Les pourcentages.
1. Calculer un %.
a) Cas général.
b) Exprimer une augmentation sous la forme d’un %.
c) Exprimer une diminution sous la forme d’un %.
2. Appliquer un %
3. Augmentation exprimée sous la forme d’un %
a) Calculer la valeur après augmentation.
b) Calculer la valeur avant l’augmentation.
4. Diminution exprimée sous la forme d’un %.
a) Calculer la valeur après diminution.
b) Calculer la valeur avant la diminution.
5. Exercices.
Calculer un %.
1) Cas général : a) Introduction :
La notion de % est une application très utilisée de la notion de proportionnalité.
Un % permet par exemple de comparer deux proportions qui, sans être exprimées en %, sont moins spontanément comparables.
Exemple :
Les taux de réussites des lycées au baccalauréat sont différents d’un établissement à l’autre.
Imaginons deux lycées :
Lycée n°1 : 105 bacheliers pour 128 candidats.
Lycée n°2 : 113 bacheliers pour 145 candidats.
C’est être trop rapide de conclure à la lecture de ces données que le lycée n°2 prépare mieux ses élèves au baccalauréat que le lycée n°1.
Certes : 113 > 105. Mais là n’est pas le plus important. Il faut comparer les proportions d’élèves reçus par rapport au nombre de candidats.
Lycée n°1 : taux d’élèves reçus :
128 105
1= t Lycée n°2 :
145 113
2 = t
Il faut maintenant comparer ces proportions, ce qui peut se faire si elles ont le même dénominateur.
Calculer un %, c’est simplement choisir comme dénominateur commun 100 et calculer le numérateur.
% 128 83
100 105 100
128 105
1 1
1 = = p ⇒ p = × ≈
t
% 145 78
100 113 100
145 113
2 2
2 = = p ⇒p = × ≈
t
Transformer les taux de réussite en % de réussite nous permet alors de comparer les lycées : Le % de réussite du lycée n°1 est supérieur à celui du lycée n°2.
b) Calcul d’un % :
Etape n°1 : exprimer la proportion b a Etape n°2 : la convertir en un % p.
100 %
100 b
p a p
b
a = ⇒ = ×
On remarque que : 100%
1 100 1
100
100 = × = ×
×
= ×
= ×
b a b
a b
a b
p a
Ainsi : pour calculer le pourcentage, il suffit de calculer la valeur décimale de la proportion b
aet de la multiplier par 100.
%
× 100
= b p a
c) Exemples :
• Une personne maigrit de 5 kg suite à une maladie. Avant de maigrir, elle pesait 72 kg.
Calculons le % de perte de masse par rapport à la masse avant d’être malade.
Etape n°1 : trouver la proportion. La réponse est dans la question.
Perte de masse : 5 kg : numérateur.
Par rapport : trait de fraction.
Masse avant : 72 kg. Dénominateur.
Proportion : 72
5
Calcul du % : 100% 7% 72
5 × ≈
= p
• Le litre d’essence augmente de 5 centimes d’euro. Avant augmentation, il coûtait 1,39 €.
De quel % le prix augmente-t-il ?
% 6 , 3 139 100
5 × ≈
= p
2) Exprimer une augmentation sous la forme d’un %.
Soit une grandeur qui vaut initialement a (avant augmentation) et qui va, à la fin du processus de i diminution, af
Pour exprimer la diminution sous la forme d’un % :
a) Etape 1 : calculer la variation de la grandeur a, souvent notée ∆adans les ouvrages scientifiques ;
i f
a =a −a
∆
Comme il s’agit d’une augmentation : af >aiet ∆a =af −ai >0. b) Exprimer cette variation en un % de la valeur initiale a : i
% 100
%
100 − ×
=
∆ ×
=
i i f i
a
a a a p a
On remarque que :
100 % 100 1 × 100 = × 100 − 100
−
=
×
−
=
− ×
=
i f i
f i
i i f i
i f
a a a
a a
a a a a
a p a
c) Exemples :
• Une personne grossit. Elle passe de 69 kg à 78 kg. Le pourcentage de variation p vaut :
% 13
% 69 100
% 9 69 100
69
78− × = × ≈
=
p .
• Fin janvier, un salaire est de 1 630 €. Fin février, il est de 1 720 €..
La variation en % est de : 100 5,5%
1630
% 90 1630 100
1630
1720− × = × ≈
=
p d’augmentation.
