Contribution à l'étude des catégories ordonnées. Application aux structures feuilletées

TOPOLOGIE ET GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CATÉGORIQUES

G ^ÉRARD J ^OUBERT

Contribution à l’étude des catégories ordonnées.

Application aux structures feuilletées

Cahiers de topologie et géométrie différentielle catégoriques, tome 8 (1966), exp. n

^o

5, p.

I

-117

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© Andrée C. Ehresmann et les auteurs, 1966, tous droits réservés.

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CONTRIBUTION A L’ETUDE DES CATEGORIES ORDONNEES APPLICATION AUX STRUCTURES FEUILLETEES

par Gérard JOUBERT

ET GEOMETRIE DIFFERENTIELLE J anvier ¹⁹⁶⁶

INTRODUCTION

La théorie des variétés

feuilletées,

^créée _{par C.} Ehresmann et

G. Reeb

puis

^{étudiée de}

façon approfondie

par G. Reeb et A.

Haefliger,

^a

été étendue _{par C.} Ehresmann au cas

topologique général ,

^{dans le cadre}

de la théorie des structures locales.

Presque

^tous les résultats connus

dans le cas des variétés

(voir

par

exemple [ ^{1] )}

peuvent être

généralisés

au cas des

feuilletages topologiques

localement

simples (voir [9] )’

En

particulier,

^{la notion} fondamentale

qui

^{domine toute la}

^théorie,

celle

d’holonomie,

peut être définie dans ^cette théorie

générale.

^{Cette no-}

tion, qui

était bien connue dans le cas

particulier

^des

systèmes dynami-

ques, permet d’étudier ^avec

précision

^{la situation au}

voisinage

d’une feuille.

Nous donnerons au début du

chapitre

^{V les éléments de} la théorie

qui

per- mettent une définition

précise

^{de cette} notion. Disons brièvement ici _que si

( T, T’ ) est

^un

feuilletage topologique

localement

simple

^{et cd un ouvert sim-}

ple,

l’holonomie de

( T’, T’ )

relativement à úJ est donnée _{par le}

groupoide

des

jets ^(voir ( 10 J ) , appelé grouporde

transverse

d’holonomie,

d’un pseu-

dogroupe yw d’homéomorphismes

locaux de

l’espace transverse è:J.

On construit ^ce

pseudogroupe

^au moyen de

chaînes

d’ouverts

simples

^reliant

deux ouverts de cv saturés vis-à-vis de la relation

d’équivalence

^cano-

nique

^{associée au}

feuilletage (T, T’ ) f’.AJ

^{induit par}

( T , T’ )

^{sur w - L’en-} semble des

points

^d’une

trajectoire

^de

y~ correspond

^à l’ensemble des

plaques

^de

( T , T’ )w appartenant’à

^une même feuille de

( T , ?’’ ) .

L’origine

^{de ce travail est alors la}

question

^suivante

qui

^{m’a été}

posée

par Monsieur Ehresmann :

Est-il

possible

de construire un

feuilletage topologique

^localement

simple ( T , T’ )

^{admettant une} holonomie donnée ?

Plus

précisément,

^{étant donné un}

pseudogroupe y d’homéomorphis-

mes locaux d’un _espace

topologique ^E,

existe-t-il un

feuilletage

^locale-

ment

simple ( T , T’ )

^{admettant un ouvert}

simple

^Cù tel que le

grouporde

transverse d’holonomie de

( T , T’ )

relativement à co soit

identique

^au grou-

poide

^des

jets de y ?

On connait

déjà

^urie

réponse

affirmative à cette

question

^{dans le}

cas

particulier

^{où le}

pseudogroupe y

^{est obtenu} par localisation d’un

groupe H d’homéomorphismes

^{de E}

^(voir [ 11 J ) :

~

Si G est le groupe

d’automorphismes

^du

revêtement

universel X d’un _espace

topologique

^{X connexe et} localement connexe et si 7T est un

homomorphisme

^{de G}

^{sur H ,}

^{alors à tout s E G on} peut associer ^un homéo-

H

morphisme

^{s *} de E X X = F en posant

N

si x E E et y E X . Ces

homéomorphismes

constituent un groupe G’ iso-

morphe

^{à G.}

Soit F’ l’ensemble

quotient

de F par l’action de G’ . F est muni de deux

topologies,

^la

topologie 5’ produit

^{de celle} de E par celle de

X

..

et la

topologie Î’

^{somme de celle} des sous-espaces

x ~ 1

^x

X ;

^{les deux}

topologies

^{sur F’}

quotient

^{de celles de F} déterminent ^sur F’ un feuil-

letage topologique

localement

simple

^{ayant les}

propriétés requises.

Pour étudier le cas

général,

^il était naturel

d’essayer

d’ étendre la construction

précédente,

c’est-à-dire de chercher à construire un

pseudo-

groupe

r d’homéomorphismes

^{locaux de F} dont les éléments seraient de la forme

( j, s )

^où

f

^E y ^{et s E G et} tels que

et de

considérer

l’ensemble F’

quotient

^{de F} par II action de

I-’

muni de la

topologie

^{T et T’}

quotient de Ï

et

Ïl respectivement.

Pour que

( T , T’ )

déterminent sur F’ un

feuilletage topologique

localement

simple

ayant ^les

propriétés exigées

^{il faut que, pour tout}

^f

^{E y,}

l’ensemble des s E G ^* tels que

( f , s ) ^{E r}

soit convenablement associé à

f .

