Feuille 1 : Suites

Universit´e Paris-Sud 2018–2019 Math201

Feuille 1 : Suites

Exercice 1 -

Donner la borne sup´erieure et la borne inf´erieure des sous-ensembles de R suivants : 1. [1,2],]1,2[,

2. {¹_n|n ∈N^?}, 3. {⁽⁻¹⁾_nⁿ|n ∈N^?},

4. f([0,2]) avec f(x) = min(x,√ x), 5. h(]0,2]) avec h(x) = sin(¹_x),

6. k([−2,2]) avec k(x) =







x² si x≥1, 1 si x∈[−1,1],

−x si x <−1.

Exercice 2 (?) - Pour n∈N^?, on d´efinit l’ensemble E_n par E_n ={k+ⁿ_k|k∈N^?}.

1. Montrer que E_n admet une borne inf´erieure, mais pas de borne sup´erieure.

2. Montrer que si k≥n+ 1, alors k+ⁿ_k ≥n+ 1≥infE_n. 3. Montrer que infE_n ≥2√

n. Montrer qu’on a l’´egalit´e quandnest le carr´e d’un entier.

Exercice 3 - Calculer les ´eventuelles limites des suites suivantes. Pour les deux premi`eres questions, on utilisera la d´efinition d’une limite donn´ee dans le cours.

1. un=aⁿ, a∈R(on discutera selon les valeurs de a).

2. u_n= ⁿ_n!ⁿ, v_n= ₂^n!n, w_n = ^a_n!ⁿ. 3. u_n=

q

4 + ⁽⁻¹⁾_nⁿ, v_n= ⁽⁻¹⁾_n2ⁿ−8ⁿ²⁺⁵, w_n = ³ⁿ_n^2−n+cos2−sinnⁿ, x_n= sin(2⁻ⁿ)2⁻ⁿ, y_n = ²ⁿ⁺³_4n+5, z_n= ²ⁿ_e²n⁺³ⁿ⁻⁷−n⁸ .

4. vn =n^1/ln(n), wn= ln(n)^1/n, zn =n^1/n. 5. u_n= ⁿ₂ⁿn, v_n= ^exp_nnⁿ, w_n= _(n!)ⁿⁿ_1/2.

6. u_n= sin(^πn₂ ), v_n = (−1)⁽⁻¹⁾ⁿ, w_n= ¹₂2⁽⁻¹⁾ⁿ

.

1

Exercice 4 - Donner les valeurs d’adh´erence des suites d´efinies de la mani`ere suivante : u_n = (−1)ⁿ, v_n= sinnπ

2 , w_n= sinnπ 3 , x_n= (v_n)ⁿ, y_n=|v_n|^n/2, z_n =nv_n.

Exercice 5 - On consid`ere la suite (u<sub>n</sub>)n∈N d´efinie de la mani`ere suivante : u_n=

_nπ

3 si n= 2m+ 1, m∈N,

nπ

2 si n= 2m, m∈N.

On d´efinit alors la suite (v_n)n∈N par v_n = sinu_n². Quelles sont ses valeurs d’adh´erence ? On pourra consid´erer les cas o`u n= 3q,n = 3q+ 1,n = 3q+ 2, o`uq est un entier naturel.

Exercice 6 -

1. Montrer que pour tous entiers n≥2 et p≥1, on a

n+p

X

j=n

1 j² ≤

Z n+p n−1

1 x²dx.

2. Pour tout entier n≥1, on pose

S_n =

n

X

j=1

1 j².

Montrer que la suite (S_n)_n≥1 est une suite de Cauchy. Que peut-on conclure?

3. G´en´eraliser ce r´esultat aux suites (S_n^m)_n≥1 avec m entier sup´erieur ou ´egal `a 2, et

S_n^m=

n

X

j=1

1 j^m.

Exercice 7 (?) - On consid`ere (x_n)n∈N une suite r´eelle born´ee et on d´efinit, pour tout entier m ∈N, ym = inf{xn|n≥m} etzm = sup{xn|n≥m}.

1. Montrer que pour tout entier m : y_m ≤z_m.

2. Montrer que la suite (y_m)_m∈N est croissante et que la suite (z_m)_m∈N est d´ecroissante.

3. Soit l un r´eel. Montrer la suite (x_n) tend vers l si et seulement si les suites (y_m) et (zm) tendent vers l.

4. On suppose maintenant que x_n = cosn^π₄. Que peut-on dire des suites (x_n), (y_m) et (z_m)?

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