E xercice 1. (Continuit´e de l’op´erateur de translation)

Int´egration et probabilit´es ^2012-2013 TD5 – Espaces L ^p

1 – Petites extractions

0) Donner un exemple de f ∈ L¹(R,B(R),λ) telle que f 6∈ L^p(R,B(R),λ) pour tout p > 1, et un exemple def∈L^p(R,B(R),λ)avecp >1telle quef6∈L¹(R,B(R),λ).

1) Soientp >1et(f_n)_n>0 une suite deL^p(E,A,µ)qui converge dansL^p versf. Rappeler pourquoi il existe une extractriceφet une fonctionh ∈L^p(E,A,µ)telle que(f_φ(n))_n>0 convergeµ-p.p. vers fet

|f_φ(n)|6hpour toutn>1,µ-p.p.

Indication : Calquer la d´emonstration de la compl´etude des espacesL^p.

2) Soit(f_n)_n>0 une suite deL^p(E,A,µ)qui converge dansL^pversfet qui converge ´egalementµ-p.p.

versg. Montrer queg∈L^pet quef=g µ-p.p.

3) Soit(f_n)_n>0une suite deL^p(E,A,µ)∩L^q(E,A,µ)avecp,q ∈[1,+∞[etp6=q. On suppose que f_n →0dansL^pquandn →∞et que(f_n)_n>0 est une suite de Cauchy dansL^q. Montrer quef_n →0 dansL^qquandn→∞.

2 – Espaces L

^p

E ^{xercice 1.}

(Continuit´e de l’op´erateur de translation)

Soienth∈Retf: (R,B(R))→(R,B(R))une fonction mesurable. On d´efinitτhfpar τ_hf(x) =f(x−h), x∈R.

1. V´erifier que l’op´erateur de translationτ_h est une isom´etrie de l’espace L^p(R,B(R),λ)pourp ∈ [1,+∞].

Pour des questions, demande de pr´ecisions ou explications,

n’h´esitez pas

`a m’envoyer un mail `a igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V4.

1

2. On supposep <∞. Montrer que sif∈L^p(R,B(R),λ)alors,

h→0lim kτ_hf−fk_p=0,

|h|lim→+∞kτ_hf−fk_p=2^1/pkfk_p.

Indication : on pourra traiter tout d’abord le cas o`ufest continue `a support compact.

3. Que deviennent les r´esultats de la question (2.) sip=∞?

4. – D´eduire des questions pr´ec´edentes que siλ(A)>0, alors l’ensembleA−A={x−y:x,y∈ A}contient un voisinage de0.

Rappel(Th´eor`eme d’Egoroff). Soit(E,A,µ)un espace mesur´e tel queµ(E)<∞, et(f_n)_n>0une suite fonctions qui convergeµ-p.p. versf. Alors pour toutε > 0il existeA_ε ∈ Ade mesureµ(A_ε) 6 εtel que la suitefnconverge uniform´ement versfsurE\Aε.

E ^{xercice 2.}

^Soit(E,A,µ)un espace mesur´e tel queµ(E)<∞. On consid`ere une suite(f_n)_n>0born´ee de L^p(E,A,µ), p ∈]1,∞[ et une fonction mesurable f sur (E,A,µ) telles que f_n → f µ-p.p. quand n→∞.

1. Montrer quef∈L^p(E,A,µ).

2. Montrer quef_n →fdansL^rquandn→∞pour toutr∈[1,p[.

3. Que se passe-t-il pourp=∞?

E ^{xercice 3.}

(Lemme de Scheff´e)Soientp∈[1,∞[et(f_n)_n>0 une suite deL^p(E,A,µ)qui converge µ-p.p. vers une fonctionfdeL^p(E,A,µ). Montrer l’´equivalence suivante:

n→lim∞||f_n−f||p =0 ⇐⇒ lim

n→∞||f_n||p =||f||p.

Indication: consid´ererg_n =2^p(|f_n|^p+|f|^p) −|f_n−f|^p, un peu comme dans la preuve du th´eor`eme de convergence domin´ee.

