Robustesse et recherche opérationnelle en aide à la décision (RO-AD)

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décision (RO-AD)

Bernard Roy

To cite this version:

Bernard Roy. Robustesse et recherche opérationnelle en aide à la décision (RO-AD). Annales de

l’ISUP, Publications de l’Institut de Statistique de l’Université de Paris, 2012, 56 (2-3), pp.5-16. �hal-

01511234�

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Pub. Inst. Stat. Univ. Paris 56,fasc. 2-3, 2012, 5-16

ROBUSTESSE ETRECHERCHEOPÉRATIONNELLE ^{EN AIDE}À^LA

DÉCISION_(RO-AD)

Par BernardRoy1

LAMSADE, UniversitéParis-Dauphine

Résumé. L’article débute par une présentation succincte de ce dont s’occupe la discipline RO-AD; deux exemples sontensuite présentés. Le sensdans lequel le qualificatif«robuste » est utilisé en RO-AD est précisé en section 3 où il est également expliqué pourquoi la recherche de robustesse constitueunepréoccupation importantedanscettediscipline. Pour bien répondre àcettepréoccupation, il importe de convenablementprendre encomptedeux nécessités quisontprésentées dans la section suivante. La section 5 est consacrée au schéma dans lequel se situent actuellement les réponses classiques apportées à cette préoccupation. Les deux dernières sectionsavantla conclusion donnentunaperçu surdes approches moins classiques.

Abstract. Robustness for Operational Research and Decision-aiding(ORDA)2.The articlebegins withasuccinct présentation of that which the discipline of ORDA seeks

toaccomplish and thengoes ontodeveloptwoexamples. The meaning of the qualifier robust,asused inour paper,is detailed in section three that explains why the search for robustness isamajorconcem.Tomeettheconcemproperly, thetwonecessities presented in section fourmustbe appropriately taken into considération. Section five dealswith theschémaencompassingcurrentstandardanswers.Thetwolast sections before the conclusionprovideanoverview of less traditional approaches.

Comme entémoigne ce numéro spécial des annales, lapréoccupation ^de robustesse est présente dans de nombreuses disciplines. C’est notamment, le cas en Recherche Opéra- tionnelleetAide à la Décision(RO-AD). Je commenceraiparprésentercedont s’occupe

cette discipline etintroduirai deux exemples quime servirontparla suite. J’expliquerai

ensuitepourquoi la robustesse constitue unepréoccupation importante enRO-AD. Cela

me conduiraàmettre l’accent surdeux nécessitésqui doivent être prises encomptepour bienrépondre à cettepréoccupation. Je présenterai ensuite le schéma dans lequel se si-

tuentactuellement la plupart destravaux ainsi quela façon dont le concept de solution

robusteestleplus souvent pris en compte.Je terminerai enparlant des travaux plus ré-

centsqui sortent du schéma précédent: autres définitions de solutions robustes et autres formes deréponses (conclusions robustes).

1. La RO-AD : du quoi s’agit-il ? Pendant la guerre 39-45, les militaires des forces alliées ont mobilisé un certain nombre de scientifiques (essentiellement des mathématiciens) ^pour éclairer des décisions de nature stratégique et tactique sur les théâtresd’opérations.Celaaété baptisé Recherche Opérationnelle (RO). Après laguerre, ces scientifiquesonttransposédans ledomaine des entreprises^cequ’ils avaient fait dans le domaine militaire. C’est ainsi _{que se} sont développées la programmation linéaire, la théorie desjeux, la théorie des files d’attente,... Dès la fin desannées 40,enAngleterre,

Professeur émérite

orROAD,Frenchacronymfor recherche opérationnelleetaide à la décision

aux Etats-Unis etun peu plustard en France, des sociétés de conseil ont fait figurer le

terme Recherche Opérationnelle dans leur raison sociale. Mise à part sa composante purementmathématique, laROestintimement liéeàl’Aideà la Décision (AD) commele souligne l’intitulé«SociétéFrançaise deRecherche OpérationnelleetAideà la Décision

»de l’associationquia pourvocation de rassembler chercheursetpraticiensdudomaine.

Cellesetceuxqui, dans les entreprises oudans les médias, emploient le terme«Aideà

la Décision» nefont pasnécessairement référence àuneactivité de caractère scientifique.

Enrevanche, lorsqu’en RO-ADonparle d’aide à la décision, c’est obligatoirement avec

une approche scientifique des problèmes qui impliquent décision. La définition suivante

estcommunément admiseet souventreproduite :

L’aide à la décisionestl’activité de celleouceluiqui,prenantappui surdes modèles

clairementexplicitésmaisnonnécessairement formalisés, aide àobtenir des éléments de réponsesaux questions que se pose un intervenantdans un processus de décision. Ces

éléments doivent concourir àéclairerladécision, communiqueràsonsujet, élaborer des

recommandationsou encoreàfavoriser uncomportementdenatureà accroître la cohé-

renceentre l ’évolutiondu_processus de décisiond’unepart, les objectifsetles systèmes

de valeurs au service desquels cet intervenant se trouve placé d’autrepart (cf. Roy, 2008).

