The DART-Europe E-theses Portal

HAL Id: tel-00392066

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00392066

Submitted on 5 Jun 2009

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

To cite this version:

Mathieu Causse. Simulation aveugle large bande du mouvement sismique. Géophysique [physics.geo-

ph]. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 2009. Français. �tel-00392066�

Simulation aveugle large bande

du mouvement sismique

par Mathieu CAUSSE

Pour obtenir le grade de

Doteur de l'Université Joseph Fourier - Grenoble I

Mention : Sienes de la Terre, de l'Univers et de l'Environnement

Thèse soutenue le 30 janvier 2009 devant le jury omposé de :

Pasal BERNARD Rapporteur

Fabian BONILLA Rapporteur

Fabrie COTTON Direteur de thèse

Bruno HERNANDEZ Invité

Nikos THEODULIDIS Examinateur

Jean VIRIEUX Président du jury

Ce travailde thèse a été nané par le CNRS etle CEA.

Mes remeriements vont tout d'abord à Fabrie Cotton, mon direteur de

thèse au LGIT. Je lui suis très reonnaissant d'avoir été onstamment présent,

tout en m'aordantliberté etonane dans les orientations de e travail.

Je remerie Pasal Bernard et Fabian Bonilla d'avoir aepté d'être rappor-

teurs du manusrit ainsi que Nikos Theodulidis et Jean Virieux qui ont été

membres du jury en tant qu'examinateurs.

Meri également à Emmanuel Chaljub, Céile Cornou et Bruno Hernandez

qui ont o-enadré ette thèse. Un meri partiulier à Céile grâe à qui j'ai

partiipé àune missionde terraind'un mois à Caraas.

Au ours de ma thèse, j'ai partiipé aux enseignements du master MEEES

(EarthquakeEngineeringandEngineeringSeismology)dansleadred'unmodule

sur lasismologiede lasoure.Jeremerie Pierre-YvesBard pour etteinitiation

à l'enseignement.

Pierre-YvesBard,MihelBouhon, MihelCampillo,PhilippeGuéguen,Isa-

belleManighettietChristopheVoisinm'ontfaitbénéierdeleursonnaissanes

sur les failles, la soure sismique, la propagation des ondes ou la sismologie de

l'ingénieur.

Enn, je remerie tous les étudiants du LGIT ave qui j'ai partagé des mo-

mentsbienonviviaux!Meri partiulièrementàBenjaminCaussepourdes sor-

ties en montagne familiales et sportives. Meri aussi à Pierre gouédard, voisin

de bureau très symphatique, pour son aide préieuse dans des domaines variés

(informatique,physique, psyhologie...).

Avant Propos 3

Introdution générale 9

1 Problématique : omment prédire le mouvement sismique en

aveugle? 11

1.1 Introdution . . . 12

1.2 Commentmodéliser lasoure sismique? . . . 12

1.2.1 Du modèle du pointsoure à lainématique de la rupture 12 1.2.2 Leslois d'éhelle :ontraintes fondamentales sur lasoure 13 1.2.3 De nombreuses approhes pour dérire la inématique de lasoure . . . 14

1.3 Commentmodéliserleseets de propagationdans un milieuom- plexe? . . . 17

1.3.1 Introdution . . . 17

1.3.2 Uneméthodepratique:lasommationdefontionsdeGreen empiriques . . . 19

1.4 Quelle stratégie adopterpour prédire le mouvement sismique gé- néré par un séisme futur? . . . 27

1.4.1 Introdution . . . 27

1.4.2 Variabilitédu mouvementsismique : sigma . . . 28

1.4.3 Analyse de lavariabilité . . . 30

1.4.4 Leslimites des modèlesempiriques . . . 35

1.4.5 Les diultés pour simuler en aveugle ave une mé- thode déterministe . . . 39

2 Nouvelleapprohe pouralibrerlessimulationspar fontions de Green empiriques 43 2.1 Résumé . . . 44

2.2 Abstrat . . . 45

2.3 Introdution . . . 45

2.4 Diret-Parameter-InputApproah . . . 47

2.4.1 Method . . . 47

2.4.2 Soureparameter distributions . . . 48

2.4.3 Results . . . 50

2.5 Sreened-Parameter-Input Approah . . . 53

2.5.1 Method . . . 53

2.5.2 Results . . . 57

2.6 Disussion and onlusion . . . 57

2.7 Appendix . . . 59

3 Nouvelle approhe pour oupler modèle de

k ⁻²

^{et fontions de} Green empiriques 61 3.1 Résumé . . . 62

3.2 Abstrat . . . 62

3.3 Introdution . . . 63

3.4 Soure model . . . 64

3.4.1 Stati slipdistribution . . . 64

3.4.2 Soure kinematis . . . 65

3.5 Summation algorithm. . . 67

3.6 Green's funtions . . . 72

3.6.1 EGFs. . . 72

3.6.2 EGF unertainties . . . 74

3.6.3 HGFs . . . 76

3.7 Ground-motionpreditions . . . 80

3.7.1 Ground-motionvariability assessment . . . 80

3.7.2 Simulation onrok and validation . . . 80

3.7.3 Simulation onsediment . . . 83

3.8 Conlusion . . . 85

3.9 Appendiies . . . 89

3.9.1 Appendix A: Stati slipgeneration . . . 89

3.9.2 Appendix B: Calulation of the theoretial ASTF high- frequeny spetral level . . . 89

3.9.3 Appendix C: Calulation of the EGF number to sum for the high-frequenyASTF levelorretion . . . 91

4 Comment déterminer la rugosité d'un séisme futur? 95 4.1 Introdution . . . 96

4.2 Contraindre

K

^{par analyse des séismes passés . . . . . . . . . . . 99}

4.2.1 Introdution . . . 99

4.2.2 DéterminationdiretedeK parretourd'expérienesur les distributions de glissements statiques . . . 99

4.2.3 Les limites de ette approhe . . . 105

4.3 Contraindre

K

^{à partir des bases de données} aélérométriques . . 107

4.3.1 Introdution . . . 107

4.3.2 Comment relier rugositéet mouvement sismique? . . . 107

4.3.3 Contraintesapportéespar lesmodèlesempiriquesetvaria- bilité de larugosité . . . 109

4.4 Synthèse : loi de distribution de la rugosité . . . 110

5 Peut-on estimer la rugosité des séismes par inversion inéma- tique? 113 5.1 Introdution . . . 114

5.3 Tests synthétiquessur une méthode partiulière . . . 116

5.3.1 Méthode d'inversion en fréquene . . . 116

5.3.2 Prinipe des test . . . 118

5.3.3 Résultats . . . 120

5.4 Conlusion . . . 124

Conlusion générale et perspetives 131

Prédire lesmouvements du sol générés par un séisme futur en milieu urbain est

une étape fondamentale pour antiiperles dommages etdimensionner lesstru-

tures. Dans les régions à sismiité modérée, faute d'enregistrements de mouve-

mentsforts,iln'estpassouventpossibled'observerdiretementleseetsd'unfort

séisme potentiel. Il s'avère don indispensable de générer des aélérogrammes

synthétiques.

Caluler les mouvements du sol réés en as de séisme sur une gamme fré-

quentielle pertinente pour le génie parasismique [0.1-20Hz℄ n'est ependant pas

aisé.Cesmouvementsdépendentde deuxphénomènesomplexesquisontlepro-

essusde rupturesur lafailleetlapropagationdes ondesémisesdepuislasoure

jusqu'à la surfae du sol. Dans la plupart des régions, les onnaissanes sur le

milieu de propagationne sontpas assez préises pour modéliser numériquement

la propagation des ondes au-delà de 1 Hz. Une approhe alternative, proposée

parHartzell[1978℄,est laméthodedes fontionsde Greenempiriques(FGE),qui

onsiste à simuler en un site donné le mouvement du sol produit par un séisme

majeur en sommant des enregistrements au même site de petits séismes. Cette

méthode présente l'avantage de prendre naturellement en ompte les eets de

propagation et de site et de s'aranhir ainsi de reonnaissanes géotehniques

détailléessur lesite d'étude, eets non-linéaires misà part.

