I. Distribution et circulation des ions par beau temps

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/20

X Physique 2 PC 2003 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Éric Armengaud (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Cette épreuve porte sur l’étude du processus conduisant à la charge des nuages puis à leur brusque décharge par la foudre. Le problème forme un ensemble progressif et cohérent qui donne une bonne compréhension du phénomène physique :

• la première partie permet de caractériser les courants ioniques qui se déve- loppent par beau temps dans l’atmosphère ;

• dans la deuxième, on montre comment ces courants provoquent la charge des nuages et l’existence en leur sein d’un champ électrique très intense ;

• enfin, une troisième partie relativement courte explique, à la lumière des résul- tats précédents, le rôle des éclairs dans la circulation des charges électriques au sein de l’atmosphère.

Les concepts mis en jeu dans ce problème sont relativement simples. Ce sont tous des résultats élémentaires d’électrostatique, de diffusion particulaire et de mécanique des fluides. En revanche, dans tout le sujet, l’accent est clairement mis sur l’esprit d’analyse et non sur la virtuosité calculatoire. Cette épreuve s’inscrit donc bien dans l’esprit de la filière PC, mais peut être déroutante pour un candidat habitué à des problèmes plus directifs. Il faut voir en ce sujet un bon problème d’entraînement aux concours.

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Indications

Première partie

I.1.a Utiliser le résultat ℓ^∗ ∼1/nσ où ℓ^∗ est le libre parcours moyen, nle nombre de molécules par unité de volume etσla section efficace. Reliernà ρ.

I.2.a Faire un bilan de cations sur un volume de sectionScompris entrezetz+dz, où les cations entrent enz+ dzet sortent enz.

I.2.b Faire la somme et la différence des équations vérifiées parn⁺et n−. I.2.c Montrer queE(z)est proportionnel à ρ(z)avec les questions I.1.a et I.1.f.

I.2.d Considérer quen(t) =n0+δn(t)et simplifier l’équation de la question I.2.b au premier ordre enδn(t)/n0. En déduire la durée caractéristiqueτ^′. I.2.f Donner la signification physique du quotient de|E|par|dE/dz|et du produit

|v^ℓ|τ^′. Comparer ces deux quantités.

I.3.a Écrire queE(z)/ρ(z)est une constante d’après la question I.2.c.

I.3.c La densité de courant pour chaque type d’ions est de la formen q−→v. I.3.d Utiliser l’équation de Maxwell-Gauss.

Deuxième partie

II.1.a Appliquer le principe fondamental de la dynamique en régime stationnaire.

II.1.c Le régime est laminaire si le nombre de Reynolds Re ≪ 1, et turbulent si Re≫1. Conserver la valeur cohérente pour chacun des deux rayons.

II.2.b À l’aide d’un bilan sur un volume(V)et du théorème d’Ostrogradski, montrer

∂n

∂t = D∆n

Utiliser l’expression du laplacien en coordonnées sphériques de l’énoncé.

II.2.c Ag est le flux entrant de−→n=−D−−→

gradnà travers la surface de la goutte.

II.3.a.2 Calculer le champ électrique−→

E pour r >Rg à l’aide du théorème de Gauss et en déduireVenr= Rg par continuité du potentiel.

II.3.a.3 Considérer que Q²

∼ h |Q| i².

II.3.b.1 Montrer queVE(−→r) =−Ez, puis écrirez en coordonnées sphériques.

II.3.b.2 Montrer que l’on a nécessairementg(θ) =g0cosθet déterminerg0. Justifier que ∆Vg = 0 et en déduire deux valeurs possibles pour n (une seule est physiquement acceptable).

II.3.b.3 Utiliser les potentiels obtenus aux questions précédentes et le principe de superposition.

II.3.b.4 Utiliser la relation de passage du champ électrique à la surface de la goutte, sachant que celle-ci est un conducteur parfait.

II.4.a Considérer qu’enQ =− |Q|max, la densitéσ(θ)est nulle pourθ= 180^◦. II.4.b.1 Envisager l’effet de l’interaction coulombienne sur l’absorption des cations

et des anions par la face inférieure de la goutte lors de sa chute.

