Mécanique & Industries 4 (2003) 181–184
Étude analytique du transfert thermique en zone d’entrée dans un canal Analytical heat transfer in the entry of a channel
Rachid Sehaqui, Jaâfar Khalid Naciri
Faculté des sciences Ain Chock, UFR de mécanique, BP 5366 Maarif, Casablanca, Maroc Reçu le 4 juin 2002 ; accepté le 5 mars 2003
Résumé
L’objectif de ce travail est de déterminer l’influence de la forme du profil de vitesse à l’entrée d’un canal, périodiquement chauffé par le bas, sur le transfert thermique. On considère la convection mixte, bidimensionnelle, laminaire, pour un fluide Newtonien. Une solution analytique est obtenue dans le cas de faibles valeurs du nombre de Rayleigh Ra. La solution numérique est en accord avec la solution analytique dans le cas de faibles valeurs du nombre de Peclet Pe.
2003 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.
Abstract
This work concerns the influence of the form of the velocity profile at the inlet on heat transfer in a channel periodically heated from below. We consider the two-dimensional mixed convection of a Newtonian fluid in the laminar regime. An analytical solution is obtained for weak Rayleigh numbers Ra. The analytical and numerical solutions are in good agreement for a weak Peclet number Pe.
2003 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.
Mots-clés : Transfert thermique ; Profil de vitesse d’entrée ; Perturbations Keywords: Heat transfer; Velocity profile; Perturbations
1. Introduction
Les phénomènes physiques qui apparaissent dans le cas de fluide en convection mixte, dans un canal horizontal sont complexes et dépendent de plusieurs nombres adimension- nels tels que le nombre de Reynolds Re, le nombre de Ray- leigh Ra et le nombre de Prandtl Pr ainsi que de la géomé- trie du canal. Les conditions aux limites, tant celles fixant le profil de vitesse à l’entrée du canal, que celles relatives à la géométrie du conduit, ont une influence sur le trans- fert thermique. Si de nombreux travaux ont cherché à corré- ler le transfert thermique à la forme géométrique des parois [1–3], peu ont concerné l’influence des conditions aux li- mites amont et aval sur ce même transfert. L’objectif de cette étude est de déterminer l’influence de la forme du profil de vitesse axiale imposé à l’entrée d’un canal sur le transfert thermique. Dans ce but nous avons, à partir d’une résolution analytique menée à faible nombre de Peclet, établi une rela-
Adresse e-mail : sehaqui@hotmail.com (R. Sehaqui).
tion liant le nombre de Nusselt à la forme du profil de vitesse à l’entrée.
2. Formulation du problème
Dans le système de coordonnées cartésiennes(x,y), on considère l’écoulement plan d’un fluide newtonien incom- pressible de viscosité cinématiqueν, dans un canal rectan- gulaire, de longueurLet de hauteurH. La température du plan inférieur(y=0)est imposée, le plan supérieur(y=H ) est adiabatique. On introduit les quantités adimensionnelles suivantes :
x=x
L, y= y
H, U= U U0 V = V
εU0, p= p
ρU02, T = T T
oùU,V,p,T désignent respectivement la vitesse longitudi- nale, la vitesse transversale, la pression et le champ de tem- pérature adimensionnels etT,U0,εetρune différence de
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doi:10.1016/S1296-2139(03)00047-2
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température de référence, la vitesse moyenne, le rapport de formeH /Let la masse volumique. Les équations de Navier–
Stokes adimensionnelles s’écrivent sous la forme :
∂xU+∂yV =0 (1)
εRe(U ∂xU+V ∂yU )= −Reε∂xp+ε2∂xxU+∂yyU (2) εRe(U ∂xV+V ∂yV )
= −Re
ε ∂yp+ε2∂xxV+∂yyV + Ra
εPeT (3)
εPe(U ∂xT +V ∂yT )=ε2∂xxT +∂yyT (4) où Re=U0H /νest le nombre Reynolds,
Ra=gβT H3 να
le nombre de Rayleigh, Pr=ν/αle nombre de Prandtl,αla diffusivité thermique,g l’accélération de la pesanteur,β le coefficient d’expansion thermique, Pe=Re Pr le nombre de Peclet etε=H /Lle rapport de forme. Dans le but de mettre en évidence l’effet de la forme du profil de vitesse axiale imposé à l’entrée du canal, nous considérons que la condition aux limites à l’entrée du canal est de la forme : U (0, y)=Up(y)+u(x=0, y) (5) oùUp(y)est un profil parabolique défini par :
