I.—´Etudephysiquedes´etoiles ´EL´EMENTSD’ASTROPHYSIQUE

ECOLE DES PONTS PARISTECH´ SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT– ´ETIENNE, MINES DE NANCY, T ´EL ´ECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILI `ERE MP)

ECOLE POLYTECHNIQUE (FILI `´ ERE TSI) CONCOURS D’ADMISSION 2010 PREMI `ERE ´EPREUVE DE PHYSIQUE

Fili`ere PC

(Dur´ee de l’´epreuve: 3 heures) L’usage de la calculatrice est autoris´e

Sujet mis `a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE–EIVP

Les candidats sont pri´es de mentionner de fac¸on apparente sur la premi`ere page de la copie : PHYSIQUE I — PC.

L’´enonc´e de cette ´epreuve comporte 6 pages.

– Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il est invit´e `a le signaler sur sa copie et `a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il aura ´et´e amen´e `a prendre.

– Il ne faudra pas h´esiter `a formuler les commentaires (incluant des consid´erations num´eriques) qui vous sembleront pertinents, mˆeme lorsque l’´enonc´e ne le demande pas explicitement. La bar`eme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualit´es de r´edaction de la copie.

EL ´ ´ EMENTS D’ASTROPHYSIQUE

Ce probl`eme se propose d’´etudier dans un premier temps la formation et l’´evolution d’une ´etoile et de s’int´eresser ensuite `a diff´erents objets c´elestes tels que les com`etes, les pulsars et les exoplan`etes.

Toutes les sous-parties sont ind´ependantes entre elles. Les donn´ees n´ecessaires aux applications num´eriques sont rassembl´ees `a la fin du sujet. Les vecteurs sont not´es avec un chapeau s’ils sont unitairesu, avec une fl`echeb −→

v dans le cas g´en´eral. Hormisi²=−1, les nombres complexes sont soulign´es :z∈C.

I. — ´ Etude physique des ´etoiles

Dans toute cette partie on consid`ere qu’une ´etoile est une boule de masseM, de rayonR, de masse volumiqueρsuppos´ee constante et entour´ee de vide.

I.A. — ´ Energie potentielle d’une ´etoile sph´erique, th´eor`eme du viriel

1 —On consid`ere deux particules ponctuelles not´eesQ₁etQ₂de massesm₁etm₂s´epar´ees par une distancer. Donner l’expression la force d’interaction gravitationnelle−→

f_1→2exerc´ee parQ₁sur Q2. On utilisera le vecteur unitaireub=−−−→

Q1Q2/r. En d´eduire l’expression de l’´energie potentielle de gravitationEpassoci´ee `a cette force en fonction dem1,m2,ret de la constante de gravitationG. On fixera l’origine du potentiel de telle mani`ere queE_p=0 lorsquer→+∞.

On souhaite exprimer l’´energie potentielle de gravitation d’une boule homog`ene de masseM, de centre O, de rayon R et de masse volumique ρ suppos´ee constante. Cette ´energie correspond `a l’´energie de constitution de la boule en amenant successivement depuis l’infini des couches sph´eriques concentriques d’´epaisseur dr.

2 —On consid`ere un ´etat interm´ediaireB<sub>r</sub>de la boule dans lequel elle poss`ede un rayonrtel que 0<r<Ret une massemrtelle que 0<mr<M. Justifier le fait que l’interaction entreB_ret un corps ponctuel massifK situ´e hors deB_rest ´equivalente `a celle entre une particule ponctuelle situ´ee enOde massemretK. On ajoute `aB_rune couche sph´eriqueC_rde masse dmet d’´epaisseur dr. D´eterminer l’´energie potentielle de gravitation dEpentreB_retC_r. On exprimera dEpen fonction der, dret deρ. En d´eduire que l’´energie potentielle de gravitation de la boule de rayonRs’´ecrit Ep=αGM²/Ro`uαest une constante num´erique que l’on d´eterminera.

On consid`ere `a pr´esent que l’´etoile est constitu´ee d’un gaz parfait , chaque particule de ce gaz ´etant un atome d’hydrog`ene d’´energie cin´etiqueec=<sup>3</sup><sub>2</sub>kBTo`ukB=R/N est la constante de Boltzmann, Rest la constante des gaz parfaits etN le nombre d’Avogadro. La pression donn´ee par la loi des gaz parfaits est ici uniquement d’origine cin´etique et on ne tient donc pas compte de la pression de radiation. Dans ce mod`ele, la pressionPet la temp´eratureTsont des fonctions de la seule coordonn´ee radialer, enfin le nombre de particules par unit´e de volumenest constant `a l’int´erieur de l’´etoile. On suppose de plus que l’´etoile est entour´ee de vide, ainsiP(R) =0.