II.4.b.2 Quand|E|croît, la goutte est ralentie et les ions sont accélérés. L’absorption peut se faire par la face supérieure.

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I. Distribution et circulation des ions par beau temps

I.1.a La durée moyenne τ^∗ qui sépare deux chocs consécutifs de l’ion avec les molécules composant l’air est égale àℓ^∗/v, oùv est la vitesse de l’ion et ℓ^∗ le libre parcours moyen de l’ion dans l’air, c’est-à-dire la distance moyenne parcourue par l’ion entre deux chocs consécutifs. On sait que

ℓ^∗∼ 1 nσ

oùnest le nombre de molécules par unité de volume dans l’air etσla section efficace de l’ion. Si la masse molaire de l’air estM, alors la masse moyenne d’une molécule d’air estM/NA et il vient facilement

n= NA

Mρ

Finalement, la durée moyenneτ^∗ entre deux chocs vérifie τ^∗∼ M

σNAρv

Le frottementf =λv est proportionnel à la fréquence1/τ^∗ des chocs, on a donc f ∝ σNAρv

M soit λ∝σNAρ M

Or, si la composition de l’air est uniforme, les grandeursMet σsont constantes etλ est bien proportionnel àρ(−→r).

Sur cette question, précisons les points suivants :

• Le libre parcours moyenℓ^∗ de l’ion dans l’air s’évalue en considérant que, dans le volume de longueurℓ^∗ et de sectionσ, l’ion ne rencontre en moyenne qu’une seule molécule d’air. Il vient donc

nσℓ^∗∼1 soit ℓ^∗∼ 1 nσ Dans le modèle des sphères dures, la sec-

tion efficaceσest égale àπ(r+ra)², oùr est le rayon de l’ion etrale rayon moyen des molécules de l’air.

` r+r

a

r

a

• Le symbole∝indique la proportionnalité entre deux expressions litté- rales.

I.1.b On applique le principe fondamental de la dynamique au cation dans le réfé- rentiel terrestre, supposé galiléen. Ce cation subit la force de frottement introduite par l’énoncé et la force électrique. La force de pesanteur et la force magnétique sont négligées, de sorte que

md−→v

dt =−λ−→v +e−→

E soit d−→v dt + λ

m

−

→v = e m

−

→E

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 4/20 I.1.c La solution de cette équation différentielle est−→v(t) =−→v1(t) +−→v2(t)où

d−→v¹ dt + λ

m

−

→v1=−→

0 et λ

m

−

→v2= e m

−

→E

Avec −→v1=−→

A exp

−λt m

on parvient à la solution générale

−

→v(t) =−→ A exp

−λt m

+ e

λ

−

→E

La condition initiale−→v(0) =−→

0 impose que

−

→A =−e λ

−

→E

soit finalement −→v(t) =

1−exp

−λt m

e

λ

−

→E

I.1.d Pour un instantt très supérieur à la duréem/λ, on a

−

→v(t)≃ e λ

−

→E donc −→v^ℓ = e λ

−

→E

La duréem/λreprésente donc le temps caractéristique d’évolution et τ =m

λ

On trouve −→v^ℓ sans calcul en considérant directement le régime stationnaire dans le principe fondamental de la dynamique exprimé à la question précé- dente.

Pour un anion, il suffit de remplacer e par −e dans les résultats précédents.

La vitesse limite−→v^ℓ est opposée mais le tempsτ reste inchangé.

I.1.e Si la masse molaire de l’air est M, alors m= M

NA

= 4,8.10⁻²⁶kg

d’où

−

→v^ℓ

= 4,8.10⁻³m.s⁻¹ et τ = 9,6.10⁻¹¹s Le rapport entre la force magnétique q−→v ∧−→

B et la force électrique q−→ E est de l’ordre de

−

→v^ℓ

−

→B

−

→E

= 3,2.10⁻⁹≪1 en utilisant l’amplitude du champ magnétique terrestre −→

B^T donnée au début de l’énoncé. L’influence du champ magnétique terrestre est bien négligeable.