Up(y)=6 y−y2
(6) u(x =0, y) est une fonction a priori arbitraire de y, qui vérifie les conditions d’adhérence aux parois et de débit nul de sorte que :
1
0
u(x=0, y)dy=0 (7)
On recherche une solution de l’Éq. (4) sous la formeT = Tp+T, U =Up+u, V =v, où Tp est le champ de température correspondant à la solution du problème lorsque le profil de vitesse imposé à l’entrée du canal est Up. L’Éq. (4) devient :
εPe
(Up+u)(∂xTp+∂xT)+v(∂yTp+∂yT)
=ε2∂xx(Tp+T)+∂yy(Tp+T) (8) En se plaçant dans le cas où le nombre de Rayleigh resterait suffisamment faible, pour que lorsque Up est imposé à l’entrée du canal, le profil reste parabolique dans l’ensemble du canal, on obtient pourTpl’équation suivante :
εPeUp(y)∂xTp=ε2∂xxTp+∂yyTp (9) Les conditions aux limites pourTps’écrivent :
Tp(x, y=0)=θ (x), ∂Tp
∂y
y=1
=0 (10) où θ (x) est le champ de température adimensionnel im- posé à la paroi inférieure.θ (x)est une fonction dérivable au
moins une fois, pour le développement des calculs on pren- dra θ (x)=θ0[1−cos(2π x)], où θ0 température adimen- sionnelle choisit arbitrairement. Un développement asymp- totique pourε1, permet d’obtenir, à l’ordreε:
Tp=θ (x)+6εPeθy
−y3 12+y2
6 −1 6
+O
ε2
(11) En supposant u Up et T Tp, la linéarisation de l’Éq. (4) permet d’obtenir pourTl’équation suivante : εPe
Up(y)∂xT+u(x, y)∂xTp+v(x, y)∂yTp
=∂yyT+ε2∂xxT (12) ainsi que les conditions aux limites :
T(x, y=0)=0,
∂T
∂y
y=1
=0 (13)
3. Résolution analytique
Dans le cas général, l’Éq. (12) est résolue simultanément avec les équations de conservation de la masse et de quan- tité de mouvement, ceci compte tenu du couplage entre la température et la vitesse. Dans le cadre de cette étude, qui se limite au cas d’un régime quasi conductif, la solution hy- drodynamique peut être déterminée séparément. On consi- dère donc que u(x, y) etv(x, y)sont solutions, en termes de perturbations du problème isotherme pour l’écoulement à l’entrée d’un canal. En décomposantu(0, y)en séries de Fourrier, une première approximation deu(x, y)etv(x, y) peut être obtenue en résolvant un système d’équations ana- logue à celui de Targ [4] mais dans le cas des coordonnées cartésiennes [5]. On obtient :
u(x, y)=
k=N
k=1
aksin(2kπy)+bkcos(2kπy) e−λkx
v(x, y)=
k=N
k=1
akλk
2kπ
1−cos(2kπy)
+bkλk
2kπ sin(2kπy)
e−λkx (14)
où lesλksont des valeurs propres définies par : λk=4(kπ )2
Re (k=1,2, . . . , N )
Le choix de cette forme, revient à superposer au profil de vitesse parabolique, des perturbations symétriques de forme bkcos(2kπy)et antisymétriquesaksin(2kπy)de débit nul.
Cette expression paraît générale, puisque tout profil vérifiant la condition d’adhérence, peut être représenter par cette décomposition. La condition d’adhérence impose :
k=N
k=1
bk=0 (15)
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On cherche un champ de températureT solution de (12) exprimé en fonction des puissances deε, dans le cas de profil de vitesse d’entrée perturbé, sous la forme :
T=T0+εT1+ε2T2+ · · · (16) En respectant les conditions aux limites, on obtient :
∂T
∂y =εPe k=N
k=1
e−λkxak
·
−θcos(2kπy)
2(kπ ) +6εPeθsin(2kπy)
·
− y3
12(kπ )2+ y2 8(kπ )2 + y
8(kπ )4−3+2(kπ )2 48(kπ )4
+εPe k=N
k=1
ake−λkx6εPeθcos(2kπy)
· y4
24kπ − y3
12kπ − y2 8(kπ )3 +(3+2(kπ)2)y
12kπ + 1
16(kπ )5
+εPe k=N
k=1
e−λkxakλk6εPeθ
· 1
12(kπ )
−y+y3−y4 2
+cos(2kπy)
− 1
16(kπ )5− y
8(kπ )3+ y2 8(kπ )3
+sin(2kπy) 1
16(kπ )4+ 1
24(kπ )2− y 8(kπ )4 + y2
8(kπ )2+ y3 12(kπ )2
+εK1(x)+O
ε3
(17) une deuxième intégration permet d’obtenir l’expression de T(x, y)
T(x, y)=
∂yT(x, y)dy+K2(x) (18) oùK1(x)etK2(x)sont des fonctions déterminées par les conditions aux limites (13), qui s’écrivent :
K1(x)=
k=N
k=1
ake−λkx 2kπ
·
θ+ 6εPe 8(kπ )4
−θ+λkθ 3
3+2(kπ )4
(19)
K2(x)=
k=N
k=1
ake−λkxPe2 24(kπ )5
·
θ
3+(kπ )2
+λkθ(9+2(kπ )2) 4
(20) θ et θ désignent respectivement la dérivée première et la dérivée seconde de la fonction θ (x). Cette expression relie, à travers les coefficientsaketbkcaractéristiques de la perturbation du profil de vitesse imposé à l’entrée du canal, le champ de températureTà la vitesseU (0, y).
