Convertisseur Sigma-Delta 10.
10.1 M
ODULATIOND
ELTA10.1.1 Principe
Considérons la structure de la modulation Delta pour le processus de conversion A/N. La 0Figure 10-1 montre le schéma fonctionnel du modulateur Delta et du démodulateur. La modulation Delta est basée sur la quantification de la variation du signal entre deux échantillons successifs plutôt que sur la valeur absolue du signal à chaque échantillon. La sortie de l'intégrateur situé dans la boucle de rétroaction doit suivre, autant que faire ce peut le signal d’entrée x(t). L'intégrateur fonctionne comme un prédicteur. L’erreur de prévision, dans la période d’échantillonnage courante est quantifiée et utilisée pour la prochaine période d’échantillonnage.
Pour la démodulation l'erreur de prévision quantifiée (sortie du modulateur Delta) est, comme pour la boucle de contre-réaction, intégrée puis passée au travers d’un filtre passe-bas. Pour des signaux présentant des variations rapides (high slew rate), les modulateurs Delta n’arrivent plus à suivre le signal d’entrée. Il y a donc saturation.
∫
Modulation Delta -40 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
t [s]
x(t), x'(t), y(t) [V],
Modulation Delta
x(t)
y(t) x'(t)
∫
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
y(t), z(t) [V]
Démodulation
x(t) z(t)
10.2 M
ODULATIONS
IGMA-D
ELTA10.2.1 Principe
La modulation Delta nécessite deux intégrateurs pour le processus de modulation et la démodulation.
L’intégration étant une opération linéaire, l’intégrateur utilisé pour la démodulation peut être ramené à l’entrée (avant le modulateur) sans altérer le bon fonctionnement du système.
∫
∫
∫
∫
Figure 10-2 : Modulation Delta et démodulation, déplacement de l’intégrateur
En observant on 1Figure 10-2, on voit qu’il est possible de combiner les deux intégrateurs en un seul.
Ce nouvel arrangement porte le nom de modulateur Sigma-Delta.
∫
Figure 10-3 : Modulateur Sigma-Delta simplifié.
Le nom de modulateur Sigma-Delta vient de la position de l’intégrateur (sigma) à l’entrée de la boucle du modulateur Delta.
La caractéristique du bruit de quantification du modulateur Sigma-Delta est dépendante de la fréquence contrairement au cas de la modulation Delta. Cette propriété convient aux applications de
traitement du signal telles que l'audio numérique pour la mesure haute résolution. Comme pour les modulateurs Delta, les modulateurs Sigma-Delta utilisent un comparateur. Cependant, à la différence des modulateurs Delta, les modulateurs Sigma-Delta sont insensibles aux variations rapides du signal.
10.2.2 Bruit de quantification
La 2Figure 10-4 montre le modèle continu simplifié du modulateur Sigma-Delta. Le comparateur est représenté par l’addition, au signal de sortie de l’intégrateur, d’un bruit représentant la quantification apportée par le comparateur.
Figure 10-4 : Modulation Sigma-Delta : bruit de quantification De la 3Figure 10-4, on peut écrire
) 1 ( )
1 ( ) 1
( Q s
sT s sT sT X
s Y
i i
i + +
= + 10.1
De cette dernière relation, on voit que, vu de la sortie, le bruit de quantification traverse un passe-haut du 1er ordre. De plus, la source Q(s) modélisant le bruit de quantification n'a pas une distribution uniforme en fonction de la fréquence comme c'est le cas pour les convertisseurs A/N conventionnels.
