Espaces de modules de connexions sur P

S´ eminaire de G´ eom´ etrie Alg´ ebrique de Paris VI-VII et Nantes Carlos Simpson, Chevaleret, le 1er f´ evrier 2007

Soit X une courbe projective, par exemple X = P

, et D ⊂ X un diviseur r´ eduit, donc D = p

+ . . . + p

avec les p

distincts. Soit U := X − D. On choisit un point de base u ∈ U . Pour X = P

le groupe fondamental π

(U, u) est engendr´ e par des lacets γ

, . . . , γ

partant de u et tournant autour des p

respectivement. Il y a une relation γ

· · · γ

= 1. On peut d´ efinir l’espace de modules des repr´ esentations M

(U ) ` a valeurs dans un groupe, disons GL(r, C ).

Dans le cadre des repr´ esentations sur les vari´ et´ es quasiprojectives, il convient de fixer les classes de conjugaison C

, . . . , C

des images des γ

. Pour simplifier les choses au maximum, nous allons supposer que les C

sont des classes de conjugaison des matrices d’ordre fini. En particulier les C

⊂ GL(r, C ) sont des ferm´ es de Zariski, d’o` u affines. L’espace de modules des repr´ esentations avec classes de conjugaison donn´ es peut donc ˆ etre ´ ecrit comme

M

(U ; C

, . . . , C

) := ker (C

× · · · × C

→ SL(r))

P SL(r) ,

o` u l’application est le produit et le quotient est par l’action de conjugaison. Les matrices d’ordre fini ont d´ eterminant 1 et l’action de conjugaison se factorise ` a travers P SL(r). Ici se pr´ esentent evidemment deux choix, soit on prends le quotient cat´ egorique de sch´ emas affines, soit on prends le quotient des champs. On peut consid´ erer l’un ou l’autre.

Ces espaces de modules font apparition mˆ eme dans le cadre des vari´ et´ es projectives. En effet, soient n

les ordres des matrices de C

et soit X

l’orbifold obtenu en mettant des groupes d’ordre n

aux points p

. Dans ce cas, M

(X

) consiste de toutes les repr´ esentations de π

(U, u) dont les monodromies autour des γ

sont d’ordre n

respectivement, et cet es- pace se divise en composantes connexes qui sont les M

(U; C

, . . . , C

) pour tous choix des C

, . . . , C

avec C

d’ordre n

. D’autre part, sauf pour un petit nombre des cas l’orbifold X

admet un revetement galoisien Z avec groupe H, donc X

= [Z/H] est le champ quotient. Le groupe fini H peut toujours agir librement sur une vari´ et´ e simplement connexe V (par exemple une intersection compl` ete H-invariant dans un espace projectif avec action de H) et Z × V /H est un bon quotient, projective, avec

π

(Z × V /H) ∼ = π

(X

).

D’o` u M

(X

) ∼ = M

(Z × V /H), et M

(U; C

, . . . , C

) est reunion de composantes con- nexes dans l’espace de modules de repr´ esentations sur une vari´ et´ e projective (Daskalopolous- Wentworth). En revanche, si les classes de conjugaison C

ne sont pas d’ordre fini, cette construction ne s’applique pas et les espaces de modules M

(U ; C

, . . . , C

) peuvent ˆ etre diff´ erents.

Les espaces de modules M

(U ; C

, . . . , C

) fournissent des exemples de toutes les struc- tures de la th´ eorie de Hodge nonab´ elienne: versions Dolbeault et de Rham, action de C

, filtration de Hodge, connexion de Gauss-Manin (quand n ≥ 4; ce sont les equations de d´ eformation isomonodromiques, e.g. Painlev´ e VI), structure hyperk¨ ahlerienne.

1

On obtient des morphismes entre espaces de modules, via la construction de correspon- dence non-lin´ eaire (F. Paugam tente de formaliser cette notion): un diagramme de la forme

X ←

Z →

Y donne lieu ` a un “morphisme” (rationel, du moins)

M

(X, r) → M

(Y, r

), ρ 7→ R

q

(p

ρ).