De nombreuses simulations de forts séismes, réalisées a posteriori à partir

de répliques plus faibles, ont souligné toutes les potentialitésde la méthode des

FGE.Néanmoins, lefait d'expliquerlesobservables pour un événement partiu-

lierne fournit auune informationsur l'estimation des paramètres de la rupture

d'un séisme futur, qu'il faudra pourtant déterminer a priori. A des ns de pré-

ditions en aveugle mais réalistes des mouvements forts, il est néessaire de

développer des tehniques de simulations prenant en ompte la variabilité des

paramètres de la soure, de façon à e que la variabilité nale du mouvement

sismique soit ohérente ave la variabilité des préditions purement empiriques

desmouvementsdu sol(loisd'atténuation).Parailleurs,bienquelaméthode

desFGEsoitpartiulièrementséduisante,ettetehniquen'estpasadaptée pour

représenter la partie basse fréquene du mouvement sismique, à ause des pro-

blèmes de faible rapport signal sur bruit du petit séisme à es fréquenes et e,

notammenten milieuurbain.

Le but de ette thèse est de développer une méthodologie pour aluler les

mouvementsdu soldus àunévénementfutursur unelargebande defréquenes,

enun sitespéique,etprenantenomptelavariabilitéduproessusderupture.

Le manusrit présente la démarhe que nous avons suivie en inqhapitres.

Lesobjetifs du hapitre1sontde dénirnotreproblématique,de dérireles

prinipalesapprohes possibles etenn, de présenter leshoix eetués. La pro-

blématiquesedélineentroisquestionsfondamentales:ommentaratériserles

eets desoure? Commentmodéliserlapropagationdes ondes? Etenn, quelle

stratégieadopterpour alulerlemouvementsismiqueenaveugle?Nousver-

ronsqueettenotiondesimulationenaveugleestdéliatepuisqu'ellesoulève

deux diultés supplémentaires : l'estimation de la variabilité du mouvement

sismique etlavalidationdes préditions.

Lehapitre2 présenteune étudede l'aléasismique danslebassin grenoblois.

ApartirdelaméthodedesFGE,noussimulonsunséismepotentieldemagnitude

5.5,seproduisantà15kmenvironde l'agglomérationgrenobloise.Notreobjetif

n'est pas ii de développer la tehnique de sommation des FGE, ou d'utiliser

un modèlede soureomplexe.Au ontraire, nous adoptons volontairement une

représentation simpledelasoure(méthode desimulationde Pavietal.[2000℄)

pour nous foaliser sur l'estimation des paramètres de la rupture. Nous avons

développédeux approhes.Danslapremière,nous dénissonsapriori lesloisde

distributiondes paramètres de la rupture, àpartir du retour d'expériene sur la

soure sismique. Dans le seonde, nous avons adopté une démarhe inverse,

quionsisteàestimerlesparamètresde lasoureen alibrantlessimulationsdu

mouvement sismique auroher àpartir d'un modèle de prédition empirique.

Dans le hapitre 3, an d'obtenir une représentation plus réaliste de la rup-

ture,nous adoptons un modèle de soure plus omplexe,de type

k ^{− 2}

^{.Nous ver-}

rons en partiulier ommentoupler modèle de

k ^{− 2}

^{et FGE.D'autre part, dans}

lebut de déterminerlapartiebassefréquenedu mouvementsismique (<1Hz),

nousavons optépour uneméthode de simulationhybride.Autrementdit,les

basses fréquenes sont alulées de manière purement numérique. La méthode

estappliquée poursimulerleseets d'un séismede magnitude5.5àGrenoble. Il

ressortde ette étude queles préditions du mouvementsismique sont très sen-

siblesàun desparamètresde lasoureen partiulier.Ceparamètre,quiontrle

larugositédu glissementstatique, reste ependant malontraint.

Leshapitres4et5sont ainsionsarés àl'étudede larugositédu glisse-

mentstatique.Danslehapitre4,nousanalysonsunebasededonnéesdemodèles

deséismesobtenusparinversioninématique.Ceretourd'expérienesurlesévé-

nementspassés nous permetde dénir une loide distributionpourle paramètre

derugositéduglissementetderéatualiserlesrésultatsétablisparSomerville

etal.[1999℄,baséssuruntrèspetitnombredemodèles.Néanmoins,peut-onréel-

lement retrouver la rugosité des séismes passés par inversion inématique?

Cetteproblématique est abordée dans le hapitre5. A travers une série de tests

sur des données synthétiques, noustestons l'aptituded'une méthode d'inversion

partiulièreà determiner leparamètre de rugosité.

Problématique : omment prédire

le mouvement sismique en

aveugle ?

Sommaire

1.1 Introdution . . . 12

1.2 Comment modéliserla soure sismique? . . . 12

1.2.1 Dumodèledupointsoureàlainématiquedelarupture 12

1.2.2 Lesloisd'éhelle:ontraintesfondamentalessurlasoure 13

1.2.3 Denombreuses approhes pour dérirela inématique

de lasoure . . . 14

1.3 Comment modéliser les eets de propagation dans

un milieu omplexe? . . . 17

1.3.1 Introdution. . . 17

1.3.2 Une méthode pratique: lasommationde fontions de

Green empiriques . . . 19

1.4 Quellestratégie adopterpourprédirelemouvement

sismique généré par un séisme futur? . . . 27

1.4.1 Introdution. . . 27

1.4.2 Variabilitédu mouvement sismique :sigma . . . . 28

1.4.3 Analysede lavariabilité . . . 30

1.4.4 Leslimites desmodèles empiriques . . . 35

1.4.5 Lesdiultéspoursimulerenaveugleaveunemé-

thodedéterministe . . . 39

1.1 Introdution

Comment simuler des aélérogrammesréalistes générés par un séismepotentiel

en un site spéique? Pour proposer une solution à ette problématique, nous

nous sommes posés trois questions fondamentales : omment représenter les ef-

fets d'une soure sismique? Comment modéliser les eets de propagation dans

unmilieuomplexe?Etenn,quelleméthodologieadopterpour simulerlemou-

vement sismique en aveugle , 'est à dire prédire les eets d'un événement

qui n'a pas enore été enregistré? Ce dernier problème est sans doute le plus

déliat. En eet, l'analyse des données aélérométriques montre que pour une

magnitude,unedistaneetuntypedesoldonnés,lemouvementsismiqueestfor-

tement variable. Ainsi,prédire en aveugle les mouvements du solne signiepas

fournirune solutionunique mais un ensemblede simulations,représentativesde

lavariabiliténaturelledu mouvementsismique.L'objetifde epremierhapitre

est de présenter les prinipales approhes possibles et les hoix réalisés dans le

adrede ette thèse. Nousfournirons égalementles bases théoriques néessaires

pour omprendre lasuite du manusrit.

