Verres de spin et calcul adiabatique quantique

Hugo Delahaye

Verres de spin et calcul adiabatique quantique

une ´ etude de l’article

Exponential vanishing of the ground-state gap of the QREM via adiabatic quantum computing [1]

de J.Adame et S.Warzel

M´ emoire d’initiation ` a la recherche

Sous la direction de Monsieur Fran¸ cois Huveneers

Cycle pluridisciplinaire d’´ etudes sup´ erieures

Troisi` eme ann´ ee (L3)

Table des mati` eres

1 Introduction 2

1.1 Le calcul adiabatique quantique . . . . 2 1.2 Les verres de spin . . . . 2

2 Calcul adiabatique quantique 3

2.1 Le th´ eor` eme adiabatique . . . . 3 2.2 Un exemple ´ el´ ementaire . . . . 4 2.3 Un exemple utile . . . . 4

3 Verres de spins 6

3.1 Le Random Energy Model . . . . 6

3.2 Le Quantum Random Energy Model . . . . 8

1 Introduction

1.1 Le calcul adiabatique quantique

Les algorithmes de recherche dans un espace non structur´ e font partie des plus utiles en informa- tique. Si l’on dispose d’une base de donn´ ees ` a N entr´ ees et dans laquelle les entr´ ees sont class´ ees al´ eatoirement, alors le meilleur algorithme classique prendra un temps O(N ) pour trouver une entr´ ee particuli` ere d’apr` es un crit` ere. En effet quelque soit la m´ ethode de parcours utilis´ ee, il est possible que l’entr´ ee recherch´ ee soit la derni` ere parcourue. Pourtant, en 1996, Lov Grover proposa un algorithme [2] capable d’effectuer une recherche dans un espace non structur´ e en un temps O( √

N) en utilisant la puissance de l’informatique quantique. Le principe g´ en´ eral en est le suivant : on dispose d’une boˆıte noire appel´ ee Oracle qui d´ etermine si un ´ etat quantique donn´ e en entr´ ee r´ epond ou non au crit` ere de recherche, et d’un algorithme d’amplification d’amplitude qui permet de d´ emarquer les ´ etats r´ epondant au crit` ere des autres. Ce dernier prend un temps O( √

N ) et ne d´ epend pas du probl` eme pos´ e. L’Oracle peut ˆ etre difficile ` a expliciter et ajouter un temps suppl´ ementaire.

Farhi en 2000 proposa un algorithme [3] trouvant la valeur minimale d’un tableau en un temps O( √

N), pr´ esentant l’avantage de ne pas utiliser de porte quantique (Oracle et amplifi- cation d’amplitude) mais une ´ evolution continue du syst` eme, grˆ ace calcul adiabatique quantique.

Celui-ci est fond´ e sur le th´ eor` eme adiabatique. ´ Enonc´ e en 1928 par Max Born et Vladimir Fock [4], il dit en substance qu’un syst` eme quantique dont l’´ evolution est suffisamment lente reste dans un

´ etat propre instantan´ e. Plus pr´ ecis´ ement, si g = min(E

1

(t) − E

0

(t)) d´ esigne la diff´ erence minimale entre le premier niveau d’´ energie du syst` eme et son niveau fondamental (gap), alors un temps d’´ evolution T & 1/g

²

permet de localiser l’´ etat du syst` eme autour d’un ´ etat propre. L’id´ ee du calcul adiabatique quantique est donc de trouver un hamiltonien H

_f

dont l’´ etat fondamental est solution du probl` eme, un hamiltonien initial H

₀

plus simple tel qu’on puisse pr´ eparer le syst` eme dans son ´ etat fondamental. On fait ensuite ´ evoluer H

₀

en H

_f

adiabatiquement, et on est assur´ e par le th´ eor` eme que l’´ etat final mesur´ e sera l’´ etat fondamental de H

f

. Le probl` eme est donc de savoir quel temps est n´ ecessaire pour que l’´ evolution soit adiabatique. Si l’on choisit bien H

0

et H

f

, on peut avoir un grand gap g et donc un algorithme rapide, battant ses contre-parts classiques.