La construction de Katz en sera un bon exemple. En commen¸cant par les M

(U ; C

, . . . , C

) et en applicant des op´ erations de ce type, on peut realiser ces vari´ et´ es (birationnellement au moins) comme composantes des M

(Y ) pour plein de Y diff´ erents, et de l’autre cot´ e on ne connait pas d’autre type de composantes irr´ eductibles des M

. Kontsevich conjec- ture, par exemple, pour les groupes de tresse que les composantes irr´ eductibles de leurs vari´ et´ es de repr´ esentations sont tous obtenues de cette fa¸con, pour une collection naturelle de correspondences.

Il apparait alors important d’´ etudier les vari´ et´ es de modules M

(U; C

, . . . , C

), en plus que pour la simple raison que ce sont les plus faciles ` a aborder. Le cas X = P

est privilegi´ e pour une autre raison: les dimensions des M

(U ; C

, . . . , C

) peuvent rester petites mˆ eme si r devient grand. La formule pour la dimension obtenue par comptage se trouve ˆ etre la bonne (si l’on n’oublie pas les SL au lieu des GL):

dimM

(U ; C

, . . . , C

) =

n

X

i=1

dim(C

) − 2(r

− 1).

Suivant le choix des C

cette dimension peut ˆ etre petite. C’est pour cette raison que ces espaces sont int´ eressants en tant qu’exemples dans la th´ eorie de Hodge nonab´ elienne.

Il est utile de re´ ecrire cette formule. Une classe de conjugaison C

semisimple correspond ` a une partition r = r

+ . . . + r

. Les matrices de C

sont diagonalisables avec valeurs propres ayant multiplicit´ es r

. On a

dim(C

) = r

−

ki

X

j=1

(r

)

.

On voit cela comme le nombre de places restantes dans une matrix r × r une fois que les blocs r

× r

sont enlev´ es. Soit ν(C

) = r

le plus grand des blocs. En mettant tous les blocs d’un cot´ e on voit que

dim(C

) = r

− rν(C

) − σ(g

)

avec σ(g

) ≥ 0 et σ(g

) = 0 si et seulement si r

= · · · = r

(diagramme).

On obtient donc

dimM

(U ; C

, . . . , C

) = 2 + rδ(C

, . . . , C

) +

n

X

i=1

σ(C

) o` u

δ(C

, . . . , C

) := (n − 2)r −

n

X

i=1

ν(C

).

Donc si δ = 0 et σ = 0 la dimension est de 2, ind´ ependamment de r. Ceci parait etre un cas special tr` es int´ eressant, isol´ e en premier par Kostov.

Sinon, la dimension peut croitre lin´ eairement en r, alors que pour les courbes X de genre

≥ 1 la dimension serait quadratique en r (sauf si g = 1, n = 1).

On en arrive maintenant ` a l’algorithme de Katz. Dans le livre “Rigid Local Systems”, Katz a introduit ce proc´ ed´ e pour l’´ etude des cas rigides, i.e. quand la dimension de M

est 0. Kostov a remarqu´ e que l’algorithme donne une information importante dans tous les cas, et Crawley-Boevey a ´ egalement utilis´ e une version de l’algorithme dans ses travaux.

Pour ´ enoncer tr` es rapidement ce qui se passe: Katz consid` ere certains correspondences cohomologiques nonlin´ eaires, qui sont des convolutions additives, pour donner des isomor- phismes entre diff´ erents M

(U ; C

, . . . , C

). En partant d’une repr´ esentation ρ de rang r avec classes de conjugaison C

, . . . , C

il arrive, en choisissant bien la convolution, ` a une repr´ esentation de rang

r

= r + δ(C

, . . . , C

).

On voit donc imm´ ediatement comment proc´ eder: si jamais δ(C

, . . . , C

) < 0 on peut appli- quer la convolution pour diminuer le rang. On s’arr` ete forcemment dans une situation avec δ ≥ 0, ou peut-etre sinon, r = 1—c’est le cas rigide. Si la transformation formelle sur les monodromies locales conduit vers r

≤ 0 alors c’est que l’espace de modules en question est vide.