Concernant laRecherche Opérationnelle, jene peux pasdonner de définitioncar il n’y

en apas qui fasse consensus. Lapremière ^a été ^«la recherche opérationnelleestce que fait la société de recherche opérationnelle du NewJersey». (pour plus de précisions, le

lecteur intéressé pourraconsulter Faureetal., 2009etVallin, Vanderpooten,2006).

Voici,parmi beaucoupd’autres, quelques domainesd’applications de la RO-AD : ordonnancementde tâches dansunatelierou sur unchantier,

organisation de tournées de livraisonouderamassage,

élaboration de tableaux de marche ou d’habillage d’horaires dans une société de transport,

gestion de l’eau dans les barrages,

affectationdeparcelles de territoires àdes catégoriesderisques,

affectation decellules cancéreuses à destypesde pathologies,

routagedes communicationsdans^unréseautéléphonique, conception de circuits intégrés,

Je crois utile d’attirer ici l’attention du lecteur sur les points suivants. Celle ou celui,

courammentappelé l’analyste,qui pratiquel’aide à la décision prend appuisurdes hypo-

thèses de travailet des modèles afin depouvoirobtenir, surdes bases scientifiques, des

résultats. Ceux-ci peuventprendre des formes variées: solutions satisfaisantes ouopti-

males,propositions de compromis, constats d’incohérenceoud’incompatibilité, énoncés

de conclusions, voire de recommandations,... Il importe de ne pas perdre de ^vue que l’AD n’a pas pour objet de dicterau décideur«la bonne décision». Elleneprétendpas

découvrir des vérités cachées. L’activité d’aide à ladécision doit être conçue en vue de

son insertion dans leprocessusde décisionafin de le faireévolueren conformitéavecles objectifs des diverses parties prenantes et à faciliter la communication entre ces

parties

prenantes.

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2. Deuxexemples concrets

a) Détermination des caractéristiques d’un réseaud’adduction d’eau dans une zoneà

urbaniser

J’ai étéconfronté àceproblème àuneépoque oùil n’étaitpasencorequestion de robus-

tesseenRO-AD. J’étais alors directeur scientifique de la société SEMA (Metra Interna- tional).Un ingénieurenchef des Ponts etChaussées, René Loué,estvenu medemander

cequeje pensaisde la façon dont les ingénieurs ducorpsdes Ponts utilisaient^unmodèle

de rechercheopérationnellepourdéterminer lastructureainsique les principales caracté- ristiques d’un réseau d’adduction d’eau destinéàdesservirune zone à urbaniser. Ce mo- dèle, très sophistiqué, devait permettre de définir le réseau optimal apte à satisfaire au moindre coût unedemande de consommation d’eaubiendéfinie, année après année sur

une période de 30 ans, dans chacun des quartiers de la zone. A partir du plan d’occupation des sols prévupourchacun desquartiersetdes prévisions de consommation

d’eau des ménages etdes entreprises, les ingénieurs avaient déterminé le volume d’eau jugé le plus probablequele réseau aurait àdistribuerannée aprèsannée dans chacun des

quartiers.

Selon René Loué, les plans d’occupation des sols avaienttoute chance de se transfor-

mer; la façon dont la demande d’eaupouvait évoluer était également très mal connue.

Comptetenudecettemauvaise connaissance etdes àpeuprès de la modélisation, René

Louéjugeaitque l’optimum trouvé était parfaitement illusoire. Sidans quelques années,

encertainspoints du territoire, la demande dépasse fortement cellequi avaitétédétermi-

néecomme laplus probable (demande àlaquelle le réseauaété ajustéaumieux), il fau-

dra défoncer lesruespourmodifier les canalisations, enajouter de nouvelles etmodifier

certaines autres caractéristiques du réseau. Siau contraire la demande réelle s’avère très

inférieure à cellejugée probable, on aurafait des dépenses d’investissement inutiles. Re- chercher les caractéristiques du réseau qui,pour unedemande jugéeconnue (année après

annéeetquartierparquartier), conduitàuncoût d’investissementetd’exploitationmini-

mumn’estsans doute_pasla bonne façon de formuler le problème. Il faut plutôt chercher

àappréhender le réseau qui pourraitêtrele plusapteà résister àune gamme de demandes jugées vraisemblables ^enprenanten compteles coûtsqui résulteront de l’adaptation à la

demande réelle. Cela nécessiteenpremier lieu de^{ne pas se}limiter àununique scénario

de demandejugéela plus probable mais d’introduireune gammede scénarios plausibles.

Il faut en second lieu _que le modèle prenne en compte ce que coûtera l’adaptation du

réseau initialement_conçuà celui des scénariosqui^seréalisera.

b) Choix de la meilleure proposition suite àunappel d’offres

Jevaisprésentercetypede problème en meréférantàun casconcretàla résolution du- quel j’ai collaboré ilya un peuplus de vingtans.Acetteépoque, laPostefrançaise avait

décidé d’équiperses centres de tri régionaux de machines de tri paquets. Ces machines

n’étaient pasencoretrès aupoint. C’est pourquoi la Postealancéunappel d’offres inter-

nationalen vuede la réalisation d’unprototype.L’appel d’offres comportaituncahier des chargestrèsprécisetlimitait lecoûtde la machine de sérieàun «coûtobjectif spécifié».

