Chapitre 33 Optimisation

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Chap 33 : Optimisation

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Chap 33 : Optimisation

I. Généralités

( , )

( , ) lim ( )

compact non vide, est bornée et atteint ses bornes , si , est minorée et atteint son inf

X n

A f A f

f f X f



 

  

C C

II. Méthodes à l’ordre 1

1( , ), est point critique de lorsque _a n'est pas surjective

f C  F a f df

Si F , cela revient à df_a 0

, : . ( ) 0

0 ( )

OUVERT de extremum local de Si admet en dérivées part., Si est différentiable en , est critique

n

i a

f a f f a n f a i

x

f a df a

      





( [0,1]) ( 3 0)

( )

Caractère ouvert sur , pas de réciproque en Le max peut être atteint en point de non diff fonctions APM

Id x x

1 ( ) ( ( ) ( ) | ( ) ( ) 0

( ⁿ, ) tq lim est surj ^{f x} ^b , min: )

x f g x f x x

b x g a

f x f

x x ^^_ ^ ^^_

 

         

   

C   

, ( )

2

, , { / ( ) }

( , ) lim . ( ) ' ( ) ( )

] , [ li (] , [, )

? :

m

tq et a un unique pt critique Toute sol max de

est défi (CL, compact sol max,

str

nie sur ,

i

e c

t

I

n

K x f x x

f f f a x f x

a f

x x

       





   

     





  

C E E

0, ( ( ))0

... , '( ( )) )

t si xa, bornée en si fini OK. si  x a xK_ _{f x t} apcr, f x t   NON

III. Conditions d’ordre 2

2 2 2

( ) ,

(

, ( , ), , ( ) ( , ) ) ( )

OUVERT de ⁿ _f , _a _f _a

i j f t x x a

i j

f a H a d f h h hH a h q h

 

  

  

 

 

 C     

2 2 1

( ) ( ) ( ) 1 ( , ) ( )

Taylor : _i 2 _a

i n

i

f a h f a h f a d f h h o h

 x

     





2

pt critique de Si est def , possède un min. local strict.

Si présente un min local strict en , est positive

a

a f d f f

f a d f



( , ) 0, 0

Si la signature de est q_a s t avec s t , N'EST PAS un extremum locala

2 2 2

2 2

2

2 : ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0, 0, ( 0, 0)

Dim , notations de Monge : , , , ,

d'extremum loc : ^r ^s pos ou neg. : def ou def

s t

f f f f f

m a b p m q m r m s m t m

x y x x y y

CN p q A ^^_ ^^_ CS p q A _ _ r rt s

 

    

     

     

        

2 4

det 0

Si A , on a un point col Positive ne suffit pas : zy x

1

2 2

. ( , ) , , ( ) ( ) ( ) ( )

,

ouvert cvexe de cvexe

critique min global cvexe positive

n

x

f a b f b f a f a b a

a a g x d g

          

  

C