Alain Rossier 15.04.2015
Résolution du problème du chien
Plaçons un système d’axe comme sur la figure ci-dessous et considérons la trajec- toire du chien comme une fonction de x. Appelons-la f. Supposons que f est deux fois dérivable. Par hypothèse,f(0) = 102.6
A un temps donné, le chien est à une position d’abscissex0 ≥0, et donc d’ordonnée f(x0). Ainsi, le chien aura parcouru une distance de Rx0
0
p1 +f0(t)2dt par une for- mule de la longueur d’une courbe.
En ce qui concerne le maître, quand le chien est à une positionx0, le maître se trouve à l’intersection de la tangente à f en x0 et de l’axe des abscisses. En termes mathé- matiques, comme la tangente à une courbe est donné pary=f(x0) +f0(x0)(x−x0), le maître se trouve à une position(x0−f(xf0(x00),0). Ainsi, il aura parcouru une distance dex0− ff(x0(x00)). On en déduit l’égalité suivante vu que le chien va deux fois plus vite :
Z x0
0
p1 +f0(t)2dt= 2·(x0− f(x0) f0(x0))
En dérivant par rapport à x0, on obtient (on a remplacé x0 par x pour plus de 1
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consistance)
p1 +f0(x)2 = 2·(1− f0(x)2−f(x)f00(x)
f0(x)2 ) = 2f(x)f00(x) f0(x)2
En réarrangeant les termes de cette dernière égalité, on obtient f0(x)
2f(x) = f00(x) f0(x)p
1 +f0(x)2
En intégrant des deux côtés, et sachant que R 1
t√
1+t2 dt = log(1+√t1+t2) +c, où c est une constante arbitraire, on obtient (log est le logarithme népérien)
1
2log|f(x)|= log| f0(x) 1 +p
1 +f0(x)2|+c
Soit maintenantx1 >0 minimal tel que f(x1) = 0. Notre but est de trouver 2x1 car elle correspond à la distance parcourue par le chien avant de rencontrer son maître.
Sur ]0, x1[, f(x) >0 et f est décroissante, donc f0(x) ≤ 0. Ainsi, |f0(x)| = −f0(x).
En prenant l’exponentielle des deux côtés on obtient, avecD=ec>0, pf(x) = −Df0(x)
1 +p
1 +f0(x)2
En isolant la racine pour pouvoir élever au carré, on a successivement pf(x)(1 +f0(x)2) = −Df0(x)−p
f(x)
f(x)(1 +f0(x)2) = D2f0(x)2+ 2Df0(x)p
f(x) +f(x)
De plus, on sait que f0(x) 6= 0 ∀x ∈ ]0, x1[ car si f a une pente nulle à un instant, cela voudrait dire que le chien se dirige parallèlement à l’axe des abscisses, et il n’y aurait aucun moyen que le maître se trouve sur cet axe. On peut donc simplifier par f0(x) dans l’expression ci-dessus.
f(x)f0(x) =D2f0(x) + 2Dp f(x)
f0(x)(f(x)−D2) = 2Dp f(x) Or, on remarque que lim
x→0f0(x) = −∞ car le chien se dirige vers l’origine au début de sa course, avec une pente négative. En faisant tendre x → 0 dans l’équation ci- dessus, si l’on note L = f(0) = 102.6, on a f(0) −D2 = lim
x→0 2D√
f(x)
f0(x) = 0, donc,
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comme D > 0, D = p
f(0) = √
L. et ainsi, en remaniant la dernière égalité, on obtient
1
2Df0(x)p
f(x)−D 2
f0(x) pf(x) = 1
En intégrant par rapport àx, il existe donc une constanteF telle que 1
3D
pf(x)3−Dp
f(x) =x+F
Ainsi, en faisant tendre tout d’abord x→0 dans cette dernière égalité, on obtient F = 1
3D
√
L3−D√ L= 1
3L−L=−2L 3
carD=√
L. Ainsi, en faisant tendre ensuitex→x1 dans l’égalité ci-dessus, comme f(x1) = 0, on obtient x1 =−F = 2L3 . Or, L= 102.6, doncx1 = 68.4
Ainsi, la distance parcourue par le chien est de 136.8 mètres.
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