La Posteareçuquinzeréponses.

Chaque réponseaétéévaluéesur 12critères: le coût duprototype, le délai annoncé, le

nombre de directions de tri, le nombre depaquetstriés à l’heure, letauxdepaquetsreje-

tés oumaltriés, le niveau de bruit, la facilité du maniement des sacs,la surfaceoccupée,

la confiance dans le fournisseurquantàsa capacité àrespecterses engagements etenfin

trois critèresplus techniques. Chaque offreétant ainsi caractériséepar ses 12évaluations,

commentchoisir la meilleure ?Ici, il n’ypas uncritère unique à optimiser. Il^neparaît^pas

réaliste de vouloir en concevoir un qui prendrait en compte les 12 évaluations compte tenu del’hétérogénéité des dimensions surlesquelles les offressont évaluées. Quelle^que

soit laprocédureretenuepouréclairer le choix, deuxaspectsduproblèmedoiventprisen compte:

i) La façon d’évaluer les propositions surchacun des critères comporteinévitable-

mentunepartd’incertitude, voire d’arbitraire.

ii) Le décideur souhaite que certains critères jouent un rôle plus important que d’autres.

Je reviendrai parla suite surchacun deces deuxaspectsquinesont pas spécifiquesau

problème particulier considéré ici.

3. La robustesseenRO-AD: dequoi s’agit-il ? Comme le laissent entrevoir les deux exemples précédents, le caractère scientifique de la démarcheenRO-ADestlimitéparla présence d’àpeuprès^et l’existence dezones d’ignorancesqui affectent aussibienlamo- délisation que cequ’il estconvenu d’appeler les données. Voici quelques exemplesdeces à peuprèsetzonesd’ignorances :

- la modélisationoblige à simplifier la réalité:ily asouventplusieurs façonsde le

faireetonn’enretientqu’uneseule;

- telle donnée dont la valeurestdiscutableestpriseencompte commesi elle était

certaine_;

- une variable aléatoire est supposée gaussienne principalement pour faciliter les

calculs _;

- une autre source d’à peuprès quipasse souvent inaperçueconcerne la façon de

traiter les nombrescommes’ilsreprésentaientunequantité: undélai doublese- ra,dans le calcul, comptécomme deux foisplus pénalisant alors que, enfait, il

l’estpeut-être beaucoupplusoubeaucoup moins;

- lorsqu’on modéliseunsystèmede contraintes (technique, économique,social,...),

on ignore souventjusqu’oùon peutaller pour resterdans les limites (de près- sion, de budget, de capacité,...) qui marquent ou marqueront dans l’avenir la

frontière dupossibleoudel’acceptable;

- en présence de critères multiples, onfait généralement appel à lamétaphore du poidspour différencier le rôle que doivent jouer les différents critères; or, ces poidsnerenvoientleplus souvent àaucuneréalité objective etla façon dont ils opèrent dans lemodèleestgénéralementloin d’êtrelimpide.

Pourapporterdes réponsesutilesaudécideur,il importe deprendreencomptecesàpeu près et zones d’ignorances (souvent englobés ^sous le ^terme général d’incertitudes). En

effet,ne pasentenircomptepourrait conduire à desrésultatsillusoires.

En RO-AD, robuste estun qualificatifqui serapporte à uneaptitude à résister à des

«à_peuprès^{» ou} à des «zones d ’ignorances^» afin deseprotéger d ’impacts jugés re- grettables telsquerésultats beaucoupplusmauvaisque ceux escomptésou dégradation

depropriétésquidevaient êtrepréservées.

Le qualificatif robuste s’applique à des entités variées: solutions,conclusions, recom- mandations, méthodes,... La robustesse concerne avant tout une préoccupation. Cette préoccupation doit être présentetoutaulong du^processusd’aide à la décision,y compris

aumoment de la formulation duproblème. Ceci, déjàévoqué à la fin du 2.a, estégale-

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mentmisenévidence_par l’exemple pédagogique suivant, lequel fait^enoutreressortir la partde subjectivitéquela préoccupation de robustessecomporte.

Pouraller de A àB,MadameDhésiteentretrois solutions:

Métro : cette solution nécessiteunchangementmais lemétro estfréquentetelle est capable d’estimer la durée du trajetavec unepetitemarged’incertitude;

Buspuis train : lepassage du bus qui l’amène à lagare n’estpas très régulier; en outre,elle^neconnaîtpasl’heure des trains mais ils sontbeaucoup plus rapidesquele

métro_; il s’ensuit que cette solution est plus rapide que la solution métro mais qu’elle peutêtre aussi significativementplus longue s’il faut attendre le bus puis le

train_;

Voiture: enl’absence d’embouteillages,c’estla solution la plus rapide des trois.