1.2 Comment modéliser la soure sismique?

1.2.1 Du modèle du point soure à la inématique de la

rupture

La manière la plus simple de modéliser un séisme est de l'assimiler à un point

soure.Akiand Rihards[2002℄montrentquelareprésentation d'unesouresis-

miqueparundoubleoupledefores permetd'expliquerlapolaritédesondesde

volume observées autourd'un séisme. Ils développentune expression analytique

du hamp de déplaement pour un milieuélastique homogène. Cette expression

montrequeledéplaementdusolenhamplointainestproportionnelàladérivée

temporelle du momentsismique

M 0

^{des ouplesde fores. Bien que très simple,}

e modèle de point soure est enore atuellement utilisé pour déterminer les

méanismesau foyer oulesmomentssismiques des petits séismes.

Laréalitéestbienentendutrèséloignéedupointsoure.Unséismeorrespond

àla rupture du milieu lelong d'une faille,dont latrae au solpeut, en général,

êtreobservée pour lesséismessusammentforts(magnitudesupérieureà6).Le

momentsismiquedépend alorsde trois paramètres:lalongueur de lafaille

L

^,sa

largeur

W

^{etle déplaementmoyen}

D

^{entre lesdeux} ompartimentsde lafaille.

Il s'exprimeselon la relation:

M 0 = µDLW,

^(1.1)

où

µ

^{représente la rigidité du milieu autourde la faille. La façon laplus simple}

de dérire la rupture est d'imaginer deux blos glissant l'un sur l'autre. Leglis-

sement est dans e as supposé invariantspaialementdurant toutela durée de

larupture. Haskell [1969℄propose d'assimilerlarupture àune sommede points

souresdéalés dans le temps,haque point soure orrespondant auglissement

de la rupture. Le proessus de rupture débute en un point de la faille, appelé

point de nuléation, et se propage ave une vitesse de rupture

v

^{. Chaque point}

ommeneàglisser àl'arrivéedu front derupture jusqu'àson glissementnal

D

pendant unedurée

τ

^{appelée tempsde montée de la}disloation.Ainsi,représen- ter larupturerevientàdérireen haque pointde lafaillel'évolutiontemporelle

du glissement. Le modèle de Haskell [1969℄ est fondé sur des hypothèses très

simples (glissement nal ettempsde montée identiques en haque point,vitesse

de glissementonstante, vitesse de rupture onstante, propagation de larupture

unilatéralle).Néanmoins,etypedemodèlepermetd'expliquerdeuxphénomènes

fondamentauxobservéssur lesenregistrements de séismes.La premièreobserva-

tion onernelaformedu spetreen déplaementdes séismes,quiest en général

aratérisé par une déroissane en

ω ⁻²

^{au-delà d'une fréquene} aratéristique (Aki[1967℄;Hanks[1981℄).Danslemodèlede Haskell[1969℄,ette fréqueneest

proportionnelleàladurée de larupture

v/L

^.Laseonde observation est uneva- riation de laformedes pulsesde déplaement enregistrésprohes d'unefaille en

fontiondelapositiondes stations.Lespulsessonttrèsressérés (amplitudeforte

etdurée ourte)pour les stationsplaéesselon ladiretionde la propagationde

la rupture (Boatwright and Choy [1992℄). Ce phénomène, appelé eet de dire-

tivité, est analogueà l'eet Doppler. Il peut être quantié par le oeient

de diretivité (Ben-Menahem [1961℄)

C _d = 1

1 − (v/c)cosΘ ,

^(1.2)

où

Θ

^{représente l'angle entre les diretions de} propagation de la rupture et des ondes vers lastation, et

c

^{la vitesse des ondes de volume. Pour tenir ompte de}

la diretivité,ladurée de larupture observée àla stationest remplaée par une

durée de rupture apparente proportionnelle à

C d v/L

^.

1.2.2 Les lois d'éhelle : ontraintes fondamentales sur la

soure

Il existe deux loisd'éhelles, établiesà partir d'observations sur lesdonnées.

◮

Loi d'éhelle des spetres soure

L'analyse des données montre qu'en moyenne le spetre d'amplitude en dépla-

ement des séismes, après orretion des eets de propagation, est aratérisé

par un plateau de niveau proportionnel au moment sismique

M 0

^{, puis, omme}

nous l'avonsvu, une déroissaneen

ω ⁻²

^{au-delàd'une fréqueneoin}

F _c

^{. Ainsi,}

Brune [1970℄proposede dénirlespetreen déplaementd'unséismeselon l'ex-

pression :

| U(f ) | ∝ M 0

1 + (f /F c) ² .

^(1.3)

◮

Loi d'éhelle des paramètres soure

Cette loi est fondée sur l'hypothèse qu'un séisme est un phénomène invariant

d'éhelle, 'est-à-dire qu'un petit et un gros séisme, s'ils se produisent dans des

milieux équivalents (module de rigité

µ

^{onstant) sont similaires à un fateur}

d'éhelle près. Brune [1970℄, en supposant que

D ∝ L

^{puis que}

L ∝ W

^montre

ainsiqu'un séisme, aulieud'êtrereprésentépar trois paramètres(équation 1.1),

peut n'être déritque par sa longueur :

M 0 ∝ L ³ .

^(1.4)

L'hypothèse de l'invariane d'éhelle implique que la hute de ontrainte est

onstante, indépendantede lamagnitude. La hute de ontraintemoyenne d'un

séismeest déniepar larelation :

∆Σ = C _f · µ · D

L ,

^(1.5)

où

C f

^{est le fateur de forme de la zone de rupture et}

L

^{est la dimension}

aratéristiquede larupture. A titre d'exemple, pour une failleirulaire,

C _f =

7π

16

^et

L

^{est le rayon de la soure. Pour un méanisme dérohant,}

C f = _π ²

et

L = W

^{(Kanamori and Anderson [1975℄). La hute de ontrainte est un}

paramètre essentiel pour le alul du mouvement sismique puisqu'elle ontrle

en partie l'amplitude des hautes fréquenes générées par la soure. Par le biais

d'analyses de données sur les failles, plusieurs auteurs montrent que la hute

de ontrainte des séismes est eetivement assez stable et que les paramètres

D

^et

L

^{peuvent être reliés par une loi simple (Kanamori and Anderson [1975℄;}

Shaw and Sholz [2001℄). Cependant, la dispersion observée autour de la loi

moyenneestengénéraleimportante(WellsandCoppersmith[1994℄;Sholzetal.

[1986℄; Manighetti et al. [2007℄). En outre, ertaines études réentes suggèrent

que l'hypothèse d'une hute de ontrainte onstante n'est pas valide sur une

large gamme de magnitude (Kanamori and Rivera [2004℄). Dans le adre de

notre étude, nous onsidérerons la ondition de hute de ontrainte onstante

ommevalable en moyenne et autoriserons don une ertaine variabilitéautour

de ette loi.

1.2.3 De nombreuses approhes pour dérire la inéma-

tique de la soure

Les développements théoriques sur la dynamique de la rupture et l'analyse de

séismes passés par inversion inématique montrent que la rupture sur une faille

est un phénomène omplexe. Depuis le modèle très simple de Haskell [1969℄ où

tous lesparamètres de la rupture sontonstants (glissementstatique, vitesse de

glissementetde rupture), une grandevariétéde modèlesinématiques ont vule

jourpourjustierlerayonnementhautefréqueneen

ω ^{− 2}

^{delasoure.Lebutde}

ette setion est de présenter les grandes atégories de modèles, les prinipaux

◮

Le modèle de rak

C'est lemodèle de base issu de la dynamique de la rupture (Madariaga [1977℄;

Kostrov and Das [1988℄; Huthings [1994℄). Il a l'avantage d'être beauoup

plus réaliste que le modèle de Haskell [1969℄, qui présente une singularité des

ontraintes surlesbords delafaille.Laruptureen unpointdébute àl'arrivéedu

front de rupture qui se propage à vitesse onstante. Elle se termine au passage

d'une phase d'arrêt générée lorsque la rupture atteint un bord de la faille. La

zone de rupture est de forme elliptique. Les prols de glissement statiques sont

également elliptiques, e qui n'est pas onforme aux observations. Notamment,

lestravauxdeManighettietal.[2005℄suggèrentquelesprolsdeglissementsont

triangulaires etasymétriques.