^{On obtient une telle} association

si, ( Q° ( G’ ) , )

^{étant le}

groupoide

inductif

des atlas de G ’ ^°

(voir [ 2 ] )

^et

cp = (( Q° ( G ’ ) , ) , cp , ( y’ , )) un

foncteur ordonné bien

fidèle, s appartient

^à cp

( f ).

Si,

^{dans le cas}

particulier précédemment envisagé,

^on suppose que G = H et que ^{Tr est}

l’ identité,

^{on constate} que

si, c~ ( f ) désigne

^l’ensemble

des s E G

qui majore

^{l’élément}

f

de y ’ , ^on définit une

application de y

dans

LI( G’ ) sous-jacente

^{à un} foncteur cp ^{ordonné et} bien fidèle ^et _que ^ce

foncteur, qu’on appellera

^foncteur

majorant

^{associé à} y’ , est, de

plus,

^un

foncteur

d’hypermorphismes

^saturé

(voir ( E ) ) .

Ce dernier résultat incite à penser que,

t y ’, )

^étant

plus générale-

ment un

groupoides

fonctoriellement ordonné et G’ ^° un

groupe,la

connaissance d’un foncteur Cf =

(( ~~‘’ ( ~i ~ ) , ) , cp,( y ’ , ⁾⁾

^{ordonné et bien}

fidèle serait

une

première étape

^{dans la} résolution du

problème

^{suivant :}

A

Construire ^un

groupoi’de

fonctoriellement ordonné

( y ’ , )

^obtenu par localisation du groupe G ’ ^{* et contenant un}

sous-groupoide régulier équivalent

à

(~0.

-

On

conçoit,

^en

effet,

que le foncteur

majorant c~ _ (( ~°(G ’),, ~p , (y, ⁾

A ^-

associé à

y

^{° soit une extension du} foncteur y. ^Or

précisément,il

^{résulte des}

travaux de C. Ehresmann sur les extensions et les

élargissements

^{de fonc-}

teurs que, dans le cas

particulier ^{où P} = ( K ’ , p , H ’ )

^{est un} foncteur bien fidèle et H ’ ^* et K ’ ^° des

groupordes,

^{il est}

toujours possible

^de construire un

foncteur

d’hypermorphismes saturé p

⁼

^{( K’ ~} t~, ~ ’ )

^{et une}

équivalence

_ _

-

o’ _ ( H ’ , cl’ , H ’ ) ,

^{H * étant un}

sous-groupofde

^de

^{H ’ ,}

^tels

que P ==~.o’.

G" est donc vers l’étude de ces

extensions, lorsque

^{H ’ ° et K ’ sont}

plus généralement

^des

catégories

structurées par ^un ordre

et p

^{un foncteur}

structuré,qu’ il

fallait orienter les recherches.

Dans le

chapitre

^{0 de ce}

travail,

nous avons

rappelé

^{les notions}

gé-

nérales de la théorie des

catégories

structurées par des ordres

(voir [ 8 ] )

~

et des

foncteurs

structurés

correspondants.

Dans le

chapitre

¹ nous avons étudié le _passage au

quotient (strict)

dans ces

catégories.

^{Les résultats de ce}

chapitre

^sont

indispensables

pour le suivant

qui

^{traite de} l’extension d’un foncteur structuré.

Le

chapitre III , qui

utilise certains résultats de

II ,

^{est consacré à} l’étude des

propriétés

^des

groupoides ( F . 0 )

^obtenus par localisation d’un groupe G ^et

plus particulièrement

^du

problème

^du

plongement

^d’un grou-

poide ^{( F . 0 )}

^{dans un tel}

groupoide.

Dans le

chapitre IV,

^{on donne une méthode} pour construire un fonc-

teur ordonné bien

fidèle

d’un

grouporde ( F .0 )

^{vers le}

groupoide

^{des atlas}

d’un groupe. On

utilise, ensuite,

^cette construction pour résoudre

plus complètement

^le

problème

^{abordé dans II et} pour déterminer

explicitement

une

projection

^{dans une}

catégorie

de foncteurs ordonnés.

Le

chapitre

^{V est}

indépendant

^du

chapitre

^III. Les résultats de IV

servent à la résolution du

problème

initial dont on a

parlé

ci-dessus : un

feuilletage topologique

localement

simple

^{admettant une} holonomie donnée

est construit effectivement.

Chaque chapitre

^est

précédé

d’un bref résumé destiné à mettre en

évidence les notions et les

propriétés

^les

plus importantes qu’il

^contient.

Les notations

employées, qui

^sont brièvement

rappelées ci-après,

sont celles du livre de M.

Ehresmann« Catégories

et structures »

dont,

par

ailleurs,de

nombreux théorèmes et notions sont utilisés dans ce travail.

Je

^suis très heureux

d’exprimer

^{ici ma}

profonde

^{et sincère}

gratitude

à M. C. Ehresmann

qui, m’ayant proposé

^le

sujet

^{de cette}

thèse,

^{m’a cons-}

tamment aidé dans mes recherches avec

beaucoup

^de bienveillance et de sollicitude. C’ est

grâce

^aux directives

qu’il

^m’a

données,

^{aux excellents}

conseils

qu’il

^m’a

prodigués,

^{au cours de nombreux et} enrichissants entre-

tiens,

que

j’ai

pu ^{mener ce} travail à son terme.