Si ledéplacement deA à Best exceptionnel etsi Madame Dtient absolument àne pas êtreenretard, la solutionmétro,bien qu’étantla plus longue, lui apparaîtracommela plus

robuste. S’il s’agit aucontraire d’un déplacementrégulieretsi Madame D considèreque des petits retards (pourvu qu’ils ne soientpas trop fréquents) sont tolérables, elle peut estimer que, en moyenne, le tempsavecle métro esttrès supérieur à celui ^avec chacune

des deux autres solutions. La solution la plusrobuste est donc à choisir parmi ces der-

nières:même si lesembouteillagessontpeufréquents, MadameDpeutredouterquececi

occasionne des résultats intolérables qui lui semblent beaucoup moins vraisemblables

avec la solution bus-train. C’est donccettedernièrequi lui apparaîtracommeétant la plus

robuste.

Danscequi suit, j’appellerai représentation formelle (RF) le modèlesurlequel l’aide à

la décisionprendappui ainsique les procédures quisontutiliséespourexploiterce mo- dèle afin d’obtenir desrésultats. J’appellerai réalité vécue (RV) la réalité dans le cadre

delaquelle les décisionsprisesserontmisesà exécutionetjugées.

Les décisions pourlesquelles l’aideàla décisions’exercedevrontêtremises à exécution

dans uncontexteréelqui ne sera sansdoutepas rigoureusement conforme aumodèle sur

lequel F

aide apris appui. En outre, ces décisions pourront êtrejugéesen faisant référenceàun

système de valeurs qui ne sera pas nécessairementenparfait accordavec celui qui aura été utilisé pourconcevoiretexploiter le modèle. Uneparfaite conformité entreRFetRV paraît donc pratiquement impossible. Cette absence de conformité provient de l’existence

des à peu près et zones d’ignorances. La préoccupation de robustesse conduit à les prendreencompteaumieux dansRF,aumoinsen cequi concerne ceuxqui, s’ils étaient ignorés, rendraient l’aide à la décision inapteà protéger le décideur contre les impacts qu’il juge regrettables.

Dansuncontextedécisionnel donné,l’analyste doit,^pourbien répondre àcettepréoccu- pationderobustesse, s’efforcer de concevoirRFentenantcomptede deux nécessitésque

je vais maintenantexpliciter.

4. Deux nécessités pourbienrépondreà lapréoccupationde robustesse.

Première nécessité : inventorier avec soin et convenablement prendre ^en compte dans RFtouslespointsdefragilité.

Pardéfinition, un point de fragilité estun endroit du modèle ou d’une procédure ex-

ploitant ce modèle où se nichent des àpeuprès ou des zones d’ignorances. Prendre en compte unpoint de fragilité, c’est retenir àson sujet soituneunique option, soitun en- semble d’options possibles. Une option correspond àune façon particulière, précise de

traiter l’à peuprèsoulazoned’ignorance.Uneoptionpeutparexemple correspondre à:

- unevaleur certaine attribuée àunedonnée mal^{connue ou}àunparamètre maldé- fini,

- unjeu de valeurs fixant le poids attribué à chacun descritèresconsidérés,

- une distribution de probabilités particulière pour caractériser une variable aléa- toire,

- une hypothèse simplificatrice permettant de prendre en compte un phénomène complexe,

- une façonparticulièrede construireuncritère pourprendreencomptenpoint de

vue,

- une valeurpossibleattribuée àunparamètre technique intervenant dansune pro- cédured’exploitation,

- unchoix d’une solutionparmi cellesquisontdans le voisinage d’un optimum.

Etant donnéunpoint defragilité recensé, l’analyste doitsedemander si, ^{en ne}retenantà

son sujet qu’une seuleoption, ilne courtpasle risquequeles résultats fournisparletrai-

tementdumodèlemasquentl’existence d’impactsquele décideurpeutjugerregrettables.

Si tel estle_cas, il doit s’efforcer de concevoir un ensemble d’options aptesàmettre en évidence les diverses éventualités. Cet ensemble peutêtre discret (quelques valeurspos- sibles,plusieurs jeux de poids, deux outrois distributions de probabilités, deux outrois hypothèses envisageables) oucontinu (intervalles de valeurs possibles,familles dedistri-

butions de probabilités caractérisées par des paramètres prenant leurs valeurs dans des

intervallesdonnés,...).

Deuxième nécessité :élaborer des formes deréponsesaptesà aiderle décideur àse pro- téger des impacts regrettables quipeuventrésulter de la présence des àpeuprès etzones

d’ignorances deRF.

