Analyse II, 2007-2008 Liste suppl. 1, FB, October 4, 2007(V1:02-10-07)
Analyse II
Liste suppl´ementaire num´ero 1 (listes 1-3)
COMPLEMENTS aux transparents du cours (analyse vectorielle)
Sur l’invariance(caract`ere intrins`eque) du gradient, de la divergence, du rotationnel.
Voir par exemple [EK], sections 9.7, 9.8, 9.9.
Utilisation et significationdu gradient, de la divergence, du rotationnel, des formules de Green, de Gauss (divergence) et de Stokes1.
Le Laplacien et le th´eor`eme de Green.
In physics and mathematics, Green’s theorem (in two dimensions) gives the relationship between a line integral around a simple closed curve C and a double integral over the plane region D bounded by C. It is the two-dimensional special case of the more general Stokes’ theorem, and is named after British scientist George Green.
In physics, Green’s theorem is mostly used to solve two-dimensional flow integrals, stating that the sum of fluid outflows at any point inside a volume is equal to the total outflow summed about an enclosing area. This is closely related to the Laplace equation2∆f = 0, which is a fundamental partial differential equation in many applications (see several references in [EK] and elsewhere).
La divergence et le th´eor`eme de Gauss.
In vector calculus, the divergence theorem, also known as Gauss’ theorem, Ostrogradsky’s theorem, or Gauss-Ostrogradsky theorem is a result that relates the flow (that is, flux) of a vector field through a surface to the behaviour of the vector field inside the surface.
More precisely, the divergence theorem states that the outward flux of a vector field through a surface is equal to the triple integral of the divergence on the region inside the surface. Intuitively, it states that the sum of all sources minus the sum of all sinks gives the net flow out of a region.
The divergence theorem is an important result for the mathematics of physics, in particular in elec- trostatics and fluid dynamics.
See also related sections in Chapter 10 of the reference [EK].
Le th´eor`eme de Stokes.
Ce r´esultat apparaˆıt comme une g´en´eralisation de l’int´egration d’une fonction (continue)f par vari- ation d’une primitive (F), `a savoirRb
a f(x)dx=F(b)−F(a).
Le th´eo`ereme de Stokes est un r´esultat fondamental de la g´eom´etrie diff´erentielle et de l’analyse vectorielle. Les utilisations sont nombreuses (expression int´egrale de plusieurs lois de l’´electromagn´etisme, . . . ). Les th´eor`emes de Gauss et de Green en sont d’ailleurs des cas particuliers.
R´ef´erences: sections correspondantes du chapitre 10 de [EK], litt´erature classique (math´ematiques et applications).
EXERCICES
1. Montrer qu’en coordonn´ees polaires ((r, θ) dansR2et (r, θ, ϕ) dansR3), le Laplacien est d´ecrit de la mani`ere suivante (see [EK], chapitre 12)
∆ =D2r+1
rDr+ 1
r2Dθ2 dans R2
∆ =Dr2+2
rDr+ 1
r2D2ϕ+cotgϕ
r2 Dϕ+ 1
r2sin2ϕD2θ dans R3
1Le texte ci-dessous est bas´e sur des donn´ees de Wikipedia and al, sur le livre de r´ef´erence de Kreiszig et sur des syllabi classiques de cours
2Dans l’espace euclidien, le Laplacien ∆ est l’op´erateurD2x+D2y+D2z. Dans le plan, il s’agit de l’op´erateurD2x+D2y. Une solution (r´eelle) de l’´equation de Laplace dans le plan est appel´ee fonction harmonique. Les fonctions harmoniques (r´eelles) sont ´etroitement reli´ees aux fonctionsholomorphes (complexes). Cf suite du cours notamment.
1
2. Siρd´esigne la densit´e d’une distribution de masse dans le domaine Adu plan, la masse totale est donn´ee par
M = Z Z
A
ρ(x, y)dxdy,
le centre de gravit´e de la masse a pour coordonn´ees cart´esiennes (xg, yg) avec xg= 1
M Z Z
A
x ρ(x, y)dxdy, yg = 1 M
Z Z
A
y ρ(x, y)dxdy
et les moments d’inertie de la masse par rapport aux axes sont IX = 1
M Z Z
A
x2 ρ(x, y)dxdy, IY = 1 M
Z Z
A
y2ρ(x, y)dxdy.
Si Aest le quart du disque centr´e `a l’origine, de rayon 1 et situ´e dans le premier quadrant et siρ est identiquement 1 dans cet ensemble, d´eterminer les ´elements d´efinis ci-dessus.
3. (EK p 438) Calculer (si possible) les int´egrales suivantes. Dans chaque cas, repr´esenter l’ensemble d’int´egration.
Z 1
0
Z 1−x2
1−x
x2y dy
! dx,
Z π/2
0
Z siny
0
excosy dx
! ,
Z Z
A
xyex2−y2
o`u Aest la surface ferm´ee born´ee d´etermin´ee par le triangle de sommets (0,0),(1,1),(1,2).
4. Pour touta∈Ret toutb >0, calculer Z +∞
0
e−bxsin(ax) x dx.
5. V´erifier la formule de Stokes-Amp`ere pour la fonction vectorielle f~ = [x2y,0, xyz] et la surface S compos´ee de la portion de cylindre d’´equation cart´esienne x2+y2 =R2 limit´ee par les plans d’´equationz= 0,z=het l’ensemble{x, y, h) :x2+y2≤R2} (h, R >0).
6. On consid`ere le champ vectorielf~= [xy,−y2].
(a) Pour tout naturel strictement positifn, soit la courbeCnd’´equation cart´esienney=xn. Calculer l’int´egrale curviligne du champf~le long de l’arc deCn d’origine (0,0) et d’extr´emit´e (1,1).
(b) On consid`ere le quart de circonf´erence centr´e `a l’origine, de rayon 1, situ´e dans le premier quadrant et deux param´etrages de celui-ci:
~γ(t) = (cost,sint), t∈[0, π/2]; γ~0(t) = (t,p
1−t2), t∈[0,1]
D´eterminer l’int´egrale curviligne def~le long de~γ puis le long deγ~0.
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