I.– Mouvement de roulis d’un navire

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MG2 – Logiciels scientiﬁques – Automne 2010 TP Maple n

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I.– Mouvement de roulis d’un navire

Un bateau qui gˆıte d’un angle θ a tendance ` a se redresser sous l’eﬀet d’un couple de forces : son poids (appliqu´ e au centre de gravit´ e G ) et la pouss´ ee d’Archim` ede (appliqu´ ee au centre de pouss´ ee P ) :

G P θ

La mod´ elisation d’un tel syst` eme

¹

conduit ` a une ´ equation diﬀ´ erentielle non lin´ eaire du type :

θ ¨ + k θ ˙ + θ + θ

²

= a sin ωt (1)

o` u θ est fonction du temps et k, a, ω sont des constantes.

1. A quoi correspondent physiquement les trois termes k θ, ˙ θ+θ

²

et a sin ωt ﬁgurant dans cette ´ equation ? 2. Peut-on trouver une solution exacte de (1) avec

dsolve

?

3. Pour la suite, on ﬁxe ω = 0.85, k = 0.1 et a = 0.0752. R´ esoudre num´ eriquement l’´ equation diﬀ´ erentielle (1) avec la condition initiale θ(0) = ˙ θ(0) = 0, et faire tracer la courbe t

→

(θ(t), θ(t)). Le bateau est-il ˙ stable ?

4. Reprendre la question 3 avec la condition initiale θ (0) = 0 . 05, ˙ θ (0) = 0 . 03. Que se passe-t-il ?

II.– Equation KdV

L’´ equation de Korteweg–de Vries est l’´ equation aux d´ eriv´ ees partielles non lin´ eaire suivante :

∂u

∂t + 6 u ∂u

∂x + ∂

³

u

∂x

³

= 0 (2)

1. Donner la solution g´ en´ erale u(x, t) de cette ´ equation (utiliser

pdsolve).

2. Trouver une solution particuli` ere u

1

(x, t) de (2) v´ eriﬁant les conditions initiales : u

1

(0, 0) = 1 , ∂u

1

∂x (0, 0) = 0 , ∂

²

u

1

∂x

²

(0, 0) =

−1.

3. Repr´ esenter en animation le graphe de x

→

u

1

(x, t) sur l’intervalle [−10, 10], pour t variant de 0 ` a 5.

L’onde progressive ainsi obtenue s’appelle un soliton

²

.

1 M.S. Soliman & J.M.T. Thomson,Transient and steady state analysis of capsize phenomena, Appl. Ocean Res., vol 13, pp. 82-92, 1991 2 P.G. Drazin & R.S. Johnson,Solitons : an introduction, Cambridge (1992)