Qu’il

^trouve

également

^ici

le

témoignage

^{de mon} admiration.

Je

^{tiens à}

exprimer

^{aussi toute ma} reconnaissance à M.

Jean

^Arbault

qui, après

^avoir contribué efficacement à ma formation

mathématique, m’ a

constamment soutenu dans mon travail de recherche et m’a accordé toutes

les facilités

possibles

pour l’ exécuter.

Ma reconnaissance va

également

^{à ~. René}

Lagrange qui

^{m’a ensei-}

gné

^la

rigueur mathématique

^{et me} fait l’honneur de

présider

^le

jury

^{de cette}

thèse.

A M. Pierre

Pigeaud qui

^a

accepté

^{de me} proposer le

sujet

^{de la 2ème}

thèse et m’a amicalement aidé dans son

élaboration,

^ainsi

qu’à

^{~i. Bernard}

d’Orgeval

^Dubouchet

qui

^a bien voulu être

parmi

^mes

juges, j’exprime

^mes

très vifs remerciements.

Je

n’oublie pas ^tous les

professeurs

^du

Lycée

^de

Dijon,

^MM.

Pelletier, Euvrard, Paty,

^{Sauser et Semah dont} l’excellent

enseignement

^{a déterminé}

ma vocation

mathématique. Qu’il

^{me soit}

permis

^{de leur}

exprimer

^{mon affec-}

tueux souvenir.

INDEX DES NOTATIONS

- C’ ( C° , etc...) désigne

^{une classe C} munie d’une loi _{de compo-} sition interne

partiellement

^définie

^{K ;}

^le

composé K ( g, f )

^{de deux élé-}

ments de C étant noté

g , f ( g o j, ^{etc... ) .}

-

C ’ *

^{C ’ "}

dédigne

^{la classe} des éléments

composables

^{de C ’ .}

-Si C ^-’ est un

graphe multiplicatif,

^{ou une}

catégorie,

la classe des unités est notée

C" 0

^{et les}

applications

^{source et but} a. ,

~3 ^{( si}

^{C * est sur-}

monté d’un

signe ^(A, "’, etc... )

^{a, et}

~3

^sont surmontés du même

signe) .

- Le

groupoide

^des éléments inversibles d’une

catégorie

^{C est}

.ioté C,~, .

- Soit M ’ ^* une classe

multiplicative,

^{K ’ et L ’ »} des sous-classes

multiplicatives

^{de M ’ : :}

Si

( h’ , f’ ~ f , h )

^{est un} quatuor

(c’ est-à-

^{dire si} h’ ,

f

^et

f’ . h

^{sont définis et}

égaux)

^{et si et on écrira}

- Si L ⁼ M on posera

- Si K ⁼ L ⁼ M on posera

- Les

multiplications longitudinales

^{et latérales sur}

seront notées

respectivement CI] , tj

^{et on} posera

et

-Si M et M’ sont deux

classes,

^une

surjection

^{de M sur M’ sera}

désignée

par ^une seule lettre

f ,

^une

application

^{de M dans} M’ par ^un

triplet ( M’ , f , ^{M )}

^où

f

^{est une}

surjection

^{de M sur une} sous-classe de M’.

Lorsqu’il n’y

^{aura aucun}

risque

^de

confusion, l’application ( M’ , f , M )

^sera

notée par la seule lettre

f .

- Si M ^° et M’ ’ ^° sont des

graphes multiplicatifs (resp.

^des

catégories)

un néofoncteur

( resp.

^un

^foncteur)

^{de M ~ »} dans M’ ’ ^° sera

désigné

par ^un

triplet ( M’ . , l, M .)

^où

f

^{est la}

surj ection (ou l’application)

^{de M dans M’ définis-}

sant le foncteur

(voir

^{E déf.}

22 , chap. I ,

p.

15 ) .

^{Si F est un néo-} foncteur de M ^* dans

M’ ~ ,

^la

surjection

définissant F sera notée F de sorte que

- Si p

⁼

( M’ . , ~, ^{M ’ )}

^{est un}

foncteur,

^la restriction

de p

^à

M ~,

^sera

notée p y ^{et , si}

^{C* ° est une}

sous -catégorie

^de

^{ll~t ,} l’image

^{de cette sous-}

catégorie par p

^{sera notée}

p ( C - ) -

-Si M ’ ^° est une

catégorie

^{et C une} sous-classe de

M,

^{la sous-caté-}

gorie engendrée

par C ^sera notée C ’ .

- Si p ^{est une} relation

d’ équivalence

^{sur une classe}

^{M ,}

^on

désignera

par p l’application canonique

^{de M sur}

M /p .

RAPPELS

CONCERNANT LA THEORIE DES CATEGORIES ORDONNEES

1. Difinitions générâtes.

Dans toute la suite on

désignera

par :

1) ‘mo :

^{une classe de} classes vérifiant les deux conditions :

a)

^si M

E ~o ,

^{1, alors on a M’}

é m

^{pour toute} sous-classe M’ de M.

b)

^{si M}

6 ? et

^{00 0}M’

E ll~ ,

^{alors on a M X M’}

~ ? .

)!! :

la

catégorie

^des

applications ^{( M’ ,} f , AU

^où

M ,

^M’

E io (m o

^est identifiée à la classe des unités

de ?).