◮

Les modèles omposites

Le prinipe de base de es modèles est qu'un séisme est la somme de plusieurs

sous-événements. Partantduprinipequelespropriétés méaniquessur un faille

sont autosimilaires, 'est-à-dire identiques à petite ou grande éhelle, Frankel

[1991℄ propose de représenter le ho prinipal par une distribution fratale de

sous-événements.Ladéroissaneen

ω ⁻²

^{estobtenuepourunedimensionfratale}

D = 2

^{, si la hute de ontrainte des} sous-événements est onstante et si leurs surfaes de rupture remplissent elle du ho prinipal.Cette représentation de

la rupture est également suggérée par Sholz [1998℄. Eneetuant une synthèse

surlesdistributionsdestaillesdes séismespassés,ilobservequepouruneéhelle

de 1 à 10 km, les failles ne sont pas des milieux ontinus mais omposés d'un

ensemble de sous-faillesparallèlesnon onnetéesdont ladistributiondes tailles

est fratale,ave

D ≈ 2

^.

Néanmoins, reproduireorretementlaformedu spetreen

ω ⁻²

^àpartird'un

modèle omposite n'est pas aisé. Tumarkin et al. [1994℄ démontrent que, quelle

que soitladistribution de tailles de sous-événements,les onditions d'unehute

de ontrainteonstante et d'unepente en

ω ⁻²

^{ne peuvent être vériées simulta-}

nément, àmoins de sous-estimer lemoment sismique oude surestimer le niveau

haute-fréquene (au-delà de la fréquene oin du plus petit sous-événement).

D'autre part, obtenir lesbons niveaux basse et haute fréquene implique que la

surfae totale des sous-événements dépasse elle du séisme simulé. Zeng et al.

[1994℄ soumettent ainsi un modèle où ette dernière ondition est vériée. Le

séisme simulé est une somme d'événements irulaires se superposant et repré-

sentésparunmodèledeBrune[1970℄.Cependant,lephénomènedesuperposition

des événements est suseptible de générer trop de hautes fréquenes.

Tumarkin and Arhuleta [1994℄ mettent aussi en évidene un problème de

sous-estimation des fréquenes intermédiaires et dénissent une fontion par-

tiulière pour la vitesse de rupture. Hartzell et al. [1999℄ suggèrent également

de résoudre e problème en faisant varier la vitesse de rupture et inluent une

omposante aléatoiredans la vitesse de rupture des sous-événements. Unealter-

native est d'adopter une méthode hybride qui onsisteà ouplerun modèle

ompositeave unautremodèleinématique(Hartzelletal.[1999℄;Galloviand

hautefréquene.

◮

Le modèle du

k ^{− 2}

CemodèleaétéinitiéparHanks[1979℄.CommepourlemodèledeFrankel[1991℄,

l'idéegénérale est que l'autosimilaritéde l'énergieradiéepar lesoure (penteen

ω ^{− 2}

^{) s'explique par le aratère} autosimilaire de la rupture. Hanks [1979℄ fait l'hypothèsequela distributiondes hutes de ontraintes sur un plande failleest

dérite dans le domaine des nombres d'ondes par une loi puissane en

k ^{− n}

^et

montre qu'ilfaut

n = 2

^pour interpréter la radiationde l'énergieobservée.

Partantdeettehypothèse,HerreroandBernard[1994℄ontdéveloppéunmo-

dèleinématiqueompletpourgénérerdessismogrammesréalistes.Lespetredu

glissement statique est déni par une déroissane en

k ^{− 2}

^{au-delà d'un nombre}

d'onde oin

k c = 1/L

^où

L

^{représente la taille de la rupture. Pour}

k ≤ k c

^{, les}

phasessont hoisies de manière àonentrer le glissementau entre de lafaille.

En revanhe, pour

k > k c

^{, les phases sont} aléatoires. Ainsi, les distributions de glissementstatiques sontobtenues en sommantune aspérité (glissementbasse

fréquene)etun ensembled'hétérogénéitésde diérentes tailles réparties aléa-

toirementsur leplande faille.D'autrepart, lavitesse de rupture

v

^{est supposée}

onstante.Herreroand Bernard[1994℄démontrentquelemodèledu

k ^{− 2}

^onduit

au modèle en

ω ⁻²

^{si la durée du glissement}

τ

^{en un point est} inversement pro- portionnelle au nombre d'onde

k

^{. Une telle ondition est atteinte dans le as}

très simple d'un glissementinstantanné. Pour abandonner ette hypothèse phy-

siquementirréaliste,Bernardetal.[1996℄introduisentdans lemodèleleonept

proposé par Heaton [1990℄ (self-healing slip pulse). Le front de rupture est

suivid'un front d'arrêt qui stoppe le glissement.La rupture est alors modélisée

omme une bande de glissement, se déplaçant à vitesse onstante

v

^{. Pour les}

hétérogénéitésdeglissementde petitestailles(ontenues danslabandede glisse-

ment),ladurée du glissement

τ

^est proportionnelle àlataillede l'hétérogénéité.

Leglissementdes hétérogénéités de dimension supérieureest stoppé par lefront

d'arrêt:

τ(k) = τ _max = L O

v , si k < a/L _o τ(k) = a

vk , si k > a/L o .

^(1.6)

Bernard et al. [1996℄ suggèrent

a = 1/2

^{, pour modéliser la rupture des petites}

hétérogénéités à la manière d'une ssure lassique. Par ailleurs, l'introdution

d'uneduréeduglissementnieontribueàréduireleseetsdediretivitéàhaute

fréquene. Dans le as initial d'un glissement instantanné (bande de glissement

inniment étroite), l'ampliation dans la diretion de la rupture est ontrlée

par

C _d ²

^pour

f > f _c

^{, e qui onduit à des fateurs de diretivité extrêmes non}

observés. Elargir la bande de glissement permet de réduire le fateur à

C d

^pour

f > f 0 = v/L 0

^.

Depuis les approhes lassiques de Herrero and Bernard [1994℄ et Bernard

et al. [1996℄, le modèle du

k ⁻²

^{a été} perfetionné par plusieurs auteurs. Hisada

etintroduit unefontion plusréalistepourlavitesse de glissement.Réemment,

Ruiz et al. [2008℄ ont développé un nouveau modèle de soure omposite géné-

rant des distributions de glissement statique en

k ^{− 2}

^{. Les fontions vitesses de}

glissement obtenues sont ompatibles ave la dynamiquede larupture (Kostrov

[1964℄; Tinti et al. [2005℄). Gallovi and Burjanek [2007℄ étudient les eets de

diretivitégénérés parun modèleen

k ^{− 2}

^{. Suivantl'idéede Bernardand Herrero}

[1994℄, ils proposent de réduire enore les eets de diretivitéà haute fréquene

en imposant une rupture aléatoirepour lespetites hétérogénéités de glissement.

Enn, Somervilleet al.[1999℄, puis Gallovi and Brokesova [2004a℄introduisent

le paramètre

K

^{dans la dénition du nombre d'onde oin, qui s'exprime selon :}

k c = K/L

^{.Ceparamètre,quiontrlelarugositéduglissementstatique,fera}

l'objet d'une étude préisedans le quatrièmehapitredu manusrit.