10-3 10-2 10-1 100 101 102 103
-60 -40 -20 0
Bode : Passe-bas
Amplitude [dB]
10-3 10-2 10-1 100 101 102 103
-100 -80 -60 -40 -20 0
Pulsation [rad/s]
Phase [Degres]
10-3 10-2 10-1 100 101 102 103
-60 -40 -20 0
Bode : Passe-haut
Amplitude [dB]
10-3 10-2 10-1 100 101 102 103
0 20 40 60 80 100
Pulsation [rad/s]
Phase [Degres]
+s 1
1
s s + 1
Figure 10-5 : Fonctions de transfert
10.3 M
ODULATEURS
IGMA-D
ELTA DU1
ER ORDRE10.3.1 Principe
La première partie du convertisseur Sigma-Delta est un modulateur, lequel convertit le signal analogique d'entrée en une suite continue de 1 et 0 logiques (bit stream) à une cadence déterminée par la fréquence d'horloge NOSRFS. La sortie du convertisseur N/A de 1 bit, commandé par la sortie du comparateur est soustraite au signal analogique d'entrée (réaction négative). La présence de l'intégrateur permet d'affirmer, qu'en régime continu, la valeur moyenne du signal d'entrée est identique à celle du signal de sortie du convertisseur N/A de 1 bit.
∫
Clock : NOSRFS
Comparateur +Vref
-Vref
Intégrateur
DAC 1 bit
Filtre numérique
Sortie modulée (Bit Stream) x(t)
Entrée analogique
Sortie numérique mots de bits
NOSRFS
y[n] z[n]
FS
Figure 10-6 : Convertisseur Sigma-Delta du 1er ordre
La sortie de l'intégrateur et le signal de sortie du modulateur sont représentés à la 4Figure 10-7 pour une entrée x(t)=0.2Vref.
0 10 20 30 40 t [us]
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Sortie de l'intégrateur [Uref]
0 10 20 30 40 t [us]
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Sortie du comparateur [1]
Figure 10-7 : Convertisseur Sigma-Delta du 1er ordre pour x=0.2Vref
10.3.2 Analyse dans le domaine échantillonné
Le verrouillage (latch) du comparateur par le signal d'horloge convertit le signal basse fréquence d'entrée en un signal haute fréquence dont la distribution de 1 et 0 varie en fonction de la valeur moyenne du signal d'entrée. Le bruit effectif de quantification est ainsi grandement réduit pour les
basses fréquences. Cette affirmation peut être en partie démontrée en utilisant le schéma bloc de la
5Figure 10-8.
X(z) z Y(z)
z-1 z-1
Q(z) (Bruit de quantification)
Figure 10-8 : Convertisseur Sigma-Delta du 1er ordre : Schéma bloc
On peut facilement déterminer la relation liant la grandeur de sortie Y(z) aux grandeurs d’entrée X(z) et de bruit de quantification Q(z)
(
( ) ( ))
1 ) 1 ( )
( X z Y z
z z Q z
Y −
+ −
= 10.2
Et finalement
) ( )
( ) ( ) 1 ( ) 1 ( )
( X z N z Q z z 1X z
z z z Q z z
Y = − + = + − 10.3
Le bruit de quantification est un processus stochastique. Le différentiateur (1-z-1) mis en évidence dans la relation 610.3 double la puissance du bruit de quantification. Cependant, ce même différentiateur provoque un décalage du bruit vers des fréquences élevées. Par conséquent, à condition que le signal d'entrée analogique x(t) soit suréchantillonné, le bruit de quantification aux fréquences élevées peut être fortement réduit par filtrage numérique sans affecter les caractéristiques de signal d'entrée résidant dans la bande de base. Ce filtrage numérique (passe-bas) fait partie du processus de décimation.
En effet, après filtrage, le signal de sortie est seulement composé de fréquences comprises dans la bande passante du filtre passe-bas numérique.
10.3.3 Rejet du bruit de la bande utile (noise shaping)
La propriété fondamentale du modulateur Sigma-Delta est le « noise shaping » qui rejette le bruit de quantification vers les hautes fréquences.
