Terminale Mercatique : correction du contrôle sur les suites
I (1 point)
un=u0+nrdoncu10=u0+10r =3+10×4=43 ; u10=43
II (3 points)
On sait queu20=u0+20r donc 20r=u20−u0=61−1=60 d’oùr =60
20=3. r=3.
On en déduit queu30=u0+30t=1+30×3=91 ; u30=91
III (3 points)
1. u10 =u5+(10−5)r donc u10=u5+5r. Par consé- quent : 5r=u10−u5=17−2=15.
On en déduitr=15
5 donc r=3.
u5=u0+5r donc 2=u0+5×3=u0+15. On en dé- duit que :u0=2−15=13. u0= −13. La suite a pour premier termeu0= −13 et raisonr=3.
2. u13 = u0+13r = −13+13×3 = −13+39 = 26 ; u13=26.
IV (1 point)
On aun=u0qn=2×3n.
Pn en déduit :u4=2×34=2×81=162 ; u4=162
V (4 points)
1. Le coefficient multiplicateur associé à une augmen- tation de 15 % est 1,15.
Au bout d’un an, la surface occupée par l’algue est 150 000×1, 15= 172 500.
2. Pour toutn,un+1 =u,×1, 15 donc la suite (un) est géométrique de raison q = 1, 15 et premier terme u0=150 000.
3. Le terme général estun=u0qn=150 000×1, 15n. Au 1ierjanvier 2022, il s’est écoulé 10 ans ;
u10=150 000×1, 1510≈ 606 833 m2 .
VI (8 points)
Partie I : étude de deux modèles
1. Première hypothèse de croissance
(a) Pour toutn,un+1=un+500, donc la suite (un) estarithmétique, de raisonr =500 et de pre- mier tereu0=10 000.
(b) On aun=u0+nr donc un=10 000+500n . (c) unÊ20 000 donne 10 000+500n Ê20 000 d’où
500nÊ20 000−10 000=10 000.
On en déduitnÊ10 000 500 = 20.
La population dépassera 20 000 habitats au bout de 20 ans.
2. Deuxième hypothèse de croissance
(a) Le coefficient multiplicateur est 1+4, 7
100= 1, 047.
En 2006, la population sera v1=10 000×1, 047= 10 470 . En 2007, la population sera v2=10 470×1, 047 ≈10 962 .
(b) Pour toutn,vn+1=vn×1, 047 donc la suite (vn) est géométrique, de raisonq=1, 047 et de pre- mier termev0=10 000.
On en déduitvn=v0qndonc vn=10 000×1, 047n . (c) En 2020, la population sera
v15=10 000×1, 04715≈19 916 .
(d) Le résultat est proche de 20 000, donc oui, la po- pulation va presque doubler en quinze ans.
Partie II : analyse des résultats sur tableur
1. En B2 et C2, on entre le nombre 10 000 (population en 2005)..
En B3, il faut taper la formule «=B2+500».
2. En C3, on tape «=C2*1.047».
3. Le résultat en B8 correspond àu6(car 2011=2005+6) ; u6+u0+6r=π10000+6×500= 13 000