◮

D'autres approhes

Il existe bien entendu beauoup d'autres études qui dérivent la inématique de

la rupture. Citons parmi les plus réentes la méthode développée par Liu et al.

[2006℄, qui dénit les paramètres de la soure (l'amplitude et la diretion du

glissement, la vitesse de rupture, la durée du glissement) omme des variables

aléatoires orrélées. La distribution du glissement statique est générée à partir

de larelationempiriquede Mai andBeroza [2002℄, issuede l'analyse d'ungrand

nombre de modèlesde glissementsréels obtenuspar inversion inématique.

◮

Synthèse : les hoix eetués pour notre étude

Notreobjetifprinipalestdesimulerleseetsd'unesoureétenduereproduisant

un spetreen

ω ^{− 2}

^{etprenanten ompteleseets de} diretivité.Danslehapitre 2deemanusrit,nousutilisonsvolontairementunmodèledesouresimple(mo-

dèle de ssure (rak) de Huthings [1994℄).Les paramètres du modèle sont

lahute de ontrainte, laposition du pointd'initiationde la rupture sur lafaille

etlavitesse de rupture. Dansun seond temps,an de générer des distributions

de glissement plus réalistes et de mieux simuler les eets de diretivité, nous

dérirons la soure ave un modèle de type

k ^{− 2}

^{(Bernard et al. [1996℄). Cette}

méthode est adoptée dans letroisième hapitre.Comme nous l'avons remarqué,

le quatrième hapitre sera onsaré à l'analyse du paramètre

K

^{, introduit dans}

le modèle pour permettre une variabilitéde la rugositédu glissementstatique.

1.3 Comment modéliser les eets de propagation

dans un milieu omplexe?

1.3.1 Introdution

Pour aluler leseets produitspar un séisme àlasurfae du sol,il fautoupler

lainématique de lasoureàlaréponse du milieude propagationdes ondes.On

peut utiliser pour ei le théorème de représentation sous sa forme disrétisée

(Aki and Rihards [2002℄). Le plan de faille est déoupé en

n

sous-failles de

surfaes

a i

^{. Les eets de} propagation entre une sous-faille

i

^{et le réepteur, à}

la position

r

^{, sont aratérisés par la fontion de Green}

G(r, t) i

^{. Cette fontion}

représente la réponse du milieu à une fore impulsionnelle. Le déplaement du

sol

U (r, t)

^{est donné par la relation:}

U (r, t) = X n

i=1

µ i a i

m 0 i

s(t − t s i − t r i ) i ∗ G(r, t) i .

^(1.7)

Les termes

µ i

^,

m 0 i

^et

t s i

^sont respetivement la rigidité du milieu, le moment sismiqueassoiéàlafontionde Greenetletempsd'arrivée desondes àlasous-

faille

i

^{.Lainématiquede larupture est déniepar l'histoireduglissement}

s(t) i

etle tempsde rupture

t r i

^.

L'expression analytique de lafontion de Green est onnue dans le as d'un

milieuélastique homogène (Aki and Rihards [2002℄).Pour alulerles eets de

propagationdes ondes dans un milieu plus omplexe, ilfaut avoir reourt àdes

méthodes numériques. Par exemple, la méthode des nombres d'ondes disrets

(Bouhonand Aki [1977℄)est ourammentutilisée pour alulerlaréponse d'un

milieu1D onstitué de ouhes horizontales élastiques. Des méthodes plus om-

plexes omme les diérenes nies ou les éléments spetraux (Komatitsh and

Vilotte [1998℄; Chaljub et al. [2007℄), permettent de modéliser des milieux 2D

ou 3D omme des bassins sédimentaires. Ces approhes sont en générales très

oûteuses en temps de alul.

Deplus,lespropriètésméaniquesdesmilieuxdepropagationàpetiteéhelle

sont souvent mal onnues. Les méthodes numériques sont don en générale in-

adaptéespourlealuldes fontionsde Greenàhautefréquene (>1-2Hz).Des

méthodes hybrides ont don vu le jour, ouplant fontions de Green numé-

riques à basse fréquene et approhes stohastiques à haute fréquene (Kamae

et al. [1998℄; Pulido and Kubo [2004℄; Paor et al. [2005℄). Une alternative sé-

duisante est la méthode des fontions de Green empiriques (FGE). Au lieu de

herher à aluler analytiquement, numériquement oude manièrestohastique

lesfontionsde Green

G(r, t) i

^{dans l'équation1.7, Hartzell[1978℄ propose de les}

remplaersimplementpar desenregistrementsde petitsséismes,quiontiennent

naturellementles eets de propagationetde site entre lasoure etle réepteur.

Lemouvementsismiques'obtientdonensommantdespetitsséismes.C'estl'ap-

prohe que nous avons hoisie dans le adre de ette thèse. Dans ette setion,

nousprésentonslesfondementsdelaméthodeetlamiseen plaed'unshémade

sommationdes FGE basé sur leslois d'éhelle (setion1.2.2).Ce shéma simple

permettra de bien saisir la problématiquede lasommation des petits séismes et

d'illustrer les problèmes lassiques renontrés. Nous expliquons enn omment

adapterleshémade sommationen as d'éartauxloisd'éhelleetdérivonsles

1.3.2 Une méthode pratique : la sommation de fontions

de Green empiriques

◮

Les hypothèses et onditions d'appliation de la méthode

Sommationd'un uniqueséisme. Dansnotreétude,leseetsdepropagation

entre haque point de la soure etle réepteur seront représentés par un unique

séisme.Eneet,danslesrégionsàsismiitémodérée,lenombred'enregistrements

de petits séismes de qualité n'est pas toujours susant pour permettre un bon

éhantillonnage du plan de faille. De plus, aluler le mouvement sismique en

ajoutant des petits séismes dont les loalisations etles momentssismiques sont

diérentsdevienttehniquementplusomplexe(TumarkinandArhuleta[1994℄).

Pour que le petit séisme soit représentatif des eets de propagation entre les

diérents points de la faille et le réepteur, la première ondition à respeter

est que le petit séisme soit inlus dans la surfae de rupture de l'événement

iblé. Puisque nous souhaitons simuler des événements futurs, le plan de faille

sera onstruit autour du petit séisme. Il onviendra également de se plaer en

hamp lointain, 'est-à-dire à une distane supérieure à la longueur de rupture

du séisme simulé. A une distane trop prohe du plan de faille, laradiation des

ondesdevolumeetlesmilieuxtraversés delasoureauréepteurvontfortement

dépendredelapositionsurlafaille.Deplus,BourandCara[1997℄ontdémontré

qu'iln'étaitpaspossibledereonstituerorretementlestermesdehampprohe

du gros séismeà partir de eux du petit séisme.

Linéarité de la réponse du sol. Reonstituer les mouvements du sol en

ajoutantdes petitsséismes impliquequelaréponsedu mileudepropagationsoit

linéaire. Autrement dit, la méthode est basé sur l'hypothèse que les aratéris-

tiquesméaniquesdumilieunedépendentpasdesondesquis'ypropagent.Notre

méthode ne permettra don pas de modéliser les eets non linéaires omme la

liquéfationdes sols. Ceseets, quise manifestentessentiellementdans leas de

forts séismes,serontnégligés dans notre étude.

Méanismesau foyer. Pour quelesformesd'ondesdu petitetdugrosséisme

soientomparables,ilfaut en théoriequeleurs méanismes aufoyersoientiden-

tiques. Dans le as où les méanismes sont trop diérents, il sera néessaire

d'introduire une orretion an de modier lediagramme de radiation du petit

séisme. Une proédure simple a été proposée par Irikura [1983℄ pour adapter le

spetre d'amplitude de la FGE. Cette orretion, fondée sur l'hypothèse que le

petit séisme est un point soure, sera don adaptée si elui-i est susamment

petit.