Sachant que
OSR s
N j T
e z
= ω 10.4
La fonction de transfert en régime harmonique liant la sortie au bruit de quantification (différentiateur) vaut
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛
= −
−
=
−
=
−
− −
−
−
s OSR F
N j f
F N j f F N j f F
N j f F N j f N
f T j
F N je f
j je je e e
e f
N
s OSR
s OSR s
OSR s
OSR s
OSR OSR
s
π
π
π π π π
π
sin 2
2 2 1
1 ) (
2 2
10.5
Il s’agit d’une fonction de transfert de type passe-haut
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Modulateur Sigma-Delta du 1erordre
"Noise shaping"
F [NOSRFS]
|N(f)| [1] Filtre numérique passe-bas
(bande utile du signal)
Réduction du bruit
Bruit de quantification Q(f)
) (
) 20 (
f X
f LogY
KFS
Figure 10-9 : Convertisseur Sigma-Delta du 1er ordre (NOSR=128) La puissance du bruit de quantification
F df N
f F
N q
df f N f S P
S
S S OSR
S OSR
F
F OSR S OSR S
F N
F N Q
2 2
2 2 2
2
2
sin 12 2
) ( ) (
∫
∫
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛
=
π 10.6
On admet que la bande utile (largeur de bande du filtre numérique passe-bas) est très inférieure à la fréquence NOSRFS. On peut donc simplifier l’expression précédente.
3 2
2 1
36 OSR
Q N
P ≅ q π
10.7 Le rapport signal sur bruit prend donc la forme suivante :
) log(
36 30 log 10 log
10
log 36 10 log
10 log
10
6 . 5
2 2
2
3 2 2
2 2
) (
2
OSR ref
x
OSR ref
x F
N n
x OSR
V N
V N SNQR
S OSR Q
⎟+
⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
= ⎛
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
= ⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
= ⎛
43 42 1 π σ
π σ
σ σ
10.8
On voit que chaque fois que l’on double la fréquence d’échantillonnage on gagne 9dB sur le rapport signal sur bruit de quantification. Pour rappel dans le cas d’un convertisseur classique, on ne gagne que 3dB.
10.4 M
ODULATEURS
IGMA-D
ELTA DU2
ÈME ORDRE10.4.1 Principe
En analysant plus en détail le modulateur Sigma-Delta du 1er ordre on peut observer une modulation possible du bit stream à une fréquence comprise dans la bande passante FC. Ce comportement vient d'une trop grande corrélation entre l'apparition de la suite de 1 et de 0 et le niveau de la tension d'entrée. On peut prendre comme exemple un signal d'entrée de x=9VREF/16.La succession des valeurs prises par le bit stream est la suivante :
Succession du bit stream Équivalent binaire
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 .. = 1001
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 … répétition tous les 16 échantillons
Dans le but de supprimer cette répétition, on peut utiliser un modulateur Sigma-Delta d'ordre supérieur à 1. Dans ce cas, une étude de stabilité doit être entreprise. La 7Figure 10-10 montre la structure d'un convertisseur Sigma-Delta dont le modulateur est d'ordre 2.
∫
∫
Figure 10-10 : Convertisseur Sigma-Delta du 2er ordre
La sortie du deuxième intégrateur et le signal de sortie du modulateur sont représentés à la 8Figure 10-11 pour une entrée x constante.
0 10 20 30 40 t [us]
-10 -5 0 5 10 15
Sortie de l'intégrateur [Uref]
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 t [us]
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Sortie du comparateur [1]
Figure 10-11 : Convertisseur Sigma-Delta du 2er ordre pour x=0.2Vref
10.4.2 Analyse dans le domaine échantillonné
Pour un convertisseur du 2ème ordre le schéma se présente de la manière suivante.
