Programme de colle semaine 19 - du 04/03 au 08/03

Lyc´ee Paul Constans, Montlu¸con, 2018-2019 Programme de colle semaine 19 - du 04/03 au 08/03 1

Programme de colle semaine 19 - du 04/03 au 08/03

Questions de cours

• Enoncer le th´´ eor`eme de Rolle.

• Enoncer le th´´ eor`eme des accroissements finis.

• Enoncer l’in´´ egalit´e des accroissements finis (3 versions).

• Enoncer le th´´ eor`eme de limite de la d´eriv´ee.

• Enoncer la formule de Leibniz (produit de fonctions´ n fois d´erivables).

• Soient f ∈F^E etg ∈G^F.

1) Montrer que sif etg sont injectives, alors g◦f est injective.

2) Montrer que si g◦f est injective, alors f est injective.

• Soient f ∈F^E etg ∈G^F.

1) Montrer que sif etg sont surjectives, alors g◦f est surjective.

2) Montrer que si g◦f est surjective, alors g est surjective.

• Soient n, k, p∈N avec p6k 6n. En utilisant une interpr´etation ensembliste, montrer que

n

P

k=p

n k

k p

= 2^n−p n

p

• Calculer un nombre d’anagrammes sur un exemple.

Chapitre 16. D´ erivation.

Reprise de l’ensemble du chapitre.

I) Compl´ements sur les propri´et´es locales

II) Compl´ements sur les fonctions d´erivables [global]

1) Extrema

2) Th´eor`eme de Rolle

3) ´Egalit´e / Th´eor`eme des accroissements finis 4) Fonction k-lipschitzienne.

5) In´egalit´es des accroissements finis (2) 6) Application - exercice.

Etude d’une suite r´´ ecurrenteu_n+1 =f(u_n) o`uf : [a;b]−→[a;b] est k-contractante.

7) Preuve du lien entre le signe de f⁰ et les variations de f sur I.

8) Th´eor`eme de limite de la d´eriv´ee

Si f est continue sur I, d´erivable sur Ir{a}, et lim

x→a,x6=af⁰(x) =` avec `∈R∪ {⁻∞,⁺∞}, alors f(x)−f(a)

x−a −−−−−→

x→a,x6=a `.

En particulier, sous ces hypoth`eses, f est d´erivable en a si et seulement si ` ∈ R et dans ce cas f⁰(a) =`.

Il existe des fonctions d´erivables o`u la d´eriv´ee n’est pas continue, comme x7−→x²sin 1

x

en 0.

III) Fonctions de classe C^k.

D´efinition. NotationsC^k(I,R),C^k(I,C),C^∞(I,R),C^∞(I,C).

Lyc´ee Paul Constans, Montlu¸con, 2018-2019 Programme de colle semaine 19 - du 04/03 au 08/03 2 Propri´et´es. Ces ensembles sont stables pour les op´erations f+g, λf,f ×g, f

g, compos´ees g◦f, r´eciproques, lorsque la d´eriv´ee de la r´eciproque `a un sens.

Formule de Leibniz. Si f etg sont n fois d´erivables sur I un intervalle deR, on a (f g)⁽ⁿ⁾=

n

P

k=0

n k

f^(k)g^(n−k)

Chapitre 17. Ensembles et applications.

I) Ensembles

Appartenance, inclusion, ´egalit´e de deux ensembles.

Sous-ensembles (ou parties) d’un ensemble, ensemble vide.

Ensemble P(E) des parties d’un ensemble E.

Partie A d’un ensemble E v´erifiant une condition, une propri´et´e P(x) dont la valeur de v´erit´e d´epend dex∈E. Notation A ={x∈E |P(x)}. Application au paradoxe de Russel.

Partie A d’un ensemble E d´efinie comme l’image d’une fonction `a valeurs dans E.

Exemples f(I) ={f(x) ; x∈R}o`u f : I−→R ; U={e^it ; t ∈R}.

Op´erations sur les parties d’un ensemble.

R´eunion A∪B, intersection A∩B, compl´ementaire ErA ={^EA= A,

diff´erence sym´etrique A∆B = (ArB)∪(BrA) = (A∪B)r(A∩B) («ou exclusif»).

Lien entre connecteurs logiques (et, ou, non) et op´erations ensemblistes.

Propri´et´es.

A∪B = B∪A ; A∩B = B∩A ;

A∪(B∪C) = (A∪B)∪C ; A∩(B∩C) = (A∩B)∩C ; A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) ; A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) ; A∪B = A∩B ;

A∩B = A∪B ;

Produit cart´esien de deux ensembles, d’un nombre fini d’ensembles

n

i=1

Π

1) Application d’un ensemble non vide E dans un ensemble non vide F ; graphe d’une application.

Notations F(E,F) et F^E pour l’ensemble des applications de E dans F.

Famille d’´el´ements d’un ensemble E index´ee par un ensemble d’indices I.

C’est une application de I dans E. Notation (x_i)i∈I.

Cas I =N ; notation (x_n)n∈N, c’est une suite d’´el´ements de E.

Cas I = [[ 1 ; n]] ; notation (x₁, . . . , x_n), c’est un n-uplet d’´el´ements de E.

2) Exemples classiques.

Application id_E.

Fonction indicatrice d’une partie A d’un ensemble E. Notation 1A. Lien avec les op´erations sur les ensembles.

Projections canoniques p₁:

(E×F −→ E

(x, y) 7−→ x ; p₂:

(E×F −→ F (x, y) 7−→ y ; p_i:







n

j=1

Π

.