2) 0

la classe des

graphes multiplicatifs

^C tels que C

e 0

nt :

la

catégorie

des néo-foncteurs

( C’ ’, ~, ^C*)

^{tels que}

^{C’ ,}

^{C’ é}

0 3 ) j= o

^: la sous-classe de

IQ’ 0

formée par les

catégories.

if :

^la

sous-catégorie pleine

^de

~I’

formée _par les foncteurs.

(3l’ et ?

^sont identifiés ^aux classes

d’ unités

de

h’

et de

~’

o 0

respectivement) .

4) P,p :

le foncteur défini _par

l’application

de

n’ sur ? ;

^alors

5) P~ :

^la restriction de ce foncteur

à &#x3E; ,

c’est-à-dire

si

(,"P, c , ~ )

^est

l’injection canonique.

6) OP :

la classe des classes

préordonnées ^{( M, )}

^où

M Emet

où

0 0

est une relation de

préordre

^{sur M .}

OP :

la

catégorie

^des

applications préordonnées

c’ est-à-dire la caté-

gorie

^des

triplets (( M’ , ), f , ~ M , ⁾⁾

⁼

/ tels

que

et que,

si x EM, x’ E M

vérifient x’ _{x ,} on ait

f ( x’ ) f ( x ) . 7) ~o :

la sous-classe de

~o

formée _par les classes ordonnées.

o 0

.0 :

la

sous-catégorie pleine

^de

^f2P

^formée par les

applications

^ordon-

nées.

8) P Q p :

^le foncteur défini _par

l’application

de np

^sur

m;

^alors

9) P ~ :

^la restriction de ce foncteur

à ~ .

2. Sous-catégories ^{de n utilisées dans la}

^suite

^(voir [6 1 appendice).

Pour les définitions des notions suivantes : classes

inductives, sous-inductives, préinductives, sous-préinductives,

^on peut ^se reporter ^à

[4 ] .

1) ^~’

⁼

catégorie

^des

applications

^ordonnées strictes :

f ^{E ~’}

^{si et seule-}

ment si les conditions x’ x et

f ( x ) = f ( x’ )

entraînent x ⁼ x’ . 2

0’1

⁼

^catégorie

^des

applications

s - ordonnées :

f E 0’1

^{si et seule-}

ment si les conditions x’ x, x" x et

j( x’ ) = f ( x" )

^entrai-

nent x’ ⁼ x" .

0"

⁼

catégorie

^des

applications

^{ordonnées étalées :}

f

^E

^.0"

^{si et}

seulement

si,

pour ^{tout x} E M et tout

y f ( x ),

il existe x’ x

tel que

f ( x’ )

⁼ y.

~ 2 - ^catégorie

^des

applications

^ordonnées

régulières C ~" : f E ~ 2

si et seulement

si,

pour ^{tout x E} M et tout y ^E

f ( x ),

^{la classe des}

x’ x tels que

f ( x’ )

y admet un

plus grand

élément x tel _que

f~x~ - Y

o = sous-catégorie ^{de 0}

^{dont les éléments sont les}

f E fl

^{tels que}

pour ^toute sous-classe C de M on ait :

où

U C

^{est la}

congrégation

^{de C}

(voir [ 2 ] ) .

2) Q

⁼

sous-catégorie pleine ^{de .0}

ayant pour unités les classes sous-

inductives~M,)~n .

5 U- catégorie

^des

applications quasi-inductives = ~Ur~ ~S .

IPS

⁼

_catégorie

des

applications sous-préinductives : f E 9ps

^{si et}

seulement si

( M, )

^et

( M’, )

^{sont des} classes

sous-préinduc-

tives et si les conditions x’ x , x" x dans

( M , )

^entrainent

~S

⁼

_catégorie

^des

applications

sous-inductives ⁼

gUn 9

9

⁼

_catégorie

des

applications

inductives ⁼

sous-catégorie pleine

^de

9-Ç

_{ayant pour} unités les classes inductives

( M , ) E 00.

3) si h

est l’une des

catégories 9 ~, ~PS , ~S ^{ou 9}

^on pose

3. Rappels

concernant

les catégories structuréés (voir [ 8 J ) .

On sait _que

(m, P5:, 9:, 5:y)

^{est une}

catégorie d’homomorphismes (saturée)

^et

( ~ , P ~ , ~ , ~,~, )

^une

catégorie d’homomorphismes

^à

produits

finis

(voir [

⁸

J , II ,

^déf.

1 ) .

Soit

~=CM,)~n ,

alors s’ =

( M’ , oc )

^E

n

^{est une sous-}

structure de s dans

( ~i , P ~ , ~ , Siy )

^{si et} seulement si M’ C M et ^« est

l’ordre induit _par sur M’

(voir [ 8 J , I ,

^déf.

7 ) .

Sauf indication

contraire,

^on

désignera

^{une telle structure} par la notation s’ =

( M’ , ) .

’

Soient s i = ( M i , ) E ~o, i = 1, 2 .

^Le

produit s 1 X s 2

^{au sens}

de

( [ 8 ] , II , déf. 1 )

^{est la} classe ordonnée

(MI x m 2

dont l’ordre ^est le

produit

^{des ordres de M} ₁ ^et

AI

^*

soient X, X’ ~" ,

^trois

sous-catégories ^{de n} (ou de DP)

^telles

que

~’ , ^K"

contiennent

et

^{soient contenues}

^dans

DEFINITION

(voir-[ 8], II ,

^déf.