1.2 Les verres de spin

Les verres de spins consistent en un maillage, plus ou moins r´ egulier, et d’un ensemble de spins (des vecteurs, souvent discr´ etis´ es) plac´ es aux sommets de ce maillage. A chaque configuration de spins est associ´ ee une ´ energie et une probabilit´ e, permettant un ´ etude thermodynamique et statistique du syst` eme. Ils sont principalement utilis´ es pour simuler dynamiquement des mat´ eriaux dont les composants ´ el´ ementaires (atomes, mol´ ecules) peuvent ˆ etre orient´ es, par exemple l’eau, ou les m´ etaux magn´ etiques. Il existe aussi des versions quantiques des ces verres, comme le QREM. Il est tr` es utile de connaˆıtre le gap d’un syst` eme de verre de spins car il donne des informations sur les ´ eventuelles transitions de phases, (changement significatif du comportement du syst` eme autour d’une temp´ erature critique), mais il peut ˆ etre difficile ` a calculer.

Le papier de S.Warzel et J.Adame [1] propose d’encoder les diff´ erents niveaux d’´ energie du REM

dans le hamiltonien H

f

d’un probl` eme de calcul adiabatique quantique, de d´ eterminer le temps

d’´ evolution du syst` eme et ainsi d’en d´ eduire une borne sur le gap du QREM. Cette approche est

int´ eressante pour deux raisons : tout d’abord elle rapproche deux domaines de la physique th´ eorique

qui au premier abord semblent sans lien ; et elle propose de d´ eterminer une borne sup´ erieure sur

le gap du QREM ` a partir d’une borne inf´ erieure sur le temps d’´ evolution d’un syst` eme quantique,

ce qui est l’inverse de l’approche habituelle.

2 Calcul adiabatique quantique

2.1 Le th´ eor` eme adiabatique

D´ efinition 1 Un espace d’´ energie non structur´ e est une fonction u : J 0, N − 1 K → R o` u l’on interpr` ete physiquement u(i) comme l’´ energie associ´ ee ` a la configuration i du syst` eme que l’on s’est donn´ e.

D´ efinition 2 On parle d’´ evolution adiabatique d’un syst` eme lorsque les conditions auxquelles il est soumis ´ evoluent suffisamment lentement pour qu’il soit modifi´ e en cons´ equence. Si au contraire les conditions externes ´ evoluent trop rapidement pour que le syst` eme ait le temps d’ˆ etre modifi´ e significativement, on parle d’´ evolution diabatique.

On notera i

0

la valeur telle que u(i

0

) = min(u(i))

i∈J0,N−1K

. Le but est donc de trouver i

0

en un temps O( √

N). Pour ce faire on encode u dans une matrice diagonale U = diag(u(0), . . . , u(N − 1)). De cette fa¸ con trouver i

0

revient ` a d´ eterminer le ground-state de U (le vecteur propre associ´ e ` a la plus petite valeur propre de U ). On d´ efinit le hamiltonien suivant

H(s) = H

0

(s) + c(s)U tel que

- s = t/T o` u T > 0 permet une ´ evolution adiabatique ; - c : [0, 1] → [0, 1] est de classe C

²

avec c(0) = 0, c(1) = 1 ; - H

0

: [0, 1] → Herm( C

^N×N

) est de classe C

²

avec H

0

(1) = 0 ;

- H(s) admet un ground-state non-d´ eg´ en´ er´ e ϕ(s) ∈ C

^N

` a tout moment s ∈ [0, 1].

Notons que ces conditions implique que le minimum u(i

0

) soit bien unique. L’´ evolution du syst` eme quantique ´ etudi´ e est donc gouvern´ ee l’´ equation de Schr¨ odinger

i d

dt |ψ(t)i = H(t/T ) |ψ(t)i , |ψ(0)i ∈ C

^N

On veut montrer si on pr´ epare le syst` eme dans l’´ etat initial ψ(0) = ϕ(0) (le ground-state de H(0)), et que l’on mesure l’´ etat final du syst` eme ψ(T ) alors celui-ci aura de grandes chances d’ˆ etre le ground-state ϕ(1) de H(1) (c’est-` a-dire u(i

₀

)), et ainsi on aura r´ esolu le probl` eme. La question reste ` a pr´ esent de savoir quel est le lien entre le temps T n´ ecessaire ` a l’´ evolution adiabatique du syst` eme, le gap, et la probabilit´ e P

r

= |hu(i

0

)|ψ(T )i|

²

de trouver la bonne r´ eponse. Pour cela on utilise le th´ eor` eme adiabatique.