4. Résultats et conclusions
L’intensité d’échange de chaleur entre une paroi solide et un fluide en mouvement, est caractérisée par le nombre de Nusselt. Le nombre de Nusselt local est défini par [6] : Nu(x)= −(∂T /∂y)y=0
1−Tm avec
(21) Tm=
1
0u(x, y)T (x, y)dy 1
0u(x, y)dy
L’échange de chaleur global est caractérisé par le nombre de Nusselt global :
Nu= 1 L/H
L/H
0
Nu(x)dx (22)
Tenant compte de la relation vérifiée par les coefficientsbk (15), nous avons exprimé le nombre de Nusselt local Nu(x) en fonction des coefficients antisymétriques ak (bk =0).
D’après l’équation (21) le nombre de Nusselt local a pour expression :
Nu(x)= −
−εPeθ
+6εPe
k=N
k=1
ake−λkx
θ−λkθ 16(kπ)5 − θ
2kπ
+K1(x)
·
1−θ (x)+6εPeθ 13
210 −1
(23) Les perturbations superposées au profil d’entrée parabo- lique, induisent des variations dans la forme des profils de vitesse dans toute la zone d’établissement de l’écoulement.
Notons que cette variation de distribution de vitesse modi- fie le nombre de Nusselt local donc global. En effet sur la Fig. 1, on constate que toutes les courbes représentant la va- riation du nombre de Nusselt local Nu(x)correspondant au profil de vitesse perturbé, sont au-dessus de celle correspon- dant au profil de vitesse type parabolique. Afin de valider la solution analytique définie par l’Éq. (23), on la compare avec une résolution numérique directe par une méthode aux dif- férences finies du système complet formé des Éqs. (1)–(4),
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Fig. 1. Comparaison de la variation du nombre de Nusselt local Nu(x), (a) pour un profil de vitesse parabolique, (b) et (c) pour un profil de vitesse perturbé, Ra=1·104, Re=600, Pr=0,71,ε=0,02.
Fig. 2. Comparaison de la solution numérique et analytique pour un faible nombre de Peclet, Pr=0,71, Ra=100,ε=0,02, (a) Re=5, (b) Re=3.
par un schéma implicite aux directions alternées. La Fig. 2 montre que la solution analytique est en accord avec le mo- dèle numérique pour de faibles valeurs du nombre de Peclet.
Le profil de vitesse optimum peut être généré par déforma- tion de paroi du canal.
Dans le cas de paroi supérieure déformée suivant la forme :
δ(x)=1−d0
1−cos(2π x)
(24)
Fig. 3. Nombre de Nusselt local Nu(x)pour différentes amplitudes de la déformationδ(x). Re=600, Ra=1·104.
Fig. 3 montre que toutes les courbes représentant le nombre de Nusselt local correspondant à la paroi déformé, sont au- dessus de celle obtenu sans déformation de paroi, avec un profil de vitesse d’entrée parabolique. Dans ce travail nous avons pu montrer l’influence du profil de vitesse d’entrée sur le transfert thermique. Ce résultat peut s’appliquer aux échangeurs de chaleur, à fin d’augmenter leur rendement.
Références
[1] J.R. Maughan, F.P. Incropera, Regions of heat transfer enhancement for laminar mixed convection in a parallel plate channel, Int. J. Heat. Mass Tran. 33 (3) (1990) 555–570.
[2] T.M. Huang, C. Gau, A. Win, Mixed convection flow and heat transfer in a heated vertical convergent channel, Int. J. Heat. Mass Tran. 38 (13) (1995) 2445–2456.
[3] G. Russ, H. Beer, Heat transfer and flow field in a pipe with sinusoidal wavy surface, I. Numerical investigation, Int. J. Heat. Mass Tran. 40 (5) (1997) 1061–1070.
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[5] M. Mafkhari, Caractérisation des effets 2D pour les écoulements de fluides visqueux en conduites, Thèse de 3èmecycle, Faculté des sciences Aïn Chock, Casablanca, 1997.
[6] A. Bejan, Convection Heat Transfer, Wiley, 1984.