3 —Exprimer l’´energie cin´etique totaleEcdes particules constituant l’´etoile sous la forme d’une int´egrale faisant intervenir la pressionP(r). En ´ecrivant l’´equation d’´equilibre hydrostatique, et en effectuant une int´egration par parties, montrer que l’on obtient la relation

2Ec=κEp

o`uκest un facteur num´erique que l’on d´eterminera. Cette relation constitue le th´eor`eme du viriel, il est tr`es utilis´e en astrophysique pour d´ecrire les propri´et´es d’objets tels que les ´etoiles ou les galaxies.

I.B. — Pression et temp´erature dans une ´etoile, r´eactions de fusion

4 —En int´egrant l’´equation d’´equilibre hydrostatique, d´eterminer la pressionP(r)au sein de l’´etoile en fonction deM,G,Retr. Pour quelle valeur dercette pression est-elle maximale ? Ex- primer cette valeur maximaleP_maxen fonction deG,MetRainsi que la temp´erature maximaleT_max correspondante en fonction de G,M, R, Ret de la masse molaire de l’hydrog`ene M_H. Calculer num´eriquementPmaxetTmaxdans le cas du Soleil.

5 —On consid`ere qu’au sein de l’´etoile, chaque atome d’hydrog`ene occupe une petit cube d’arˆete β. Exprimerρen fonction deM_H,N etβ, en d´eduire une expression deRen fonction deM_H,N, Metβ. Montrer alors que l’on peut mettre la masse de l’´etoile sous la forme :

M=K(βT_max)^3/2 (1)

o`u la constanteKne d´epend que de constantes fondamentales. Calculer la valeur num´erique deK.

Pendant une grande partie de leur existence, les ´etoiles tirent leur ´energie de r´eactions de fusion thermonucl´eaire entre des atomes d’hydrog`ene qui produisent des atomes d’h´elium. Pour que ces r´eactions puissent s’amorcer au centre de l’´etoile, il faut que l’´energie d’agitation thermique des atomes surpasse l’´energie potentielle de r´epulsion coulombienne. La temp´erature qui r`egne au centre des ´etoiles permet de supposer que les atomes d’hydrog`ene qui fusionnent sont compl`etement ionis´es.

On consid´erera ici que l’´energie d’agitation thermique d’un de ces atomes est ´egale `a son ´energie cin´etiqueec=³₂kBT.

6 —D´eterminer l’´energie potentielle ´electrostatique d’interactionu_ppentre deux protons s´epar´es d’une distanceβ, on fixera l’origine du potentiel de telle mani`ere queupp=0 lorsqueβ →∞. En utilisant le r´esultat(1)de la question 5, d´eterminer la valeur limiteM<sub>ℓ</sub>de la masse de l’´etoile pour que les r´eactions de fusion puissent avoir lieu. On exprimera M<sub>ℓ</sub>en fonction deK,kB,ε0et de la charge ´el´ementairee. V´erifier que la masse du Soleil est bien suffisante pour permettre la fusion de l’hydrog`ene. L’homme a-t-il d´ej`a r´ealis´e des r´eactions de fusion nucl´eaire ?

I.C. — Ph´enom`enes convectifs

Depuis le d´ebut de cette partie, nous avons suppos´e que l’´etoile ´etait en ´equilibre hydrostatique. Dans le cas du Soleil, les couches externes (pourrcompris entre 0,7RetR) sont le si`ege de mouvements de convection dans la direction radiale, caus´es par une grande h´et´erog´en´eit´e de la temp´erature dans cette r´egion. On admet cependant que cette convection ne brise pas l’´etat d’´equilibre si le gradient de temp´erature n’est pas trop grand, et en particulier inf´erieur en module `a celui correspondant `a une transformation isentropique.

7 —Exprimer la composante radiale du gradient de temp´erature^dT_dr au sein d’une ´etoile sph´erique constitu´ee d’un gaz parfait de coefficientγ=c_p/cven ´evolution isentropique en fonction de la pres- sionP(r), de la temp´eratureT(r)et de la composante radiale du gradient de pression.

I.D. — Puissance ´emise et dur´ee de vie du Soleil

Pour rendre compte de la puissance ´emise par le Soleil, on n´eglige la conduction et la convection thermique et on ne retient que le processus d’´echange thermique radiatif d´ecrit ci-dessous.