Th´ eoreme 3 [1] Soit H : [0, 1] → Herm( C

^N×N

) de classe C

²

tel que H(s) admet un ground-state non-d´ eg´ en´ er´ e ϕ(s) ∈ C

^N

` a tout moment s ∈ [0, 1], autrement dit le gap g(s) est strictement positif

`

a tout moment. Alors l’´ equation de Schr¨ odinger

i d

dt |ψ(t)i = H(t/T) |ψ(t)i , |ψ(0)i ∈ C

^N

admet une unique solution qui v´ erifie

p 1 − P

r

6 1 T C

H,g

o` u

C

_H,g

= kH

⁰

(0)k

g(0)

²

+ kH

⁰

(1)k g(1)

²

+

1

Z

0

7 kH

⁰

(s)k

²

g(s)

³

+ kH

⁰⁰

(s)k g(s)

²

! ds

Il est trivial de montrer que le cas particulier H(s) = H

0

(s) + c(s)U d´ ecrit plus haut rempli les conditions du th´ eor` eme adiabatique.

On voit que si T C

H,g

, alors √

1 − P

r

= C

H,g

/T 1 et donc P

r

∼ 1.

On peut aussi remarquer que plus le gap est grand, moins le temps d’´ evolution est oblig´ e d’ˆ etre long. On cherchera ainsi ` a maximiser le gap, et c’est pourquoi on peut estimer que le terme dominant est celui en 1/g(s)

²

. Enfin l’endroit o` u le gap est minimal intervient plus que les autres.

On retrouve bien le r´ esultat qualitatif annonc´ e : T & 1/g

²

.

2.2 Un exemple ´ el´ ementaire

Notons E

s

= (1 − s)E

1

+ sE

2

+ avec 0 < ε E

1

, E

2

et prenons le hamiltonien H(s) =

E

s

ε ε −E

s

On va calculer le temps T n´ ecessaire pour qu’un syst` eme initialement dans le ground-state y reste.

Le polynˆ ome caract´ eristique de H(s) est χ(H(s)) = λ

²_s

− E

_s²

− ε

²

et ses valeurs propres sont λ

_s,±

= ± p

E

_s²

+ ε

²

=: ±λ

_s

Ainsi g(s) = λ

s,+

− λ

_s,−

= 2 p

E

_s²

+ ε

²

et

g

⁰

(s) = 2s(E

₂²

+ E

²₁

− 2E

1

E

2

) − 2(E

₁²

− E

1

E

2

) p E

_s²

+ ε

²

g

⁰

(s) = 0 ⇔ s = E

₁²

− E

₁

E

₂

E

₂²

+ E

₁²

− 2E

1

E

2

= E

1

E

₁

− E

₂

g = g

E

₁

E

1

− E

2

= 2 s

E

₁

(E

₁

− E

₂

) − E

₁²

+ E

₁

E

₂

E

1

− E

2

²

+ ε

²

= 2 p 0 + ε

²

= 2ε D´ eterminons les vecteurs propres de H(s)

H(s)ψ(t) = λ

s,+

ψ(t) ⇔

E

s

ε ε −E

s

ψ

1

(t) ψ

2

(t)

= p E

_s²

+ ε

²

ψ

1

(t) ψ

2

(t)

⇔

( E

s

ψ

1

(t) + εψ

2

(t) = p

E

²_s

+ ε

²

ψ

1

(t) εψ

1

(t) − E

s

ψ

2

(t) = p

E

²_s

+ ε

²

ψ

2

(t)

⇒ εψ

1

(t) = ( p

E

_s²

+ ε

²

+ E

s

)ψ

2

(t)

On v´ erifie rapidement que le vecteur √

¹

2(E²_s+ε²+E_sλ_s)

E

s

+ λ

s

ε

est le vecteur propre associ´ e ` a la valeur propre λ

s

` a tout instant s.