Taille du petit séisme. Lehoix de lamagnitude du petit séismeest déliat

etseratoujoursun ompromis.S'ilesttrop gros,ilnepourraplus êtreassimiléà

unpointsoure.L'énèrgieémiseseradanse asfortementdépendantedes eets

dus à la diretivité de la rupture. Une solution onsisterait à utiliser plusieurs

petits séismes an de moyenner les eets de diretivité mais omme nous

petit, à basse fréquene, l'énergie radiée sera trop faible par rapport au bruit

de fond. Le signal obtenu par sommation des FGE ne sera alors que du bruit

amplié.Dans notre étude, nous utiliserons des séismes de magnitude faible(

≈

3)et imposeronsque lesFGE aient un rapportsignal sur bruit supérieur à3.

◮

Shéma de sommation basé sur les lois d'éhelle

Notion de fontion soure apparente. Le déplaement du sol

U(t)

^réé

par l'événement simuléest alulé en ajoutant des FGE déalées dans le temps

et représentées par le signal

u(t)

^{. Il peut s'érire sous la forme d'un produit de}

onvolution :

U(t) = S(t) ∗ u(t),

^(1.8)

où

S(t) = X η

i=1

k i δ(t − t i ).

^(1.9)

S(t)

^{, appelée fontion soure apparente, est la} représentation mathématique du shémade sommationtemporel des FGE.Leparamètre

η

^{est lenombrede FGE}

àajouter aux instants

t i

^{. Dans le domaine}fréquentiel, l'équation 1.8permet de dénirla fontionsoure apparente selon l'équation:

S(f) = U(f )/u(f ).

^(1.10)

Dans les deux paragraphes qui font suite, nous verrons que les lois d'éhelles

apportent des ontraintes sur la fontion soure apparente et aboutissent à un

modèle de référene dans ledomainespetral.

Loi d'éhelle des paramètres soure. Rappelons que ette loi est fondée

sur l'hypothèse d'une hute de ontrainte indépendante de la magnitude. Elle

montre qu'un séisme peut être représenté par un unique paramètre (équation

1.4).Soient(

M 0

^,

m 0

^),(

L

^,

l

^),(

W

^,

w

^)et(

D

^,

d

⁾respetivement lemomentsismique, lalongueur,lalargeuretleglissementmoyenduséismesimuléetdupetitséisme

hoisiommeFGE.Ensupposantquelesmodulesderigiditédesmilieuxdesdeux

événements sont identiques (profondeurs équivalentes), le rapport des moments

sismiques

M ₀

^et

m ₀

^{s'exprime selon :}

M 0

m 0

= L l · W

w · D d

= L

l 3

= N ³ .

^(1.11)

L'équation1.11 signie qu'àpartir du seul fateur

N = M 0

m 0

1/3

,

^(1.12)

il est possible de déterminier les aratéristiques géométriques et physiques du

séismesimuléàpartirdeellesdu petitséisme.Autrementdit,sileplande faille

est disrétisé en

N × N

sous-failles, alors la surfae d'une sous-faille est égale à la surfae de rupture du petit événement. D'autre part, le glissementnal du

séismesimuléestreonstituéensommantenmoyenne

N

^{petitsséismesenhaque}

sous-faille (gure1.1).

Station

Séisme simulé

FGE

Glissement

Temps D

d 2d

0 t _d 2t _d 3t _d τ

3d

Séisme simulé

FGE

Propagation de la rupture

Figure 1.1

◮

Prinipe de sommation des FGE fondé sur la loi d'éhelle des paramètres

soures.Lemouvementsismiquegénéréparleséismesimulés'obtientenajoutant

M 0

m 0 = N ³

petitsséismes.Leplandefailleestdéoupéen

N × N

sous-faillesdesurfaeégaleàlasurfae de rupture de la FGE. La montée du glissement en une sous-faille, qui débute à l'arrivée

dufrontde rupture,s'eetueàvitesse onstantesurunedurée

τ

^.Elleestreonstituée en sommant

N

^{petitsséismesdont laduréeduglissementest}

t _d = _N ^τ

^.

Loi d'éhelle des spetres soure. C'est le modèledéni par Brune [1970℄.

L'hypothèse la plus simple est d'imaginer qu'en moyenne, le petit et le gros

séismesontenaordaveemodèle.Celasetraduitparlefaitqueleursspetres

d'amplitude en déplaement

| s(f ) |

^et

| S(f ) |

^{sont dénis par un plateau à basse}

fréquene suivi d'une déroissane en

ω ^{− 2}

^{au-delà d'une fréquene oin, inver-}

sement proportionnelle à la taille de la soure. Ainsi, l'équation 1.10 fournit un

modèle de référene moyen, dans le domaine spetral, pour la fontion soure

apparente (gure3.2).

Les diultés renontrées pour reproduire la référene. La probléma-

tique de la sommation des FGE se résume à générer des déalages temporels

t i

permettant de reproduireun spetre de référene. Leproblème peut être appré-

hendéde deux façons :soiten déterminantlesdéalages

t _i

^{de manièrepurement}

ω ⁻²

~M ₀

~m ₀ N ³

U(f)

u(f)

N F _c f _c

S(f)

ω ⁻²

F _c f _c N ³

N N

f f

a) b)

Amplitude Amplitude

Figure1.2

◮

^a)Représentationdesspetresthéoriquesen déplaementduséismessimulé

et de la FGE selon un modèle de Brune [1970℄ (loi d'éhelle des spetres soures). Les

niveauxdesplateauxbassefréquenesontsupposésproportionnelsauxmomentssismiques,

e qui se traduit par la relation :

M ₀ = N ³ m ₀

^{. Cette hypothèse implique que les eets}

de propagation duséismesimulésont identiquesàeux de laFGE. Elleest donvalideen

onditionsdehamp lointainetsilasurfaederupturede l'événementsimuléenglobeelle

dupetitséisme.Parailleurs,lesfréquenesoins

F _c

^et

f _c

^sontinversementproportionnelles auxdimensionsaratéristiquesdessoures,d'oùlarelation:

f c

F c = N

^{. b)}Représentationdu spetremoyen deréférene pourlafontionsoureapparente,égalaurapportdesspetres

théoriquesduséismesimuléetde laFGE.

la rupture (méthodes stohastiques : Joyner and Boore [1986℄; Kohrs-Sansorny

etal. [2005℄); soiten intégrant les eets d'une soure étendue, e quenous sou-

haitons dans notre étude (méthodes inématiques : Irikura and Kamae [1994℄;

Huthings [1994℄; Pavi etal.[2000℄).

Il n'est pas aisé de reproduire le modèle de référene à partir du shéma de

sommationquenous avons dérit.Eneet, au-delàde lafréquene oindu petit

séisme

f c

^{, un ertain nombre d'artefats numériques} apparaissent. Ils sont liés à la disrétisation spatiale et temporelle du séisme simulé, imposée par les lois

d'éhelle et la taille du petit séisme. Ces artefats peuvent prendre la forme de

pis.Citonsparexempleunesériedepisdusàladupliationrégulièredelafon-

tionsouredupetitséisme,apparaissantauxfréquenes

1/t d

^,

2/t d

^{,...(gure1.1).}

Ande les supprimer,Irikura [1983℄propose de diviser lamontée du glissement

du petit séisme en intervalles de temps plus petits, de manière à repousser les

pisvers leshautesfréquenes. D'autrepart, ladistributionrégulièredes petites

souressurleplande faillepeutégalementgénérer un piperturbantlafontion

soureapparenteautour de lafréquene oin

f c

^{.Bour and Cara [1997℄adoptent}

uneproédure simplequionsisteàappliquerunltrepassebas.Lafréquenede

oupure est xée par inspetion visuelle de la fontion soure apparente. Enn,

au-delà de la fréquene oin

f c

^{, la sommation des petits séismes devient ino-}

hérente. Le spetre de la fontion soure apparente se aratérise don par un

plateaude niveau égalà larainearréedu nombre de petits séismesàajouter :

| S(f → ∞ ) | = r M 0

m 0

= N ^{3 2} .

