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Terminale Mercatique : Contrôle n°6
Exercice n°1 [16 pts]
Une entreprise possède une chaîne de fabrication capable de fabriquer en une semaine entre 6 000 et 32 000 pièces identiques. Le coût de fabrication, en euros, de x milliers de pièces, pour x compris entre 6 et 32, est noté C(x) où C est la fonction définie sur l’intervalle [6 ; 32] par :
C(x) = 2x3 – 108x2 + 5060x −4640.
La représentation graphique de la fonction C est donnée en annexe.
Toutes les pièces produites sont vendues au prix de /t{3500;3602;3716} € les 1000 pièces.
Pour tout x appartenant à l’intervalle [6 ; 32] (c'est à dire entre 6000 et 32000 pièces fabriquées), on note R(x) le montant de la vente en euros de x milliers de pièces. Le bénéfice B(x), en euros, pour la production et la vente de x milliers de pièces est B(x) = R(x) −C(x).
1.[2 pts] Montrer que, pour tout x appartenant à l’intervalle [6 ; 32] : R(x) = ax , a étant un nombre entier que l'on déterminera à partir de l'énoncé.
2.[2 pts] En indiquant sur votre copie les calculs ou raisonnements effectués, représenter la fonction R sur l’annexe, à remettre avec la copie.
3.[2 pts] Par lecture graphique, et avec la précision permise par celui-ci, répondre aux questions suivantes. On laissera apparents tous les tracés utiles aux lectures graphiques.
a. Quel nombre de pièces produites correspond à un coût de 30 000 € ? b. Quel nombre minimal de pièces fabriquées permet d’avoir un bénéfice positif ou nul ?
4. [2 pts] Montrer que, pour tout x appartenant à l’intervalle [6 ; 32] :
B(x) = –2x3 + 108x2 – bx + 4640 , b étant un nombre entier que l'on déterminera.
5. [2 pts] On désigne par B' la fonction dérivée de la fonction B. Calculer B' (x).
6. a. [3 pts] Étudier le signe de B' (x) sur l’intervalle [6 ; 32].
b. [1 pt] En déduire le tableau de variation de la fonction B sur l’intervalle [6 ; 32].
7. [2 pts] Quel est le bénéfice maximal réalisable par l’entreprise ? Donner le nombre de pièces à produire réalisant ce maximum.
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Exercice n°2 [8 pts]
Un sondage a été effectué auprès de vacanciers sur leurs pratiques sportives pendant leurs congés. Ce sondage révèle que :
- 4/t{5;6} % des vacanciers fréquentent une salle de sport pendant leurs congés.
- parmi les vacanciers fréquentant une salle de sport pendant leurs congés, /t{5;6}0 % pratiquent la natation.
- parmi les vacanciers ne fréquentant pas une salle de sport, 70 % pratiquent la natation.
On choisit un vacancier au hasard. On considère les événements suivants : S : « le vacancier choisi fréquente une salle de sport »
N : « le vacancier choisi pratique la natation ».
1. [2 pts] Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
2. [2 pts] a. Définir par une phrase l’événement S∩N . b. Calculer la probabilité de l’événement S∩N . 3. [1 pt] Calculer P(N).
4. [3 pts] On interroge successivement et de façon indépendante /t{3;4;5}
vacanciers pris au hasard. Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre de ces vacanciers pratiquant la natation pendant leurs congés. Le nombre de
vacanciers étant suffisamment grand, on considère que X suit une loi binomiale.
a. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
b. Calculer la probabilité que 2 vacanciers exactement pratiquent la natation pendant leurs congés. On arrondira le résultat à 10−4 près.
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