De mˆ eme, √

¹

2(E_s²+ε²−Esλ_s)

E

s

− λ

s

ε

est le vecteur propre associ´ e ` a la valeur propre −λ

s

` a tout instant s. Finalement, si l’on pr´ epare le syst` eme dans le ground-state de H(0) et qu’on le mesure apr` es un temps T > 1/g

²

= 1/4ε

²

, alors on le trouvera tr` es certainement dans le ground-state de H(1).

2.3 Un exemple utile

D´ efinition 4 Un spin de Ising est une mod´ elisation simplifi´ ee d’une particule orientable (poss´ edant un axe de sym´ etrie ou un dipˆ ole magn´ etique). On r´ eduit l’espace de ses configurations ` a Q

1

= {↑

, ↓}. Consid´ erer n spins de Ising revient ` a se placer dans Q

n

= {↑, ↓}

ⁿ

On peut aussi en envisager une version quantique dont l’espace des configurations est Q

^q₁

= {a |↑i +b |↓i |a, b ∈ C , a

²

+ b

²

= 1}.

Consid´ erons N = 2

ⁿ

objets dont l’un, m, est marqu´ e, et que l’on cherche ` a retrouver le plus rapidement possible. Pour ce faire on utilise n spins de Ising quantiques que l’on num´ erote ainsi

|↑↓ · · · ↑i =

1 ∗ 2

ⁿ⁻¹

+ 0 ∗ 2

ⁿ⁻²

+ . . . + 1 ∗ 2

⁰

= |ii

L’ensemble {|ii , i ∈ J 0, N − 1 K } forme donc la base naturelle de l’espace de Hilbert Q

^q_n

= (Q

^q₁

)

^⊗n

. On note x :=

^√1

N

et on consid` ere le hamiltonien

H(s) = (1 − s)H

0

+ sH

f

o` u H

0

= I − |ψ

0

i hψ

0

| et H

f

= I − |mi hm|. On pr´ epare notre syst` eme dans l’´ etat le plus d´ elocalis´ e

|ψ

0

i = x

N−1

X

z=0

|zi

Pour obtenir deux vecteurs orthonorm´ es, on d´ efinit grˆ ace au proc´ ed´ e d’orthonormalisation de Graham-Schmidt

|ψ

1

i = |ψ

0

i − x |mi k|ψ

0

i − x |mik

= |ψ

0

i − x |mi

p (hψ

0

| − x hm|)(|ψ

0

i − x |mi)

= |ψ

0

i − x |mi

p hψ

0

|ψ

0

i − 2x hm|ψ

0

i + x

²

hm|mi

= |ψ

₀

i − x |mi

√ 1 − 2x

²

+ x

²

= |ψ

0

i − x |mi

√ 1 − x

²

On r´ e´ ecrit H(s)

H(s) = (1 − s) h I − p

1 − x

²

|ψ

1

i + x |mi p

1 − x

²

hψ

1

| + x hm| i

+ s [I − |mi hm|]

= (1 − s) h

I − (1 − x

²

) |ψ

1

i hψ

1

| − x p

1 − x

²

(|ψ

1

i hm| + |mi hψ

1

|) − x

²

|mi hm| i

+ s [I − |mi hm|]

On a alors

H(s) |mi = (1 − s) h

|mi − x p

1 − x

²

|ψ

1

i − x

²

|mi i

= (1 − s)(1 − x

²

) |mi − (1 − s)x p

1 − x

²

|ψ

₁

i H(s) |ψ

1

i = (1 − s) h

|ψ

1

i − x p

1 − x

²

|mi − (1 − x

²

) |ψ

1

i i

+ s |ψ

1

i

= [1 − (1 − s)(1 − x

²

)] |ψ

1

i − (1 − s)x p

1 − x

²

|mi On peut finalement ´ ecrire H(s) dans la base (|ψ

₁

i , |mi)

