Terminale STG Antilles Guyane juin 2007 : mercatique. Page n ° 1 Exemple de corrigé.
E1 ( 3 points ) ( 25 minutes ).
1. Les coordonnées du point moyen G ( x ; y ) sont G ( 3 ; 341,8 ).
2. La droite D d'ajustement affine obtenue par la méthode des moindres carrés a pour équation y = 0,8x + 339,4
3. Le chiffre d'affaires, en milliers d'euros, estimé pour 2006 à l'aide de l'ajustement précédent est de 344,2.
Justifications : x =
5 5 4 3 2
1+ + + + = 3 et y =
5
344 341 343 341
340+ + + + = 341,8
dans la calculatrice en mode stat, je rentre en list 1 les x, en list 2 les y et je calcule en tapant sur reg…
y = 0,8 × 6 + 339,4 = 344,2.
E2 ( 7 points ) ( 75 minutes ).
Partie I : étude de deux modèles
1. Première hypothèse de croissance
a. La population de la ville V va augmenter de 500 habitants par an.
Autrement dit, on passe du terme un à son suivant un+1 en ajoutant 500.
Donc la suite ( un ) est une suite arithmétique de raison a = 500 et de premier terme u0 = 10 000.
b. La formule donnant le terme un en fonction de n est un = u0 + n × a = 10 000 + 500 n.
c. Je cherche n tel que un = 20 000 ⇔ 10 000 + 500n = 20 000 ⇔ 500n = 10 000 ⇔ n = 100 5 = 20.
La population atteindra 20 000 habitants en 2005 + 20 = 2025.
2. Deuxième hypothèse de croissance
On travaille avec l'hypothèse d'une augmentation de 4,7 % par an.
On note vn la population en ( 2005 + n ). Nous avons alors v0 = 10 000.
a. v1 = v0 × ( 1 + 4,7 % ) = 10 000 × ( 1 + 0,047 ) = 10 000 × 1,047 = 10 470.
La population en 2006 sera de 10 470 habitants.
v2 = v1 × ( 1 + 4,7 % ) = 10 470 × ( 1 + 0,047 ) = 10 470 × 1,047 = 10 962.
La population en 2007 sera de 10 962 habitants.
b. La population de la ville augmente de 4,7 % par an.
Autrement dit, on passe du terme vn à son suivant vn+1 en multipliant par 1,047.
Donc la suite ( vn ) est une suite géométrique de raison b= 1,047 et de premier terme v0 = 10 000.
Or le terme général est donné par la formule vn = v0 × bn = 10 000 × 1,047n. c. Calculer la population de la ville en 2020 revient à remplacer n par 15.
Donc v15 = 10000 × 1,04715 = 19 916.
La population de la ville en 2020 sera de 19 916 habitants.
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d. Le résultat trouvé en 2. c. vous paraît-il correspondre à ce que pensaient les experts ? 20000 ≠ 19916 donc d'un point de vue mathématique, la population n'a pas doublé en 15 ans.
Mais
19916 19916
20000− ≈ 0,004. Donc l'erreur commise est de 0,4 %.
Ainsi d'un point de vue statistique, on peut dire que la population a doublé en 15 ans car l'erreur commise est proche de 0.
Partie II : analyse des résultats sur tableur
On veut utiliser un tableur pour comparer l'évolution de la population suivant les deux modèles :
A B C D
1 Année un vn
2 2005
3 2006
4 2007
5 2008
6 2009
7 2010
8 2011
9 2012
10 2013
11 2014
12 2015
1. La formule qu'il faut entrer en B3, pour obtenir, par recopie vers le bas, les valeurs de la suite ( un ) est
= B2 + 500.
2. La formule qu'il faut entrer en C3, pour obtenir, par recopie vers le bas, les valeurs de la suite ( vn ) est
= C2 × 1,047
3. En cellule B8, le résultat affiché sera u11 = 10 000 + 6 × 500 = 10 000 + 3 000 = 13 000.
E3 ( 4 points ) ( 35 minutes ).
1.
CGRH Mercatique CFE Total
Filles 30 20 15 65
Garçons 5 45 15 65
Total 35 65 30 130
Un établissement scolaire compte 130 élèves en terminale STG.
Donc dans la colonne total, et à la ligne total, je mets 130.
50 % des élèves sont en mercatique . 130 × 50 % = 65.
Donc dans la ligne total de mercatique, je mets 65.
45 d'entre eux sont des garçons. Dans la case intersection de garçons et mercatique j'écris 45.
Ainsi le nombre de filles est de 65 − 45 = 20.
30 élèves sont en CFE . Donc dans la case total de CFE j'écris 30.
Il y a autant de filles que de garçons. Donc dans les cases filles et garçons de CFE j'écris 15.
130 − 30 − 65 = 35. Donc en CGRH il y a 35 élèves.
