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TD C: encore des circuits

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Academic year: 2022

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TD C: encore des circuits

DEA d’Algorithmique – Complexit´e A pr´eparer vers le 4/11/03

D´ efinition L ⊆ {0; 1}

a une complexit´e de circuit polynomiale si ∃k, a, et pour chaque n il existe un circuit C

n

avec n entr´ees et ≤ n

k

portes qui d´ecide L dans le sens suivant : pour chaque mot X = x

1

. . . x

n

, la valeur C

n

(x

1

, . . . , x

n

) est true ssi x ∈ L.

1. Prouvez que si L ∈ P , alors sa complexit´e de circuit est polynomiale.

2. Trouvez un langage ind´ecidable avec une complexit´e de circuit polyno- miale.

3. Montrez que si SAT n’a pas une complexit´e de circuit polynomiale, alors P 6= N P .

4. Montrez que L ∈ P ssi L a une complexit´e de circuit polynomiale, et le circuit C

n

peut ˆetre calcul´e `a partir de 1

n

en espace log n

On appelle la notion de complexit´e de circuit introduite par la d´efinition ci-dessus “non-uniforme”, et celle de l’exercice 4 “uniforme”.

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