Chaque sph`ere de rayonrau sein du Soleil c`ede, pendantdt, l’´energie δWr=φ(r)dt

o`u la quantit´eφ(r)est appel´ee flux radiatif d’´energie. Ce flux est radial et dirig´e vers l’ext´erieur. La production d’´energie dans le Soleil est assur´ee par les r´eactions nucl´eaires au cœur de l’´etoile, mais selon un mod`ele tr`es simple, nous supposerons que la puissanceεd´egag´ee par unit´e de masse par ces r´eactions, d´ecroˆıt lin´eairement avec le rayon selon la relation

ε(r) =σ(1− r

R_S) avec 0<r<RS

L’unit´e deεest le W.kg⁻¹etσ est une constante. La masse du Soleil est not´eeM_S, son rayonR_Set sa masse volumiqueρSest suppos´ee constante dans ce mod`ele .

8 —En ´ecrivant un bilan ´energ´etique sur une couche sph´erique d’´epaisseur dren r´egime per- manent, d´eterminerφ(r)si l’on fait l’hypoth`ese que le flux radiatif est nul enr=0. En d´eduire la puissanceP=φ(RS) ´emise par le Soleil dans tout l’espace en fonction deσ etMS. Des mesures depuis la Terre, ou depuis un satellite, indiquent queP=3,8×10²⁶W, calculer la valeur num´erique de la constanteσ.

L’´energie transport´ee au sein du Soleil est produite par les r´eactions de fusion de l’hydrog`ene en h´elium qui ont lieu en son cœur : la r´egion centrale la plus chaude repr´esentant 14% de sa masse.

Chacune de ces r´eactions convertit 4 atomes d’hydrog`ene en un atome d’h´elium et fournit l’´energie Ef=4,23×10<sup>−12</sup>J. On ´evalue `a 70% la masse du cœur susceptible de fusionner en h´elium. On fait l’hypoth`ese que la puissance ´emise par le Soleil est constante.

9 —En utilisant une c´el`ebre ´equation d’Albert Einstein, d´eterminer la valeur num´erique de la masse transform´ee en ´energie par le Soleil chaque seconde. En d´eduire la valeur num´erique de la masse d’hydrog`ene transform´ee en h´elium par le Soleil chaque seconde. Combien de temps reste-t-il au Soleil avant qu’il ait ´epuis´e tout son hydrog`ene ? On exprimera ce temps en ann´ees.

FIN DE LA PARTIE I

II. — Quelques probl`emes d’astrophysique

II.A. — Orientation de la queue d’une com`ete

Une particule sph´erique de rayon µde masse volumiqueρcsitu´ee dans l’espace interstellaire `a la distance rdu Soleil rec¸oit de la part de cette ´etoile une ´energieδW pendant l’intervalle de temps dt. Si l’on consid`ere que toute cette ´energie est absorb´ee par la particule, celle-ci subit une force−→

F radiale r´epulsive, due `a la pression de radiation, dont le module s’´ecritF=<sup>1</sup><sub>c</sub><sup>δW</sup><sub>dt</sub> o`ucest la c´el´erit´e de la lumi`ere dans le vide.

10 —D´eterminer l’expression deFen fonction deµ,r,cet de la puissanceP´emise par le Soleil.

A quelle condition sur` µcette force est-elle sup´erieure `a la force de gravitation exerc´ee par le Soleil sur la particule ? La valeur limiteµℓsera exprim´ee en fonction deP,G,MS,ρcetc. Calculer la valeur num´erique deµ_ℓpour une valeur de la masse volumiqueρc=3,0×10³kg.m⁻³.

11 —Une com`ete est constitu´ee d’un noyau, d’une chevelure et de plusieurs queues dont l’une, constitu´ee de fines poussi`eres, est toujours situ´ee `a l’oppos´e du Soleil par rapport au noyau. Comment interpr´etez-vous ces observations ?

II.B. — La plan`ete Osiris

En 1999, des astrophysiciens ont observ´e une baisse p´eriodique de la luminosit´e de l’´etoileHD209458 situ´ee dans la constellation de P´egase `a 150 ann´ees-lumi`ere de la Terre. Cette chute de luminosit´e dure quelques heures puis la luminosit´e reprend sa valeur habituelle, le ph´enom`ene se reproduit avec une p´eriodeT=3,5 jours. On interpr`ete cette variation par l’existence d’une plan`ete, baptis´ee Osiris, tournant autour de l’´etoile et dont on admettra que le plan de l’orbite passe par la Terre. La luminosit´e de la plan`ete est suppos´ee n´egligeable par rapport `a celle de l’´etoile. On supposera ´egalement dans la suite que la massem2de la plan`ete Osiris est tr`es inf´erieure `a la massem1de l’´etoileHD209458 et qu’Osiris est l’unique plan`ete de cette ´etoile.