E ^{xercice 4.}

(Th´eor`eme de Lusin)Soitf: [a,b]→Rune fonction mesurable. Montrer que pour tout ε >0il existe un compactK ⊂[a,b]tel queλ([a,b]∩K^c_ε)6εetfsoit continue surK.

Indication:on pourra utiliser le th´eor`eme d’Egoroff et le fait que les fonctions continues sur[a,b]sont denses dansL¹([a,b]).

2

3 – Th´eor`eme de Radon-Nikodym

E ^{xercice 5.}

(Contre-Exemple `a R-N)Soitm la mesure de comptage sur (R,P(R))c’est-`a-dire que m(A) =#Apour toute partieAdeR. On notem₀la restriction dem `a la tribu bor´elienne deR.

1. Montrer que la mesure de Lebesgue est absolument continue par rapport `am0.

2. Montrer qu’il n’existe pas de fonction mesurablef:R→R+ telle queλ=f·m₀, o`uλd´esigne la mesure de Lebesgue.

3. Conclure quelque chose d’intelligent et intelligible.

E ^{xercice 6.}

(Quantification de l’absolue continuit´e) Soient µ et ν deux mesures sur un espace mesurable(E,A).

1. On suppose que pour toutε >0, il existeη >0tel que pour toutA∈A, µ(A)6η ⇒ ν(A)6ε.

Montrer queνest absolument continue par rapport `aµ.

2. Montrer que la r´eciproque est vraie dans le cas o`u la mesureνest finie. Que se passe-t-il siνest infinie?

E ^{xercice 7.}

(Le retour du diable)On construit r´ecursivement une suite(f_n)_n>0de fonctions continues sur[0, 1] telles quef(0) = 0etf(1) = 1comme suit. On posef₀(x) = xpourx ∈ [0, 1]. On construit f_n+1 `a partir def<sub>n</sub>en remplac¸antf<sub>n</sub>, sur chaque intervalle maximal[u,v]o`u elle n’est pas constante, par la fonction lin´eaire par morceaux qui vaut(f_n(u) +f_n(v))/2sur_2u

3 +^v₃,^2v₃ +^u₃ .

1. Verifier que|f_n+1(x) −f_n(x)|6 2⁻ⁿpour toutn > 0etx ∈ [0, 1]. En d´eduire quef_n converge uniform´ement sur[0, 1]vers une fonction continue not´eef_diable.

2. Soit µ_diable la mesure sur [0, 1] d´efinie comme ´etant la mesure de Stieljes associ´ee `a f<sub>diable</sub>. Montrer que µ<sub>diable</sub> est ´etrang`ere par rapport `a la mesure de Lebesgue. La mesureµ_diable a-t- elle des atomes?

4 – ` A pr´eparer pour la prochaine fois

E ^{xercice 8.}

^{Soientr,s∈[1,∞[etg:R→R}une fonction continue. On suppose qu’il existec >0tel que:

∀y∈R, |g(y)|6c|y|^r/s. (1) SoitΦl’application deL^r(X,A,µ)→L^s(X,A,µ)d´efinie parΦ(f) =g◦f.

3

1. V´erifier queΦ(f)∈L^s(X,A,µ).

2. Montrer queΦest continue.

Indication: on pourra utiliser le crit`ere s´equentiel de la continuit´e, et utiliser la question 1) des petites extractions du d´ebut du TD.

3. Que se passe-t-il si la condition(1)n’est plus satisfaite?

4 – Compl´ements (hors TD)

E ^{xercice 9.}

1. Soientp∈[1,+∞[etf∈L^p(R⁺,B(R⁺),λ). On poseF(x) =R_x

0 f(t)dt. Montrer queFest bien d´efinie et que siqest l’exposant conjugu´e dep, alors

h→0lim

sup_x∈R|F(x+h) −F(x)|

|h|^1/q =0.

2. En d´eduire que sigest une fonction surR+ de classeC¹int´egrable telle queg⁰∈L^p(R+)pour un p∈[1,+∞[, alorsg(x)→0quandx→+∞.

E xercice 10.

^{– Soient(E,}A,µ)un espace mesur´eσ-fini etp∈[1,∞[. Soitg :E→Rune fonction mesurable telle que, pour tout fonctionf∈L^p, on afg∈L^p. Montrer queg∈L^∞.

Fin

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