^(1.13)

An de surmonter e problème de surestimation de l'énérgie haute fréquene

(niveau

N ^{3 2}

^{aulieudu niveauattendu}

N

^),Kohrs-Sansorny [2005℄montrent qu'il est néessaired'adapterleshémade sommationdesFGE.Seuleunesommation

en

N ⁴

^{permet d'obtenir à la fois les niveaux basse fréquene ethaute fréquene}

dénis par le modèle théorique.

Notons qu'un moyen de s'aranhir simplement de tous es types d'artefats

est d'utiliser des enregistrement de séismes de magnitude très faible (Wössner

et al. [2002℄). Dans e as, le petit séisme se rapprohe d'un point soure. Sa

fréquene oin est alors repoussée au-delà des fréquenes utiles pour le génie

parasismique (<20-30 Hz).La limite de ette approhe est que lesFGE sont en

générale très bruitées à basse fréquene.

◮

Méthodologies adoptées dans notre étude

Dans le adre de ette thèse, deux approhes ont été utilisées. Bien que la i-

nématique soit relativement omplexe (variations du glissement statique et de

la vitesse de glissement), le prinipe de sommation des FGE reste analogue au

shéma de sommationdéritgure 1.1.Commelepetit séismeest de magnitude

faible (

≈

^{3) quelle que soit l'approhe adoptée, nous admettrons qu'iln'est pas}

aeté par les eets de diretivité. Nous determinerons la relation entre la fré-

quene oin et la taille de la soure grâe à un simple modèle de Brune [1970℄.

Le rayon de la soure

r S

^{est alors} inversement proportionnelàla fréquene oin et suit larelation (

V s

^{représente laélérité des ondes S):}

r _S = 0.33 V s

f c

.

^(1.14)

En faisant l'hypothèse d'un plan de faille arré (dimension

l × l

^{) et de même}

surfae, onen déduit:

l = 0.33 √ π V s

f c

.

^(1.15)

Ainsi,par leture de lafréquene oin sur lespetre en déplaementde la FGE,

nouspouvonsobtenirlesdimensionsd'unesous-faille,mailleélémentairepermet-

tant de reonstituer le plan de faille du séisme simulé. La gure 1.3 représente

les spetres en déplaement de la FGE, enregistrée au roher, utilisée dans la

première approhe. Notons que la détermination de

f _c

^{n'est pas aisée pour un}

séismede sipetitetaille. Eneet, ilya risquede onfusionave

f max

^,fréquene

au-delàdelaquelleladéroissaneen

ω ^{− 2}

^{duspetreendéplaementestmasquée}

par des phénomènes d'atténuation des ondes, dus aux eets de propagation et

de site.Danslapremière approhe, ommenoussouhaitonsétudierlavariabilité

naturelle du mouvement sismique due aux seuls eets de soure, nous nous

ferons l'hypothèse que les paramètres de la FGE sont parfaitement déterminés.

Dans la seonde approhe, les eets des inertitudes sur la FGE, en partiulier

sur la valeur de

f c

^{,seront analysés.}

Méthode de Pavi et al. [2000℄. Dans le seond hapitre de e manusrit,

Fréquence (Hz)

A mplitude

Composante EW

Composante NS

f c

A mplitude

Séisme de Lancey (26/04/2003, M _L =2.9) station OGMU

ω ^-2 ω ^-2

f c

Figure 1.3

◮

Spetre en déplaement du petit séisme utilisé dans la première approhe

développée,enregistréàlastationauroherOGMU(RéseauAélérométriquePermanent,

Grenoble).Ladistaneépientraleestde15km.Leniveauspetralestplaten-dessousdela

fréqueneoin

f _c

^{,estiméeà9Hz.Notonsqu'ilyaunrisquedeonfusionentre}

f _c

^et

f _max

^,

fréqueneau-delàde laquellelespetredéroit plusrapidementquele modèlelassiqueen

ω ⁻²

^{,duaux eets}d'atténuation desondes.L'estimationde

f _c

^{représente donune valeur}

minimum.Enn, lespetre estfortementbruité endessous de 1Hz (Cf. gure1.6).

basé sur un modèle de soure de type ssure(Huthings [1994℄).Dans lebut

de modéliser des séismesdont lahute de ontrainte(

∆Σ

^{) est diérentede elle}

du petit séisme (

∆σ

^{), la loi d'éhelle des paramètres soure est modiée selon}

l'expression :

M 0 = ∆Σ · L ³

^{. Ainsi, le rapport des moments sismiques s'érit}

(Irikuraand Kamae[1994℄) :

M 0

m 0

= cN ³ ,

^(1.16)

où

c

^{est déni omme le rapport des hutes de ontraintes du gros et du petit}

événement :

c = ∆Σ

∆σ .

^(1.17)

Pour tenir ompte d'une déviation de

c = 1

^{, le spetre de la FGE est multiplié}

par le fateur

c

^{et le nombre de sommations sur le plan de faille est adapté de}

manière à onserver le moment sismique du séisme simulé. Les dimensions du

plan de faille sont donmodiées.

Dans le but de supprimer les artefats apparaissant au-delà de

f _c

^{, en parti-}

ulier la surestimation du niveau haute fréquene (en

N ^{3 2}

^{au lieu de}

N

^{), Pavi}

et al.[2000℄ proposent une approhe stohastique. Lafontion soure apparente

est simplement ltrée puis remplaée, au-dessus de

f _c

^{, par un bruit blan de}

niveau spetral égal à

N

^{et suivantune enveloppe temporelle spéique (Figure}

1.4).

Fréquence (Hz)

10 ⁻¹ 10 ⁰ 10 ¹

10 ¹ 10 ² 10 ³ 10 ⁴ 10 ⁵

10 ⁰

R appo rt spec tr al ( -)

sans correction

avec correction du niveau HF

N ^3/2 N

f _c N ³

Figure 1.4

◮

Exemplede spetre de fontion soureapparente obtenu ave la méthode

développée parPavietal.[2000℄,aveetsansorretionduniveauhaute fréquene.Dans

et exemple,

N = 30

^,

f _c = 10 Hz

^et

l = 200 m

^{.D'autrepart, larupture s'initieauentre}

de la failleet l'angleentre les diretions de propagationde larupture et des ondes vers la

station est

Θ = 90

^.

Néanmoins, ette proédure ne permet pas de supprimer systématiquement

les pis générés par la répartition régulière des FGE sur le plan de faille. En

eet, dans ertaines ongurations, es pis peuvent apparaitre àdes fréquenes

inférieures à

f c

^{. An de les réduire, nous proposons d'ajouter une omposante}

aléatoireautemps de rupture de haune des sous-failles. Cette omposanteest

distibuée uniformémentdans l'intervalle[

− 0.5v/l

^,

0.5v/l

^{℄.Le spetre de lafon-}

tionsoure apparente est moyenné sur 50réalisations.L'eet de etteproédure

est illustré sur lagure 1.5.