12 —Pourquoi la baisse p´eriodique de luminosit´e peut-elle s’interpr´eter comme l’existence d’une plan`ete ? Sachant que la baisse p´eriodique de luminosit´e observ´ee est de 1,7% , exprimer le rayon R2 d’Osiris en fonction du rayon R1 deHD 209458. Par des mesures spectrom´etriques, on peut d´eterminer le type de l’´etoileHD209458 ce qui permet d’obtenir (en utilisant un mod`ele d’´etoile) son rayon, on trouve R₁=1,1R_S. En d´eduire la valeur num´erique de R₂ que l’on exprimera en fonction du rayon moyen de JupiterRJ.

13 —Les effets de mar´ee conduisent rapidement `a l’annulation de l’excentricit´e de l’orbite de la plan`ete dans ce type de configuration. Pr´eciser, dans ces conditions, le type de mouvement suivi par Osiris autour de son ´etoile. Pendant l’intervalle de temps n´ecessaire aux diverses mesures, on peut consid´erer que le syst`emeHD209458−Osiris est en translation `a la vitesse−→

vt dans le r´ef´erentiel g´eocentrique. La composante radiale de cette vitesse est mesurable depuis la Terre en utilisant l’ef- fet Doppler-Fizeau. On remarque que cette vitesse radiale varie p´eriodiquement entre les valeurs extrˆemesvr−=14,68 km.s⁻¹etvr₊=14,85 km.s⁻¹. D´eterminer le modulev1de la vitesse orbitale de l’´etoileHD209458 dans le r´ef´erentielR_Bbarycentrique du syst`emeHD209458−Osiris.

14 —On notev2le module de la vitesse orbitale de la plan`ete Osiris dansR_Bsuppos´e galil´een.

Quelle relation existe-t-il entre m₁, m₂, v₁ etv₂? Exprimerm₂ en fonction dev₁, m₁, T et de la constante de gravitationG. On pourra n´egligerm2devantm1.

15 —Sachant quem₁=1,1M_S, calculer la valeur num´erique dem₂en fonction de la masseM_J de Jupiter.

II.C. — Le r´eseau ´echelette

La d´etection d’exoplan`etes de petites dimensions n´ecessite de pouvoir mesurer la variation de la vitesse radiale d’une

´etoile avec une grande pr´ecision.

Le t´elescope HARPS (High Accuracy Radial Velocity for Planet Research) situ´e `a l’observatoire de La Silla au Chili mesure la vitesse radiale d’une ´etoile avec une pr´ecision de l’ordre de 1 m.s<sup>−1</sup> ce qui lui a permis en avril 2007 de d´ecouvrir la premi`ere petite exoplan`ete nomm´ee GLIESE

581c. Ce t´elescope utilise un r´eseau ´echelette qui permet d’obtenir une tr`es bonne luminosit´e dans un ordre d’in- terf´erence ´elev´e.

Ce type de r´eseau est constitu´e d’un grand nombre nde petites facettes parfaitement r´efl´echissantes inclin´ees d’un angleγpar rapport au plan du r´eseau et s´epar´ees d’une dis- tancea. Chaque facette, de largeurℓ=acosγ, est ´eclair´ee en incidence normale par une onde plane monochromatique de longueur d’ondeλ.

µ

°

O

O

O

M a

FIG. 1 – Le r´eseau ´echelette.

On observe l’onde r´efl´echie«`a l’infini» dans la directionθ grˆace `a une lunette. Les centres des facettes not´esOkpourk=1,· · ·,nsont donc distants dea,on noteraMun point quelconque d’une facette. Le dispositif est repr´esent´e sur la figure 1.

16 —Rappeler le principe d’Huygens-Fresnel.

17 —On notexla distance entre un pointM situ´e sur la deuxi`eme facette etO2. Exprimer, en fonction dexetθ, la diff´erence de marche«`a l’infini» δ(M/O2)entre les rayons issus des sources secondaires situ´ees enO₂ et enM. De mˆeme, exprimer, en fonction dea,γ etθ, la diff´erence de marche«`a l’infini» δ(O2/O1) entre les rayons issus deO1etO2. Le d´ephasage entre ces deux rayons sera par la suite not´eϕ.