La convolution de Katz se pr´ esente comme les correspondences nonlin´ eaires, sauf qu’on tensorise au milieu. On considere le diagramme

U ←

Z →

U

o` u Z est le compl´ ementaire d’un arrangement diagonale standard dans P

× P

(dessin). On utilise un syst` eme local de rang 1 L sur Z, et on consid` ere la fonction

ρ 7→ Conv(ρ, L) := R

q

(L ⊗ p

(ρ)).

Dans ce cas, et suivant le choix des monodromies de L autour des droites (ces choix d´ eterminent L) la repr´ esentation Conv(ρ, L) aura un sous-espace fixe nontrivial. Divisant par ce sous- espace qui provient des cohomologies locales pour les valeurs propres triviales de L ⊗ p

(ρ), on obtient la middle convolution

ρ 7→ MC(ρ, L)

qui peut ˆ etre vue aussi comme une image directe en cohomologie d’intersection. Le plus souvent on choisira L de fa¸con ` a augmenter au maximum la multiplicit´ e des valeurs propres triviales locales pour diminuer au maximum le rang; dans ce cas on a

r

= rang (MC(ρ, L)) = r + δ(C

, . . . , C

).

Si les valeurs propres de la monodromie locale de ρ sont des racines d’unit´ e, alors il en

sera de mˆ eme pour L, et L devient “motivique”. Plus pr´ ecisemment, il y aura un revˆ etement

ramifi´ e B → Z de groupe de Galois ab´ elien, et L sera l’un des facteurs de rang 1 de l’image

directe sur Z. Si on pose p

et q

les deux projections compos´ es avec ce revetement, alors

MC(ρ, L) sera facteur directe de R

p

(q

ρ). Cette construction peut donc ˆ etre vue comme

rentrant dans le cadre des correspondences.

Le probl` eme soulev´ e ici est le calcul des monodromies locales de MC(ρ, L) en fonction des monodromies locales de ρ et le choix de L. On peut le faire directement sur une pr´ esentation par g´ en´ erateurs et relations (Dettweiler-Reiter). En fait, Dettweiler et Reiter utilisent une base dite de Pockhammer et obtiennent une formule alg´ ebrique directe pour la convolution (¸ca va plus loin que juste la formule pour les monodromies locales). Dans l’approche de Katz, la convolution se d´ ecompose en deux transformations de Fourier, ensuite on connait le calcul des monodromies pour le transform´ e de Fourier (Deligne, Laumon ...). Pour le cas des

´

equations diff´ erentielles c´ ela pose des nouvelles difficult´ es des connexions irr´ eguli` eres, c’est pourquoi le livre de Katz est ´ ecrit dans le langage `-adique.

On pourra d´ ecrire le transform´ e de Katz sur les monodromies locales. On repr´ esente la monodromie locale en x

comme un diviseur sur G

, avec la multiplicit´ e de α not´ ee m

(α).

On fixe δ d´ etermin´ e globalement, et L correspond ` a des choix de β

, β

et β

o` u T est la diagonale. La transformation locale devient

κ

(β, C

) = (m

((β

)

) + δ) · [β

] + X

αβ^Hi6=1

m

(α)[αβ

].

Ici β

= β

β

β

est la monodromie de L autour du diviseur exceptionnel obtenu en eclatant l’intersection triple de H

, V

et T . Ce qu’on voit avant tout dans cette formule c’est que la plupart des multiplicit´ es restent les mˆ emes, seulement la multiplicit´ e la plus grande va diminuer (dans le cas δ < 0). Autrement dit,

(r

)

= r

+ δ, (r

)

= r

pour j ≥ 2

mais ensuite on doit eventuellement reordonner les partitions en ordre d´ ecroissant. En re- vanche, les valeurs propres associ´ es aux parts des partitions sont tous modifi´ es, forcemment

`

a cause de l’equation Q

i=1

det(C

) = 1.

L’algorithme de Katz permet de prouver que si les C

sont d’ordre fini (ou plus g´ en´ eralement quasi-unipotent) alors dans le cas rigide, toute repr´ epr´ esentation rigide qui existe, est mo- tivique; et l’algorithme marchant dans l’autre sens donne une expression comme motif ex- plicite (quoique, sans doute difficile ` a manipuler). Roberts a ´ etudi´ e l’algorithme qui en resulte dans le cas rigide, il serait bien d’´ etendre cet ´ etude aux autres cas. Dettweiler et Reiter ont utilis´ e c´ ela pour obtenir une expression motivique dans un cas qui est non-rigide dans SL(r) mais rigide dans G

.