Ces formes de réponses doivent prendre en compte ce que le décideur attend de cette protection. Y a-t-il desniveaux d’impacts qu’il est prêt à tolérerdans certaines circons-

tances? Y^ena-t-il d’autresqu’il jugeinacceptablesetvis-à-visdesquels ilveutêtre^pro- tégé quoi qu’il arriveetquoi qu’il puisse lui encoûterpar ailleurs ?Selonce que serala

réalitévécue, la solutionadoptée parledécideurpourra, du faitde la présencedes à peu prèsetzonesd’ignorancesdansRF,concilierplusoumoins biend’unepartsonbesoin de

protection et,d’autre part, son souhaitd’optimiser leoules critères de performancesqui

serventà évaluercettesolution.Lesformes deréponsesélaborées parl’analysteneseront

véritablement utiles au décideur que s’il l’informe suffisamment pourqu’il soit apte,

compte tenudesa propresubjectivité, à décider faceàcesdeux risquesantagonistes :

Etre mal protégévis-à-vis de l’occurrence de trèsmauvaises performancesrévé-

lantl’existenced’impactsregrettables;

Etre dansuneposition qui leconduitàrenoncerà l’espoir de bonnes,voire detrès bonnes,performances.

Lafaçon dontcesdeux nécessités sont prises encompte dans les publications actuelles

m’a conduit àun doubleconstat. En voici unebrève présentation (pour plus de détails,

voirRoy, 2010a).

Premierconstat: lespoints defragilité généralement prisencompteconcernentexclu-

sivement des ^«données» dont l’objetest de faire intervenir dans RF un aspectde RV qualifié d’incertain.

Cetteconception conduitàconcevoirunensemble de scénarios pourdécrire la totalité

des réalités susceptibles d’être vécues que la préoccupation de robustesse nécessite de prendreen compte. Unscénario estdéfini par uneunique option choisie relativement à

chaque point de fragilité au sein de l’ensemble de celles qui lui sontassociées. Ceten- semble de scénariospeutêtrefini^ouinfini.

C’estainsi qu’unebonne formulation du problème présentéau2.a conduit à faire inter-

venir, à côté de la chronique des volumes d’eau jugés les plus probables (quartierpar

quartier), d’autres chroniques; chacunedes chroniques envisageables constitue alors ^un

scénario. Cet exemple montre en outre que les points de fragilité à prendre en compte peuventaussi provenir del’existence d’àpeuprèsetdezonesd’ignorances qui^{ne se rap-}

portentpasnécessairement à des données ayanttrait à desaspects incertains de RV. La

modélisation de réseaux d’adduction d’eau aptes àrépondre, dans lazone considérée, à

une demande donnée fait intervenir divers paramètres techniquespour chacun desquels plusieurs options peuventêtre envisagées quant à la valeur qu’il convient de leur attri-

buer. Deplus, le critèred’optimisation quipermetd’exploitercemodèlepeutêtre formu-

lé de diverses façons. Il s’ensuit qu’utiliser le terme scénario pour décrire un choix d’options relatif à detels pointsdefragilitépeutêtreinappropriépourcommuniqueravec le décideurqui risque d’attribuer àcetermeun sensdifférent. Pourquetousles points de fragilité soient pris encompte, sansaucune restriction, il meparaîtpréférable de substi-

tuer, au conceptde scénario, celui de version (de laformulation du problème),une telle

version restant définie comme une combinaison d’options prenant en compte tous les points de fragilité retenus. Toutefois, dans la suite decet article, je continueraià parler

exclusivement de scénario. Ilimporte enfin dene pasnégliger les points de fragilité qui

peuvent se nicher dansla façon d’exploiter le modèle. Celapeut conduire à prendre en comptenon pas uneunique procédured’exploitation maistoutescelles d’un ensemble P, chaque procédure^p étant ici encore définie par l’option précise qui la caractérise ^pour

chacundespoints de fragilité qu’ellecomporte.

Second constat: la plupart des auteurs ne s’intéressent qu’à une seule forme de ré-

ponse : trouver une (éventuellement plusieurs) solution pouvant être qualifiée de « ro- buste» ; pour donner sens à ce qualificatif, ils se placent dans un modèle de RF où la performance d’unesolutionestdéfiniepar ununique critère etils font jouerunrôle privi- légié à la performance de cette solution dans le pire scénario pour enmesurer sa robus-

tesse.

Cetteforme deréponserepose sur unconceptassezparticulierde solution robustequi prend place dans le cadre d’un schéma lui-même assezrestrictifqueje vais maintenant présenter.

5.Un schémacadrepourrépondreà la préoccupation de robustesse. Ceschémapeut êtredéfini_parles trois traits caractéristiques suivants.

Trait caractéristique n° 1 : dans RF, les décisions à étudier sontmodélisées entant

qu’élémentsa d’un ensemble A de solutions dites admissibles. Ununique critèreg asso- cie, àchaque élément^adeA,uneperformance g(a).Cecritèrepermetde définir laoules solutionsoptimales indépendamment detoutepréoccupation de robustesse.

L’ensemble A peutêtredéfini ^encompréhensionparl’ensembledes solutions d’unsys- tème de contraintescommec’est lecasdans l’exemple du2.a. Danscetexemple, le cri-

tère_gestuncritère decoût qu’il s’agit de minimiser.L’ensemble A peutaussi être défini

en extension par une liste comme c’est le cas dans l’exemple du 2.b. Dans ce dernier exemple, iln’est toutefoispaspossiblede caractériser laperformance d’une offrepar un

unique critère qui seraitàoptimiser.