Figure 10-12 : Convertisseur Sigma-Delta du 2ème ordre : Schéma bloc A partir de la 9Figure 10-12, on peut écrire
( )
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ − −
− + −
= ( ) ( ) ( )
1 1 ) 1 ( )
( X z Y z Y z
z z z z
Q z
Y 10.9
Et finalement
) ( )
1 ( )
( 1
2
z X z z z Q
z z
Y ⎟ + −
⎠
⎜ ⎞
⎝
=⎛ − 10.10
10.4.3 Rejet du bruit de la bande utile (noise shaping)
La fonction de transfert en régime harmonique liant la sortie au bruit de quantification (différentiateur) vaut :
2 2
2 2
sin 4
2 2 1
) (
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
− ⎛
=
= −
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
=
−
− −
−
s OSR F
N j f
F N j f F N j f F
N j f N
f T j
F N e f
j je je e e
f N
s OSR
s OSR s
OSR s
OSR OSR
s
π
π
π π π π
10.11
Il s’agit d’une fonction de transfert de type passe-haut
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
F [NOSRFS]
|N(f)| [1]
Modulateur Sigma-Delta 2ème ordre
"Noise shaping"
Filtre numérique passe-bas (bande utile du signal)
Réduction du bruit Bruit de quantification Q(f)
) (
) 20 (
f X
f LogY
KFS
Figure 10-13 : Convertisseur Sigma-Delta du 2ème ordre (NOSR=64) La puissance du bruit de quantification
F df N
f F
N q
df f N f S P
S
S S OSR
S OSR
F
F OSR S OSR S
F N
F N Q
∫
∫
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛
=
2
2
4 2
2
2
sin 12 2
) ( ) (
π 10.12
On admet que la bande utile (largeur de bande du filtre numérique passe-bas) est très inférieure à la fréquence NOSRFS. On peut donc simplifier l’expression précédente.
5 4
2 1
60 OSR
Q N
P q π
≅ 10.13
Le rapport signal sur bruit prend la forme suivante :
) log(
60 50 log 10 log
10
log 60 10 log
10 log
10
1 . 2
4 2
2
5 4 2
2 2
) (
2
OSR ref
x
OSR ref
x F
N n
x OSR
V N
V N SNQR
S OSR Q
⎟+
⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
= ⎛
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
= ⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
= ⎛
− 43
42 1 π σ
π σ
σ σ
10.14
On voit que chaque fois que l’on double la fréquence d’échantillonnage on gagne 15dB sur le rapport
10.5 F
ILTRE NUMÉRIQUE 10.5.1 GénéralitésLe filtre numérique placé à la sortie du modulateur Sigma-Delta permet d'extraire une valeur du bit stream sur une longueur donnée. Il existe dans la littérature un grand nombre de possibilité. Ce filtre est le résultat de la mise en série de deux filtres. Le premier est un filtre de type CIC récursif ou non avec une forte décimation. Le second est un filtre de type IIR (filtre (récursif) à réponse impulsionnelle de durée infinie) ou FIR (filtre (non-récursif) à réponse impulsionnelle de durée finie)
10.5.2 1er étage : Filtre en peigne avec forte décimation (flitre CIC)
Ce filtre connu sous le nom de filtre CIC (cascaded integrator-comb-filter) permet d'atteindre deux objectifs :
1. Une forte décimation (K=16,32,64, …)
2. Suppression du bruit de quantification dans le domaine des fréquences élevées.
Nous nous limiterons ici au cas du filtre CIC récursif.
10.5.3 Algorithme récursif
Ce premier filtre est construit autour d'intégrateurs et de différentiateurs séparés par un décimateur.
Intégrateur (IRR) Différentiateur (FIR)
) 1 (
) 1
( 1 x z
z z
y −
= − y(z)=(1−z−1)x(z)
Figure 10-14 : Schéma bloc d'un intégrateur et d'un différentiateur numérique On peut écrire pour la réponse impulsionnelle :
N N
OSR N
N
z z z N
z x
z
y OSR
OSR ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
−
= −
= −−1
1 1 ) 1
( ) sinc (
)
( 10.15
La 1Figure 10-15 illustre la structure d'un tel filtre
Figure 10-15 : CIC récursif
Les 1Figure 10-16 et 1Figure 10-17 montrent, pour N étages d'intégrateur / différentiateur et un facteur NOSR de décimation, la réponse fréquentielle du filtre.
Le principal désavantage de ce type de filtre est la longueur des mots à traiter. En effet pour maintenir la précision et éviter les discontinuités lorsque les intégrateurs dépassent la capacité du nombre de bits qui leur est alloué (utilisation de nombres codés en complément à deux), il faut que ce nombre de bit soit égal à N⋅log2(NOSR). Pour un facteur de décimation de 64 et un filtre CIC d'ordre 5, on obtient des mots de 30bits. Cette contrainte augmente la consommation et réduit la limite supérieure de la fréquence de suréchantillonnage.
