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112: CORPS FINIS – App 0. Préliminaires

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Academic year: 2022

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112: CORPS FINIS – App 0. Préliminaires [Pe]

1. Polynômes cyclotomiques

def, X

n

-1=

2. Extensions de corps

def-prop : corps de rupture/décomposition

I. Description des corps finis [TaC] - [Pe]

1. Corps premiers

def, car(K) – K fini => |K|=p

n

2. Structure des corps finis

Wedderburn – extension, de Fp : degré, base, pol min, etc...

3. Construction

Corps de dec de X

q

-1 – ~Fp[X]/(P), ex

III. Polynômes sur un corps fini [Dmz]

1. Irreductibilité de Φ n

irred sur Q / sur Fp - Φp

r

prod de pol irred

2. Extensions cyclotomiques

def, ex

3. Polynômes irreductibles sur Fp

dec de Xp

m

-X, critère d'irred – nb de pol irred

IV. Applications [Pe]

1. Formes quadratiques sur Fq

def discriminant – classification

2. En arithmétique : carrés mod q

gpe Fq

*

- carrés ds Fq, somme de 2 carrés

symbole de Legendre, Th d'Euler, loi de réciprocité

3. En algèbre linéaire : groupe linéaire sur Fp

cardinaux et isom exceptionnels

Biblio :

Perrin

Tauvel ( corps et th de Galois ) Demazure

Développements :

13 – Polynômes irreductibles sur Fp

31 – Classification des formes quadratiques sur Fq

33 – Loi de réciprocité quadratique

Références

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