H(s) =

(1 − s)(1 − x

²

) (1 − s)x √ 1 − x

²

(1 − s)x √

1 − x

²

(s − 1)(1 − x

²

) + 1

On d´ etermine les valeurs propres instantan´ ees du hamiltonien ainsi que le gap

det(H(s) − λ

_s

I) = [(1 − s)(1 − x

²

) − λ

_s

][(s − 1)(1 − x

²

) + 1 − λ

_s

] + (1 − s)

²

x

²

(1 − x

²

)

= λ

²_s

− λ

_s

[(1 − s)(1 − x

²

) + (s − 1)(1 − x

²

) + 1]

+ (1 − s)(1 − x

²

)[(s − 1)(1 − x

²

) + 1] + (1 − s)

²

x

²

(1 − x

²

)

= λ

²_s

− λ

s

+ (1 − s)(1 − x

²

)[(s − 1)(1 − x

²

) + 1 + (1 − s)x

²

]

= λ

²_s

− λ

_s

+ (1 − s)(1 − x

²

)s

∆ = 1 − 4s(1 − s)(1 − x

²

) λ

_s,±

= 1 ± p

1 + 4(s

²

− s)(1 − x

²

) 2

g(s) = p

1 + 4(s

²

− s)(1 − x

²

) g

⁰

(s) = 4(2s − 1)(1 − x

²

)

2 p

1 + 4(s

²

− s)(1 − x

²

) g

⁰

(s) = 0 ⇔ s = 1

2

Donc g = g(

¹₂

) = x et T =

_x¹2

= N . De mani` ere ´ etonnante, le calcul adiabatique quantique ne

semble pas am´ eliorer le temps que prend l’algorithme ` a trouver la configuration marqu´ ee. En fait il

est possible de d´ ecouper l’intervalle de temps T en des intervalles infinit´ esimaux dt, et d’appliquer

`

a chacun d’entre eux le th´ eor` eme adiabatique. Cela correspond ` a faire ´ evoluer le syst` eme ` a une vitesse instantan´ ee correspondant au gap instantan´ e

T

^∗

=

1

Z

0

1 g(s)

²

ds

=

1

Z

0

1

1 + 4(s

²

− s)(1 − x

²

) ds On sait que

d

ds (arctan(f (s))) = f

⁰

(s) f (s)

²

+ 1 Donc

d

ds (arctan(2s − 1)) = 2 4s

²

− 4s + 2 d

ds

arctan √

y(2s − 1) 2 √

y

!

= 1

y(4s

²

− 4s + 1) + 1

= 1

1 + y + 4y(s

²

− s))

"

arctan √

y(2s − 1) 2 √

y

#

1

0

=

1

Z

0

1

1 + y + 4y(s

²

− s)) ds arctan √

y

√ y =

1

Z

0

1

1 + y + 4y(s

²

− s)) ds Avec y =

_x¹2

− 1, on obtient

arctan q

1 x²

− 1 q

1

x²

− 1

=

1

Z

0

1

1

x²

+ 4(

_x¹2

− 1)(s

²

− s) ds x

²

arctan q

1 x²

− 1 q

1

x²

− 1

=

1

Z

0

1

1 + 4(1 − x

²

)(s

²

− s) ds Soit finalement

T

^∗

= N arctan √ N − 1

√ N − 1

N→∞

∼ π √ N On retrouve donc un temps en O( √

N ), c’est-` a-dire le mˆ eme que l’algorithme de Grover. Notons que l’on peut montrer que les vecteurs propres associ´ es aux valeurs propres sont

|ψ(s)

±

i = x(s − 1) √

1 − x

²

|mi + (λ

_s,±

+ (s − 1)(1 − x

²

)) |ψ

₁

i q

g(s)²

2

± g(s)(s(1 − x

²

) + x

²

)

3 Verres de spins

3.1 Le Random Energy Model

D´ efinition 5 [5], [6] Le REM est un espace d’´ energie d´ esordonn´ e, ou verre de spin, sur Q

n

, c’est-` a-dire que la fonction u n’est pas d´ eterministe, mais une variable al´ eatoire. Dans notre cas les u(i), i ∈ J 0, N − 1 K sont ind´ ependants et identiquement distribu´ es selon une loi normale de moyenne µ = 0 et de variance σ

²

= n/2.