La 1Figure 10-16 montre les réponses fréquentielles du filtre CIC pour une décimation de NOSR=32 et des ordres de N=1, 3, 5.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x 106 -300
-250 -200 -150 -100 -50 0
|G(f)| [dB]
Réponse fréquentielle du filtre CIC
f [Hz]
N=1 N=3
N=5
Figure 10-16 : CIC récursif pour N=1, 3, 5 et NOSR=32, NOSRFS=4MHz
La 1Figure 10-17 illustre les réponses fréquentielles du filtre CIC pour un ordre de N=3 et des décimations de NOSR=16, 32, 64
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x 106 -300
-250 -200 -150 -100 -50 0
|G(f)| [dB]
Réponse fréquentielle du filtre CIC
f [Hz]
NOSR=16 NOSR=32
NOSR=64
Figure 10-17 : CIC récursif pour N=3 et NOSR=16,32,64
10.5.4 2ème étage : Filtre FIR
Le second étage du filtre numérique est souvent constitué d'un filtre FIR (non récursif) à coefficients symétriques, ce qui assure une réponse linéaire de la phase. Ce filtre doit présenter les caractéristiques suivantes :
1. Un facteur de décimation de 2 à 4.
2. Une compensation de la variation d'amplitude de la réponse fréquentielle du filtre CIC dans la bande passante.
3. Une bande de transition et une atténuation dans la bande d'arrêt compatible avec les exigences (résolution) du convertisseur.
10.5.5 Exemple
Ce paragraphe illustre un exemple de convertisseur Sigma-Delta du 2ème ordre. Le signal d’entrée est un signal sinusoïdal de 10Hz présentant une légère distorsion (signal issu d’un générateur de fonction arbitraire).
Les caractéristiques du convertisseur sont :
- fréquence d’échantillonnage : NOSRFS=400kHz - filtre CIC :
ordre : N=5
décimation : NOSR=100
- filtre FIR :
fréquence de coupure : Fp=100 fréquence bande bloquée Fb=150
La 1Figure 10-18 montre le spectre d’amplitude du signal à la sortie du modulateur Sigma-Delta. On voit que le bruit est rejeté vers les fréquences élevées. Un agrandissement montre les composantes harmoniques du signal d’entrée.
Dans la bande 0Hz à 100Hz, le rapport signal sur bruit de quantification est de l’ordre de 100dB. On a donc une résolution de l’ordre de 16 bits.
Le filtre CIC (1Figure 10-19 de gauche) à une bande passante de l’ordre du kHz et une décimation de 100. Le filtre FIR (1Figure 10-19 de droite) permet de ramener la bande passante à 100Hz.
Le signal numérique résultant de la conversion présente un spectre d’amplitude donné à la 1Figure 10-20. Sur la partie de gauche, on voit bien l’atténuation provoquée par le filtre FIR à partir de 100Hz.
Sur la partie droite un agrandissement la bande d’intérêt permet de se convaincre de la bonne restitution du signal analogique d’entrée.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x 105 -80
-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0
|Y(f)| [dB]
Spectre d'amplitude du signal de sortie du modulateur Sigma-Delta
f [Hz] -1200 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-100 -80 -60 -40 -20 0
|Y(f)| [dB]
Spectre d'amplitude du signal de sortie du modulateur Sigma-Delta
f [Hz]
Bande de 0Hz à NOSRFS/2 Bande de 0Hz à 100Hz
Figure 10-18 : Spectre du bit stream
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x 105 -450
-400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0
|GCIC(f)| [dB]
Réponse fréquentielle du filtre CIC
f [Hz]
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
-140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0
GFIR(f) [dB]
Réponse fréquentielle du filtre FIR
f [Hz]
Filtre CIC Filtre FIR
Figure 10-19 : Filtrage numérique
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 -200
-180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0
|Z(f)| [dB]
Spectre d'amplitude du signal après filtrage CIC et FIR
f [Hz]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0
|Z(f)| [dB]
Spectre d'amplitude du signal après filtrage CIC et FIR
f [Hz]
Bande de 0Hz à FS/2 Bande de 0Hz à 100Hz
Figure 10-20 : Grandeur convertie
