La notion de différentielle dans l'enseignement Author(s): J. Hadamard
Source: The Mathematical Gazette, Vol. 19, No. 236 (Dec., 1935), pp. 341-342 Published by: The Mathematical Association
Stable URL: http://www.jstor.org/stable/3606323 Accessed: 19/11/2009 16:25
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LA DIFF1REENT I LTIF DANS L'ENSEIGNEMENT 341 LA NOTION DE DIFFfRENTTELLE DANS
L'ENSEIGNEMENT.*
PAR J. HADAMARD.
POINCARE, dans sa conference prononcee au Musee pedagogique de Paris en 1904, declarait deja qu'il y avait lieu de penser en derivees et non en differentielles. II me semble utile pour l'enseignement de se conformer resolument a ce principe et d'abandonner les explica- tions assez compliquees qui sont classiquement donnees sur le symbole d. Pour la differentielle premiere, passe encore: Je puis comprendre l'egalite
(1) dy=f '(x) dx
ou
(1') dz= pdx + qdy
en relation avec l'egalite approchee
(2) Ay=f'(x) Ax
ou
(2') Az=pAx+qAy
dans laquelle Ax, Ay, Az sont des accroissements infiniment petits.
Mais la differentielle seconde ! J'ai lu, comme tout le monde, l'his- toire de la diff6rentielle de la variable independante qui doit Utre constante (et qui est d'ailleurs forcement variable puisque infini- ment petite). Si je me suis decide a ne pas exposer ces considera- tions dans les cours que j'ai eu l'occasion de professer sur les debuts du Calcul differentiel, c'est que j'avoue ne les avoir qu'a moitie comprises moi-meme.
J'entends bien qu'elles doivent etre tout de meme comprehen- sibles et que, si elles m'avaient ete necessaires pour aborder, par exemple, les applications geometriques du calcul differentiel, je serais, je l'espere, arrive a m'en rendre maitre. Mais, precisement, tel n'a jamais ete le cas. J'ai etudie comme tout le monde la G6o- metrie infinitesimale, sans que le fait de differentier deux fois me parut introduire des difficultes speciales et sans penser jamais, je l'affirme, a laisser constante la differentielle de la variable inde- pendante.
Que signifie done l'egalite (1) ?
Tout simplement, que, x (et par consequent y=f(x)) etant fonctions d'une variable auxiliaire quelconque u, on a, quele que soit la relation entre x et u (pourvu que x', existe),
(3) duy du =f (x) dx du)
ce qui est le theoreme des fonctions de fonctions.
Que signifie l'egalite (1') ?
* Reprinted from Scripta Universitatis atque Bibliothecae Hierosolymitanarum (1923).
THE MATHEMATICAL GAZETTE THE MATHEMATICAL GAZETTE
Que si x, y et, deslors, z=f(x, y) sont exprimes en fonctions d'une variable auxiliaire quelconque u, on a, quelles que soient ces expres- sions,
,3 ) dz az dx az dy dx dy
(3')-+q
du ax du ay du d du'Tel est le sens unique des egalites (1), (1'). Les egalites (3) et (3') ayant lieu quelle que soit la variable independante u en fonction de laquelle les autres variables sont exprimees, on supprime la mention de u. L'avantage precieux de la notation differentielle consiste precisement en la possibilite de ne pas preciser quelle est la variable que l'on considerera comme independante.
Que signifiera l'egalite
(4) d2y =f' (x) d2x +f" (x) dx2
ou
(4') d2z =pd2x + qd2y + rdx2 + 2s dx dy + tdy2 ? Uniquement que l'on a
(5)d2y d2x dX
2y=f, (x) d2 +f" (x) (du
ou
d2z dx d2y (dx 2+2 dx dy +tdy2
(5') d=p +qd- +r +
+2s ~- +t-/
du2 d2 d2 \d du du + du
de quelque maniere que les variables aient ete exprimees en fonction du parametre u, pourvu que l'on ne cesse pas d'avoir y=f(x) ou z=f(x, y).
Enfin, que signifie ou que represente 1'egalite (6) d2z =rdx2 + 2s dxdy + tdy2 ?
A mon avis, rien du tout. On peut, si l'on veut, noter que les deux premiers termes disparaissent au second membre de (5') lorsque x et y sont fonctions lin&aires de u, comme il arrive dans les demon- strations du theoreme de Taylor [seule question, a ma connaissance, qui necessite l'intervention de l'expression (6)]. En dehors de ce cas, je ne vois pas ce qu'on peut tirer de (6), . . . si ce n'est peut-
etre une ou deux idees fausses. J. H.
1030. Double Acrostic.
The great twin brethren. Woe that we must sing Of one " The king is dead ", the while we bring To one the loyal cry " Long live the king! "
Reflect and then name How they built up their fame.
Triangular centres As hailed by most mentors.
In practice a guess, And in theory-yes ?
If a converse is hard Does it get through your guard ? A point that is right In American sight.
Just midway between Two points that you've seen.
Geometrical home Of a palindrome.
Que si x, y et, deslors, z=f(x, y) sont exprimes en fonctions d'une variable auxiliaire quelconque u, on a, quelles que soient ces expres- sions,
,3 ) dz az dx az dy dx dy
(3')-+q
du ax du ay du d du'Tel est le sens unique des egalites (1), (1'). Les egalites (3) et (3') ayant lieu quelle que soit la variable independante u en fonction de laquelle les autres variables sont exprimees, on supprime la mention de u. L'avantage precieux de la notation differentielle consiste precisement en la possibilite de ne pas preciser quelle est la variable que l'on considerera comme independante.
Que signifiera l'egalite
(4) d2y =f' (x) d2x +f" (x) dx2
ou
(4') d2z =pd2x + qd2y + rdx2 + 2s dx dy + tdy2 ? Uniquement que l'on a
(5)d2y d2x dX
2y=f, (x) d2 +f" (x) (du
ou
d2z dx d2y (dx 2+2 dx dy +tdy2
(5') d=p +qd- +r +
+2s ~- +t-/
du2 d2 d2 \d du du + du
de quelque maniere que les variables aient ete exprimees en fonction du parametre u, pourvu que l'on ne cesse pas d'avoir y=f(x) ou z=f(x, y).
Enfin, que signifie ou que represente 1'egalite (6) d2z =rdx2 + 2s dxdy + tdy2 ?
A mon avis, rien du tout. On peut, si l'on veut, noter que les deux premiers termes disparaissent au second membre de (5') lorsque x et y sont fonctions lin&aires de u, comme il arrive dans les demon- strations du theoreme de Taylor [seule question, a ma connaissance, qui necessite l'intervention de l'expression (6)]. En dehors de ce cas, je ne vois pas ce qu'on peut tirer de (6), . . . si ce n'est peut-
etre une ou deux idees fausses. J. H.
1030. Double Acrostic.
The great twin brethren. Woe that we must sing Of one " The king is dead ", the while we bring To one the loyal cry " Long live the king! "
Reflect and then name How they built up their fame.
Triangular centres As hailed by most mentors.
In practice a guess, And in theory-yes ?
If a converse is hard Does it get through your guard ? A point that is right In American sight.
Just midway between Two points that you've seen.
Geometrical home Of a palindrome.
342 342
