annexe A

Int´egration de la fonction de Green

L’int´egration de la fonction de Green sur une surface rectangulaire S_j de dimensions

l_x×l_y respectivement dans les directionsx et y est d´efinie par

m(x, y;ξ, η) =

Z

S

j

1

p

(x−ξ)2+ (y−η)2dξdη. (A.1)

La solution de Love pour la fonction m(x, y;ξ, η) s’´ecrit comme suit [38]

m(x, y;ξ, η) =f₁(x−ξ, y−η, l_x, l_y) +f₁(x−ξ, y−η,−l_x,−l_y)

+f₁(y−η, x−ξ, l_y, l_x) +f₁(y−η, x−ξ,−l_y,−l_x), ^(A.2)

avec

f1(x, y, lx, ly) = (x+lx/2) ln

"

(y+l_y/2) +^p(y+l_y/2)2+ (x+l_x/2)2

(y−l_y/2) +^p(y−l_y/2)2+ (x+l_x/2)2

#

. (A.3)

Annexe B

Int´egration de la fonction de couplage

thermo´elastique

L’int´egration de la fonction de couplage thermo´elastique sur une surface rectangulaire S_j

de dimensions l_x×l_y respectivement dans les directions xet y est d´efinie par la fonction

c(x, y;ξ, η) = f₂(x−ξ, y−η) +f₂(ξ−x, y−η)

+f₂(x−ξ, η−y) +f₂(ξ−x, η−y)

+f3(x−ξ, y−η, lx, ly) +f3(y−η, x−ξ, ly, lx)

+f₃(ξ−x, y−η, l_x, l_y) +f₃(η−y, x−ξ, l_y, l_x),

(B.1)

avec

f₂(x, y) = (x+l_x/2)(y+l_y/2) ln(x+l_x/2)²+ (y+l_y/2)²,

f3(x, y, lx, ly) = (x+lx/2)²

arctan

y+l_y/2

x+l_x/2

+arctan

−y+l_y/2

x+l_x/2

. ^(B.2)

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frictionless contact problem of elastic wavy surfaces. Meccanica, 51, 463-473.

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of asperities on the normal contact of periodically rough surfaces. Proceedings of the

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between frictionless elastic wavy surfaces by using boundary element method. 24th

In-ternational Workshop on Computational Micromechanics of Materials, Madrid, Spain.

[34] Houanoh K., Yin H.P., He Q.C. (March 30 - April 2, 2015). Numerical study of the

frictionless contact problem between thermoelastic wavy surfaces. EUROMECH

Collo-quium 575, Contact Mechanics and Coupled Problems in Surface Phenomena, Lucca,

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