Apr` es application plusieurs fois de la convolution de Katz, on est reduit donc ` a l’´ etude des espaces de modules dans le cas δ ≥ 0.

Le cas δ = 0 parait assez remarquable. On se retrouve dans le cadre des ´ equations de Painlev´ e, et Boalch developpe toute une th´ eorie autour de ¸ca, qui m´ erite plus d’approfondissements.

C’est Kostov qui avait donn´ e en premier la liste des possibilit´ es pour δ = 0 et σ = 0. Dans ce cas les multiplicit´ es seront tous multiples d’un entier positif d, et il y a 4 s´ eries:

(d, d); (d, d); (d, d); (d, d)

(d, d, d); (d, d, d); (d, d, d)

(2d, 2d); (d, d, d, d); (d, d, d, d)

(3d, 3d); (2d, 2d, 2d); (d, d, d, d, d, d)

Il y a plusieurs petites remarques ` a faire ici. Le premier cas contient 4 points singuliers, en particulier les points peuvent bouger: c’est la situation du c´ el` ebre equation Painlev´ e VI au moins pour d = 1, r = 2. Les trois autres cas sont avec 3 points, donc pas de monodromie nonab´ elienne. Cependant, P. Boalch travaille sur ces 4 cas ensemble, avec des interpretations en termes de th´ eorie de Lie, suivant dans un certain sens les id´ ees de Crawley-Boevey.

Pour d ≥ 2, on note que les espaces de choix possibles pour les valeurs propres, ne sont pas connexes. Par exemple pour la premi` ere famille, il faut choisir des valeurs propres a

, b

pour i = 1, 2, 3, 4. L’´ equation de d´ eterminant globale est (a

b

a

b

a

b

a

b

)

= 1. Si on pose µ := a

b

a

b

a

b

a

b

alors µ

= 1. L’espace des choix des valeurs propres se d´ ecompose donc en d composantes irr´ eductibles (faire attention ` a ne pas utiliser des arguments du style, d´ eformation des valeurs propres!).

Si µ est une racine primitive, alors toute repr´ esentation ayant ces monodromies locales, est automatiquement irr´ eductible. Donc pour d ≥ 2 on obtient d’autres espaces de modules, on esp` ere pouvoir les ´ etudier dans le cadre fournie par Boalch aussi. Ces espaces paraissent particuli` erement int´ eressants.

Les cas δ > 0 ou δ = 0, σ > 0 sont ceux o` u les espaces de modules sont de dimension ≥ 4 (la dimension ´ etant toujours paire car ce sont des espaces hyperk¨ ahleriens), et pour l’instant on se contentera de dire qu’ils sont non-vides.

Th´ eor` eme 0.1 (Kostov, Crawley-Boevey). Si C

, . . . , C

sont des classes de conjugaison telles que δ > 0, ou bien δ = 0 et σ > 0, alors M

(U ; C

, . . . , C

) est non-vide.

Ce th´ eor` eme a ´ et´ e prouv´ e par Kostov et Crawley-Boevey. Nous allons voir une d´ emonstration amusante qui utilise les fibr´ es de Higgs. Plus particuli` erement, on va consid´ erer les fibr´ es harmoniques cyclotomiques, ce sont des fibr´ es harmoniques munis d’une action de µ

com- patible avec l’action de µ

⊂ C

sur le champ de Higgs. On rappel que le groupe C

agit sur M

via la formule t : (E, θ) 7→ (E, tθ). Les points fixes correspondent aux variations de structure de Hodge (VSH). On peut aussi consid´ erer seulement l’action d’un sous-groupe cyclique µ

⊂ C

. Les points fixes de ceci ressemblent beaucoup aux VSH ` a ceci pr` es, que les fibr´ es de Hodge sont organis´ es circulairement et l’application de Kodaira-Spencer θ peut faire le tour du cercle.