3 ) .

^Une

catégorie ^structuré

(resp. ~((~’, H’ ), J(") structurée)

^{est un}

couple ^{(C., s ) ,}

^{où C’ E}

5:0 s E ~o et s = ( C, ), vérifiant

les conditions suivantes :

1 ) si so = ( C ~ ’ ) (sous-structure

^{de s}

définie par C~ ) , alors ( so X so, [ ^f3, a, J , s ) E ~’ _(resp. (s, 0

^a,

^{s )}

^E

^{J{’ ,} ( so, ^{,f3, s )}

^E

^{f~.’ )}

^.

2 ) si s’ _ ( C ’ * C ’ , ) (sous-

structure de s X s

définie par C’ * C’ ) alors ( s,

K,

s’ ) FI,

K étant

l’application

^{de C * C ’ " dans C}

qui définit

la loi de

composi-

tion de C ° . Si C ^* est un

groupoide,

^{on a} la condition

supplémentaire

^sui-

vante :

pour

^tout g ^E

C * ;

il en résulte que

D E F IN IT I O N . On

ap pelle foncteur ~ (~’, ~" )-structuré [ res p. ~ ((~.’, ~~). ~")-

structuré )

^un

triplet ⁽⁽ C i, s 1), ^{p, ( C. , s ))} véri fiant

les conditions sui- vantes :

1 ) ( C · , s )

^et

( C i, s 1 )

^{sont des}

catégori es ~ ( ~.’ , ~" ) - struc- turées [ resp. ~ ( ( J(’ , ~’), R" ) - structurées ] .

et

4. Catégories structurées

par

des relations de (pré)ordres utilisées dans la

suite

(voir [ ⁶ J , appendice ) .

a ) Catégorie quasi-pré-ordonnée

⁼

np -

structurée

catégorie quasi-ordonnée = 0-structurée ( 2 ) catégorie

^ordonnée

^{= 0} (0’ , 0) -

structurée

( 2 ) catégorie

^{s - ordonnée}

= ~ ( D’l’ 0) - structurée2

catégorie

^assez

régulière n«ÇI 2 .0 2 ),.0) - structurée ( 2)

catégorie régulière ^{= fl} (( n2 f2 2 ), n" )structurée ( 2 ) b ) Catégorie sous-préinductive = ~(~,~)-structurée (7)

catégorie

sous-inductive

= 9’(9 9S) -structurée

catégorie

^inductive

= 9 ( structurée ( R )

c ) Groupoide

^{ordonné =}

groupoide f2 «.0’ ,.0’ ) , ~ ) -

^structuré

( 8 )

Groupoide

fonctoriellement ordonné ⁼

groupoide 0 ^«.0’

ⁿ

^Ott ,~· () 0"),(2 )

structuré

( 8

^et

4 )

’

Grouporde

^{inductif =}

groupoide

fonctoriellement ordonné

qui

^{est une}

catégorie

^inductive.

d )

Les foncteurs structurés

correspondants

^à chacun des cas

précédents

sont

appelés

^{du même nom} que la

catégorie correspondante.

R E M A R Q U E . Dans la suite on notera, ^en

général,

^une

catégorie

^structurée

par ^une relation d’ ordre

(C., )

^{au lieu de}

( C ’ , s )

^{avec s =}

( C, ) .

GENERALITES ^{SUR LES} «CATEGORIES ORDONNEES»

QUOTIENT

Soient

~=fC, ~6K , fC’.~~

^{une catégorie}

H(K’,K"~-

structurée et /3une

relation d’équivalence bicompatible ^sur C* telle que

C’//3=

^{C. soit une catégorie quo-}

tient strict de C

(voir E

^déf. 13, ^III p. 133 ) . Condition supposée toujours ^{vérifiée dans}

ce chapitre.

Nous allons, dans ce chapitre, ^chercher des conditions suffisantes sur ~D ^{pour que:}

1 )

s/~D= ( C,« ) 6j( ,

^{oc étant la relation} quotient de la relation par j0.

2)

(C*, oc )

soit une

catégorie ~ ( ~~’ , ~" )-

structurée.

Le cas des catégories (quasi-) (pré-) ordonnée s est d’abord envisagé :

- si /3 vérifie deux conditions appelées

Q1

^et

~~.

^(resp.

Q,9,),

^alors

^{(C*,oe )}

^est

une catégorie quasi- pré- ordonnée; ^si

( C’ , )

^{est une} catégorie ordonnée et si /0 ^vérifie

,.,

deux autres conditions, soient

Q 2

^et

Q3,

^{, alors}

^{(i~,m )}

^{est une catégorie} ordonnée. On dit dans ce cas que /3 ^est compatible ^{à droite} (resp. ^à gauche) sur

( C’,

).

- si

(C*,~ )

^{est une} catégorie ordonnée assez régulière à droite et si /3 ^{ne vérifie}

que

Q 1

^et

Q 4, alors ( C’ , « )

^est évidemment quasi-pré- ordonnée. ^{Mais dans ce cas on a} le résultat supplémentaire suivant : si 7~ ^est la relation d’équivalence canonique ^associée

~

au préordre ^{« et si} ...0( est l’ordre quotient, ^alors

C.*/7~

^{est une} catégorie quotient ^stricte de C. et

(C*/T~2013)

^{est une catégorie assez régulière à droite.}

Ces résultats entraînent alors que, si (C*,~) ^{est une} catégorie régulière ^{et si} /0 ^est compatible ^{à droite et à} gauche ^sur

(C*,~

), ^alors

( C’, « )

^{est une} catégorie régu- lière.