Trait caractéristique n° 2: une unique mesure est définie pour donner ^sens à l’assertion«la solutionxestaumoins aussi robuste que la solution^{y ».}Cettemesure(et elleseule) intervientpourqualifierunesolution de robuste.

Depuis l’ouvrage célèbre de Kouvelis et Yu (1997), trois mesures de robustesse sont particulièrement utilisées. Je les présenteci-après dans le^casoùle critère^gestàminimi-

ser. Jeparlerai àson sujet d’un coût (ce coûtvalant plus l’infini^{pour une}solutionxqui

n’est pasréalisable dans^unscénario seS ^.

Lapremière de ces mesuresprend appui surla notion de coût garanti. Le coût garanti

d’une solution x estle coût le plus élevé quele modèle associe à cette solution: c’est

donc laplus grande valeurqueprend g(x) dans l’ensemble des scénarios. Prendrececoût garanti commedéfinition de lamesurede robustesse équivaut à admettre qu’unesolution

xestjugéeaumoinsaussirobuste qu’unesolutionysietseulement si lecoûtgarantipar x estauplus égal à celui garantipary.

Les deux autres mesures de robustesse prennentappui sur le concept de regret; l’une

fait intervenirunregretabsoluetl’autreunregretrelatif.Unesolutionx ayantété choisie, lorsque le scénario qui se réalise est connu, le décideur peutêtre amené à comparer le

coûtg(x) auquel ilesteffectivement conduit dans cescénario à celui auquel il aurait été

conduit si la solution choisie avait été la meilleure danscescénario.Leregretabsoluest, pardéfinition, la différenceentrelavaleur ducoûtg(x) dans le scénario quiseréaliseetle

coût associé àla solution optimale dansce scénario.Leregretrelatifestdéfini^endivisant

leregretabsolu^parlecoûtde la solution^x dans lescénario considéré. Certes, le décideur ignore celuides scénarios qui vaseréaliser mais la valeur maximumqueprend le regret (absolu ourelatif)dans l’ensemble des scénarios permetd’associer, à chaque solutionx,

ceque l’onpeutappelerunregretgaranti. Prendreceregretgaranti commedéfinition de

la mesurede robustesse équivaut à admettre qu’une solutionx estjugée aumoins aussi

robustequ’une solutionysietseulement si leregret garantiparx estauplus égal à celui garantipary.

Traitcaractéristique n° 3 : l’uniquemesurede robustessechoisienefait intervenir que les seuls scénarios dans lesquels elle conduit à lapire performance ^{ou au}pireregret, ce qui se passe dans les autres scénarios nejouant aucun rôle; les solutions robustes sont

cellesqui optimisent la^mesurede robustesse dans l’ensembledesscénarios.

Les mesures de robustesse co-garanties, regret (absoluou relatif), garanti conduisent à

neprendre encomptepour savoir siunesolution^xmérite d’être qualifiée derobusteque

cequise passedansles scénarios qui luisontle plus défavorables (soitentermesdeper- formance, soitentermesderegret), quelquesoitcequise passedans lesautresscénarios.

C’est làunefaçon trèsparticulière derépondreàlapréoccupation de robustesse.Ellepeut

nepascorrespondre àl’idéeques’enfait ledécideur. Il sepeutqu’unesolution ainsiqua-

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lifîée de robuste conduise à des coûtsouàdes regrets quirestent fort médiocres dans un trèsgrand nombre descénarios. Asseoir la préoccupation derobustessesurl’optimisation

d’un coût^oud’unregret garanti,c’estadmettrequ’il importeavant toutde seprotégerle

mieuxpossible decequipourraarriver si le scénario quiseréalise estle pire (entermes

de coûtouderegret) vis-à-vis de la solutionretenue. Cette façon d’envisagerlapréoccu- pation de robustesseneconvient donc àundécideurqui si ila unetrès forte aversionvis-

à-vis durisque.

Letrait caractéristiquen° 3 fait jouer au(x)scénario(s) qui détermine(nt) l’optimum de

lamesurede robustesseunrôle déterminant_pourdéfinir la (ou les) solution(s) robuste(s).

Ce(ou ces) scénario(s)peut(ou peuvent) être trèspeuvraisemblable(s) (correspondrepar

exemple à des combinaisons d’options extrêmes). Supprimerce (ou ces) scénario(s) de

l’ensemble Speutconduire à définircommerobustes des solutionstoutà fait différentes.

Cette dépendance de la solution qualifiée de robuste à la présence de telou tel scénario

dans S apparaît clairement, dans le cas de la conception d’un réseau d’adduction d’eau (cf. 2.a), lorsquel’ensemble des scénariosestconçu commeil aété suggéréen section4 (voir fin du premier constat).