Il peut ˆ etre int´ eressant de connaˆıtre la distribution extr´ emale des ´ energie pour ´ etudier le com-

portement du syst` eme dans les limites thermodynamiques. Notamment, si l’on encode comme

pr´ ec´ edemment les u(i) dans une matrice diagonale U , alors on disposera d’un lien entre le gap (qui

correspond ` a la diff´ erence entre les deux ´ energies tir´ ees les plus basses) et le temps d’une ´ evolution adiabatique sur un certain syst` eme.

On va tout d’abord d´ eterminer la plus petite ´ energie typique. On note I

_ε,δ

= [nε, n(ε + δ)] et N (ε, δ) = #{i ∈ J 0, N − 1 K |u(i) ∈ I

_ε,δ

} la variable al´ eatoire qui compte le nombre de tirages dans l’intervalle I

ε,δ

. On a

P (N (ε, δ) = k) = P(∃i

1

, . . . , i

k

∈ J 0, N − 1 K |j ∈ {i

1

, . . . , i

k

} ⇔ u(j) ∈ I

ε,δ

)

= N

k

P (j ∈ {1, . . . , k} ⇔ u(j) ∈ I

ε,δ

)

= N

k









n(ε+δ)

Z

nε

e

^−x2/n

√ πn dx









k







 1 −

n(ε+δ)

Z

nε

e

^−x2/n

√ πn dx









N−k

= N

k

P

_ε,δ^k

(1 − P

_ε,δ

)

^N−k

Avec

P

_ε,δ

:=

n(ε+δ)

Z

nε

e

^−x2/n

√ πn dx

=

ε+δ

Z

ε

e

^−nx2

√ π

√ ndx

∼ δ r n

π e

^−nε2

= exp

ln δ + 1

2 ln(n/π) − nε

²

Remarquons imm´ ediatement que si pour le moment, la taille de I

ε,δ

est proportionnelle ` a n, ultimement on veut qu’elle ne varie pas, afin de mieux situer les ´ energies extr´ emales. Ainsi on doit avoir δ ∼ 1/n et l’approximation sur P

ε,δ

a du sens.

On identifie la loi de N (ε, δ) ` a une une binomiale B(N, P

ε,δ

). On a donc E [N (ε, δ)] = N P

ε,δ

= exp

n ln 2 + ln δ + 1

2 ln(n/π) − nε

²

= exp

ln δ − 1

2 ln π + 1

2 ln n + n ln 2 − nε

²

Cette exponentielle vaut 1 lorsque ln δ − 1

2 ln π + 1

2 ln n + n ln 2 − nε

²

= 0 ⇔ ε = ± r

ln 2 + ln n 2n + ln δ

n − ln π 2n

=: ε

_±

−−−−−→

n→+∞

± √ ln 2

Au del` a des valeurs limites ε

_±

, l’argument de l’exponentielle est n´ egatif donc on s’attend ` a trouver un nombre exponentiellement faible de tirages. En de¸ c` a, on s’attend ` a en trouver un nombre expo- nentiellement ´ elev´ e. Autrement dit la plus petite valeur attendue est d’ordre −n √

ln 2. Calculons

`

a pr´ esent le nombre attendu de tirages dans l’intervalle [nε

₋

− 1, nε

₋

]. On choisit cet intervalle car on se doute que le gap est d’ordre 1, et donc qu’il contiendra environ une valeur. On le r´ e´ ecrit [nε

₋

− 1, nε

₋

] = I

ε₁,δ₁

= [nε

1

, n(ε

1

+ δ

1

)], o` u ε

1

= ε

₋

, δ

1

= 1/n.

