On note Pi

On notePi∈N, la suite croissante des nombres premiers impairs. p1= 3, p2= 5, p3= 7. . .

On cherche `a d´emontrer par r´ecurrence la propri´et´eg(k) : ∀x ≤ pk+ 3, ∃pi, pj ∈Pk, x=pi+pj.

1)g(1) puisque 6 = 3 + 3.

2)g(k) =⇒ g(k+ 1).

g(k) : 6 =p[6,1]+p[6,2]

8 =p[8,1]+p[8,2]

10 =p_[10,1]+p_[10,2]

...

p_k+ 3 =p_[pk+3,1]+p_[pk+3,2]

Il faut montrer que l’existence de d´ecompositions de Goldbach pour les nombres pairs de 6 `ap<sub>k</sub>+3 entraˆıne l’existence de d´ecompositions de Goldbach pour les nombres pairs dep<sub>k</sub>+ 5 `ap_k+1+ 3.

Dans le maillage de repr´esentation des d´ecompositions, on a entour´e la partie du maillage repr´esentant les d´ecompositions de Goldbach des nombres dep_k+ 5 `ap_k+1+ 3 pourp_k= 23.

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Peut-ˆetre que la notion de “mots de Dyck”, illustr´ee en rouge dans le maillage ci-dessous, peut aider

`

a compter le nombre de d´ecompositions de Goldbach contenues par la zone d´elimit´ee en vert.

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