Enfin dans le cas où

( C’ , )

^{est une} catégorie sous- préinductive, sous-induc-

,.,

tive ou un grounoide inductif,

(C’.oc )

^est encore une catégorie ^{ou un} groupoide ^{du même} type de structure, si P ^est compatible ^et vérifie une condition supplémentaire adaptée à chacun des cas cités.

Une partie des résultats de ce chapitre ^a été résumée

dans [ 14

1.

Cas ordonné.

L E M M E 1. Soit

s = ( C, ) ED o

^{et p une relation}

d’équivalence

^sur

^{C ;}

^,°

alors

s/ p

⁼

( C/ p , cc )

^E

D o

^{et p =}

^{slp, p, s )} E ~"si

^et seulement si les deux conditions suivantes sont

véri fiées :

Q 1 )

^Soient

^{f ,}

^g,

^g’

^{E C tels que}

^f

^{g et g ~·}

^g’

mod p, alors il ^exis-

te

f’

^{E C tel} que

f’ g’

^et

f’

^,~,

f

mod p .

Q 2 )

^{Soi ent}

^f,

^{g ,}

^g’

^{E C tels que g}

^{f g’}

^{et g ,}

^g’

^mod p , al ors

ona

f,gmodp.

a)

^Condition nécessaire :

Soient _g,

g’

^E C tels que g ,

g’

mod p ^{et soit}

f

^E C . Posons x

=p ( f j, y = p(g) = p(g’).