En CGRH, il y a 6 fois plus de filles que de garçons.
Appelons x le nombre de garçons alors x vérifie 6x + x = 35 ⇔ x = 35/7 = 5.
Donc il y a 30 filles et 5 garçons.
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2. Un élève est choisi au hasard parmi les 130 élèves de terminale STG.
Donc il y a équiprobabilité. Donc la formule p =
possibles céas
de nombre
favorables cas
de
nombre s'applique.
On considère les événements suivants : M : " l'élève choisi est en mercatique " ; F : " l'élève choisie est une fille " ; H : " l'élève choisi est en CGRH ".
a. p ( M ) = 65 130 = 1
2 p ( H) = 35 130 = 7
26
b. M ∩ F: " L'élève choisi est une fille et est en mercatique ".
p ( M ∩ F ) = 20 130 = 2
13
c. La probabilité conditionnelle sachant M de F notée pM ( F ) = ) M ( p
) F M (
p ∩
= 2 13
1 2
= 2 13 × 2
1 = 4 13 Dans la spécialité mercatique, sur 13 élèves, 4 sont des filles.
E4 ( 6 points ) ( 55 minutes )
On donne ci-dessous la courbe représentative ( C ) d'une fonction f définie sur [ − 2 ; 5 ].
La tangente à ( C ) au point d'abscisse − ln 2 est parallèle à l'axe des abscisses et ( D ) est la droite d'équation y = 2x − 3.
Partie A
1. Par lecture graphique, déterminons f ( 0 ) = - 2 et f ' ( − ln 2 ) = 0
car f ' ( - ln2 ) est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse - ln 2.
( C )
( D )
y=-1-2ln2
2 3 4 5
-1 -2
2 3 4 5 6
-1
-2
-3
0 1
1
x y
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Or la tangente à ( C ) au point d'abscisse − ln 2 est parallèle à l'axe des abscisses donc son coefficient directeur est égal à 0.
2. a. Déterminer graphiquement le nombre de solutions, sur l'intervalle [ − 2 ; 5 ], de l'équation f ( x ) = 0 cela signifie rechercher le nombre de fois où la courbe ( C ) coupe l'axe des abscisses.
Ici ces deux courbes se coupent en deux points d'intersection. donc l'équation f ( x ) = 0 a deux solutions.
2. b. Résoudre graphiquement l'inéquation f ' ( x ) < 0 cela signifie rechercher lorsque la fonction f représentée par la courbe ( C ) est strictement décroissante.
Ici, f est strictement décroissante sur l'intervalle [ - 2 ; - ln2 [.
Donc les solutions de l'inéquation f ' ( x ) < 0 sont dans l'intervalle [ - 2 ; - ln2 [ Partie B
La fonction de la partie A est définie sur [ − 2 ; 5 ] par : f ( x ) = 2x − 3 + e-x. 1. On note f ' la fonction dérivée de f. Pour tout x de [ − 2 ; 5 ],
la dérivée de la fonction affine 2x − 3 est égale à 2.
La dérivée de e-x est égale à − e-x. Donc f ' ( x ) = 2 − e-x.
2. a. Résoudre algébriquement l'équation f ' ( x ) = 0 ⇔ 2 − e-x = 0 ⇔ 2 = e-x ⇔ ln (2 ) = ln ( e-x ) ⇔ ln ( 2 ) = − x ⇔ x = − ln ( 2 ).
L'ensemble des solutions est { − ln2 }.
b. f ' ( x ) > 0 ⇔ 2 − e-x > 0 ⇔ 2 > e-x ⇔ ln (2 ) > ln ( e-x ) ⇔ ln ( 2 ) > − x ⇔ − ln2 < x Donc sur l'intervalle [ - 2 ; - ln 2 [, f ' ( x ) < 0
Et sur l'intervalle ] − ln2 ; 5 ], f ' (x ) > 0.
c. Le tableau de variations de f.
f ( - 2 ) = - 4 − 3 + e2 = e2 − 7 f ( 0 ) = 2 × 0 − 3 + e-0 = − 3 + 1 = − 2 f ( 5 ) = 10 − 3 + e-5 = 7 + e-5
x −2 - ln2 5
signe de f ′ − 0 +
e² -7 7 + e-5
f
− 2
3. On rappelle que ( D ) est la droite d'équation y = 2x − 3.
a. Résoudre l'inéquation f ( x ) > 2x − 3 ⇔ 2x − 3 + e-x > 2x − 3 ⇔ e-x > 0.
Or une exponentielle est toujours strictement positive sur
Donc cette inégalité est toujours vérifiée. Donc l'ensemble des solutions est [ − 2 ; 5 ].
b. Interpréter graphiquement, à l'aide de ( C ) et ( D ), le résultat précédent cela signifie que la courbe ( C ) est toujours strictement au dessus de la droite ( D ).