3) Exprimer une diminution sous la forme d’un % :
Soit une grandeur qui vaut initialement a (avant augmentation) et qui va, à la fin du processus de i diminution, a f
Pour exprimer la diminution sous la forme d’un % :
a) Etape 1 : calculer la variation de la grandeur a, souvent notée ∆adans les ouvrages scientifiques ;
i f
a =a −a
∆
Comme il s’agit d’une augmentation : af <aiet ∆a =af −ai <0. b) Exprimer cette variation en un % de la valeur initiale a : i
% 100
%
100 − ×
=
∆ ×
=
i i f i
a
a a a p a
On remarque que :
100 % 100 1 × 100 = × 100 − 100
−
=
×
−
=
− ×
=
i f i
f i
i i f i
i f
a a a
a a
a a a a
a p a
c) Exemples :
• Une personne maigrit. Elle passe de 87 kg à 72 kg. Le pourcentage de variation p vaut :
% 17
% 87 100
% 15 87 100
87
72− × =− × ≈−
=
p .
Remarque : On peut très bien calculer 100% 17%
87
% 15 87 100
72
87− × = × ≈
=
p et conclure en
disant que la diminution est de 17%
Mais surtout ne pas dire que la diminution est de – 17 %. En effet, une diminution négative serait une augmentation…
• La population d’une ville passe de 105 810 habitants en 2 012 à 97 850 habitants en 2 013.
La variation en % est de : 100 7,5%
105810
% 7960 105810 100
105810
97850− × =− × ≈−
= p
APPLIQUER UN %
Appliquer un % correspond à appliquer une proportion à un nombre k.
Donc : Calculer %a de k équivaut à calculer : a k k
a × = ×
% 100
%
a de a k
k= ×
100
Exemple 1:
Un vendeur de voiture fait une remise de 15 % sur le prix d’un véhicule coutant avant remis 12 800 € . Calcule le montant en € de la remise.
Soit m cette remise : 12800 0,15 12800 1920€ 100
15 × = × =
= m
Exemple n°2:
La population d’une ville de 248 000 habitants diminue de 4,5 % Calculons la nouvelle population, une fois le nombre d’habitants diminués.
Soit n le nombre d’habitants en moins : 4,5 2480 11160
100 248000 5
, 248000 4 100
5 ,
4 × = × = × =
= n
(Je n’explique pas la simplification par 100. la mentionner, c’est l’expliquer.) Soit N la nouvelle population :
236840
11160 248000
=
−
= N
N habitants.
Exemple n°3:
Le prix de l’essence est augmenté de 5%.
Avant augmention, 1 litre coûtait 1,42 €.
Calcule le prix après augmentation : Soit P ce prix et p l’augmentation en € :
071 , 0 42 , 100 1
5 × =
=
p €. P=1,42+0,071=1,491€.
AUGMENTATION EXPRIMEE SOUS LA FORME D’UN %
1. Généralité :
a) Découverte :
Utilisons l’exercice d’augmentation du prix de l’essence de la section précédente :
Le prix de l’essence est augmenté de 5%. Avant augmention, 1 litre coûtait 1,42 €.
Calcule le prix après augmentation : Soit P ce prix et p l’augmentation en € :
071 , 0 42 , 100 1
5 × =
=
p €. P=1,42+0,071=1,491€.
On remarque que :
100 42 5 , 1 1 42 , 1
100 42 5 , 1 42 , 1
491 , 1 071 , 0 42 , 1
× +
×
=
× +
=
= +
=
P P P
Factorisons par 1,42 : 1,42
(
1 0,05)
1,42 1,05 1,491100 1 5 42 ,
1 = × + = × =
+
×
= P Concrètement :
Le prix après augmentation se calcule à partir du prix initial en multipliant par un nombre donné : 1,05.
Que ce soit le prix de l’essence qui augmente de 5% ou les impôts ou la population d’un pays ou que sais-je encore : notons par xla valeur avant augmentation et par y la valeur après augmentation.
( )
xx x
x x x
x de x
y 1 0,05 1 0,05 1,05
100 . 5
%
5 = + × = × + × = × + =
+
=
Conclusion : la valeur après augmention de 5% est proportionnelle à la valeur avant augmentation et le coefficient de proportionnalité est égal à 1,05
100 1+ 5 =
2. Généralisation :
Soit xla valeur d’une grandeur avant augmentation de %a Soit y la valeur de la grandeur après augmentation de %a
On a :
+
×
=
× +
×
=
× +
= +
=
1 100 1 100
100 .
%.
x a y
a x x
y
a x x y
x de a x y
Remarque : on utilise les notations xet ypour faire un lien avec la notion de fonction.