18 —Exprimer l’amplitude totale de l’onde ´emise due auxnfacettes. En d´eduire l’intensit´e totale Iobserv´ee«`a l’infini». Montrer que celle-ci peut ˆetre mise sous la forme

I=I0sin²_c

πacosγsinθ λ

Fn(ϕ) avecFn(ϕ) =

"

sin ^nϕ₂ sin ^ϕ₂

#κ

o`u la fonction sin<sub>c</sub>(u) = (sinu)/ud´esigne le sinus cardinal de l’angleu, etκest une constante que l’on d´eterminera. Comment s’interpr`ete physiquement chacun des facteurs intervenant dans l’expression deI.

19 —Quelle est la p´eriode de la fonctionF_n(ϕ)? Tracer l’allure de la fonctionF_n(ϕ) pourn≫1.

20 —Pour quelle valeurθmdeθ la fonction sin²_c[πacos(γ)sin(θ)/λ]admet-elle un maximum global ? On remarque queθ_m correspond aux rayons qui se sont r´efl´echis selon les lois de Snell- Descartes de la r´eflexion. On souhaite que, pourθ=θmqui correspond `a un maximum d’intensit´e, la fonctionFn(ϕ)ait un maximum correspondant `a l’ordre d’interf´erencep=140. Ce r´eseau ´echelette permettra donc d’avoir un ordre d’interf´erence 140 tr`es lumineux pour une longueur d’onde donn´ee.

D´eterminer l’angleγ correspondant, calculer sa valeur siλ =431 nm et si le r´eseau contient 32 facettes par millim`etre.

21 —La source d’une onde ´electromagn´etique plane de longueur d’ondeλoposs`ede une vitesse radialevdans un r´ef´erentiel galil´een d’origineO. Du fait de l’effet de l’effet Doppler-Fizeau, un observateur fixe enOmesure, pour la longueur de cette mˆeme onde, une valeurλ=λo(1−v/c).

En d´eduire l’expression de la variation∆λ en fonction deλo,cet de la variation∆v. Pour l’´etoile

HD209458, on veut pouvoir distinguer la variation de vitesse radiale∆vlorsque la vitesse passe de 14,68 km.s⁻¹`a 14,85 km.s<sup>−1</sup>. On observe dans l’ordre 140 la longueur d’ondeλ=431 nm avec le r´eseau ´echelette pr´ec´edent. D´eterminer l’expression de la variation∆θde l’angle `a la sortie du r´eseau associ´ee `a la variation∆vobserv´ee pourHD209458. Calculer num´eriquement la valeur de∆θ.

22 —Lorsqu’on se place `a un ordre ´elev´e, on a un risque de chevauchement d’ordres. Quelles sont les longueurs d’ondeλ<sup>′</sup>etλ<sup>′′</sup>qui correspondraient `a la mˆeme d´eviation que la longueur d’onde λ=431 nm dans l’ordre 140 mais avec des ordres 139 et 141 ?

FIN DE LA PARTIE II

Pour les applications num´eriques, on utilisera les donn´ees suivantes

Masse molaire de l’hydrog`ene :M<sub>H</sub>=1,0×10<sup>−3</sup>kg.mol<sup>−1</sup> Masse du Soleil :MS=2,0×10<sup>30</sup>kg Constante de gravitation :G=6,67×10<sup>−11</sup>N.m<sup>2</sup>.kg<sup>−2</sup> Rayon solaire :RS=7,0×10<sup>8</sup>m Constante des gaz parfaits :R=8,31 J.K<sup>−1</sup>.mol<sup>−1</sup> Masse de Jupiter :M<sub>J</sub>=1,9×10<sup>27</sup>kg Vitesse de la lumi`ere dans le vide :c=3,0×10⁸m.s⁻¹ Rayon de Jupiter :RJ=7,0×10⁷m Permittivit´e du vide :ε0= (36π)⁻¹×10⁻⁹F.m⁻¹ Masse de la Terre :M⊕=6,0×10²⁴kg Perm´eabilit´e du vide :µ0=4π×10⁻⁷H.m⁻¹ Rayon terrestre :R⊕=6,4×10⁶m Constante d’Avogadro :N =6,02×10²³mol⁻¹

Charge ´el´ementaire :e=1,6×10⁻¹⁹C Masse de l’´electron :me=9,1×10⁻³¹kg

FIN DE L’ ´EPREUVE