6. Autres façons de définir le conceptde «solutions robustes». Les considérations qui précèdent expliquent pourquoi un certain nombre d’auteurs ont cherché à proposer des définitions de «solutions robustes» en s’affranchissant du trait caractéristique n° 3 (voir àcesujet AïssietRoy,2010 etRoy, 2010a). J’ai moi-même proposé trois nouvelles

mesures de robustesse (Znv-absolute robustness, èw-absolute déviation and Mv-relative déviation). Ellesontpourobjet de permettre audécideur de mieux prendre ^encompte la façon dontil souhaite concilier les deux risques antagonistes dont il était questionenfin

de section 4.Il doit_pour cela attribuerunevaleur à deux paramètres betw :bserapporte àunobjectif (entermes de coût ou de regret) qui devrait être atteintou amélioré dans le plus grand nombre possible de scénarios alors que wfixe la valeur du pire coût ouregret qu’ilveutgarantir quelquesoit le scénario quiseréalise (w>b). Ledécideur quiconsentà

attribuer àw unevaleursupérieure àcelle w*que garantitunesolutionxqui optimise la

mesurede coûtouderegretgaranti correspondantcourtbien évidemment le risquequela

solutionzrobuste au sens de la nouvelle mesurechoisie aboutisse, dans quelquesscéna- rios, àun coût ou àunregret supérieur àw* mais, avec cette solutionz, il peut espérer

que les coûts ouregrets seront, dans un très grand nombre de scénarios, meilleurs que

ceuxqu’il aurait obtenusavecla solutionx(pour plus de détails, voirRoy, 2010b).

Très peunombreux sont les auteurs quiont cherché à définir la robustesse d’une solu-

tionenfaisant intervenirnonpas uneuniquemesurederobustesse maisplusieurs(autre-

mentdit, en s’affranchissant du trait caractéristiquen°2). Peunombreux égalementsont les auteurs qui ont cherché à répondre à la préoccupation de robustesse en s’affranchissant du trait caractéristique n° 1. Sur ces deux points, le lecteur intéressé

pourraconsulter les références qui viennent d’être citées.

On peut aussi se préoccuper de robustesse en cherchant des formes de réponses qui

n’aboutissent pas nécessairement à mettre en évidence des solutions qualifiées de

«robustes». Proposer au décideur des solutions dites robustes est en effetun mode de réponse assez particulier qui ne répond pas toujours convenablement à la seconde

nécessité(cf. section 4). Je vaismaintenantprésenterunmodederéponseplus général.

7. Le concept de «conclusions robustes». Il me faut ici commencer par introduire quelques notations. Etantdonnéun scénario sGS^, illui corresponddans REunmodèle M(s) parfaitement défini qui traduit la façon dontle problème d’aide à ladécision aété

formulé dans lecas où la réalité vécue correspondauscénarios. Soit pGP (cf. section 4)uneprocédure envisagéepourexploiter M(s). Cetteexploitation fournitunensemblede

résultats R(p,s) quipeutprendre des formes variées : solution(s) optimale(s), solution(s)

non dominée(s), solution(s) à rejeter, constat d’impossibilité, constat d’incohérence,...

Pourrépondre aux questions que se pose le décideur, l’analyste prend appui sur de tels

résultats. Pour des raisons diverses, il peut ne s’intéresser qu’à ceux qui font intervenir

des couples (p,s) qui appartiennent à un certain sous-ensemble Q du produit cartésien

PxS.

Pardéfinition, letermeconclusion désigneiciuneassertion qui prendencompteun cer- tain ensemble de résultats du typeR(p,s). Unetelle assertion estappelée conclusion ro- buste lorsqu’elle comporte l’énoncé des conditions dans lesquelles savalidité aété éta-

blie. Ces conditionsconcernent le sous-ensembleQde PXS pris encompteainsi que, les conditions ethypothèses qui donnentsensetjustifient l’assertion. La robustesse d’une

conclusionestdonccontingenteauchampde validité définipar cesconditions.

Laforme la plusbanale de conclusions robustes estla suivante: «lasolutionx est ro- buste, robustesignifiantque, xestunesolutionqui optimise lamesurederobustesse défi-

nie comme suit...sur l’ensemble des résultats R(p,s) découlantde l’ensemble Qpris en compte».Ici, le champ de validité de cetteconclusion robusteestdéfiniparlamesurede

robustesse choisieetl’ensembleQ prisencompte.

Il existe des formes moinstriviales de conclusionsrobustesquinefontpasappel àcelui

de«solution robuste ».Envoiciquelques exemples.

« Sauf pourles procédures suivantes (...), tous les couples (P,s)g Q font apparaître

les solutions suivantes (...) comme étant admissibles avec les évaluations suivantes (...)».

« V(p,s)GQ,xestunesolution dont l’écart àl’optimumn’excède jamais ...%».

«Iln’existeaucunesolutionadmissiblequigarantissequelesobjectifs suivants(...) (re-

latifsauxdifférentscritères) puissent êtregarantis quel^quesoit le scénario sGS ».

«L’ensemble des solutionsX\^c2,---^kjouit despropriétés suivantes (...), sauf peut-être

dans certains scénariosjugéspeuvraisemblables».