Pour le th´ eor` eme ci-dessus, on va consid´ erer un cas sp´ ecial, quand p = r et les dimensions des sous-fibr´ es sont de 1. Dans ce cas, un fibr´ e harmonique cyclotomique se r´ esume ` a une s´ erie de fibr´ es en droites

L

⊕ · · · ⊕ L

avec θ : L

→ L

⊗ Ω

(log D) et aussi θ : L

→ L

⊗ Ω

(log D). En supposant que les θ sont tous nontriviales, il n’y a pas de sous-objets µ

-equivariants et stables par θ, donc l’objet est forcemment stable! Il s’ensuit que le fibr´ e de Higgs sous-jacent, oubliant l’action de µ

, est au moins polystable.

Dans le cas des repr´ esentations sur un ouvert U ⊂ X il convient d’ajouter la possibilit´ e pour θ d’avoir des pˆ oles logarithmiques sur D. En plus, le residue de θ correspondra ` a la monodromie locale.

Pour avoir des valeurs propres nontriviales il faut aussi ajouter la notion de structure

parabolique: les L

deviennent donc des fibr´ es paraboliques sur (X, D). On peut ´ ecrire un

fibr´ e en droites parabolique sur P

comme diviseur r´ eel, donc L

= O( P

α

[x

]) avec α

∈ R . Pour avoir une monodromie semisimple, on voudrait avoir le residu de θ s’annuler au sens parabolique. D’autre part, les restes de α

modulo Z ⊂ R sont d´ etermin´ es par les C

qu’on veut avoir.

Conceptuellement il est utile ` a ce stade de l’argument de consid´ erer le cas de monodromie unipotent. Dans ce cas les L

seront des fibr´ es en droites usuels, et la forme normale de Jordan de la monodromie unipotente s´ era d´ etermin´ e par les ensembles des indices i pour lesquels le residue de θ est non-nul.

En ces termes on peut donc expliciter ce qu’il veut dire d’avoir un objet avec les classes de conjugaison C

, . . . , C

. On voit que δ > 0 est exactement la condition qu’il nous faut pour avoir une solution.

Le nombre d’indices au point x

o` u l’on doit avoir un residu non-nul est ´ egal au nombre des termes hors-diagonal dans la forme de Jordan de C

. Ce nombre corr´ espond ´ a r − ν

(la partition pour le cas unipotent est la transpos´ ee de celle pour le cas semisimple, et le nombre de lacunes dans la forme de Jordan est ´ egale au nombre des parties, donc ´ a la plus grande multiplicit´ e dans le cas semisimple). La condition pour avoir une solution est que la somme de toutes les diff´ erences de degr´ e entre les fibr´ es, impos´ es par la condition des residues, soit positive. On a besoin de l’avoir strictement positif si l’on veut fixer le degr´ e total du fibr´ e. La diff´ erence entre deg(L

) et deg(L

) est deg(Ω

) = −2, plus le nombre des r´ esidues non-nulles, soit

−2r +

n

X

j=1

(r − ν

) > 0 ⇔ (n − 2)r −

n

X

j=1

ν

> 0.

On reconnait que c’est exactement la condition δ > 0.

Pour le cas des fibr´ es paraboliques, on peut obtenir la mˆ eme conclusion en arrangeant les poids suivant les “dents d’une scie”.

Questions, developpements Plusieurs questions sont naturellement soulev´ ees:

—Dans ces espaces de modules, ` a quoi ressemblent les lieux des points-fixes pour les actions de C

, i.e. les sous-espaces de modules des VSH? Quelles sont les nombres de Hodge possi- bles?

—Obtient-on des isomorphismes entre les diff´ erents espaces de modules, ou bien des auto- morphismes nontriviaux d’un mˆ eme espace, en applicant plusieurs convolutions de Katz en boucle? Les techniques de Crawley-Boevey, et l’associativit´ e de la convolution, sugg` erent que non; il faut cependent v´ erifier les details.

—Prouver que les isomorphismes de Katz preservent les structures de Hodge nonab´ eliennes.

—D´ ecrire plus explicitement les espaces de modules de petite dimension avec leurs structures

(Boalch).