Fréquence (Hz)

10 ⁻¹ 10 ⁰ 10 ¹

10 ¹ 10 ² 10 ³ 10 ⁴ 10 ⁵

10 ⁰

R appor t spec tr al (-)

sans correction

avec introduction d'une composante aléatoire dans les temps de rupture

f _c

N ³

f ₀

N

Figure1.5

◮

Eet,surle spetrede lafontion soureapparente,de l'introdutiond'une

omposantealéatoiredanslestempsderupturedesFGE.Commedansl'exemplepréédent,

N = 30

^,

f _c = 10 Hz

^et

l = 200 m

^{.Cependant, larupture s'initie surun bord de lafaille}

et

Θ = 150

^.Enn,

v = 2400 m/s

^et

v/V _s = 0.8

^.Ladistribution périodiquedes FGE sur leplan de faille génèreunpi à lafréquene

f ₀ = vC _d /l = 7 Hz

^,sensiblement réduit par l'ajoutde laomposantealéatoire.

Enn, dans ette approhe, nous n'avons pas simulé lemouvement sismique

pour les fréquenes inférieuresà 1 Hz. Eneet, lerapportsignal sur bruit de la

FGEest alors insusant (<3) (Figure1.6).

Méthode de sommation suivant un modèle de

k ^{− 2}

^{. Un algorithme de}

sommation spéique, présenté dans le troisième hapitre, a été développé an

deouplerméthodedesFGEetmodèleinématiquede

k ^{− 2}

^{.Dansetteapprohe,}

lahute de ontraintedu séisme simulé n'est pas ontroléepar lefateur

c

^mais

par le paramètre

K

^{, introduit dans la setion onsarée aux modèles de soure.}

Les dimensions du plan de faille sont tout d'abord xées, en supposant que les

hutes de ontrainte

∆Σ

^et

∆σ

^{sontégales.Nousverronsquel'éartpar rapport}

àette hypothèse orrespond alors àune déviation de

K = K s

^,

K s

représentant larugositédu petit séisme.

Enoutre,danslebutdesimulerlesbassesfréquenesdumouvementsismique

(<1 Hz), une méthode hybride a été employée. Le prinipe est de realuler

numériquement la partie basse fréquene des FGE, trop bruitées en-dessous de

1 Hz. Les FGE sont don remplaées par un ensemble de fontions de Green

hybrides,qui, parsommation,permettent de déterminerlemouvement sismique

0.1 1 10 20 1

10 100

Fréquence (Hz)

Signal / bruit (-)

0.1 1 10 20

Fréquence (Hz)

1 10 100 x10 ^-3

1 2

-2 -1 0

x10 ^-3

1 2

-2 -1 0

Bruit Signal

0 10 20 30 40 0 10 20 30 40

Temps (s) Temps (s)

Accélération (m/s 2 )

Composante EW Composante NS

Composante EW Composante NS

Séisme de Lancey (26/04/2003, M _L =2.9), station OGMU

Figure1.6

◮

Représentation,àlastationauroherOGMU,delaFGEutilisée.Lesfenêtres

de tempsprisesen omptepourlealuldurapportsignalsurbruitsontindiquéesen bleu.

Le signalest bruitéen-dessousde 1 Hz (

signal bruit < 3

^).

1.4 Quelle stratégie adopter pour prédire le mou-

vement sismique généré par un séisme futur?

1.4.1 Introdution

Danslamajoritédesétudesde asonsarées aualuldu mouvementsismique,

le séisme simulé est un événement passé (e.g. Huthings [1994℄; Hartzell et al.

[1999℄; Gallovi and Brokesova [2004b℄, Liu et al. [2006℄). L'objetif est alors

de tester la apaité du modèle, par une étude paramétrique, à reproduire er-

tainsindiateursdu mouvementsismiqueenregistrépendantl'événement(traes

en temps, spetres de Fourier, spetres de réponse, distribution des PGA et

PGV,...). Dansle adre de laprédition d'un événement futurpour une faille et

unsitepartiuliers(préditionenaveugle),puisqu'auuneinformationoner-

nantlesmouvementsdu soln'estdisponible, ilseranéessaire d'estimer a priori

les paramètres du modèle (paramètres de la soure). D'autre part, l'analyse des

données aélérométriquesdees 30dernières annéesamisenévidenequepour

une magnitude, une distane et un type de sol donnés, le mouvement sismique

obtenu étaitfortementvariable.Pour prédirelesmouvementsdu solgénérés par

une failleen un site,ilfaudra donalulernonpas unesolutionmais unepopu-

lationdesolutions,aratéristiquedeladistributiondumouvementsismique.La

notionde variabilitédu mouvementsismiqueestdétailléedanslasetionquifait

suite. Nous dérirons après leslimites des modèles empiriques, méthodes lassi-

quement employées dans lesétudesd'aléa.Enn,nous présenterons ladémarhe

1.4.2 Variabilité du mouvement sismique : sigma

◮

Les Modèles empiriques

Atuellement,les bases de données aélérométriques ontiennent plusieurs mil-

liers d'enregistrements de séismes, fournissant des informations essentielles sur

la nature du mouvement sismique. Cette grande quantité de données permet

d'obtenir des modèles empiriques de prédition du mouvement du sol, appelés

ouramment lois d'atténuation. Ces équations empiriques sont obtenues par

régression en faisant l'hypothèse d'une relation simple entre un indiateur du

mouvement du sol

Y

^{, la magnitude}

M

^{et ladistane entre lasoure et leréep-}

teur

R

^{.Larelationestparfoisomplétéepourteniromptedutypedeméanisme}

delarupture etdes onditions desite. Laformelassiquedes équationsutilisées

pour dériver lesmodèles est la suivante:

log 10 (Y )

| {z }

1

= a 1 + a 2 M + a 3 M ^{a 4}

| {z }

2

+ a 5 log 10 [R

| {z }

3

+ a 6 10 ^{a 7 M} ]

| {z }

4

+ a 8 R

|{z} 5

+ f (site)

| {z }

6

+ ǫ · σ

|{z} 7

(1.18)

1.

Y

^représente l'indiateur du mouvement du sol (PGA,PGV, SA(f),...).

2. La magnitude est souvent dénie omme le logarithme d'un paramètre

indiquant l'amplitude des mouvements du sol. Par onséquent,

log 10 (Y )

est approximativementproportionnelà

M

^.

3. L'atténuation géométrique est en

1/R

^{pour des ondes de volume et en}

1/ √

R

^{pour lesondes de surfae.}

4. Les ondes générées sur le plan de faille proviennent d'une distane supé-

rieure ou égale à

R

^{. D'autre part, la surfae de rupture des séismes aug-}

menteave lamagnitude.La distaneeetiveparouruepar lesondes

est don d'autant plus grandeque lamagnitude est élevée.

5. Une partie de l'énergie portée par les ondes est absorbée par le milieu de

propagation.Cetteatténuation,diteanélastique,entraineunedéroissane

exponentielle de

Y

^ave

R

^.

6. Lesmouvementsdu solssontaetésparlesonditionsde site(roher dur,

roher mou, sédiments,...).

7. Lestermes

ǫ

^et

σ

^{dériventladispersionde}l'indiateur

Y

^{autourdumodèle}

médian(Cf. paragraphessuivants).

Laformulationdu problèmeselon l'équation1.18est extêmementsimpliée.Par

exemplele proessus de rupture sur lafaille qui, nous l'avons vu, est un phéno-

mèneomplexe, n'est pris en ompteque par l'intermédiaire de lamagnitude et

éventuellementun termepréisantletypedeméanisme.Onomprenddonque

es équations empiriques ne peuvent pas expliquer la totalité des données mais