Soit f la fonction mathématique modélisant une augmentation de %a (correspondant à une augmentation de a%)
x : valeur avant augmentation de 100
a x⇔antécédent.
y : valeur après augmentation de 100
a y⇔image
On a :
+
×
→ 1 100
: a
x x
f , soit :
+
×
=
→ ( ) 1 100
: a
x x f x f
3. Exemples de calculs de coefficients liés à une augmentation exprimée en %.
Soit αle coefficient de proportionnalité lié à une augmentation de a%
%
a α f
37% 1 0,37 1,37
100
1+ 37 = + = f :x→1,37x
5% 1,05
100
1+ 5 = f :x→1,05x
48% 1,48
100
1+ 48 = f :x→1,48x
30% 1,30 1,3
100
1+ 30 = = f :x→1,3x
140 % 1+ 1 1,4 2,4
100
140= + = f :x→2,4x
4. Utilisation : Dans toute cette partie : on notera par
xla valeur avant augmentation et par
yla valeur après augmentation.
a.
Calculer la valeur après augmentation : soit calculer l’image à partir de l’antécédent.
Exemple n°1:
En 2012 : la population d’une ville est de 140 000 habitants.
En 2013 : la population a augmenté de 4%.
Calcule la population en 2013.
• Etape n°1 : Calculerα , le coefficient de la fonction « augmentation de 4 % » pour définir cette fonction notée f .
04 , 100 1 1+ 4 =
α = .
La fonction f est définie de la manière suivante : f :x→1,04x.
• x, l’antécédent, est la valeur avant augmentation.
Notons par y la valeur après augmentation : y est l’image de x.
( )
xf
y= avec x= 140 000.
145600 140000
04 , 1 ) 140000
( = × =
= f
y .
Conclusion : la population de la ville est en 2013 de 145 600 habitants.
Exemple N°2 :
Une personne paie 1 450 € d’impôts en 2012. Ses impôts vont augmenter en 2 013 de 15%.
( )
x x xf 1,15
100 1 15 × =
+
= x=1450 f(1450)=1,15×1450=1667,5
Conclusion : Les impôts de Monsieur X seront en 2 013 de 1 667,5 €.
Résumé : Pour calculer la valeur après augmentation : on multiplie la valeur avant augmentation par le coefficient de proportionnalité égal à :
1 100a +
b.
Calculer la valeur avant diminution : soit calculer l’antécédent à partir de l’image .
Comme y=αx alors α x= y
Puisqu’il s’agit de retrouver la valeur avant augmentation, il suffit de revenir en arrière sur la multiplication. Il faut donc diviser par le coefficient α
Exemple n°1 : Après une augmentation de 30 %, les ventes de tablettes numériques d’une société sont
de 3 120 tablettes.
Combien de tablettes numériques cette société vendait-elle de tablettes avant l’augmentation ?
• Attention : bien qu’il s’agisse de retrouver un nombre plus petit, nous sommes toujours dans un contexte d’augmentation de ventes.
Calcul du coefficient : 1,3 100 1+ 30 =
α = f :x→1,3x
. 3 2400 , 1 3120 3120
3 , 1 )
(x = x= ⇒x= =
f
Conclusion : avant augmentation de ses ventes, celles-ci étaient de 2 400 tablettes.
Exemple n°2 : Après avoir grossit de 7 % de sa masse corporelle, une vache laitière pèse 909,5 kg.
Quelle était sa masse avant augmentation ?
Augmentation de 7 %. f x x 1,07x
100 1 7
: × =
+
→ .
Notons par xla valeur avant augmentation : 850.
07 , 1
5 , 5 909
, 909 07
, 1 )
(x = x= ⇒x= =
f
Conclusion : avant de grossir, la vache laitière pesait 850 kg.
Résumé : pour calculer la valeur avant augmentation, on divise la valeur après augmentation par le coefficient de l’augmentation,
1+100a α = .
DIMINUTION EXPRIMEE SOUS LA FORME D’UN %.
1) Découverte :
Utilisons l’exemple N°2 de la section « appliquer un % » pour découvrir la méthode.
La population d’une ville de 248 000 habitants diminue de 4,5 % Calculons la nouvelle population, une fois le nombre d’habitants diminués.
Soit n le nombre d’habitants en moins : 4,5 2480 11160
100 248000 5
, 248000 4 100
5 ,
4 × = × = × =
= n
Soit N la nouvelle population :
236840
11160 248000
=
−
= N
N habitants.
Dans N =248000−11160 , nous allons remplacer 11 160, la diminution du nombre d’habitant, par le calcul conduisant à ce nombre :
11160 248000−
=
N avec 248000
100 5 , 11160= 4 ×
100 5 , 248000 4
248000− ×
=
N Factorisation par 248 000
236840
955 , 0 248000
100 5 , 1 4 248000
100 5 , 248000 4 1
248000
=
×
=
−
×
=
×
−
×
=
N N N N
Concrètement :
Le prix après diminution se calcule en multipliant la population initiale par un nombre donné : 0,955 Que ce soit une population, ou une masse ou que sais-je encore qui diminue de 4,5 % : notons par xla valeur avant diminution et par y la valeur après diminution.