E [N (ε

1

, δ

1

)] = exp

n ln 2 + ln δ

1

+ 1

2 ln(n/π) − nε

²₁

= exp

n ln 2 + 1

2 ln(n/π) − nε

²₋

+ ln(1/n)

= exp(− ln δ + ln(1/n))

Si l’intervalle I

_ε−,δ

est de taille 1, i.e. si δ = 1/n, alors

E [N (ε

₁

, δ

₁

)] = exp(− ln(1/n) + ln(1/n)) = 1

Ainsi l’unique valeur pr´ esente dans l’intervalle I

_ε1,δ1

est la deuxi` eme plus petite et le gap est d’ordre 1.

Plus g´ en´ eralement, si l’on veut que la taille de l’intervalle I

_ε−,δ

ne d´ epende pas de n, on prend δ = x/n, x ∈ R

⁺

et on a

E [N (ε

1

, δ

1

)] = exp(− ln(x/n) − ln n)

= 1/x

Il peut sembler ´ etrange que le nombre de tirages dans I

_ε1,δ1

d´ epende de la taille de I

_ε−,δ

, mais on peut l’expliquer de la fa¸ con suivante. I

_ε−,δ

est par d´ efinition le dernier intervalle de taille δ dans lequel on s’attend ` a trouver un seul tirage d’une loi normale. ε

₋

, l’´ eloignement ` a la moyenne de l’intervalle, est une fonction d´ ecroissante (n´ egative) de δ car si on prend un intervalle plus grand, il faut s’´ eloigner de la moyenne pour n’y trouver qu’un seul tirage. Ainsi pour x grand, |nε

₋

| sera grand et l’intervalle I

ε₁,δ₁

, qui lui est de taille constante mais presque aussi ´ eloign´ e de la moyenne, contiendra en esp´ erance moins de de tirage.

3.2 Le Quantum Random Energy Model

D´ efinition 6 On d´ efinit sur Q

_n

la relation d’´ equivalence

i ∼ j ⇔ ∃k ∈ J 0, n − 1 K |i − j = ±2

^k

Autrement dit, deux configurations sont en relation si et seulement si elles ne diff` erent que d’un spin. Ensuite on d´ efinit le graphe de Q

_n

G(Q

_n

) = (Q

_n

, {(i, j)|i ∼ j})

Ce graphe a donc N sommets, qui sont reli´ es par une arrˆ ete si et seulement si les configurations correspondantes sont en relation.

D´ efinition 7 Soit G = (V, E) un graphe et ψ : V → C

^N

. Le Laplacien discret est d´ efini ∀i ∈ V par

(∆ψ)(i) = X

i⁰∈V i⁰∼i

ψ(i

⁰

) − nψ(i)

D´ efinition 8 Le QREM est un verre de spin quantique, qui combine un syst` eme quantique et thermodynamique. On peut le voir comme un ´ equivalent du REM sur Q

^q_n

. Plus concr` etement, il s’agit d’´ etudier un syst` eme soumis au hamiltonien

H(κ) = −∆ + κU

o` u U est la matrice diagonale du REM, et ∆ est le Laplacien discret sur le graphe de Q

n

. Si on regarde l’action de du premier op´ erateur dans la d´ efinition de ∆, que l’on notera A, sur la base canonique de Q

n

, on se rend compte que sa forme matricielle est la matrice d’adjacence d’un hypercube de dimension n (graphe de Hamming).

Pour ´ etudier les valeurs propres de A, d´ efinissons tout d’abord le produit cart´ esien de graphes.

D´ efinition 9 [7] Soient G = (V, E) et G

⁰

= (V

⁰

, E

⁰

) deux graphes. Leur produit cart´ esien H = G G

⁰

= (W, F ) est l’unique graphe d´ efinit par

- W = V × V

⁰

;

- F = {(i, j), (k, l) ∈ W

²

| i = k et (j, l) ∈ V

⁰

ou j = l et (i, k) ∈ V }.

D´ efinition 10 [7] Le graphe de Hamming Q

n+1

est d´ efinit r´ ecursivement : Q

n+1

= Q

n

Q

1

, o` u Q

1

= ({0, 1}, {(0, 1), (1, 0)}).