Afin de bienmettre enévidence ce qu’apporteenpratique leconcept de «conclusions

robustes»,je vais brièvementrésumer lerôlequ’il aeffectivementjoué pourélaborer des

recommandations danslecasdel’exempleintroduitau2.b.

L’ensemble de solutions admissibles est ici défini en extension par les 15 offres rete-

nues.Chacune d’elles aété évaluée sur 12 critères. Six deces solutionsontpuêtreélimi-

nées dansunpremiertemps. Lemodèle de RF reposedonc sur ce quel’onappelle leta-

bleau des performances,tableau qui donne,pourchacune des 9 solutions, leurs perfor-

mances sur chacun des 12 critères. Pour évaluerces performances sur une échelle con- crêteappropriéeàchaque critère, ungrouped’expertsde la Posteaétédéfini. Les

points

de fragilitérelatifsàlapartd’incertitude, voired’arbitraire, quipeutaffecter

certaines de

ces évaluationsont été recensés. Leur impacta, pourl’essentiel, pu êtrepris encompte grâce au conceptde seuils d’indifférence etde préférence qu’il n’est pas

nécessaire de

connaître pourcomprendre la suite decetexemple.

15

Laprocédure d’exploitation retenue était ELECTRE IS. Dans cette procédure, il faut

définir unjeu de poids qui caractérisent l’importance relative que le décideur souhaite

accorder à chaque critère. Il esten outre possible d’introduire, pour certains deces cri- tères,cequiestappeléunseuil deveto. Ledécideur était iciuncomité qui réunissait plu-

sieurs directeurs de la Poste. Le rôle qu’il convenait de fairejouer à chacundes 12 cri-

tères n’était pas perçu de lamême façonpar le directeur technique, le directeur du^per- sonnel, le directeur commercial ou encore le directeur financier. Poids et vetos consti- tuaient donc despoints defragilité dans la façon d’exploiter le modèle.

Pour comprendre la signification des conclusionsrobustes qui ont été établies, il n’est

pas nécessairequeje précise ce que recouvre ici l’ensemble Q des couples (p,s) pris en compte. Pour chacun d’eux, la méthode ELECTREIS permet de mettre enévidence un sous-ensemble de solutionsqui apparaissentcommeles plus satisfaisantes,sous-ensemble qui doit êtreleplus restreintpossiblesousla contrainte suivante :toutesolution qui n’est

pas dans ce sous-ensemble peut être éliminée car moins bonne que l’une au moins de

celles qui s’ytrouvent. Untel sous-ensemble (qui joue ici le rôle du résultat R(p,s)) cor-

respond à ce que Ton appelle noyau en théorie des graphes. Ainsi, à chaque couple(p,s)£ Q, la méthode associeuntelnoyau.

Voici une version résumée des conclusions robustes qui ont pu être établies sur ces bases.

Conclusion n° 1 : l’offre_a.\estprésente dans lapresquetotalité desnoyaux (cetteasser- tion étaitcomplétéeparlaliste des couples (p,s)pour lesquelsa\n’estpasdans lenoyau

correspondant).

Conclusion n° 2 :les offres_{as, a^, a%ne}sontprésentes dansaucun noyau.

Conclusion n° 3: l’offre _a9estprésente dans certains noyaux ; lorsqu’il en estainsi, il

suffit de réduire lepouvoirdeveto ducritère 12pour que a<|sorte dunoyau(ai apparaît

alorscommeaussi bonne quea9).

Conclusion n°4 :les trois offres_{ai, a3, a4}formentunsous-ensemble C d’actions deux à deux indifférentesquiestprésent dansungrand nombre denoyaux.

Dire que les offres a2, a3, a4 sontdeux à deux indifférentes signifie que, avec les don-

nées dont on disposait, elles n’étaient pas différenciables : chacune d’elles pouvait être

considéréecomme aumoins aussi bonne quechacune des deuxautres sans êtrepour au- tantsignificativement meilleure.

Conclusion n° 5:l’offrea7estprésente dansungrand nombre denoyaux ;les actionsde

Csontgénéralement incomparables àa7.

Affirmer cette incomparabilité signifie que, avec les données dont on disposait, ^a7 ne

pouvait être considéréecommeaumoins aussi bonnequeTune quelconque des actions de

Cetque,viceversa, aucunede^cesactions pouvaitêtre considérée comme aumoins aussi bonne quea7.

Ces conclusions robustes (complétéespar uneanalyse appropriée) ontconduit à élaborer

les recommandations suivantes quiontété transmises à la Direction Générale desPostes (pour plus de détails, le lecteurpourra sereporterà RoyetBouyssou, 1993,chapitre8).

a) Dans lecasoù il estexclu de construire plus d’unprototype, c’est l’offre ^a\ qui

mériterait d’êtreretenue(cf. conclusionn° 1).

b) Dans lecasoùilestenvisagé de construire plus d’unprototype,les offres ^{as, a6,}

ag, a9pourraientêtre définitivement éliminées(cf. conclusionsn° 2et3,...).