Conclusion : la valeur après diminution de 4,5% est proportionnelle à la valeur avant diminution et le coefficient de proportionnalité est égal à 0,955
100 5 , 1− 4 =
( ) x
x x
x x x
x de x
y 1 0 , 045 1 0 , 045 0 , 955
100 5 , . 4
% 5 ,
4 = − × = × − × = × − =
−
=
2) Généralisation :
Soit xla valeur d’une grandeur avant diminution de %a Soit y la valeur de la grandeur après diminution de %a
On a :
−
×
=
×
−
×
=
×
−
=
−
=
1 100 1 100
100 .
%.
x a y
a x x
y
a x x y
x de a x y
Remarque : on utilise les notations xet ypour faire un lien avec la notion de fonction.
Soit f la fonction mathématique modélisant une diminution de %a x : valeur avant diminution de
100
a x⇔antécédent.
y : valeur après diminution de 100
a y⇔image
On a :
−
×
→ 1 100
: a
x x
f , soit :
−
×
=
→ ( ) 1 100
: a
x x f x f
5. Exemples de calculs de coefficients liés à une diminution exprimée en %.
Soit αle coefficient de proportionnalité lié à une diminution de a%
%
a α f
37% 1 0,37 0,63
100
1− 37 = − = f :x→0,63x
5% 0,95
100
1− 5 = f :x→0,95x
48% 0,52
100
1− 48 = f :x→0,52x
30% 0,7
100
1− 30 = f :x→0,7x
Remarque : Si une grandeur est diminuée de 30%, il est logique qu’il n’en reste que les 70%. Calculer la valeur après diminution de 30% revient à calculer 70% de la valeur avant diminution.
6. Utilisation : Dans toute cette partie : on notera par
xla valeur avant diminution et par
yla valeur après diminution.
a.
Calculer la valeur après diminution : soit calculer l’image à partir de l’antécédent.
Exemple n°1:
En 2012 : la population d’une ville est de 140 000 habitants.
En 2013 : la population a augmenté de 4%.
Calcule la population en 2013.
• Etape n°1 : Calculerα , le coefficient de la fonction « augmentation de 4 % » pour définir cette fonction notée f .
04 , 100 1 1+ 4 =
α = .
La fonction f est définie de la manière suivante : f :x→1,04x.
• x, l’antécédent, est la valeur avant augmentation.
Notons par y la valeur après augmentation : y est l’image de x.
( )
xf
y= avec x= 140 000.
145600 140000
04 , 1 ) 140000
( = × =
= f
y .
Conclusion : la population de la ville est en 2013 de 145 600 habitants.
Exemple N°2 :
Une personne paie 1 450 € d’impôts en 2012. Ses impôts vont augmenter en 2 013 de 15%.
( )
x x xf 1,15
100 1 15 × =
+
= x=1450 f(1450)=1,15×1450=1667,5
Conclusion : Les impôts de Monsieur X seront en 2 013 de 1 667,5 €.
Résumé : Pour calculer la valeur après augmentation : on multiplie la valeur avant augmentation par le coefficient de proportionnalité égal à :
1+100a
c.
Calculer la valeur avant diminution : soit calculer l’antécédent à partir de l’image .
Comme y=αx alors α x= y
Puisqu’il s’agit de retrouver la valeur avant augmentation, il suffit de revenir en arrière sur la multiplication. Il faut donc diviser par le coefficient α
Exemple n°1 : Après une augmentation de 30 %, les ventes de tablettes numériques d’une société sont
de 3 120 tablettes.
Combien de tablettes numériques cette société vendait-elle de tablettes avant l’augmentation ?
• Attention : bien qu’il s’agisse de retrouver un nombre plus petit, nous sommes toujours dans un contexte d’augmentation de ventes.
Calcul du coefficient : 1,3 100 1+ 30 =
α = f :x→1,3x
. 3 2400 , 1 3120 3120
3 , 1 )
(x = x= ⇒x= =
f
Conclusion : avant augmentation de ses ventes, celles-ci étaient de 2 400 tablettes.
Exemple n°2 : Après avoir grossit de 7 % de sa masse corporelle, une vache laitière pèse 909,5 kg.
Quelle était sa masse avant augmentation ?
Augmentation de 7 %. f x x 1,07x
100 1 7
: × =
+
→ .
Notons par xla valeur avant augmentation : 850.
07 , 1
5 , 5 909
, 909 07
, 1 )
(x = x= ⇒x= =
f
Conclusion : avant de grossir, la vache laitière pesait 850 kg.
Résumé : pour calculer la valeur avant augmentation, on divise la valeur après augmentation par le coefficient de l’augmentation,
1+100a α = .