- -

~~~~~’

Si _g

f g’ ,

alors par définition de _{« ,} , on a y ^{« x «} y et, ^comme la relation « estun

ordre,

y ⁼ x; par suite

Q 2

^{est vérifié.}

Si

f

g , alors ^on a x ^« y ⁼

p ( g’ ). Puisque OE

^{il existe}

f’

^{E C}

tel que

f’ g’ et fi ⁽ f’ )

^{= x;} par suite

Q 1

^{est vérifié.}

b)

^Condition

suffisante :

Evidemment,

^{on a x « x . Soient x ,} y , ^{z E}

CI

_{p tels que} ^{x «} _y ^et y ^« z ; par définition de _cc , il existe

f

^{E x,} g ^E y,

g’

^{E y, h E z} tels que

f

g ^et

g’

^{h .}

D’ après Q

_{i ,} il existe

f’

^{E x} tels que

f’ g’,

^{d’ où}

f’

^{h et}

x « z.

Soient x, y ^E

C/ p

tels que ^{x «} y ^et y ^{« x .} Il

existe, d’après

^ce

qui précède, f

^{E x ,}

g’ ,

g ^E y tels _que

g’ f

g .

D’ après Q 2

^{on a y .--- x , et par}

suite la relation ^« est un

ordre; p E 0"

^{résulte alors de}

Q I .

R E M A R Q U E . Si la relation est seulement un

préordre

^{et si seule} la condition

Q 1

^{est vérifiée alors la relation « est encore un}

^préordre.

P R O P O SIT IO N 1. Si

(C., )

^est

quasi-pré~ordonnée

^{et si} les conditions

Q 1

et

Q û ^(resp. Q 4)

^{suivantes sont}

vérifiées.

^alors

( C’ , cc )

^{est une}

catégorie quasi- préordonnée.

Q ~ ) ^{(res p.} Qg»

^Soient

^{f, f’}

^{E C * tels que}

^{f’ f ;}

si e" E

C~

^{est tel}

que mod p

alors il existe ^’ te l _{qu e} mod p ^et

En raison du lemme 1

(remarque),

^{cc est un}

préordre.

-Soient _{x, y}

E C’

^° tels que ^x ocy; alors il existe

f e x, g E y

^tels que

/g~

^d’où

a(f) a(g), puisque 0 2

^{est vérifié dans}

^~C’,)(voir

(2)

p.

212).

Les relations

a(x) = ~5 [ a(f) ]

^et

a(y) = ~5 [ a(y) lentrai-

nent

alors ^{Sf~oc ~.(Y);}

^{de même on a}

^/3(~~oc /6(")/~

^et

0 2

^{est vérifié}

dans

( C ’, oc ) .

-Soient

(’y,~~yB~6C’~C*

^° tels que xp x x ^et

yr , Y.

^{C* °}

étant une

catégorie quotient

^{stricte de}

C ’,

il existe

( g, f )

^{E C ’~ C ’ °} tel que

~ f/; == ~ ~5 ~;

^{= y}

^{(voir E,}

^prop.

^{13, III,}

^p.

^133). D’après ~il

^existe

tels que ^{et on a :}

D’après Q 4 ,

^{il existe}

^g"

^{E C tel que et}

o 3

^{étant vérifié dans}

^{C ,}

^{on a}

^{g" , f’}

^{g ,}

^f

^{et par suite}

^{y’ ,}

^{x’ « y . x}

^puis- que j5 9Il f’ )

⁼

y’ , x’

^et

j5 ( g , f )

⁼ y , x; il ^en résulte que

O 3

^{est vérifié}

dans

E..

DEFINITION 1. Soit

(C’, )

^une

catégorie (quasi- )ordonnée.

^Soit

Q2

^la

conditibn

Q 2

restreinte à

( C~, ⁾

^et

Q 3

la condition suivante :

Q 3 ) Si f , g E C ’

^{° sont tels} que : ^..

f

g ,

~x ( f ) ’’‘r a, ( g )

mod p ,

~C3 ( f ) ^’ ~3 ( g ) mod p ,

^{alors on a}

f ’

^g

mod p .

On _{dira que} p ^est

compatible

^{à droite}

(resp.

^à

gauche)

^sur

^{(C., )}

si les conditions

Q

_1,

Q 2 , Q 3

^et

Q ~ ^(resp. _Qg)

^sont

vérifiées.

^{On dira} que p ^est

compatible

^sur

^{( C’, )}

^{s’il est}

compatible

^{à droite ou à}

gauche.

T H E O R E M E i . Si

( C ’ , )

^{est une}

catégorie (quasi-)ordonnée

^{et si}

pest

,..,

compatible

^sur

( C’ , ),

^{1 alors}

(C., cc)

^{est une}

catégorie

^{ordonnée et}

( ( C ’ , cc ), p, ^{(C., ) )}

^{est un}

foncteur

^ordonné.

Montrons

déjà

que

Q 2

^et

Q 3

entrafnent

Q 2 :

Soient

f ,

^g,

g’

^{E C tels} que g

f g’

^et

g ’‘~ g’

mod p ; ^comme p est

bicompatible,

^{on a cx}

⁽ g )

^{’’~ ~x}

⁽ g’ )

^{mod p et}

/3( g )

^’‘~

f3 ⁽ g’ )

mod p . D’ autre

1

part

^{on a et entràine}

a, ( f ) ’~ a, (g’) mod p

^et

/3f f ) ’’‘~ ~ (g’) mod pet 0 3

^{entraîne alors}

^{f ’‘~ g ’}

^{mod p;}

par suite

Q 2

^est vérifiée. Il résulte alors du lemme 1 que ^{« est un} ordre sur

~oo~ ~oo~

C. ^* et de la

proposition

^{1 que}

( C ’, « )

^{est une}

catégorie quasi-ordonnée;

^il

reste à vérifier

O 4 ^qui

^résulte immédiatement de

Q 3 .

^La dernière affirmation du théorème résulte de la définition de ^« et des

propriétés

^de p .

REMARQUES.

1 )

La condition

0 4

^{n’ a pas été}

^utilisée;

^{mais si elle est} vérifiée elle

est

compatible

^avec

Q 3 .

2 )

^Les conditions

Q û

^ou

Q ~

entraînent

l’existence

pour certains ^cou-

- -

ples ( y, x ) ^{e C C}

^{° d’un}

couple ( g, f )

^{E C}

* C ’

^°

particulier

^{tel que}

f

^{E x}

et g ^E y. Ces conditions sont donc

compatibles

^{avec la condition néces-}

,..,

saire et suffisante de la

proposition ²³

^de

^{( 3 )}

pour que C ’ ^° soit une

catégorie quotient

^stricte.

,..,

3 )

^Si

( C ’ , )

^{est un}

groupotde ^ordonné, (C., cc)

^est

un groupoide

ordonné.

CAS PARTICULIER.

Supposons

que p ^soit la relation

d’équivalence

^asso-

ciée à ^un

sous-groupoMe

^{D ’ ° de C ’ °} vérifiant la condition

( 0 )

^de _{la prop.}

45 ,