Lyc´ee Paul Constans, Montlu¸con, 2018-2019 Programme de colle semaine 19 - du 04/03 au 08/03 3 3) Restriction. Notation f|A pour A⊂E et f ∈F^E.

Prolongement d’une application. On dit quegest un prolongement def lorsquef est une restriction deg.

4) Image directe. Notation f(A). Image d’une fonction Im(f) =f(E).

5) Image r´eciproque. Notation f⁻¹(B).

6) Composition. Propri´et´eh◦(g◦f) = (h◦g)◦f. III) Injections, surjections, bijections

D´efinition pourf ∈F^E.

Exemples. L’identit´e, les projections canoniques, l’injection canonique i:

(A −→ E

x 7−→ x pour A⊂E.

On peut construire une injectionj:

(E −→P(E)

x 7−→ {x} . Une applicationf:

(E −→P(E)

x 7−→f(x) n’est jamais surjective, la partie A ={x∈E | x /∈f(x)}n’´etant pas atteinte.

Compos´ee de deux injections, de deux surjections, de deux bijections.

R´eciproque.

D´efinition, notation f⁻¹. C’est une bijection, v´erifiant (f⁻¹)⁻¹ =f ;f⁻¹◦f = idE ;f◦f⁻¹ = idF. Proposition. Si h∈E^F v´erifie h◦f = id_E ;f ◦h= id_F, alors f est bijective et f⁻¹ =h.

R´eciproque de la compos´ee de deux applications bijectives, (g◦f)⁻¹ =f⁻¹◦g⁻¹.

Si f est bijective et B ⊂ F, alors f⁻¹(B) =f⁻¹(B) : l’image r´eciproque de B parf est l’image directe de B par f⁻¹.

Involution. D´efinition (vocabulaire), exemples.

IV) Relations

R´eflexivit´e, sym´etrie, antisym´etrie, transitivit´e.

Relation d’´equivalence.

N La notion d’ensemble quotient est hors programme.

N D´efinition d’une relation d’ordre, mais hors programme.

Exemples de relations.

L’inclusion A⊂B dans P(E).

La divisibilit´e dans N. d|n⇐⇒ ∃k ∈N n =kd.

La divisibilit´e dans Z.

La congruence moduloαdansRo`uα∈R^∗, notammentα= 2π.x=y[α]⇐⇒ ∃k∈Z x= y+kα.

La congruence modulo n dans Z. k ≡k⁰ modn ⇐⇒n|(k−k⁰)⇐⇒ ∃p∈Z k =k⁰ +np.

Chapitre 18. Ensembles finis et d´ enombrement.

I) Ensembles finis

D´efinition. Un ensemble est dit fini lorsqu’il est vide ou en bijection avec un ensemble [[ 1 ;n]]

o`un ∈N^∗.

Cardinal d’un ensemble fini. Notations Card (A), |A|, #A.

Proposition. Si f ∈F^E est une application bijective avec E fini, alors F est fini de mˆeme cardinal.

N L’utilisation syst´ematique de bijections dans les probl`emes de d´enombrement n’est pas un attendu du programme, mais c’est parfois utile de pr´eciser celles-ci.

Lyc´ee Paul Constans, Montlu¸con, 2018-2019 Programme de colle semaine 19 - du 04/03 au 08/03 4 Cardinal d’une partie d’un ensemble fini, cas d’´egalit´e.

Proposition. Soit f ∈F^E.

Si E est fini et f est surjective, alors F est fini et Card (E)>Card (F).

Si F est fini et f est injective, alors E est fini et Card (E) 6Card (F).

Si E et F sont finis de mˆeme cardinal, alors f est injective si et seulement si f est surjective si et seulement si f est bijective.

Application du premier point au principe des tiroirs.

II) Cardinaux, d´enombrement 1) Op´erations sur les cardinaux

Union disjointe ou quelconque de deux ensembles finis, compl´ementaire, produit cart´esien. Union disjointe d’un nombre fini d’ensembles finis.

N La formule du crible est hors programme.

Cardinal de l’ensemble des applications d’un ensemble fini dans un ensemble fini.

Nombre de p-listes (ou p-uplets) d’´el´ements d’un ensemble de cardinal n; c’estn^p. 2) Arrangements et injections

Nombre d’applications injectives d’un ensemble de cardinal p dans un ensemble de cardinal n, c’est A^p_n= n!

(n−p)!.

Un arrangement de p ´el´ements de F est une p-liste d’´el´ements de F deux `a deux distincts, ie (x₁, . . . , x_p)∈F tels que ∀(i, j)∈[[ 1 ; p]]², x_i 6=x_j.

3) Permutations et bijections

Proposition. Si E et F sont des ensembles finis de mˆeme cardinal n, alors le nombre de bijections de E dans F est Aⁿ_n=n!.

Une permutation d’un ensemble E de cardinaln est un arrangement de n´el´ements de E, ie une bijection de E dans E.

Nombre de permutations d’un ensemble E de cardinal n; c’est n!.

C’est aussi le nombre de fa¸cons d’ordonner E.

4) Parties d’un ensemble et combinaisons

Cardinal de l’ensemble des parties d’un ensemble fini.

Nombre de parties `a p´el´ements (ou p-combinaisons) d’un ensemble fini de cardinal n.

Exemples.

Nombre d’anagrammes d’un mot.

Nombre de fa¸cons de choisir, parmi njoueurs disponibles, une ´equipe dek joueurs, dontptitulaires.

Exemples de techniques de double comptage (question de cours).

D´emonstrations combinatoires des formules de Pascal et du binˆome.

N Les ´etudiants doivent savoir distinguer les situations et utiliser les outils correspondants.

Situations additives, multiplicatives, identiques, injectives, avec ordre, sans ordre...