Montrons que sa matrice d’adjacence est de la forme A

n+1

=

A

n

I

N

I

N

A

n

. On peut ´ ecrire V

n+1

= V

n

×V

1

= J 0, N−1 K ×{0, 1} = J 0, 2N −1 K en utilisant la bijection (i, j) ∈ J 0, N −1 K ×{0, 1} 7→

k = N j + i ∈ J 0, 2N − 1 K . Soient k = N j + i, l = N j

⁰

+ i

⁰

, alors (A

n+1

)

kl

= 1 si et seulement si

(k, l) ∈ E

n+1

i.e. si et seulement si l’une des conditions suivante est remplie

- i = i

⁰

et (j, j

⁰

) ∈ E

₁

donc (k, l) ∈ {(i, N i), (N i, i); i ∈ J 0, N − 1 K }. Autrement dit les blocs antidiagonaux de A

_n+1

sont de la forme I

_N

;

- j = j

⁰

= 0 ou j = j

⁰

= 1; et (i, i

⁰

) ∈ E

_n

donc (A

_n

)

_ii⁰

= 1. Autrement dit les blocs diagonaux de A

n+1

sont de la forme A

n

.

Calculons ` a pr´ esent les valeurs propres de A

n

. Si λ ∈ sp(A

n

) est associ´ ee au vecteur propre v, alors A

n+1

v v

=

A

n

I

N

I

N

A

n

v v

=

A

n

v + v v + A

_n

v

=

λv + v λv + v

= (λ + 1) v

v

A

_n+1

v

−v

=

λv − v v − λv

= (λ − 1) v

−v

Comme sp(A

1

) = {−1, 1}, on d´ eduit par r´ ecurrence que sp(A

n

) = {−n, −n + 2, . . . , n − 2, n}.

Notons que si on num´ erote les valeurs propres de 0 ` a n, alors la multiplicit´ e de la k

^i`eme

est

ⁿ_k

(il suffit de remarquer que

ⁿ_k

+

_k+1ⁿ

=

ⁿ⁺¹_k+1

).

Le second op´ erateur est diagonal donc les valeurs propres de ∆ sont celles de A, d´ ecal´ ees de −n, c’est-` a-dire sp(∆) = {−2n, −2, . . . , 0}. Ainsi les valeurs propres de H(0) = −∆ sont {0, 2, . . . , 2n}

et l’unique ´ etat d’´ energie minimale est le vecteur propre associ´ e ` a n dans le spectre de A

n

, soit le vecteur x





 1

.. . 1





 . Finalement le gap de ∆ vaut simplement 2.

On voit donc que l’on peut d´ eterminer s´ epar´ ement le gap de H(0) et de H(κ), κ 1. La question abord´ ee par l’article est de savoir comment il se comporte entre ces deux cas extrˆ emes. Il cite un article dont les simulations num´ eriques sugg` erent qu’il existe κ

_c

autour duquel la transition de phase suivante a lieu :

- pour κ < κ

_c

, le ground-state est d´ elocalis´ e, et d’´ energie exponentiellement proche de −κ

²

(en n), autrement dit la recherche du minimum de u ´ echoue ;

- pour κ > κ

c

, le ground-state est localis´ e autour du vecteur propre correspondant ` a u(i

0

), et d’´ energie N (1 − κ/κ

c

) + O(ln N) autrement dit la recherche du minimum de u r´ eussit ; - pour κ = κ

c

, le gap tend vers 0 exponentiellement vite en n.

Le but de l’article est de une version faible de ce dernier point.

Th´ eoreme 11 Il existe C ∈ R

+

tel que

n→∞

lim P min(g(κ))

κ∈[0,n³]

6 Cn

⁵

2

^−n/6

!

= 1 o` u P est une probabilit´ e sur l’ensemble des r´ ealisations du REM.

Ce th´ eor` eme ne nous assure pas que le min(g(κ))

κ∈[0,n³]

se r´ ealise en κ = κ

c

, ni mˆ eme qu’il se r´ ealise au mˆ eme endroit pour toutes les r´ ealisations du REM ou toutes les valeurs de N.

On peut remarquer que les propri´ et´ es du QREM sont significativement diff´ erentes de celles du

REM, en effet pour le premier g 1 et pour le second g ∼ 1.

R´ ef´ erences

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