III de E ; alors on a les deux

propositions

suivantes :

P RO P OSITION 2. La condition

Q ~ est équivalente

^{à la suivante :}

Q ~’ S )

^Soient

^{f, f’}

^{E C ’ *}

tels que f’ f ;

^{s’il existe} g ^E D ^° tel _que

a, ( g )

⁼

a. ( f’ ) et /3 ( g ) a. ( f ),

^{alors il existe}

g’

^{E D ’ ° tel} que

a, ( g’ ) _ - ,C~ ( f’ ) et frr f~

^avec

frr = gr , fr . g-i.

Q û’ s entraine

évidemment

Q 4

par définition ^de p .

Réciproquement,

^si

Q 4

^est

^vérifié,

^{il existe}

g l’ g’1

^{E D ’ ° tels que}

a.(gi) = oc(g), f3 ( g 1) = f3 ( g ), a,(gi) _ ~( f’)

^et

f" f,

^avec

f" _

g’1. f’ . g 11. ^’,4ais,

^comme

h = g 11. g E a. ( f’ ) , D ’, a, ( f’ ),

^{1 il}

existe,d’ après

la condition

( 0 ) , h’ E D’tel que f’ , h = h’. f’, d’ où f "= g 1, f’ , g ~ i , g , g -1 ‘ - g 1. f . h . g - g 1. h . f , g

^{ou encore}

f - g , f , g en posant g’=g’l.h’.

^·

P R O P O SIT IO N 3. Si

( D ’ , )

^{est un}

groupoide

^ordonné

semi-régulier,

^alors

la

condition Q

₁ ^est

vérifiée.

Fn effet,

soient

f , g, g’

^{E C ’} tels que

f ~g

^{et g n}

^g’

mod p . Alors il

existe h, h’

^{ED. *} tels _que

( h’, g’, g, h ) ~E~C’/C, D~.

^Par

hypothèse,

il existe

hi, 1 h ’

^{E n’ * tels que}

hi ^h, hi ^h’, a.(hi) _ ^{/3 ( f)}

^et

a ( h i )

⁼

=

a, ( f ) .

Posons alors on a mod p .

2 . ~as ré~u ~ ier.

L E M l~s E 2 . Soit

(C., )

^une

catégorie

^{ordonnée et}

soient f

^{E C ’ et e}

E C~

tels _que e

a,( f ).

Si la classe ^F ieç _~~ E C ’ ^° tels _que

g f , a. ( g )

^{e , admet un}

plus grand ^élé»-er~t

^{h tel} que

cx ( .h ) =

^{e, alors on}

a h - je (pseudoproduit).

Soit

f; e &#x3E;

la classe des

couples ( ~,,, ,’!.’)

^E

C.*

^{C °} tels que

et Soit alors on a

d’ où g

^{E F et} par

suite g

^{H .}

Il en résulte que

( g , g’ ) ( h , e )

^dans

( C ’ * C ’ , )

et, ^comme d’autre part ^{on a}

( h , e ) E ~ f , e j , h .

^{e = h est}

égal

^au

pseudoproduit f

^e

(voir ( 2 )

^def.

3

_p.

214).

PROPOSITION 4.

Supposons

que

( C ’ , )

^{soit une}

catégorie quasi-ordon-

née assez

régulière

^{à droite}

(voir ( 2 ))

^et que les conditions

Q 1

^et

Q 4

^soient

vérifiées pour

p. Soit

( C; cc)

^la

catégorie quasi- préordonnée quotient (voir prop. 1 ).

Soit ’~j la relation

d’équivalence canonique

^{associé au}

pré-

ordre « . ^.

A ,..,

Alors

^est

bicompatible,

^{C. = C.}

7~

^{est une}

catégorie quotient

N _A

stricte de C. et

( C ; -.~ )

^{est une}

catégorie quasi-ordonnée

^assez

régulière

à

droite ( --~ désignant

^l’ordre

quotient

^{de «}

par 77).

^De

plus,

si q ⁼

’i~o ,ô ,

¹

A ^¿

"- - -

alors q

= ( ( C’ , - ),

q,

( C ’, ) )

^{est un}

foncteur

^{ordonné assez}

régulier

^à

droite

(c’est-à-dire

^si

f

^{E C. * et e E C. * sont tels que e}

a ( f )

^{alors on a}

On a x ~ y

mod 7~,

^x, y ^e C *, si ^et seulement si xx _y et y oc ^x.

Soient x

y ^E C ^° tels _que x ~ y

7720~7~ ;

¹

0 étant

^vérifié

^{dans C ’,}

on a

o~~oc S~yJ

^et

a (y ) oc a(x),

^donc

5.(x), S~y~

mod 7?; de

même,

on a

,C3 ( x ) ,,~, ~ ( y )

mod 7] et 7~ ^est

compatible

^avec

^â et A

~

Soient _{x, y,}

x’ , y’

^{E C. °} tel que ^{x ,} x’

mod ~ ,

y ,~,

y’ mod ~

^et

~ N N

(y, x), (y’, x’)

^E

C . * C .; 03

^étant vérifié dans

C.,

^{on a}

y’.x’

^« y.x

et y , ^{x «}

y’ .

^{x’ donc y , x ,}

y’ ,

^x’ mod 7] ^et par

suite ~

^est

bicompatible.

N N

N

Soient x E C ^° et u

E C~

^{tels que}

u ,1, a. ( x ) mod ~ ;

^{alors on a}

u ^«

a.(x)

^et

5, (x)

^{« u.}

Soit

f

^E C . tel que

f

E x ; il

existe, d’ après Q 1,

^{e , e’ E}

Cô tels

^que

mod p ^et

Puisque (C., )

^{est assez}

régulière

^à.

droite,

^le

pseudoproduit

g

= fe

^existe.

D’autre part,

d’après C,~4,

^{@ il existe}

^f’

^{1 E C tel que}

mod p ^et

D’après

^la

proposition

^{4 de}

^{( 2 ) ,}

^{on a}

g &#x3E; f’ ,

^{1 d’où}

f 3 g y f’ .

^Il

résulte,

^en posant y

= fi ( g ) ,

que l’on a :

et d’où

Comme

a ( g ) = e ,

^{on a}

â, ( g ) =

^{u ; il} résulte alors du cor. 3 de la

A ~

prop.

13 ,

^{III de}

E , que C ’

^{° est une}

catégorie quotient

stricte de C ’ . Montrons maintenant _que

( C. , -)

^est

quasi-ordonnée.

Il est

déjà

^immédiat que

0 2

^{est vérifié.}

Remarquons

^ensuite que si

X,

Y E C’ sont tels que X ^-

Y,

alors pour ^{tout x E} X et tout y ^E Y on a x « y.

A

Soient alors

X , X’ , Y ,

^{Y’ E C ’ tels} _{que :}

et

Puisque

^{C° » est une}

catégorie quotient stricte,

il existe x

E X,

tels _que

D’après

la remarque

précédente,

^{on a}

d’ où

-

puisque 0 3

^{est vérifié} dans C ’ . Il en résulte que ’et

0 3

^{est vérifié} dans C ’ .

Montrons que

( C ’ , 2013)

^{est assez}

régulière

^{à droite :}